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Energie eines harmonischen Oszillators

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Jakob Köbner
Energie eines harmonischen Oszillators
lernst du in der 11. Klasse - 12. Klasse - 13. Klasse

Grundlagen zum Thema Energie eines harmonischen Oszillators

Inhalt

Die Gesamtenergie eines harmonischen Oszillators

Du weißt schon, was harmonische mechanische Schwingungen sind und wie man ein Federpendel mathematisch beschreiben kann. Wir wollen dieses Vorwissen im Folgenden dazu verwenden, um die periodische Umwandlung von Energie im harmonischen Oszillator zu beschreiben.

Harmonischer Oszillator – Energieumwandlung

Wir überlegen uns zunächst, in welchen Formen Energie während eines Schwingungsvorgangs im harmonischen Oszillator auftritt. Dazu betrachten wir ein Federpendel wie in der unten stehenden Abbildung gezeigt: Eine Masse $m$ ist an einer Schraubenfeder befestigt. Wir vernachlässigen außerdem Reibungsverluste, sodass die Schwingungsamplitude zeitlich konstant bleibt.

harmonischer oszillator einfach erklärt

Wenn das Pendel schwingt, treten genau zwei Energieformen auf. Wenn sich das Pendel bewegt, hat es kinetische Energie. Und wenn die Feder gestaucht oder gedehnt ist, hat sie potenzielle Energie. Bei Federn spricht man auch von Spannenergie.

Wir betrachten nun zwei besondere Punkte eines Schwingungsvorgangs. Zunächst soll das Federpendel sich in seiner maximalen Auslenkung befinden. Die Feder ist dann gespannt und hat nach dem hookeschen Gesetz die potenzielle Energie $E_{pot} = \frac{1}{2}kA^{2}$ gespeichert. Dabei spielt es bei einer idealen Feder keine Rolle, ob sie gespannt oder gestaucht ist. Entscheidend ist nur, wie weit sie aus ihrer Ruhelage ausgelenkt ist.

In der Formel ist $k$ die Federkonstante und $A$ die Amplitude der Schwingung. Da die Punkte der maximalen Auslenkung zugleich die Umkehrpunkte der Bewegung sind, sich also die Bewegungsrichtung ändert, ist die Geschwindigkeit an genau diesem Punkt null. Das bedeutet, dass das Pendel an diesem Punkt keine kinetische Energie hat, also $E_{kin} = 0$ gilt.

Sobald die Feder sich entspannt, beschleunigt die Masse $m$ und potenzielle Energie wird in kinetische Energie umgewandelt. Beim Durchqueren der Ruhelage ist die Feder vollkommen entspannt und hat keine potenzielle Energie mehr gespeichert. Dafür hat die Masse $m$ an diesem Punkt ihre maximale Geschwindigkeit, also kinetische Energie, erreicht. Es gilt:

$E_{kin} = \frac{1}{2}mv_{max}^{2}$

Nach Durchqueren der Ruhelage bewegt sich die Masse weiter, wodurch die Feder wieder gespannt wird. Die Geschwindigkeit nimmt dabei ab, weil die kinetische Energie wieder in potenzielle Energie der Feder umgewandelt wird. Sobald die kinetische Energie komplett umgewandelt wurde, die Geschwindigkeit also wieder null beträgt, ist wieder ein Umkehrpunkt erreicht. Die Feder beginnt, sich zu entspannen und die potenzielle Energie wird wieder in kinetische umgewandelt. Im idealen Fall, also unter Vernachlässigung von Reibungsverlusten, würde dieser Vorgang ewig weiterlaufen.

Zwischen der maximalen Auslenkung und der Ruhelage teilt sich die Gesamtenergie des Systems immer auf die beiden Energieformen $E_{kin}$ und $E_{pot}$ auf.

Wie genau diese Aufteilung aussieht, können wir uns mithilfe der Formel für die potenzielle Energie und der Formel für die Auslenkung des Pendels, die in unserem Video zur mathematischen Beschreibung des Federpendels hergeleitet wird, überlegen.

