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Resonanz und Resonanzkatastrophe

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Jakob Köbner
Resonanz und Resonanzkatastrophe
lernst du in der 11. Klasse - 12. Klasse - 13. Klasse

Beschreibung Resonanz und Resonanzkatastrophe

In diesem Video lernst du etwas über das Phänomen der Resonanz. Von Resonanz spricht man, wenn ein schwingungsfähiges System mit seiner Eigenfrequenz periodisch angeregt wird. Dabei kann sich das System zu beachtlichen Amplituden aufschaukeln. Kann durch die Dämpfung des Systems nicht genug Energie abgeführt werden, so kann das System zerstört werden. Dies nennt man eine Resonanzkatastrophe. Außerdem erfährst du am Fall der Tacoma Narrows Bridge, welche Ausmaße eine solche Resonanzkatastrophe annehmen kann und was der Unterschied zwischen einer Resonanzkatastrophe und dem verwandten Fall eines selbsterregten Oszillators ist.

Transkript Resonanz und Resonanzkatastrophe

Hallo und herzlich willkommen zu Physik mit Kalle! Wir wollen uns heute aus dem Gebiet Schwingungen und Wellen mit der Resonanz und der Resonanzkatastrophe beschäftigen. Für dieses Video solltet ihr bereits die Filme über die gedämpfte mechanische Schwingung und die erzwungene mechanische Schwingung gesehen haben. Wir lernen heute, was Resonanz ist, was eine Resonanzkatastrophe ist und, um besser zu verstehen, was eine Resonanzkatastrophe ist, werden wir uns das Beispiel einer Brücke im Wind ansehen. Dann mal los. Was ist denn nun Resonanz? Wir hatten ja schon im Video über die erzwungene Schwingung festgestellt: Wenn die Kreisfrequenz meines Erregers gleich der Eigenfrequenz des Resonators ist, schwingt dieser mit der höchstmöglichen Amplitude. Dies nennt man den Resonanzfall. Oder anders ausgedrückt: Wenn einem schwingfähigen System periodisch mit seiner Eigenfrequenz Energie zugeführt wird, spricht man von Resonanz. Unserem Oszillator wird also periodisch immer weiter Energie zugeführt. Und da das Einzige, was ihn bremst, seine Dämpfung ist, kann das bei nur sehr kleiner Dämpfung bedeuten, dass unser Oszillator sehr hohe Amplituden erreichen kann. Was das für Folgen haben kann, sehen wir im nächsten Kapitel. Hier seht ihr ein Diagramm, in dem ihr die Höhe der Amplitude in Abhängigkeit vom Verhältnis Erregerfrequenz zur Resonatoreigenfrequenz ablesen könnt. Es sind Kurven für verschiedene Werte von Δ eingetragen, also für verschieden starke Dämpfungen, denn Δ war ja die Dämpfungskonstante β/2× die Masse. Wir machen 2 Beobachtungen: 1. Die blaue Kurve, die die Kurve der Amplitudenmaxima für alle Dämpfungswerte ist, zeigt uns: Je stärker die Dämpfung, desto kleiner die Frequenz, bei der das Amplitudenmaxima erreicht wird. Das macht auch Sinn, da ein System ja umso langsamer schwingt, umso stärker es gedämpft ist. Die 2. Beobachtung machen wir an der roten Kurve, die für die Dämpfung Δ=0 steht. Hier geht nämlich, falls die Erregerfrequenz gleich der Resonatoreigenfrequenz ist, die Amplitude theoretisch bis ins Unendliche. Je leichter also die Dämpfung ist, desto mehr Energie kann ich in meinem System speichern. Da kein System unbegrenzte Energie verträgt, kann ich mir leicht vorstellen: Die zugeführte Energie kann ich zwar oft durch die Dämpfung wieder abführen, unter bestimmten Umständen (z. B. eben eine sehr schwache Dämpfung) kann sich die Amplitude meines Resonators jedoch so weit hochschaukeln, dass sich das System zerstört. Und dies nennt man eine