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Effektivstromstärke bei Wechselstrom

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Die Autor/-innen
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André Otto
Effektivstromstärke bei Wechselstrom
lernst du in der 11. Klasse - 12. Klasse - 13. Klasse

Beschreibung Effektivstromstärke bei Wechselstrom

In diesem Video wird der Begriff der Effektivströmstärke eingeführt und erläutert. Unter dem Effektivwert versteht man denjenigen Wert, den ein Gleichstrom mit derselben Leistung haben würde. Du lernst, wie man die Effektivstromstärke mit Hilfe der elektrischen Leistung und des Widerstandes herleitet, wie man diese Gleichungen integriert und was man damit am Ende alles anfangen kann. Am Ende weißt du, wie man den Effektivwert berechnet und von welchen Größen er abhängt. Viel Spaß dabei!

Transkript Effektivstromstärke bei Wechselstrom

Einen schönen guten Tag. Dieses Video heißt Effektivstromstärke. In diesem Video werde ich die Effektivstromstärke bei Wechselspannung als Funktion der Amplitude des Stroms darstellen, also  I effektiv wird als Funktion von I max dargestellt. Wir nehmen an, dass wir eine harmonische Wechselspannung haben. Ich trage hier auf der Abszisse die Zeit ab und die Zeit in Einheiten von Perioden. Auf der Ordinate wird die Stromstärke eingetragen. Bei der Wechselspannung ändert sich die Stromstärke sinusförmig. Die Aufgabe besteht jetzt darin, die Stromstärke zu finden, die ein Messgerät anzeigt, die sogenannte effektive Stromstärke, das heißt eine konstante Stromstärke, die die gleiche Leistung liefert wie unsere laufend wechselnde Stromstärke bei der Wechselspannung. Bekanntlich lässt sich die Leistung P als Produkt der Spannung U und der Stromstärke I darstellen. Wenn man das ohmsche Gesetz umformt, so erhält man eine Formel U=I×R. Setze ich diesen Wert für U in die Gleichung der Leistung ein, so erhalte ich in der 2. Zeile P=I2×R. Der sinusförmige Wechselstrom wird, 3. Zeile, dargestellt als Funktion der Zeit. I=I max×sin ωt, ω=(2π)/T. Wenn ich das berücksichtige, so erhalte ich für die Leistung P=(I max)2×R×sin2[(2π/T)×t). Unsere Aufgabe ist es nun, den Gleichstrom zu finden, der dieser Leistung entspricht. In der Grafik trage ich nun neben der schon vorhandenen Kurve die Abhängigkeit des Quadrates des Stromes von der Zeit ein. Es kommt jetzt darauf an, die blau gekennzeichnete Kurve auszumitteln. Dann haben wir auch Zugang zur Effektivstromstärke. Wir könnten nun mitteln von 0 bis T/2, ich möchte mitteln von 0 bis T. Ich wähle das ∫ für sin2[(2π/T)×t]dt. Das =∫(0,T) 1-sin{2[(2π/T)×t]/2=dt. Diesen Schritt konnten wir vollziehen nach Gleichung 2. Man findet sie in manchen Nachschlagewerken. Manchmal muss man sie aus einigen Gleichungen zusammenstellen. Im nächsten Schritt ziehe ich die 2 im Nenner des großen Bruches einfach vor das Integral. Jetzt kann ich problemlos integrieren. Ich schreibe: 1/2[ von 1∫=t+(-sin) integriert = cos. Da ich aber nicht nur t habe, sondern vor t in der Klammer im Argument des sin (4π/T) steht, muss ich mit dem Kehrwert multiplizieren. Also steht vor dem cos noch (T/4π). So. Ich muss in den Grenzen von 0 bis T integrieren, also setze ich in der nächsten Zeile ein: 1/2(T-0). Es geht weiter. Ich setze in den cos ein. Wenn ich dort t einsetze, kürzen sich die beiden t weg und ich erhalte +(T/4π)×cos4π. Als weiteres integriere ich bis 0. Damit fällt das Argument aus dem cos weg, es wird 0, also -cos 0. So. Den gemeinsamen Faktor ziehe ich noch mal vor eine runde Klammer. Dort steht (T/4π). cos 4π=1, cos 1=1, das ist wunderbar, 1-1=0, also der große hässliche Ausdruck am Ende verschwindet. Ich erhalte somit (1/2)T. Jetzt muss ich mich aber noch daran erinnern, was dieses (1/2)T eigentlich bedeutet und wie ich weiterrechnen muss. (1/2)T steht für den blau schraffierten Ausdruck A, aber das ist noch nicht alles. So. Ich kann für A schreiben (1/2)T×(I max)2, und diese Fläche soll gleich der Fläche eines Rechtecks sein. Mittelwertsatz der Integralrechnung. Ich schreibe =B. Nun soll B aber genauso hoch sein, wie wir letztendlich einen Wert von (I eff)2 haben. Ich will jetzt nicht eine neue Zeichnung noch zelebrieren. Also: B=T, denn es läuft von 0 bis T, ×(I eff)2. Ich schreibe die für uns notwendige Gleichung heraus, (1/2)T×(I max)2=T×(I eff)2. Die großen T's kürzen sich gegeneinander heraus, wunderbar, wir ziehen anschließend die Wurzel und erhalten (I max)/\sqrt2=(I eff). Wir tauschen nun die Terme rechts und links aus und schreiben für die \sqrt2 im Nenner (1/2)×\sqrt2. (I eff), die Effektivstromstärke, ist demzufolge (1/2) ×\sqrt2×(I max), der Maximalstromstärke. (I eff) ist also ≈ 0,7 (I max), etwa 70 %. Das heißt, die Effektivstromstärke, die Stromstärke eines Gleichstroms, ist etwa 70 % der Stromstärke, die die Amplitude bei Wechselstrom hat. Damit habe ich mein Versprechen im Thema des Videos erfüllt. Auf Wiedersehen.