Harmonischer Oszillator – Herleitung der Formeln für die Energie

Die Größe der potenziellen Energie hängt davon ab, wie stark die Feder aus ihrer Ruhelage ausgelenkt ist. Wir müssen in der Formel für die potenzielle Energie also die Amplitude $A$ mit der zeitlich veränderlichen Auslenkung $y(t)$ ersetzen:

$E_{pot}(t) = \frac{1}{2}k(y(t))^{2}$

Die Formel für die Auslenkung $y(t)$ lautet:

$y(t) = A \sin( \sqrt{\frac{m}{k}} t )$

In dieser Formel ist $m$ die Masse des Pendels und $k$ die Federkonstante. Die rechte Seite dieser Gleichung setzen wir für $y(t)$ in die Formel für die potenzielle Energie ein:

$E_{pot}(t) = \frac{1}{2}k( A \sin( \sqrt{\frac{m}{k}} t ) )^{2}$

Nach Umformen erhalten wir:

$E_{pot}(t) = \frac{1}{2}kA^{2} \sin^{2}( \sqrt{\frac{m}{k}} t ) $

Damit haben wir eine Formel für den zeitlichen Verlauf der potenziellen Energie des harmonischen Oszillators. Wir wollen noch eine Formel für den zeitlichen Verlauf der kinetischen Energie bestimmen. Für die kinetische Energie gilt allgemein:

$E_{kin}(t) = \frac{1}{2}m v^{2}(t)$

Für die Geschwindigkeit der Masse im harmonischen Oszillator gilt:

$v(t) = A \sqrt{\frac{m}{k}} \cos(\sqrt{\frac{m}{k}}t)$

Diesen Term setzen wir für $v(t)$ in die Formel für die kinetische Energie ein:

$E_{kin}(t) = \frac{1}{2}m ( A \sqrt{\frac{m}{k}} \cos(\sqrt{\frac{m}{k}}t) )^{2}$

Nach Umformen erhalten wir:

$E_{kin}(t) = \frac{1}{2} \frac{m^{2}}{k} A^{2} \cos^{2}(\sqrt{\frac{m}{k}}t)$

Damit haben wir auch eine Formel für den zeitlichen Verlauf der kinetischen Energie. In der folgenden Abbildung sind beide Verläufe graphisch dargestellt.

harmonischer oszillator energie

Die horizontale Linie ist die Gesamtenergie $E_{Ges}$. Sie ist eine Konstante. Ihren Wert kennen wir schon, er ist:

$E_{Ges} = \frac{1}{2}kA^{2}$

Das ist gerade der Wert, den wir für die potenzielle Energie bei maximaler Auslenkung aufgeschrieben hatten. Da zu diesem Zeitpunkt die kinetische Energie gleich null ist und sich die Gesamtenergie aus kinetischer und potenzieller zusammensetzt, muss es sich gleichzeitig um den Wert für die Gesamtenergie handeln. Dass sich dieser Wert auch für jeden einzelnen Zeitpunkt einer Schwingung ergibt, kannst du durch Addition der beiden Gleichungen, die wir aufgestellt haben, selbst überprüfen.

Zusammenfassung zur Energie eines harmonischen Oszillators

Die wichtigsten Punkte zur Energie des harmonischen Oszillators fassen wir noch einmal stichpunktartig zusammen:

  • Die Gesamtenergie eines harmonischen Oszillators ist $E_{Ges} = \frac{1}{2}kA^{2}$.
  • Im harmonischen Oszillator werden periodisch potenzielle und kinetische Energie ineinander umgewandelt.
  • An den Umkehrpunkten der Schwingung ist die potenzielle Energie maximal und die kinetische Energie null.
  • Im Durchgang durch die Gleichgewichtslage ist die potenzielle Energie null und die kinetische Energie maximal.

In diesem Video wird dir die Energie des harmonischen Oszillators auf einfache Weise erklärt. Du erfährst, welche Energieformen auftreten und wie man ihren zeitlichen Verlauf beschreibt. Video und Text werden durch interaktive Übungen ergänzt.

Transkript Energie eines harmonischen Oszillators

Hallo und herzlich willkommen zu Physik mit Kalle. Heute wollen wir uns aus dem Gebiet Schwingungen und Wellen die Energie des harmonischen Oszillators näher ansehen. Für dieses Video solltet Ihr bereits den Film über die harmonische, mechanische Schwingung gesehen haben. Wir lernen heute: Welche Energieform wir im harmonischen Oszillator finden können.

Wie Ihr zeitlicher Verlauf ist, und wie ich die Formel für die Gesamtenergie herleiten kann. Rechts seht Ihr eine Animation eines einfachen Federpendels.