Resonanzkatastrophe. Beispiele dafür sind schnell gefunden. Ein Federpendel zum Beispiel könnt ihr so lange zum stärker Schwingen bringen, bis euch die Feder reißt. Aber ein spektakuläreres Beispiel, nämlich den Fall der Tacoma Narrows Bridge, wollen wir uns jetzt im letzten Kapitel ansehen. Die Tacoma Narrows Bridge war eine Hängebrücke, die 1940 eröffnet wurde, relativ lang, schmal und leicht gebaut war, was ungünstige Folgen hatte. Schon bei leichtem Wind bildeten sich hinter den Trägern Luftwirbel, die sich periodisch änderten und fast die Eigenfrequenz der Brücke hatten. Diese versetzten die Brücke in Resonanz und ließen sie stark schwingen. Dadurch wurde die Brücke eine Zeit lang sogar zu einem Touristenmagneten. Sie wurde aber, nur 7 Monate nach ihrer Eröffnung, zerstört, und zwar durch ein Phänomen, das zwar keine Resonanzkatastrophe ist, aber dieser sehr ähnlich ist, weswegen wir es zur Unterscheidung auch als Beispiel gewählt haben. Als nämlich das erste Mal ein richtig starker Wind aufkam, verfiel die Brücke in einen anderen Schwingungsmodus, nämlich Torsionsschwingungen. Das heißt, die Fahrbahn verdrehte sich wie eine Schraube. Wie ihr euch mithilfe des Videos vielleicht vorstellen könnt, kann eine Torsionsschwingung einer Brücke mit Seitenwind verstärkt werden, auch ohne, dass der Wind immer in der richtigen Frequenz dazu pustet. Dadurch schaukelten sich also die Torsionsschwingungen der Fahrbahn immer weiter auf, bis die Brücke schließlich riss und einstürzte. Wir hatten ja am Anfang gesagt: Resonanz ist, wenn ein Oszillator in seiner Eigenfrequenz angeregt wird. Nun brauchen wir aber einen weiteren Begriff, nämlich den für einen Oszillator, der sich unter passenden Umständen hochschaukeln kann, auch wenn die auf ihn wirkende Kraft nicht periodisch mit seiner Eigenfrequenz wirkt. Man nennt so etwas einen selbsterregten Oszillator. Und das schreiben wir uns gleich einmal auf, damit wir damit nicht durcheinander kommen. Wir unterscheiden also zwischen Resonanzkatastrophe, bei der unser Resonator von einem schwingenden Erreger angestoßen wird, und dem selbsterregten Oszillator, der eine nicht schwingende Energiequelle hat. Nun brauchen wir bloß noch ein paar richtige Beispiele für Resonanzkatastrophen. Als Erstes wären da Soldaten, die im Gleichmarsch über eine Brücke laufen. Und das ist kein Scherz. Schon mehrere Brücken sind auf diese Art zum Einsturz gekommen; und es ist in Deutschland auch verboten, im Gleichmarsch über eine Brücke zu laufen. Ein weiteres Beispiel, das ihr vielleicht schon gesehen habt, ist das sogenannte Zersingen von Glas. Wenn ihr die Eigenfrequenz eines Glases kennt und es damit beschallt und die Lautstärke hochdreht, wird das Glas zerspringen. Wir wollen noch einmal wiederholen, was wir heute gelernt haben. Von Resonanz spricht man, wenn einem schwingfähigen System periodisch mit seiner Eigenfrequenz Energie zugeführt wird. Schaukelt sich die Amplitude dabei so hoch auf, dass das System zerstört wird, so spricht man von einer Resonanzkatastrophe. Man unterscheidet hier (Vorsicht: Verwechslungsgefahr!) anhand der Energiequelle. Zerstörung durch eine schwingende Energiequelle nennt man Resonanzkatastrophe, und ein selbsterregter Oszillator lässt sich auch durch eine nicht schwingende Energiequelle zur Zerstörung bringen.   So, das war es schon wieder für heute. Ich hoffe, ich konnte euch helfen. Vielen Dank fürs Zuschauen, vielleicht bis zum nächsten Mal, Euer Kalle