9 Kommentare

9 Kommentare
  1. Hallo Parsha,

    an welcher Stelle macht es für dich keinen Sinn?

    Wende dich sonst auch gerne Montag bis Freitag 17-19 Uhr an der Hausaufgabenchat.

    Von Karsten S., vor etwa 3 Jahren
  2. Kommentare ohne Argumente bringen keinen Nutzen.

    Von André Otto, vor etwa 3 Jahren
  3. das macht in meinen Augen keinen sin

    Von Parsha, vor etwa 3 Jahren
  4. Ein Mangel an Ideen verlangt nach permanenter Fremdunterhaltung.

    Von André Otto, vor fast 5 Jahren
  5. Damit es nicht langweilig wird, empfehle ich, die Wiedergabegeschwindigkeit unten rechts auf "2x" zu stellen...

    Von Melanie 24, vor fast 5 Jahren
Mehr Kommentare

Effektivstromstärke bei Wechselstrom Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Effektivstromstärke bei Wechselstrom kannst du es wiederholen und üben.
  • Definiere den Begriff der Effektivstromstärke.

    Tipps

    Zeigt ein analoges Messgerät bei einer Wechselspannung einen konstanten Wert an oder variiert die Stromstärke die ganze Zeit?

    Das Messgerät zeigt eine konstante Stromstärke an. Ist die Stromstärke einer Wechselspannung konstant? Welche Stromstärke zeigt das Messgerät an?

    Die Effektivstromstärke ist ein Mittelwert der realen Stromstärke. Welche Größe muss bei der realen und der effektiven Stromstärke gleich sein, damit sie denselben Widerstand repräsentieren?

    Lösung

    Bei einer Wechselspannung wechselt der Strom in periodischen Abständen die Richtung.
    Allerdings liefert dieser Strom eine Leistung. Egal in welche Richtung er gerade fließt.
    Die Stromstärke ist dabei variabel. Deswegen ist sie schwerer zu messen.

    Es kann aber eine konstante Stromstärke gefunden werden. Diese soll natürlich dasselbe repräsentieren. Deswegen soll diese Stromstärke in den gleichen Zeitintervallen die gleiche Leistung liefern wie der Strom der Wechselspannung. Das alles muss natürlich am gleichen Widerstand geschehen, damit es vergleichbar ist.

    Die Leistung kann mithilfe der maximalen Stromstärke berechnet werden und damit wiederum kann die effektive Stromstärke $I_{eff}$ ermittelt werden.

    Es gibt auch noch eine weitere, aquivälente Definition. Dort wird gesagt, dass die effektive Stromstärke am gleichen Widerstand in der gleichen Zeit die gleiche Energie liefern muss.
    Es wird hier mit der Formel für die elektrische Arbeit argumentiert:
    $W = P \cdot t$ .

  • Nenne eine Formel zur Berechnung der Effektivstromstärke.