Wir wollen nun wissen, welche Energieform wir während einer Schwingung finden können. Wenn wir nun unser Pendel anheben, ist in der Feder potenzielle Energie gespeichert, die von der Auslenkung abhängt. Wenn wir das Pendel loslassen, wird es nach unten gedrückt und die potenzielle Energie verwandelt sich in kinetische Energie. Diese wiederum zieht die Feder in die andere Richtung lang, bis die gerade erst gewonnene kinetische Energie wieder aufgebraucht und vollkommen in potenzielle Energie verwandelt ist.So geht es immer weiter. Wir haben also in einem harmonischen, mechanischen Oszillator zwei Energieformen: potenzielle Energie und kinetische Energie. Und den zeitlichen Verlauf der beiden wollen wir uns jetzt im nächsten Kapitel genauer ansehen. In diesem Diagramm seht Ihr die zeitlichen Verläufe beider Energien eingezeichnet. Die potenzielle Energie ist blau, die kinetische Energie rot. Am Anfang habe ich meinen Oszillator ein Stück ausgelenkt. Damit hat er eine potenzielle, aber keine kinetische Energie, denn noch liegt er ruhig in meiner Hand. Dann lasse ich ihn los und die Schwingung beginnt. Mit der Zeit sinkt nun die potenzielle Energie immer weiter und die kinetische Energie steigt, bis ich an der Gleichgewichtslage des Pendels angekommen bin. Hier ist die kinetische Energie maximal und es gibt keine potenzielle Energie mehr, denn die Feder hat keine Auslenkung mehr und übt damit keine Kraft aus. Nun wird mein Pendel aber von der kinetischen Energie weitergetragen, bis es die maximale Auslenkung in der entgegengesetzten Richtung erreicht hat, bei der die kinetische Energie auch wieder auf null gesunken ist. Die potenzielle Energie hat hier wiederum Ihr Maximum erreicht und wird das Pendel sofort wieder beginnen in die entgegengesetzte Richtung zu beschleunigen und so geht dies immer weiter. Eine interessante Feststellung machen wir, wenn wir die beiden Energien addieren. Die Gesamtenergie, im Bild lila ist nämlich konstant. Das schreiben wir uns gleich einmal auf und überprüfen die Werte für die kinetische und potenzielle Energie. Für die Auslenkungen plus A null und minus A. Bei der Auslenkung y=+A, ist die potenzielle Energie maximal nämlich: 1/2×Federkonstante K×Auslenkung Quadrat, also A² und die kinetische Energie ist null. Bei y=0, ist die potenzielle Energie gleich null, denn wir hatten gerade schon festgestellt, keine Auslenkung, keine Federkraft. Dafür hat die kinetische Energie Ihr Maximum: EKin=1/2mv² Für y=-a erhalten wir natürlich das Gleiche, wie für y=a, die potenzielle Energie ist 1/2kA², die kinetische Energie ist null. Mit diesen Erkenntnissen bewaffnet, wollen wir nun versuchen, eine Herleitung für die Formel der Gesamtenergie zu finden. Wir wissen und das können wir auch gleich so hinschreiben. Die Gesamtenergie ist die kinetische Energie plus die potenzielle Energie = 1/2mv²+1/2ky². Wir schreiben uns gleich noch ein paar andere Dinge auf, die wir zum Umformen brauchen werden. Die Auslenkung y zum Zeitpunkt T ist A×sin(omega t+fi). Die Geschwindigkeit v ist die Ablenkung der Auslenkung nach der Zeit. Also geht y nach tt und das ergibt abgeleitet: A×cosinus(Omega t+fi×nachdifferenziert Omega) und Omega, die Kreisfrequenz ist die Wurzel aus k/m oder anders geschrieben Omega²×m=k, die Federkonstante. Dann mal auf ins Gefecht. Wir setzen unsere Ausdrücke für y und v ein und erhalten: =1/2mOmega²A²cos²Omega t + fi + 1/2kA²sin²(Omega t + fi), wenn Ihr Euch den letzten meiner drei Einsetzausdrücke von gerade eben anseht, erkennt Ihr Omega² m ist gleich k, das heißt, ich kann das am Anfang meiner Gleichung einsetzen und erhalte dann: 1/2kA² und dann in Klammern (cos²(Omega t+fi)+sin²(Omega t+fi) und da cos² von x + sin² von x gleich 1 ist, kann ich die gesamte Klammer einfach wegfallen lassen und ich erhalte: =1/2k×A² das ist eine so schöne einfache Formel, dass wir sie uns gleich noch mal aufschreiben: Die Gesamtenergie eines harmonischen Oszillators beträgt: EGes=1/2×Federkonstante×Amplitude² Wir wollen noch mal wiederholen, was wir heute gelernt haben: In einem harmonischen Oszillator wird potenzielle Energie genutzt, um kinetische Energie zu erzeugen, die ihrerseits wieder potenzielle Energie erzeugt und so weiter, usw. Die Gesamtenergie, die gleich die potenzielle plus die kinetische Energie ist, ist konstant. Die Formel zur Berechnung der Gesamtenergie lautet: EGes=1/2kA² mit der Amplitude A und der Federkonstante K K kann ich dabei auch schreiben, als Kreisfrequenz im Quadrat mal Masse So, das war es für heute, ich hoffe, ich konnte Euch helfen. Vielen Dank fürs Zuschauen. Vielleicht bis zum nächsten Mal. Euer Kalle      