1 Kommentar

1 Kommentar
  1. Super Video,dankeschön!

    Von Makineli, vor mehr als 9 Jahren

Resonanz und Resonanzkatastrophe Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Resonanz und Resonanzkatastrophe kannst du es wiederholen und üben.
  • Gib an, was Resonanz ist.

    Tipps

    Auch auf dem Spielplatz kannst du Resonanz beobachten. Den Effekt der Resonanz können wir anhand einer Kinderschaukel nachvollziehen.

    Leicht gedämpfte Systeme können durch Resonanz zu großen Amplituden aufgeschaukelt werden.

    Lösung

    Von Resonanz spricht man, wenn einem schwingfähigen System periodisch mit seiner Eigenfrequenz Energie zugefügt wird.

    Dabei kann ein System, welches nur leicht gedämpft ist, zu sehr großen Amplituden aufgeschaukelt werden.

    Als Beispiel kannst du dir eine Schaukel auf dem Spielplatz vorstellen. Die Schaukel schwingt mit Eigenschwingung hin und her. Wenn du diese zum richtigen Zeitpunkt anstößt, so bekommt die Schaukel mehr Schwung und die Amplitude ist somit erhöht. Stößt du die Schaukel zu einem falschen Zeitpunkt an, so wird die Amplitude jedoch nicht erhöht.

    Man muss dem schwingfähigen System der Schaukel also im richtigen Moment Energie hinzufügen, um die Amplitude der Schwingung zu erhöhen und somit die Effekte der Resonanz beobachten zu können.

  • Nenne die Eigenschaften der Resonanzkatastrophe.

    Tipps

    Jedes System hat eine Grenze, ab der es keine weitere Energie mehr aufnehmen kann.

    Einem schwingenden System kann Energie mittels Dämpfung entnommen werden.

    Lösung

    Wird einem schwingfähigen System periodisch Energie hinzugefügt, so tritt Resonanz auf.

    Die Effekte der Resonanz sind die Erhöhung der Amplitude der Schwingung in Abhängigkeit von der Dämpfung des Systems.

    Ist ein System mindestens ausreichend gedämpft, so kann genügend Energie über die Dämpfung abgegeben werden und die Erhöhung der Amplituden ist lediglich mäßig.

    Ist ein Systems jedoch sehr schwach gedämpft, so kann nur sehr wenig Energie abgegeben werden und die Amplitude der Schwingung steigt weiter und weiter an.

    Da jedes System irgendwann nicht noch mehr Energie aufnehmen kann, kann es vorkommen, dass ein System durch zu hohe Auslenkung der Schwingung letztendlich zerstört wird.

    Man spricht dann von Resonanzkatastrophe.

    Anhand der Brücke kannst du dir gut vorstellen, dass es eine Grenze der größten Auslenkung geben muss, an der die Brücke versagt. Auch hier spricht man von einer Resonanzkatastrophe.

  • Erkläre, wie man die Auswirkungen der Resonanz auf ein System verringern kann.

    Tipps

    Jedes System hat eine Energiespeichergrenze.

    Die Amplitude der Schwingung gibt den Betrag der gesamten in einem System gespeicherten Energie an.

    Lösung

    Um zu verstehen, warum ein System durch Resonanz so stark beeinflusst werden kann, dass es sich selbst zerstört, schauen wir einmal genauer auf den energetischen Systemzustand.

    Ein schwingfähiges System speichert Energie grundsätzlich in zwei Formen: als kinetische Energie und in einem anderen Bereich der Schwingung als potentielle oder als Spannenergie.

    Bekannt ist, dass eine Energie stets von der betrachteten Masse abhängig ist.

    Mit dem Ansatz :

    $E_{pot}= mgh $ können wir leicht ausrechnen, wie viel Gesamtenergie in einem Fadenpendelsystem vorhanden ist, wenn wir den Wendepunkt der Bewegung betrachten.

    Demnach muss also ein Pendel der Länge $L$ und der Masse $m$ , auch wenn die Eigenfrequenz unverändert bleibt, eine geringere Energie tragen als das Pendel der Länge $L$ und der Masse $2 \cdot m$.

    Außerdem erkennen wir, dass die Amplitude der Schwingung den Betrag der gesamten in einem System gespeicherten Energie angibt.

    Erhöhen wir die Amplitude, so erhöht sich $h$ in der Formel der potentiellen Energie.

    Per Definition wird durch Resonanz die Amplitude immer weiter erhöht. Nach unseren Betrachtungen sehen wir nun, dass damit gleichermaßen auch die Systemenergie erhöht werden muss.

    Jedes System hat eine Energiespeichergrenze. Wird diese überschritten, so kann das System nicht mehr stabil existieren und es wird zerstört. Man spricht dann von einer Resonanzkatastrophe.

    Um einer solchen Resonanzkatastrophe vorzubeugen, werden reale Systeme gedämpft.

    Durch die Dämpfung eines Systems wird die gespeicherte Systemenergie dissipiert, das heißt, diese wird umgewandelt von einer Schwingung in Wärmeenergie.

    Du kannst dir diesen Effekt gewissermaßen mit der Reibung erklären.

    Wird ein Auto zu schnell, also die kinetische Systemenergie so groß, dass eine Katastrophe droht, tritt man auf die Bremse, um so durch Reibung die Systemenergie zu verringern und einer Katastrophe vorzubeugen.

    Um ein System unter Kontrolle zu halten, ist es also notwendig, die Systemenergie zu begrenzen und im Notfall eine Bremse zu haben. Außerdem ist es hilfreich, die Masse eines Systems zu verringern, damit kein zu großer Energieeintrag stattfinden kann.

