Erzwungene mechanische Schwingung

Erzwungene mechanische Schwingung – Physik

In diesem Text wird dir die erzwungene mechanische Schwingung erklärt. Als Grundlage hierfür solltest du dich bereits mit der gedämpften mechanischen Schwingung beschäftigt haben.

Erzwungene mechanische Schwingung – Definition

Die Definition der erzwungenen mechanischen Schwingung kann man folgendermaßen formulieren:

• Von einer erzwungenen mechanischen Schwingung spricht man, wenn ein mechanischer Oszillator, also ein Körper, der schwingen kann, von einer äußeren Kraft angeregt wird.

Ein einfaches Beispiel für eine erzwungene mechanische Schwingung ist ein Kind auf einer Schaukel, das immer wieder angestoßen wird. Da dort zwei schwingende Systeme vorhanden sind, also das Kind und die Anschwung gebenden Hände, gibt es zwei verschiedene Bezeichnungen dafür. Man nennt den Oszillator, der in Schwingung versetzt wird, den Resonator und das anregende System den Erreger.

Erzwungene mechanische Schwingung – Erklärung

In der folgenden Grafik ist ein $y$-$t$-Diagramm dargestellt, in dem der zeitliche Schwingungsverlauf des Erregers blau und der des Resonators rot eingezeichnet ist. $y$ ist die Auslenkung und $t$ gibt die Zeit an.

Sobald der Erreger eingeschaltet ist, schwingt er immer mit der gleichen Amplitude, also der gleichen maximalen Auslenkung in $y$-Richtung. In diesem Fall betrachten wir einen Erreger, der eine periodische Bewegung ausführt. Dabei versetzt er den Resonator, wie in der Grafik gut zu erkennen ist, in eine immer stärker werdende Schwingung. Dieser Vorgang wird Einschwingvorgang genannt und er dauert so lange, bis sich die Amplitude des Resonators nicht mehr ändert und das System eingeschwungen ist. Beide Schwingungen, also die des Resonators und die des Erregers, haben die gleiche Frequenz. Die Frequenz beschreibt die Anzahl der Schwingungen pro Sekunde. Wir merken uns also:

• Nach dem Einschwingvorgang schwingt der Resonator mit der Kreisfrequenz $\omega_a$ des Erregers.

Die Kreisfrequenz gibt an, wie schnell eine Schwingung abläuft. Sie hat das Formelzeichen $\omega$ und die Einheit $\frac{1}{\pu{s}}$. Die Amplitude $A$ des Resonators hängt von der Kreisfrequenz $\omega_a$ des Erregers ab. Diese Abhängigkeit kann in der Resonanzkurve der erzwungenen Schwingung dargestellt werden. Den genauen Zusammenhang schauen wir uns im nächsten Abschnitt an.

Erzwungene mechanische Schwingung – Formel

Mit der Schwingungsgleichung solltest du bereits vertraut sein. Du lernst sie in unserem Video zu mechanischen Schwingungen kennen. Bei der Schwingungsgleichung handelt es sich um eine Differenzialgleichung. Die Schwingungsgleichung für den Resonator lautet:

$m\ddot{y}+\beta\dot{y}+ky = F_a \cos(\omega_at)$

Die Masse des Resonators ist gegeben durch $m$. Die Variable $\ddot{y}$ gibt seine Beschleunigung an, also die zweifache Ableitung der Auslenkung $y$ nach der Zeit. Der Koeffizient $\beta$ ist die Dämpfungskonstante, $\dot{y}$ seine Geschwindigkeit, $k$ die Federkonstante und $y$ seine Auslenkung.

Da die Schwingung erzwungen ist, steht rechts der Gleichung die äußere Kraft. Wir betrachten wieder, wie im oben genannten Beispiel, eine periodische Kraft. Diese hat eine Amplitude $F_a$ und eine Kreisfrequenz des Erregers $\omega_a$. Die Zeit ist durch die Variable $t$ gegeben. Wie diese Gleichung gelöst wird, ist in der Schule meist nicht relevant, da es ziemlich schwierig ist. Die Lösung dieser Gleichung ist dennoch wichtig und sie lautet:

$y = A \cdot \sin(\omega_at + \phi_a)$

Dabei ist $\phi_a$ die Phasenverschiebung, die sich nach dem Einschwingvorgang eingestellt hat. Diese gibt an, wie die Phasen der beiden Wellen (Schwingung des Erregers und Schwingung des Resonators) gegeneinander verschoben sind. Die Formel für die Amplitude $A$ lautet:

$A = \dfrac{F_a}{m\,\sqrt {({\omega_a}^{2}-{\omega_0}^{2})^{2}+4\,{\omega_a}^{2}\,\delta^{2}}}$

Hierbei ist ${\omega_0}$ die Eigenfrequenz des Resonators, das heißt die Frequenz, mit der der Resonator ohne Einwirken einer äußeren Kraft schwingt, und $\delta$ der Dämpfungskoeffizient, gegeben durch:

$\delta = \dfrac{\beta}{2m}$

Aus der Formel für $A$ geht hervor, dass bei gleicher Kraft $F_a$ die Amplitude umso größer wird, je kleiner die Zahl im Nenner ist. Soll die Amplitude bei einer gegebenen Pendelmasse $m$ maximiert werden, muss also der Wurzelterm minimiert werden. Wenn $\omega_a = \omega_0$ ist, hat der Wurzelterm ein Minimum. Das heißt, die Amplitude hat ein Maximum. Wir merken uns:

• Bei einer erzwungenen mechanischen Schwingung ist die Amplitude am größten, wenn die Erregerfrequenz $\omega_a$ gleich der Eigenfrequenz des Resonators $\omega_0$ ist.

Erzwungene mechanische Schwingung – Zusammenfassung

Die folgenden Stichpunkte fassen noch einmal die wichtigsten Informationen zum Thema Erzwungene mechanische Schwingung zusammen:

• Wird ein Oszillator (genannt Resonator) von einer äußeren Kraft (Erreger) angeregt, so führt er eine erzwungene mechanische Schwingung aus.
• Nach dem Einschwingvorgang schwingt der Resonator mit der Kreisfrequenz $\omega_a$ des Erregers, wenn es sich um eine periodische äußere Kraft handelt.
• Die Amplitude $A$ des Resonators ist am größten, wenn die Erregerfrequenz $\omega_a$ gleich der Eigenfrequenz des Resonator $\omega_0$ ist.

Um das neu erlernte Wissen gleich anwenden zu können, gibt es zusätzlich zum Video Aufgaben und Übungen zum Thema Erzwungene mechanische Schwingung.