3 Kommentare

3 Kommentare
  1. @all

    Hier sind die Links zu weiteren Videos die die Mathematischen Hintergründe beschreiben.
    http://www.sofatutor.com/mathematik/videos/winkelfunktionen-spezielle-funktionswerte
    http://www.sofatutor.com/mathematik/videos/sinusfunktion-allgemein-mit-parametern
    http://www.sofatutor.com/mathematik/videos/periodische-funktionen-definition-und-beispiel-1
    http://www.sofatutor.com/mathematik/videos/periodische-funktionen-definition-und-beispiel-2
    http://www.sofatutor.com/mathematik/videos/partielle-integration-mit-sinus-und-cosinustermen

    Von Karsten S., vor mehr als 7 Jahren
  2. Mathematisch sagt mir das so gar nichts.
    Bitte Verlinkung zu den Videos, die dafür nötig sind, etc., um dies Video dann zu verstehen...

    Von Rosenrot78, vor mehr als 7 Jahren
  3. Die Gesamtenergie ist die gleiche wie die potentielle Energie?! Wie setzt sich die potentielle Energie zusammen, bzw. wie könnte ich sie noch ausdrücken? Es gibt ja auch die potentielle Lageenergie EL=m*g*h, um die es sich hier allerdings nicht handelt, oder teilweise?
    Also wie kommt man auch die Energie Epot= 1/2*k*A^2 und warum ist sie am Ende auch die Gesamtenergie?

    Von Gammerdinger, vor mehr als 10 Jahren

Energie eines harmonischen Oszillators Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Energie eines harmonischen Oszillators kannst du es wiederholen und üben.
  • Gib an, wie sich die potentielle und die kinetische Energie beim Pendel verhalten.

    Tipps

    An einem Wendepunkt, also Scheitelpunkt, ist die Bewegungsenergie =0, da sie dort dabei ist, ihre Richtung zu ändern.

    Lösung

    Mit der harmonischen mechanischen Schwingung hast du dich bestimmt schon auseinandergesetzt, aber auf die dort herrschenden Energien bist du vielleicht noch nicht so eingegangen. Deshalb betrachten wir sie nun.

    Die Gesamtenergie ist $E_{Ges}=E_{pot}+E_{kin}$.

    Daraus lässt sich folgern: Ist $E_{pot}$ maximal, muss $E_{kin}$ minimal sein.

    Ist das System z.B. eine Feder maximal ausgelenkt, so geht seine Bewegungsenergie auf Null, während es seine Bewegungsrichtung von z.B. oben nach unten ändert. Das ist gleichzeitig der Punkt, an dem dessen potentielle Energie maximal ist.

    Die kinetische Energie ist in der Gleichgewichtslage am größten. Da die Geschwindigkeit dort aufhört zu steigen und beginnt zu sinken. $y=0$ hat also die höchste kinetische Energie.

  • Beschreibe das t-E-Diagramm der harmonischen Schwingung.

    Tipps

    An einem Wendepunkt, also Scheitelpunkt, ist die Bewegungsenergie =0, da sie dort dabei ist, ihre Richtung zu ändern.

    Lösung

    Wie erkennt man anhand solch eines Diagramms, in welchem Zustand sich die Feder gerade befindet?

    Dazu muss man wissen, dass die potentielle Energie (blaue Linie) maximal ist, wenn das System (Feder) maximal ausgelenkt ist. Dies ist am Anfang der Schwingung der Fall.

    Die maximale Auslenkung ist an den Punkten erreicht, in denen die Pendelbewegung ihre Richtung ändert. An diesen Punkten wird die kinetische Energie gleich 0.

    Am Gleichgewichtspunkt jedoch hat die kinetische Energie (rote Linie) ihr Maximum erreicht und die potentielle demnach ihr Minimum.

  • Vervollständige die Energiegleichungen.

    Tipps

    Denke daran: Die kinetische Energie ist praktisch die Bewegungsenergie.

    Lösung

    Hier sind zwei wichtige Gleichungen, bestehend aus Größen, die du kennen solltest.

    Die wohl wichtigste Gleichung ist $E_{kin}=\frac{1}{2}\cdot m \cdot v^2$. In der Mechanik und in Bewegungsgleichungen könnte dir diese Gleichung noch oft unterkommen.

