30 Tage kostenlos testen:
Mehr Spaß am Lernen.

Überzeugen Sie sich von der Qualität unserer Inhalte.

Harmonische mechanische Schwingung 06:00 min

Textversion des Videos

Transkript Harmonische mechanische Schwingung

Hallo und herzlich willkommen zu Physik mit Kalle! Wir wollen uns heute, aus dem Gebiet "Schwingungen und Wellen", mit der harmonischen mechanischen Schwingung beschäftigen. Für dieses Video solltet ihr bereits den Film über mechanische Schwingungen gesehen haben. Wir lernen heute, was eine harmonische mechanische Schwingung ist, wie ihr Auslenkung-Zeit-Verlauf aussieht und wie die Lösung für die Schwingungsgleichung einer harmonischen mechanischen Schwingung lautet. Eine harmonische mechanische Schwingung erhält man in einem System, indem die einzige wirkende Kraft die rücktreibende Kraft FH mit der Formel -k×y ist. Es gibt noch andere, einfache Definitionen, aber für die müssen wir uns ein wenig gedulden. Fürs Erste stellen wir fest: Das Federpendel, das ihr noch mal rechts im Bild seht, ist, wenn wir Luftreibung und andere dämpfende Effekte vernachlässigen, ein harmonischer Oszillator, das bedeutet so viel wie es schwingt harmonisch. Nun wollen wir uns mal den Verlauf der Auslenkung y(t) im Verhältnis zur verstrichenen Zeit t ansehen. Dazu sehen wir uns links mal ganz genau die Bewegung der Kugel an und schreiben ihre jeweilige Auslenkung zum Zeitpunkt t mit, um ein Diagramm dafür zu erhalten. Das sieht ungefähr so aus. Dabei fällt uns auf: Der Auslenkung-Zeit-Verlauf einer harmonischen mechanischen Schwingung sieht ziemlich sinusförmig aus. Wir merken uns, denn das brauchen wir gleich für die Rechnung: Der Maximalwert unserer Auslenkung muss die Amplitude A sein und die Dauer eines einzelnen Schwingungsvorgangs ist die Periodendauer T. Mit diesen Informationen bewaffnet wollen wir jetzt mal versuchen, die Schwingungsgleichung zu lösen. Wir schreiben uns mal das 2. Newtonsche Axiom auf, die Kraft ist die Masse × die 2. Ableitung der Auslenkung, also die Beschleunigung. Und die Formel für die rücktreibende Kraft ist nach dem Hookeschen Gesetz: FH=-k×y. Da wir ja keine dämpfenden Terme haben bei einer harmonischen Schwingung, kann ich also einfach schreiben: m×ÿ+k×y=0. Wenn ich das nach ÿ umstelle, erhalte ich: ÿ=-(k/m)×y. Da wir gerade festgestellt haben, dass unser Auslenkung-Zeit-Verlauf sinusförmig aussieht, werde ich versuchen, diese Differenzialgleichung mit einer Sinusfunktion zu lösen. Aber keine Panik, wir prüfen das gleich alles noch nach. Ich weiß, der Maximalwert der Auslenkung ist die Amplitude A, da mein Sinus nur zwischen -1 und 1 hin und her geht, muss ich also erst mal schreiben: y(t)=A×sin, und in meinen Sinus packe ich nicht einfach nur t, sondern ωt+φ. Und das ist auch schon die Lösung für die Schwingungsgleichung des harmonischen Oszillators. Wir nennen A die Amplitude, ω unsere Kreisfrequenz und φ die Phasenverschiebung. Die Aufgabe der Kreisfrequenz ω ist es, den Sinus auf die richtige Periodendauer zu strecken oder zu stauchen. Der Sinus von t hätte die Periode 2π, das heißt, ein Schwingungsvorgang dauert 2π Sekunden. Der Sinus von 2π×t ist um 2π gestaucht, das heißt, seine Periodendauer beträgt nur noch 1 Sekunde. Wenn ich also nun für ω 2π / die Periodendauer t einsetze, dann hat mein Sinus genau die richtige Periodendauer. Mithilfe der Phasenverschiebung φ kann ich meine Sinusfunktion an den richtigen Anfangspunkt verschieben, denn es fängt ja nicht jede Schwingung beim Nullpunkt an. Nun wollen wir aber erst mal überprüfen, ob unsere Lösung auch wirklich die Lösung ist. Dazu müssen wir y(t) einfach zweimal ableiten. Die 1. Ableitung yPunkt=A×cos(ωt+φ)×, nachdifferenzieren, was in der Klammer steht, ω. Die 2. Ableitung ÿ ist dann: A×(-sin, denn die Ableitung des Kosinus ist -sin, (ωt+φ))×ω×, noch mal nachdifferenziert, ω, also ω2. Und wir sehen: A×sin(ωt+φ) ist ja genau y(t). Damit ist also -ω2=-(k/m) oder anders ausgedrückt: ω2=k/m. Damit ist also ω, die Kreisfrequenz, nicht nur 2π / die Periodendauer, sondern außerdem die Wurzel aus Federkonstante / Masse. Wir wollen noch mal wiederholen, was wir heute gelernt haben. Ist die einzige wirkende Kraft bei einer mechanischen Schwingung die rücktreibende Kraft der Form FH=-k×y, so spricht man von einem harmonischen Oszillator. Der Auslenkung-Zeit-Verlauf solch einer Schwingung ist immer sinusförmig. Die Lösung der Schwingungsgleichung für den harmonischen Oszillator lautet: Die Auslenkung y zur Zeit t =A×sin(ωt+φ). Dabei ist A die Amplitude, ω die Kreisfrequenz und φ die Phasenverschiebung. So, das war's schon wieder für heute. Ich hoffe, ich konnte euch helfen. Vielen Dank fürs Zuschauen, vielleicht bis zum nächsten Mal, euer Kalle!