    Tipps

    Mithilfe des Quadrates der Stromstärke kann das Quadrat der effektiven Stromstärke dargestellt werden. Die Flächen unter den Graphen müssen dazu gleich sein. Die Fläche unter $I^2$ kann mithilfe der Integralrechnung berechnet werden. Wie groß ist die Fläche unter $I_{eff}^2$?

    Dies gilt für die Fläche unterhalb von $I^2$. Dies entspricht der Fläche unter $I_{eff}^2$. Wie kann daraus $I_{eff}$ berechnet werden?

    Die Formel muss nach $I_{eff}$ umgestellt werden. Kann hier gekürzt werden?

    In der Mathematik werden Wurzeln lieber im Zähler als im Nenner dargestellt.

    Lösung

    In einer Wechselspannung fließt der Strom abwechselnd in verschiedene Richtungen. Er liefert jedoch Leistung, und zwar unabhängig davon, in welche Richtung er fließt.
    Deswegen wird zur Berechnung der effektiven Stromstärke das Quadrat der Stromstärke betrachtet.
    Analog dazu wird auch erstmal das Quadrat der Effektivstromstärke berechnet werden. Daraus kann dann die effektive Stromstärke ermittelt werden.

    Die Flächen unter den Kurven müssen gleich sein, denn die Effektivstromstärke soll in der gleichen Zeit am gleichen Widerstand die gleiche Leistung liefern.

    Für die Fläche unter $I^2$ gilt mithilfe der Integralrechnung:
    $A=\int_{0}^{T}{I^2 dt}=\int_{0}^{T}{(I_{max}^2 \cdot \sin^2(\omega \cdot T))dt}=\frac{1}{2} \cdot T \cdot I_{max}^2$.

    Für die Fläche unter $I_{eff}^2$ gilt:
    $B=I_{eff}^2 \cdot T$.

    Da $A=B$ gelten soll, folgt damit:
    $\begin{align} && \frac{1}{2} \cdot T \cdot I_{max}^2&=I_{eff}^2 \cdot T &|\div T \\ &\Leftrightarrow& \frac{1}{2} \cdot I_{max}^2 &=I_{eff}^2 &|\sqrt{~~} \\ &\Leftrightarrow& \frac{I_{max}}{\sqrt{2}} &=I_{eff} \end{align} $

    Da $\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$ wird dieses noch ersetzt.
    Es folgt insgesamt:
    $I_{eff}=\frac{1}{2} \cdot \sqrt{2} \cdot I_{max}$ .

  • Berechne die Effektivstromstärke.

    Tipps

    Die effektive Stromstärke kann mithilfe des Quadrats der Stromstärke berechnet werden. Die Flächen unter den Kurven müssen gleich groß sein. Es folgt: $\frac{1}{2} \cdot T \cdot I_{max}^2 = I_{eff}^2 \cdot T $. Diese Formel muss nach der gesuchten Größe umgestellt werden.

    In diese Formel muss die gegebene Größe eingesetzt werden.

    Achte darauf, richtig zu runden. Betrachte die dritte Stelle nach dem Komma. Ist diese größer oder gleich fünf, dann muss aufgerundet werden. Ansonsten wird abgerundet.

    Lösung

    Die effektive Stromstärke kann mithilfe des Quadrats der Stromstärke berechnet werden.
    Die Flächen unter den Kurven müssen gleich groß sein.
    Es folgt: $\frac{1}{2} \cdot T \cdot I_{max}^2 = I_{eff}^2 \cdot T $.
    Diese Formel muss nach der gesuchten Größe umgestellt werden.

    Damit ergibt sich:
    $I_{eff} = \frac{I_{max}}{\sqrt{2}}$.

    Da $\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$ gilt, wird dies noch ersetzt.
    Es folgt insgesamt:
    $I_{eff}=\frac{1}{2} \cdot \sqrt{2} \cdot I_{max}$.

    Dort werden die gegebenen Werte eingesetzt: $I_{eff}=\frac{1}{2} \cdot \sqrt{2} \cdot 15 ~A\approx 10,6066 ~A \approx 10,61 ~A$.

    Es muss am Ende nur noch darauf geachtet werden, dass richtig gerundet wird.

  • Leite die Formel für die Effektivstromstärke ohne Berechnung von Flächeninhalten her.

    Tipps

    Lege zuerst fest, welche Bedingungen die effektive Stromstärke erfüllen muss. Überlege anschließend, wie diese Bedingungen erfüllt werden können.