    Man sieht, dass die kinetische Energie besonders von der Geschwindigkeit $v$ abhängig ist. Und eher weniger von der Masse.

    Die Gleichung für die potentielle Energie ist $E_{pot}=\frac{1}{2}\cdot k \cdot A^2$.

    Sie ist abhängig von der Amplitude $A$, also wie weit die Feder ausgelenkt wurde, und der Federkonstante $k$.

  • Leite die Gleichung für die Gesamtenergie her.

    Tipps

    Die gesamte Energie besteht aus allen Energien zusammen.

    Du siehst ja schon die Gleichung für $E_{Ges}$. Wie muss also $(\sin²(\omega +\varphi)+\cos²(\omega +\varphi))$ aussehen?

    Lösung

    Die Berechnung der Gesamtenergie fällt durch die trigonometrische Identität $(\sin^2(\omega +\varphi)+\cos^2(\omega +\varphi))=1$ zu der sehr kurzen Gleichung $E_{Ges}=\frac{1}{2}\cdot k\cdot A^2$ zusammen.

    Das Ganze beginnt, indem wir $E_{Ges}=E_{kin}+E_{pot}$ als $E_{Ges}=\frac{1}{2}\cdot m\cdot v^2+\frac{1}{2}\cdot k\cdot y^2$ schreiben.

    Dabei soll $y=A\cdot\sin(\omega +\varphi)$ und v dessen Ableitung die Geschwindigkeit $v=\omega A\cdot\cos(\omega +\varphi)$ sein. $\omega =\sqrt{\frac{k}{m}}=>\omega^2 \cdot m=k$ ist die Kreisfrequenz.

    Das eingesetzt ergibt dann die oben stehende Gesamtenergie $E_{Ges}$.

  • Wiederhole noch einmal die Eigenschaften der (harmonischen) Schwingung.

    Tipps

    Das Besondere an harmonischen Schwingungen ist, dass sie nur der treibenden und rücktreibenden Kraft ausgesetzt sind.

    Lösung

    Diese Eigenschaften sind absolut elementar für das Beschreiben von Schwingungen. Da es hier insbesondere um die harmonische geht, wiederholst du noch einmal ihre besonderen Eigenschaften.

    Harmonische Schwingungen sind ungedämpft, d.h. ihre Amplitude bleibt konstant.

    Auch die Frequenz bleibt gleich. Sie hängt nicht mit der Dämpfung zusammen. Diese mildert nämlich nur die Amplitude.

    Allgemein bewegt sich ein Oszillator um seine Gleichgewichtslage. Diese liegt standardmäßig bei $y=0$.

    Eine Periode ist eine ganze Schwingung. Die Periodendauer ist also die Zeit, die während einer ganzen Schwingung vergeht.

  • Berechne die potentielle Energie und die Gesamtenergie.

    Tipps

    Die potentielle Energie ist gegeben durch $E_{pot}=\dfrac{1}{2}\cdot k\cdot A^2$.

    Für $(\sin^2(\omega t+\varphi)+\cos^2(\omega t+\varphi))$ gibt es eine spezielle Lösung.

    Lösung

    Die potentielle Energie ist gegeben durch $E_{pot}=\dfrac{1}{2}\cdot k\cdot A^2$, das heißt, es müssen nur noch Federkonstante und Amplitude eingesetzt werden.

    $E_{pot}=\dfrac{1}{2}\cdot 2\cdot 0,3^2=0,09$ Nm.

    Die Gesamtenergie ist $E_{Ges}=E_{pot}+E_{kin}=\dfrac{1}{2}\cdot k\cdot A^2+\dfrac{1}{2}\cdot m\cdot v^2$.

    Setzt man nun $A=y$ und $v$ als Ableitung von $y=A\cdot \sin (\omega t+\varphi )$ und formt ein wenig um, so erhalten wir

    $E_{Ges}=\dfrac{1}{2}\cdot k\cdot A^2\cdot (\sin^2(\omega t+\varphi)+\cos^2(\omega t+\varphi))$.

    Da $(\sin^2(\omega t+\varphi)+\cos^2(\omega t+\varphi))=1$ ist, verkürzt sich die Gleichung auf

    $E_{Ges}=\dfrac{1}{2}\cdot k\cdot A^2=E_{pot}$.

    Das macht auch Sinn, da $E_{Ges}$ konstant ist und bei maximaler potentieller Energie die kinetische minimal ist. Das bedeutet: An der Amplitude A, mit der wir rechnen, ist $E_{pot}$ maximal und $E_{kin}=0$. Eingesetzt in $E_{Ges}=E_{pot}+E_{kin}$ ist $E_{Ges}=E_{pot}$.

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