6 Kommentare
  1. leider viel zu kompliziert erklärt

    Von Al Chouli 1, vor fast 4 Jahren
  2. Leider erklärt/sagt mir die Formel gar nichts, wieso und wann es eine harmonische Schwingung ist.

    Von Rosenrot78, vor mehr als 4 Jahren
  3. @all

    Hier sind die Links zu weiteren Videos die die Mathematischen Hintergründe beschreiben.
    http://www.sofatutor.com/mathematik/videos/winkelfunktionen-spezielle-funktionswerte
    http://www.sofatutor.com/mathematik/videos/sinusfunktion-allgemein-mit-parametern
    http://www.sofatutor.com/mathematik/videos/periodische-funktionen-definition-und-beispiel-1
    http://www.sofatutor.com/mathematik/videos/periodische-funktionen-definition-und-beispiel-2
    http://www.sofatutor.com/mathematik/videos/partielle-integration-mit-sinus-und-cosinustermen

    Von Karsten Schedemann, vor fast 5 Jahren
  4. Mathematisch sagt mir das so gar nichts.
    Bitte Verlinkung zu den Videos, die dafür nötig sind, etc., um dies Video dann zu verstehen...

    Von Rosenrot78, vor fast 5 Jahren
  5. k ist hier die Federkonstante der rücktreibenden Kraft, also eine Konstante die angibt, wieviel Kraft (abhängig von der Auslenkung) auf den Körper wirkt, um ihn zum Gleichgewichtspunkt zurückzutreiben.

    Von Jakob Köbner, vor mehr als 7 Jahren
  1. Was ist k ?

    Von Isabel3004, vor mehr als 7 Jahren
Mehr Kommentare

Harmonische mechanische Schwingung Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Harmonische mechanische Schwingung kannst du es wiederholen und üben.

  • Nenne die Beschreibung der Begriffe.

    Tipps

    Eine Periode ist eine Schwinung.

    Lösung

    Diese Begriffe brauchst du, um eine Schwingung beschreiben zu können. Daher solltest du also sicherstellen, dass du sie kennst.

    Bei einer harmonischen Schwingung pendelt die Auslenkung um die Gleichgewichtslage. Die jeweils größte Auslenkung heißt Amplitude.

    Die Periodendauer ist die Zeit, die eine ganze Schwingung benötigt.

  • Nenne die Besonderheiten der harmonischen Schwingungen.

    Tipps

    Bei harmonischen Schwingungen gibt es keine äußeren Kräfte.

    Lösung

    Harmonische Schwingungen sind eigentlich nur theoretisch vorhanden. Aber dennoch nimmt man viele Schwingungen als harmonisch an, um mit ihnen einfacher umgehen zu können.

    Harmonische Schwingungen werden von keinen äußeren Kräften beeinflusst, d.h., auch nicht von Gravitation, Reibung oder anderen Dämpfungen.

    Nur die treibende und rücktreibende Kraft treibt die Schwingung an.

  • Berechne die kombinierte Federkonstante.

    Tipps

    Wenn du die Federkonstanten einzeln berechnet hast, versuche die Gleichung $F=-ky$ bzw. $F=k\Delta y$ erstmal nach $\Delta y$ umzustellen, bevor du sie nach $k$ umstellst.

    ($\Delta y$ ist die Auslenkung, also die Wegänderung der Masse)

    Wenn du nach $k$ umgestellt hast, kannst du ja bereits den Rest einsetzen. Denke daran, richtig zu kürzen!

    Lösung

    Bei einer einzelnen Feder gibt es ja oft nicht viel zu tun. Entweder kennst du die Federkonstante schon vom Kauf der Feder oder sie steht irgendwo auf der Feder.

    Manchmal jedoch nicht, und manchmal hängen mehrere Federn aneinander. Dann wird es kompliziert und du musst rechnen.