    Wie kann die Leistung im Wechselstromkreis berechnet werden? Der Strom ist zeitabhängig. Gibt es eine Leistung, die nicht von der Zeit abhängig ist?

    Bevor integriert wird, ist es sinnvoll zu betrachten, was integriert werden muss.

    Lösung

    Es sollte zuerst festgelegt werden, was überhaupt gesucht ist und welche Bedingungen das Gesuchte erfüllen muss.

    Für die effektive Stromstärke gilt folgende Definition:
    Die effektive Stromstärke muss im gleichen Zeitintervall am gleichen Widerstand die gleiche Leistung bringen.

    Im nächsten Schritt wird überlegt, wie diese Bedingungen erfüllt werden können. Es folgt, dass die Leistungen gleich sein müssen. Die Leistungen kann man berechnen.

    Beim Wechselstrom muss dazu die zeitabhängige Leistung über ein Zeitintervall integriert werden und anschließend durch dieses Zeitintervall geteilt werden. Auf diese Weise wird eine zeitunabhängige und gut vergleichbare Leistung erhalten. Sie wird Wirkleistung genannt.
    Eine weitere Möglichkeit ist, nur über die Zeit zu integrieren und später die Flächen unter den quadratischen Stromstärken von $I^2(t)$ und $I_{eff}^2$ zu betrachten.

    Zuletzt werden dann noch die Leistungen gleichgesetzt und nach der effektiven Stromstärke umgestellt.

  • Nenne eine Formel zur Berechnung der Leistung in Abhängigkeit der maximalen Stromstärke.

    Tipps

    Wie kann man die Spannung mithilfe der Stromstärke ausdrücken und wie berechnet sich die Stromstärke in einer Wechselspannung in Abhängigkeit der maximalen Stromstärke?

    Was passiert, wenn die Formel für die Spannung in die Formel für die Leistung eingesetzt wird? Wie lassen sich die Größen zusammenfassen?

    Für die Stromstärke in einer Wechselspannung in Abhängigkeit von der maximalen Stromstärke gilt diese Formel. Wie kann sie in die vorherigen Überlegungen integriert werden?

    Für die Leistung in Abhängigkeit von Stromstärke und Widerstand gilt diese Formel. Dort kann die Stromstärke einer Wechselspannung in Abhängigkeit der maximalen Stromstärke eingesetzt werden.

    Lösung

    Die Leistung wird mit dem Formelzeichen $P$ beschrieben.

    Es gilt:
    $P= U \cdot I$
    da weiter $U=I \cdot R$ gilt, folgt
    $P= I \cdot R \cdot I = I^2 \cdot R$ (1).

    In einer Wechselspannung gilt für die Stromstärke in Abhängigkeit von der maximalen Stromstärke
    $I = I_{max} \cdot \sin(\omega \cdot t)$ .

    Dies wird in (1) eingesetzt. Es ergibt sich:
    $P= ( I_{max} \cdot \sin(\omega \cdot t))^2 \cdot R = I_{max}^2 \cdot R \cdot \sin^2(\omega \cdot t)$.

    Dabei gilt $\omega= \frac{2 \cdot \pi}{T}$, was noch eingesetzt werden kann.

  • Leite die Formel für die effektive Spannung $U_{eff}$ her.

    Tipps

    Analog zur variierenden Stromstärke ist auch die Spannung von der Zeit abhängig. Es gilt eine Formel, die zu der Stromstärke analog ist. Für die effektive Spannung gelten die gleichen Bedingungen wie für die effektive Stromstärke. Welche sind das?

    Wie bei der Effektivstromstärke gilt: Die effektive Spannung muss im gleichen Zeitintervall die gleiche Leistung liefern. Gehe analog zum Finden der effektiven Stromstärke vor. Finde danach zunächst einen Term für die Leistung, der nur von $U$ und $R$ abhängig ist. Wie ist das mit den gezeigten Gleichungen möglich?

    Berechne die Wirkleistung der Wechselspannung, um die Leistungen direkt vergleichen zu können. Eine andere Möglichkeit ist die Berechnung der Flächeninhalte unter den Kurven. Es ergibt sich dasselbe Integral wie bei der effektiven Stromstärke.

    Es folgt nach der Integration die gezeigte Formel für die Wirkleistung der Wechselspannung. Wie ist die Leistung der effektiven Spannung? Setze beide Formeln gleich und stelle nach $U_{eff}$ um.

