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Mathematische Beschreibung des Federpendels

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Lars Karlsson
Mathematische Beschreibung des Federpendels
lernst du in der 11. Klasse - 12. Klasse

Beschreibung Mathematische Beschreibung des Federpendels

Mathematische Beschreibung des Federpendels

Mechanische Schwingungen und ihre mathematische Beschreibung spielen in der Physik eine wichtige Rolle. Das Federpendel ist ein besonders einfaches und anschauliches Beispiel, an dem wir die mathematische Beschreibung von Schwingungen nachvollziehen können. Bevor wir damit beginnen, wiederholen wir, was ein Federpendel ist.

Das Federpendel

Ein Federpendel besteht aus einer Schraubenfeder, die an einem Ende stabil fixiert ist und an deren anderem Ende eine Masse $m$ hängt. Solange nur die Schwerkraft auf die Masse wirkt, befindet sich das Federpendel in seiner Ruhelage. Sobald die Masse jedoch durch eine Kraft aus der Ruhelage ausgelenkt wird, wirkt eine rücktreibende Kraft $F_r$, die das Federpendel in Schwingung versetzt.

Federpendel Physik

Wenn Reibungsverluste vernachlässigt werden, führt das Pendel harmonische Schwingungen aus. Die Amplitude, also die maximale Auslenkung, ist dann zeitlich konstant.

Das Federpendel – Herleitung der Formel

Wir wollen nun eine Formel herleiten, mit der wir den zeitlichen Verlauf der Auslenkung des Pendels beschreiben können. Dazu betrachten wir zunächst die rücktreibende Kraft $F_r$, die durch das Hookesche Gesetz beschrieben werden kann:

$F_r = -Dy(t)$

Hierbei ist $D$ die Federkonstante und $y$ die Auslenkung aus der Ruhelage. Nach dem Aktionsprinzip führt diese Kraft zu einer Beschleunigung der Masse:

$a(t) = \frac{F_r}{m} \Leftrightarrow F_r = ma(t)$

Wir können diese beiden Gleichungen nun gleichsetzen und erhalten damit:

$ma(t) = -Dy(t)$

Die Beschleunigung $a$ können wir auch als die zweifache Ableitung des Ortes $y$ nach der Zeit schreiben (die zeitliche Änderung des Ortes ist die Geschwindigkeit und die zeitliche Änderung der Geschwindigkeit die Beschleunigung):

$a(t) = \frac{ \text{d}^{2}y(t) }{ \text{d} t } $

Wenn wir diese Schreibweise einsetzen und außerdem auf beiden Seiten durch $m$ teilen, sieht die Gleichung folgendermaßen aus:

$ \frac{ \text{d}^{2}y(t) }{ \text{d} t } = -\frac{D}{m}y(t)$

Gleichungen dieser Form nennt man Differentialgleichungen. In solchen Gleichungen wird keine Variable, sondern eine Funktion gesucht. In unserem Fall suchen wir eine Funktion $y(t)$, die, wenn man sie zweimal nach der Zeit ableitet, sich selbst multipliziert mit dem Vorfaktor $-\frac{D}{m}$ ergibt.

Es gibt verschiedene Möglichkeiten, solche Differentialgleichungen zu lösen. Eine ist, durch schlaues Hinschauen eine Lösung zu raten und durch Differenzieren zu überprüfen. Diese Methode können wir auch hier anwenden. Wir kennen nämlich eine Funktion, die nach zweimaligem Ableiten wieder sich selbst ergibt – mit einem Vorfaktor. Diese Funktion ist der Sinus. Denn die Ableitung des Sinus ist der Kosinus, und die Ableitung des Kosinus ergibt wieder einen Sinus, nur mit negativem Vorzeichen. Wir wählen deswegen den folgenden Ansatz für die Funktion $y(t)$:

$y(t) = A \cdot \sin(\phi(t))$

Dabei ist $A$ die maximale Amplitude, also Auslenkung. Weil wir Reibungseffekte vernachlässigen, hängt die Amplitude nicht von der Zeit ab, sondern ist konstant. Das Argument des Sinus $\phi(t)$ ist der Phasenwinkel. Den Phasenwinkel können wir auch mithilfe der Kreisfrequenz $\omega$ darstellen:

$\phi(t) = \omega \cdot t = \frac{2\pi}{T} \cdot t$

Die Kreisfrequenz gibt ja gerade an, wieviele Schwingungen das Pendel pro Zeit durchführen kann. Nach der Zeit $t=T$, also einer Periode, ist der Phasenwinkel $\phi(T)=2\pi$ – das Pendel hat also genau einen Umlauf vollführt. Mit dieser Definition sieht unser Ansatz folgendermaßen aus:

$y(t) = A \cdot \sin(\omega \cdot t)$

Um unseren Ansatz zu überprüfen, müssen wir ihn in die Differentialgleichung einsetzen. Dazu berechnen wir zunächst die erste und dann die zweite Ableitung nach der Zeit. Dabei nutzen wir die Kettenregel für die innere und äußere Ableitung:

$ \frac{ \text{d}y(t) }{ \text{d} t } = A \cdot \omega \cdot \cos(\omega t) $

$ \frac{ \text{d}^{2}y(t) }{ \text{d} t } = -A \cdot \omega^{2} \cdot sin(\omega t) $

In der letzten Zeile können wir $y(t)= A \cdot \sin(\omega \cdot t)$ wiederfinden und sie folgendermaßen umschreiben:

$ \frac{ \text{d}^{2}y(t) }{ \text{d} t } = -A \cdot \omega^{2} \cdot sin(\omega t) =- \omega^{2} \cdot y(t) $

Hier sehen wir schon, dass unser Ansatz für $y(t)$ die oben aufgestellte Differentialgleichung erfüllt. Wir können die Differentialgleichung umformen und mit unserem Ansatz vergleichen, um einen Zusammenhang zwischen $\omega^{2}$ und den Größen aus dem Hookeschen Gesetz zu finden:

$ \frac{ \text{d}^{2}y(t) }{ \text{d} t } = -A \cdot \omega^{2} \cdot sin(\omega t) =- \omega^{2} \cdot y(t) = -\frac{D}{m}y(t)$

$\Leftrightarrow \omega^{2} = \frac{D}{m}$

Damit können wir die Periodendauer $T$ des Pendels bestimmen:

$T = \frac{2 \pi}{\omega} = 2 \pi \sqrt{\frac{m}{D}}$

Die Periodendauer hängt also (unter Vernachlässigung der Reibung) nur von der Masse $m$ und der Federkonstanten $D$ ab. Kennen wir die Masse, können wir die Federkonstante so über die Messung der Periodendauer $T$ bestimmen.

Außerdem können wir $\omega$ in unseren Ansatz und dessen Ableitungen einsetzen. So erhalten wir Funktionen für den Ort, die Geschwindigkeit und die Beschleunigung des Federpendels:

$y(t) = A \cdot \sin(\sqrt{\frac{m}{D}} \cdot t)$

$ v(t) = A \cdot \sqrt{\frac{m}{D}} \cdot \cos(\sqrt{\frac{m}{D}} t) $

$ a(t) = -A \cdot \frac{m}{D} \cdot sin(\sqrt{\frac{m}{D}} t) $

Die maximale Amplitude $A$ könnten wir über Anfangsbedingungen bestimmen. An dieser Stelle verzichten wir allerdings darauf, da es uns um das generelle Verhalten des Pendels geht. Dazu betrachten wir die Verläufe für den Ort $y(t)$ und die Geschwindigkeit $v(t)$ graphisch:

Federpendel Schwingung Beispiele der Kurven für Geschwindigkeit und Ort

Hier können wir eine wichtige Eigenschaft des Federpendels erkennen: Die Geschwindigkeit $v(t)$ ist während eines Schwingungsvorgangs am größten, wenn das Pendel seine Gleichgewichtslage durchläuft. Bei maximaler Auslenkung $y(t)$ ist die Geschwindigkeit hingegen null – denn hier ändert die Bewegung ihre Richtung.

Dieses Video

In diesem Video wird dir die Herleitung einer Formel für das Federpendel einfach erklärt. Du erfährst, welchen Ansatz du wählen musst und wie du ihn überprüfst. Neben Text und Video findest du zu diesem Thema ein Arbeitsblatt und Übungen. Teste doch gleich, ob du die Aufgaben mit deinem neuen Wissen lösen kannst!