    Zuerst stellst du also die Gleichung $T=2\pi\sqrt{\dfrac{m}{k}}$ nach $k$ um. Das sieht dann wie folgt aus:

    $\begin{align*} k=\dfrac{4\pi²m}{T²}\dfrac{\textrm{kg}}{\textrm{s²}} \end{align*}$

    Setze nun für $k_1$ die Masse in kg und die Periodendauer $T_1$ ein.

    $\begin{align*} k_1=\dfrac{4\pi²1}{1,0²}\dfrac{\textrm{kg}}{\textrm{s²}}=39,5\dfrac{\textrm{N}}{\textrm{m}} \end{align*}$

    Und analog zur zweiten Feder:

    $\begin{align*} k_2=17,5\dfrac{\textrm{N}}{\textrm{m}} \end{align*}$

    Nun stellst du zuerst das Hooksche Gesetz nach $\Delta y$ um.

    $\begin{align*} \Delta y_{1/2}=\dfrac{F}{k_{1/2}} \end{align*}$

    Dann kannst du das Hooksche Gesetz nach k umstellen und für $\Delta y$ einsetzen.

    $\begin{align*} k_{ges}&=\dfrac{F}{\Delta y_1 +\Delta y_2}\\ &=\dfrac{F}{\dfrac{F}{k_1}+\dfrac{F}{k_2}}\\ &=\dfrac{1}{\dfrac{1}{k_1}+\dfrac{1}{k_2}}\\ \dfrac{1}{k_{ges}}&=\dfrac{1}{k_1}+\dfrac{1}{k_2}\\ k_{ges}&=\dfrac{k_1 k_2}{k_1 +k_2}\\ &=\dfrac{39,5\cdot 17,5}{39,5+17,5}\dfrac{\textrm{N}}{\textrm{m}}\\ &=12\dfrac{\textrm{N}}{\textrm{m}} \end{align*}$

  • Beschreibe das y(t)-t-Diagramm.

    Tipps

    Die Besonderheit einer harmonischen Schwingung ist, dass sie ungedämpft ist.

    Lösung

    Auch hier ging es um die Beschreibung einer harmonischen Schwingung und ihrer Besonderheiten. Auch die Orientierung im Koordinatensystem ist wichtig.

    Dargestellt ist eine harmonische Schwingung in einem Auslenkung-Zeit-Diagramm. Die Auslenkung wird also im Verhältnis zur verstrichenen Zeit $t$ dargestellt.

    Diese Schwingung ist sinusförmig und wird durch keine äußeren Kräfte beeinflusst. Das ist auch die Besonderheit an harmonischen Schwingungen.

  • Erkläre, was Kreisfrequenz und Phasenunterschied sind.

    Tipps

    In gewisser Weise wird in einem Fall auch die Amplitude verändert, allerdings nicht ihr Betrag, sondern lediglich ihr Zeitpunkt.

    Lösung

    Kreisfrequenz und Phasenverschiebung dient dazu, eine Schwingung zu modulieren, sie also zu verändern. Das kann man eigentlich immer gebrauchen, wenn man mit Schwingungen arbeitet, oder?

    Die Kreisfrequenz $\omega$ staucht oder streckt die Periode. Ist $\omega =\dfrac{2\pi}{T}$, so nimmt der Sinus Werte von 0 bis 1 an. Zusammen mit der Anfangsauslenkung A, also der Amplitude, ist die Auslenkung y immer ein Bruchteil der Amplitude oder im Maximum die Amplitude.

    Mit der Phasenverschiebung kann man die Sinusfunktion auf der x- bzw. t-Achse verschieben. Da nicht jede Schwingung ihren Anfang im Nullpunkt hat.

  • Beschreibe die Schwingungsgleichung.

    Tipps

    Beim Ableiten ist zu beachten, dass du die innere und äußere Ableitung bilden musst und dass du nach $t$ ableitest.

    Lösung

    Eine Sinusschwingung gehört zu den häufigsten Schwingungstypen. Oft betrachtet man diese auch als harmonisch. Deshalb schauen wir uns an, wie man sie beschreibt.

    Da bei der harmonischen Schwingung nur Kraft und rücktreibende Kraft vorhanden sind und diese gleichgroß aber entgegengesetzt sind, kann man schreiben $m\ddot{y}+ky=0$.

    Nun ist es eine Sinusschwingung mit einer anfänglichen Auslenkung $A$. Also ist $y=A\sin{\omega t+\varphi}.

    $\begin{align*} \dot{y}&=A\cos{\omega t+\varphi}\omega\\ \ddot{y}&=A(-\sin{\omega t+\varphi})\omega^2 \end{align*}$

    Vergleicht man das mit $\ddot{y}=-\dfrac{k}{m}y$, so erkennt man $y$ wieder und sieht, dass $\omega^2=\dfrac{k}{m}$ sein muss.