    In der Mathematik werden Wurzeln lieber im Zähler als im Nenner geschrieben.

    Lösung

    Analog zur variierenden Stromstärke ist auch die Spannung von der Zeit abhängig.
    Es gilt die Formel:
    $U(t)= U_{max} \cdot \sin(\omega \cdot t)$.

    Wie bei der Effektivstromstärke gilt: Die effektive Spannung muss im gleichen Zeitintervall am gleichen Widerstand die gleiche Leistung liefern.
    Es kann analog zur effektiven Stromstärke vorgegangen werden.

    Für die Leistung gilt $P=U \cdot I$ (1) und für die Spannung $U= I \cdot R $ (2).
    Es wird (2) nach $I$ umgestellt und in (1) eingesetzt.
    Das Ziel ist dabei, einen Ausdruck für die Leistung zu finden, der nur von $U$ und $R$ abhängig ist.

    $U= I \cdot R \Rightarrow I=\frac{U}{R}$ in (1) $P=U \cdot \frac{U}{R}=\frac{U^2}{R}$

    Um die Leistungen der Wechselspannung und der Gleichspannung direkt vergleichen zu können, wird im Wechselstromkreis die Wirkleistung berechnet. Hierbei gilt die Formel:
    $\begin{align} P&= \frac{1}{T} \cdot \int_{0}^{T}{P(t) dt} && \\ &= \frac{1}{T} \cdot \int_{0}^{T}{\frac{U(t)^2}{R} dt} && \\ &=\frac{1}{T \cdot R} \cdot \int_{0}^{T}{(U_{max} \cdot \sin(\omega \cdot t))^2 dt} && \\ &=\frac{1}{T \cdot R} \cdot \int_{0}^{T}{U_{max}^2 \cdot \sin^2(\omega \cdot t) dt} && \\ &=\frac{1}{T \cdot R} \cdot U_{max}^2 \cdot \int_{0}^{T}{ \sin^2(\omega \cdot t) dt} && \\ &=\frac{1}{T \cdot R} \cdot U_{max}^2 \cdot \int_{0}^{T}{ \frac{ 1-\sin(2 \cdot \omega \cdot t)}{2} dt} && \\ &=\frac{1}{2 \cdot T \cdot R} \cdot U_{max}^2 \cdot \left[ t + \frac{1}{\omega} \cos(\omega \cdot t) \right]_0^T && \\ &=\frac{1}{2 \cdot T \cdot R} \cdot U_{max}^2 \cdot \left[ T - 0 + \frac{1}{\omega} \cos(\omega \cdot T) - \frac{1}{\omega} \cos(\omega \cdot 0) \right] &| \omega=\frac{4\pi}{T}& \\ &=\frac{1}{2 \cdot T \cdot R} \cdot U_{max}^2 \cdot \left[ T + \frac{1}{\omega} \cos(4\pi) - \frac{1}{\omega} \right] && \\ &=\frac{1}{2 \cdot T \cdot R} \cdot U_{max}^2 \cdot \left[ T + \frac{1}{\omega} - \frac{1}{\omega} \right] && \\ &=\frac{1}{2 \cdot R} \cdot U_{max}^2 \end{align}$ (3)

    Das Integral ist im Prinzip dasselbe wie bei der Stromstärke. Es gilt $\cos(4\pi)=\cos(0)=1$, deswegen fällt der Teil aufgrund der gleichen Multiplikatoren vor der Klammer am Ende weg.

    Auch anschließend wird wie bei der effektiven Stromstärke vorgegangen.

    Bei Gleichstrom gilt für die Leistung nach (2)
    $P= \frac{U_{eff}^2}{R}$ (4) .

    (3) und (4) werden gleichgesetzt und nach $U_{eff}$ umgestellt.
    $\begin{align} && \frac{U_{eff}^2}{R}&=\frac{1}{2 \cdot R} \cdot U_{max}^2 &|& \cdot R \\ &\Leftrightarrow& U_{eff}^2 &= \frac{1}{2} \cdot U_{max}^2 &|& \sqrt{~~} \\ &\Leftrightarrow& U_{eff} &=\frac{1}{\sqrt{2}} \cdot U_{max} &|& \frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{1}{2} \cdot \sqrt{2} \\ &\Leftrightarrow& U_{eff} &= \frac{1}{2} \cdot \sqrt{2} \cdot U_{max} \end{align}$

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