Transkript Mathematische Beschreibung des Federpendels

Wir beschäftigen uns in diesem Video mit der mathematischen Beschreibung eines Federpendels. Damit du gut folgen kannst, solltest du das Hook‘sche Gesetz kennen und wissen, wie man eine Schwingung beschreibt. Ich werde dir heute die Formel für die zeitabhängige Auslenkung des Federpendels erklären. Außerdem werden wir daraus die Formeln für die Geschwindigkeit und für die Beschleunigung ableiten. Dann mal los! Nehmen wir uns erstmal ein Federpendel und schauen uns dessen Schwingung an. Wir lassen das Pendel schwingen und machen in gleichbleibenden Zeitintervallen ein Foto und legen diese entlang einer Zeitachse an den entsprechenden Stellen nebeneinander. Verbinden wir die Lage des Pendelkörpers zu einer Kurve, sehen wir, wie der Pendelkörper sinusförmig um seine Gleichgewichtslage schwingt. Eine sinusförmige Schwingung nennt man harmonische Schwingung, die Gleichung für so eine Kurve sieht so aus: y(t)=Asin(Phi(t)). y(t) ist die Auslenkung zu einer gegebenen Zeit. Das A steht für die Amplitude, das ist die Hälfte der Differenz des größten und kleinsten y-Wertes der Kurve. Phi(t) ist der sogenannte Phasenwinkel zu einer bestimmten Zeit. Er gibt an, in welcher Phase der Sinusfunktion sich die Schwingung zu gegebener Zeit befindet. Die Periodendauer T für eine Schwingung mit dieser Gleichung lautet T gleich 2π mal Wurzel aus der Masse m geteilt durch die Federkonstante D. Die Herleitung dieser Gleichung sparen wir uns an dieser Stelle erstmal. Jetzt zeige ich dir, dass die Auslenkung des Federpendels mit genau so einer Gleichung berechnet werden kann. Schreiben wir uns dazu das Hookesche Gesetz auf. Die rücktreibende Kraft F = - D * y. Die Auslenkung gibt an, wie weit der Pendelkörper von der Gleichgewichtslage entfernt ist und die Federkonstante ist ein Maß dafür, wie hart die Feder ist. Für die rücktreibende Kraft wissen wir laut Newton außerdem, dass sie gleich der Masse m mal ihrer Beschleunigung a sein muss. Sowohl Auslenkung als auch Beschleunigung sind zeitabhängig. Das machen wir deutlich, indem wir beides als Funktionen der Zeit notieren: y(t) und a(t). Wir können jetzt die rechten Seiten der beiden Formeln gleichsetzen. –D * y(t) = m * a(t). Stellen wir diese Formel nach der Beschleunigung a(t) um, erhalten wir eine Differenzialgleichung, denn die Beschleunigung ist die zweite Ableitung der Auslenkung. Als Lösung nehmen wir die Auslenkung y(t) = A * sin(Phi(t)) an. Dann rechnen wir das Ganze durch und prüfen, ob unsere Annahme stimmt. Zuerst vereinfachen wir dazu den Phasenwinkel Phi(t). Wir schauen uns dazu ein Zeigerdiagramm an. Das Zeigerdiagramm stellt dar, wie der Phasenwinkel Phi(t) sich ändert. Dieser ändert sich bei einer harmonischen Schwingung gleichmäßig. Das heißt, der Zeiger rotiert mit gleichbleibender Geschwindigkeit. Diese gleichmäßige Änderung, also wie viele Radianten pro Zeiteinheit der Zeiger überstreicht, bezeichnen wir als Kreisfrequenz Omega. Omega ist eine ganze Umdrehung, also 2Pi, je Periodendauer. Um den Winkel zu berechnen, der in der gegebenen Zeit überstrichen wird, multiplizieren die Kreisfrequenz einfach mit der Zeit. Also ist der Winkel Phi(t) = Omega * t. Jetzt setzen wir das Ganze in unseren Lösungsansatz ein und überprüfen, ob es wirklich die Lösung der Differenzialgleichung ist. Also, y(t) = A * sin(Phi(t)) = A * sin(Omega t). Um zu prüfen, ob die Lösung richtig ist, berechnen wir die zweite Ableitung der Auslenkung nach der Zeit, die in der Differenzialgleichung steht. In der Ableitung wenden wir je einmal die Kettenregel an. Jetzt nehmen wir die Differenzialgleichung und stellen sie nach –D/m um. Dazu teilen wir beide Seiten durch y(t). Dann setzen wir die zweite Ableitung des Lösungsansatzes und diesen selbst ein. A * sin(Omegat) kürzt sich weg und es bleibt Omega2 = D/m stehen. Wenn –D/m=Omega2 ist, dann passt unsere Lösung. Wir können diese Gleichung für Omega jetzt sogar noch in die Gleichung für die Schwingungsdauer einsetzen. Jetzt können wir noch die Formel für die Geschwindigkeit und Beschleunigung des Pendels bestimmen. Zum Glück haben wir die aber schon berechnet, das war nämlich die erste und zweite Ableitung der Lösung. Wir ersetzen einfach die Ableitungen durch die entsprechende Größe und ersetzen Phi Punkt durch Omega, fertig. Fassen wir alles übersichtlich zusammen: Mit dem Hookeschen Gesetz und dem zweiten Newtonschen Gesetz erhielten wir die Differenzialgleichung a(t) = -D/m * y(t). Die Lösung dieser Gleichung ist auch die Formel für die Auslenkung des Pendels: y(t) = A * sin(Omegat). Die Periodendauer T einer Schwingung ist gleich 2Pi * Wurzel aus m/D. Die Ableitungen sind entsprechend die Formeln für die Geschwindigkeit und Beschleunigung. Voilà, mit diesen drei Formeln kannst du die Bewegung des Federpendels vollständig beschreiben.