  • Berechne die Dämpfungswerte.

    Tipps

    Der Dämpfungsbeiwert $\delta$ gibt an, wie die Energie einer Schwingung von der Masse$m$ und der Dämpfungskonstante $\beta$ abhängt.

    Der Wert von $\delta$ ist also für große Massen gering und für kleine Massen sehr groß.

    $\delta = \frac{\beta}{2m}$

    Lösung

    Der Dämpfungsbeiwert $\delta$ gibt an, wie die Energie einer Schwingung von der Masse$m$ und der Dämpfungskonstante $\beta$ abhängt.

    Dabei gilt:

    $\delta = \frac {\beta}{2m}$ .

    Der Wert von $\delta$ ist also für große Massen gering und für kleine Massen sehr groß.

    Die Dämpfungskonstante kannst du als eine spezielle Form der Federkonstante verstehen, also eine Art Kennwert für die Schwingungseigenschaften des Oszillators.

    Hat ein Oszillator sehr starke Dämpfungseigenschaften, so sind die Werte für die *Dämpfungskonstante $\beta$ groß. Ist die Dämpfungseigenschaft gering, ist auch der Wert von $\beta$ gering.

    Im Beispiel betrachten wir stets den gleichen Oszillator, darum ist die Konstante $\beta$ unveränderlich.

    Für eine Masse von $200g$ berechnet man $\delta$ dann mit :

    $\delta = \frac{\beta}{2m} = \frac{0,22}{2 \cdot 0,2} = 0,55$.

  • Gib an, in welchen Fällen eine Resonanzkatastrophe auftreten kann.

    Tipps

    Resonanz tritt immer dort auf, wo viele gleichmäßige Impulse auf einen schwingfähigen Körper wirken.

    Damit in Oszillator-Systemen Resonanz auftreten kann, muss diesem Energie mit Eigenfrequenz zugeführt werden.

    Lösung

    Resonanz tritt immer dort auf, wo viele gleichmäßige Impulse auf einen schwingfähigen Körper wirken.

    Da eine Resonanzkatastrophe nur dann für den Menschen relevant ist, wenn diese wirklich zur Gefahr werden kann, betrachten wir nur ausreichend große Oszillatoren: Brücken.

    Brücken haben aufgrund ihrer Lagerung an den Ufern eines Flusses die Eigenschaft, schwingfähig zu sein.

    Damit bei diesem großen, schwingfähigen System nun Resonanz auftreten kann, muss diesem Energie mit Eigenfrequenz zugeführt werden.

    Dies kann etwa auftreten, wenn Soldaten im Gleichschritt über eine Brücke marschieren oder wenn eine Brücke stets starkem Wind ausgesetzt ist.

    In beiden Fällen wird die Amplitude der Schwingung immer weiter erhöht, sodass die Gefahr besteht, dass System energetisch zu übersättigen und somit zu zerstören.

    Es gibt auch noch weitere Beispiele für große Oszillatoren im Alltag. Etwa kann die Spitze eines Wolkenkratzers mehrere Meter hin- und herschwingen, jedoch sind diese meiste weniger anfällig für Resonanz als die beschriebenen Brückenbauwerke.

  • Analysiere den Fall der Tacona Narrows Bridge.

    Tipps

    Die Tacona Narrows Bridge ist ein Beispiel für eine Resonanzkatastrophe an einem realen Bauwerk.

    Durch Turbulenzen der Windströmung wurden die Amplituden der Schwingungen der Brücke immer größer.

    Letztendlich führten Torsionsschwingungen zum Versagen der Brücke.

    Lösung

    Die Tacona Narrows Bridge zeigt ein Beispiel für eine Resonanzkatastrophe an einem realen Bauwerk.

    Durch Turbulenzen der Windströmung wurden die Amplituden der Schwingungen der Brücke immer größer. Es trat also Resonanz auf.

    Zunächst wurde die Brücke zu einem Touristenmagneten, da diese sich im Wind zu bewegen schien, als wäre sie aus Papier gebaut.

    Jedoch bemerkte man schnell, dass diese Brücke keineswegs eine Touristenattraktion, sondern vielmehr eine Gefahr für die Allgemeinheit war.

    Da neben den longitudinalen Schwingungen mit der Zeit auch mehr und mehr Torsionsbewegungen, also Drehbewegungen, der Brücke wahrnehmbar waren, schien deren Einsturz nur eine Frage der Zeit zu sein.

    Schlussendlich stürzte die Brücke aufgrund der großen Belastungen in einer Resonanzkatastrophe nur wenige Monate nach ihrer Fertigstellung zusammen.

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