Mathematische Beschreibung des Federpendels Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Mathematische Beschreibung des Federpendels kannst du es wiederholen und üben.
  • Beschrifte die Bewegungsgleichung der harmonischen Schwingung.

    Tipps

    Die verschiedenen Punkte einer harmonischen Schwingung kann man mit einem Winkel ausdrücken.

    Lösung

    Dies ist die Bewegungsgleichung einer harmonischen Schwingung. Mit ihr kann man zu jedem Zeitpunkt $t$ sagen, wie groß die Auslenkung gerade ist.

    Dazu braucht man lediglich die Amplitude $A$, also die maximale Auslenkung, und den Phasenwinkel $\varphi$, welcher der Kreisfrequenz $\omega$ mal der Zeit $t$ entspricht. Die Kreisfrequenz bezieht sich auf die Zeit pro Umdrehung. Im Sinus und multipliziert mit der Zeit ergeben sich dann Werte zwischen 0 und 1 für den Sinus.

  • Beschreibe die Gesetze für die Kraft einer harmonischen Schwingung.

    Tipps

    $y$ ist die Auslenkung zu einer bestimmten Zeit $t$.

    Lösung

    Die harmonische Federschwingung lässt sich mit dem Hooke'schen Gesetz bestimmten. Allgemein gilt für die Kraft das 2. Newton'sche Axiom.

    Also gibt es hier 2 Wege, die zum gleichen Ergebnis führen.

    Setzt man beide gleich und stellt nach der Beschleunigung $a$ um, hat man eine Differenzialgleichung.

  • Nenne die Gleichungen, die bei der Herleitung der Schwingungsgleichung vorkommen.

    Tipps

    Die Beschleunigung $a$ ist die zweifache zeitliche Ableitung des Ortes.

    Lösung

    Möchte man die Schwingungsgleichung $y(t)=A\cdot \sin (\varphi (t))$ herleiten, so beginnt man damit, das Hooke'sche Gesetz und das 2. Newton'sche Axiom gleichzustellen:

    $-D\cdot y(t)=m\cdot a(t)$.

    Die Beschleunigung $a$ ist die zweifache zeitliche Ableitung von $y$. Wenn man nach $a$ umstellt, folgt:

    $\dfrac{d^2y(t)}{dt^2}=\dfrac{-D}{m}\cdot y(t)$.

    Um die folgende Lösung $y(t)=A\cdot \sin (\varphi (t))$ zu überprüfen, wird man die erste Ableitung davon bilden müssen. Sie lautet:

    $\dfrac{dy(t)}{dt}=A\cdot \cos (\omega\cdot t)\cdot\omega$, wobei $\varphi (t)=\omega\cdot t$ ist.

  • Überprüfe die Lösung der Differenzialgleichung für die harmonische Schwingung.

    Tipps

    Mit Lösung ist $y(t)=A\cdot \sin (\omega\cdot (t))$ gemeint.

    Lösung

    Wie kommt man denn nun auf diese Lösung $y(t)=A\cdot \sin (\varphi (t))$? Und ist sie richtig?

    Um auf diese Lösung zu kommen, muss zuerst das Hooke'sche Gesetz und das 2. Newton'sche Axiom gleichgesetzt werden. Das wird dann nach a umgestellt.

    $\dfrac{d^2y(t)}{dt^2}=-\dfrac{D}{m}\cdot y(t)$

    Dadurch erhält man die Differenzialgleichung.

    Nun leitet man die Lösung zweimal nach der Zeit ab, wobei $\varphi (t)=\omega\cdot t$ ist, da sie beide die Phase beschreiben.

    $\dfrac{d^2y(t)}{dt^2}=-A\cdot \sin (\omega\cdot (t))\cdot\omega^2$

    Setzt man das dann oben ein, und setzt auch für $y(t)$ die Lösung ein, kommt nach Umstellen und Kürzen heraus:

    $\omega=\dfrac{D}{m}$.

    Das kann man dann wieder in die Gleichung der zweiten Ableitung der Lösung einsetzen und stellt fest, dass es gleich mit der Differentialgleichung am Anfang ist.

    In diesem Fall reicht es, dass man der Einfachheit halber wie vorher mit $\omega$ ableitet und dann erst für $\omega$ einsetzt. Aber das kann man nicht immer so machen.

  • Nenne Eigenschaften der Größen im mathematischen Pendel.

    Tipps

    Der Punkt über $y$ steht für die zeitliche Ableitung.

    Lösung

    Was Ableitungen von Funktionen sind, weißt du ja vielleicht schon. Bei Bewegungsgleichungen ist es im Grunde dasselbe, aber die reale Bedeutung ist dann oft folgende:

    Leitet man die Ortskoordinate $y$ einmal nach der Zeit ab, erhält man die Geschwindigkeit. Leitet man das nochmal ab, wird die Beschleunigung daraus.

    Da man die meisten Bewegungen im Verlauf der Zeit betrachtet, sind ihre Ortskoordinaten zeitabhängig.

    Besonders bei Schwingungen wird oft mit Sinus und Kosinus gearbeitet.

    Sinus ist abgeleitet Kosinus, Kosinus abgeleitet ist minus Sinus und so weiter.

  • Löse die Differenzialgleichung.

    Tipps

    Schritt 1: $y(x)$ einsetzen und ableiten

    Du brauchst Ergebnisse für $\lambda$. Dazu hilft dir eine Gleichung, die du vielleicht von der Berechnung von Nullstellen quadratischer Funktionen kennst.

    Lösung

    Da mit $y(x)$ bereits der sogenannte Exponentialansatz gegeben ist, weißt du schon wie es losgeht: nämlich, $y(x)$ einsetzen. Dafür muss es aber auch ein- und zweimal abgeleitet werden:

    $y(x)=C\cdot e^{\lambda\cdot x}$

    $y'(x)=C\cdot e^{\lambda\cdot x}\cdot\lambda$

    $y''(x)=C\cdot e^{\lambda\cdot x}\cdot\lambda^2$

    Die e-Funktion ist abgeleitet immer sie selbst, nur die innere Ableitung, das $\lambda\cdot x$, ist dann noch $\lambda$. Leitet man das dann nochmal ab, hat man $\lambda^2$.

    Das kann man dann für $y$, $y'$, $y''$ einsetzen.

    $C\cdot e^{\lambda\cdot x}\cdot(\lambda^2-4\lambda+2)$

    Der Trick ist nun, dass man mit dem natürlichen Logarithmus $ln(\lambda\cdot x)$ multipliziert. Dadurch fallen alle $e$-Terme weg und es bleibt:

    $C\cdot (\lambda^2-4\lambda+2\lambda)=0$.

    Das $C$ ist eine Konstante. Diese lässt man erstmal weg. Dann sieht das doch nach einer p-q-Formel aus.

    $\lambda_{1/2}=-\dfrac{-4}{2}\pm\sqrt{(\dfrac{-4}{2})^2-2}$

    $\lambda_1=2+\sqrt{2}$

    $\lambda_2=2-\sqrt{2}$

    Das bedeutet, die Lösung ist:

    $y(x)=C_1\cdot e^{\lambda_1\cdot x}+C_2\cdot e^{\lambda_2\cdot x}$.

    Da es zwei $\lambda$ gibt, gibt es auch zwei dazugehörige $C$. Die Lösung ist dann die Summe der Lösungen, also hier die Summe aus 2 Lösungen.

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