Drehimpulserhaltungssatz

Hallo und herzlich willkommen zu Physik mit Kalle! Wir wollen uns heute aus dem Bereich Mechanik den Drehimpulserhaltungssatz ansehen. Für dieses Video solltet ihr bereits den Film über den Drehimpuls gesehen haben. Wir lernen heute: Was der Drehimpulserhaltungssatz besagt? Welche Formeln ich dabei anwenden kann? Und zum Schluss wollen wir uns ein paar Beispiele ansehen. Der Drehimpulserhaltungssatz besagt: Wirkt auf ein abgeschlossenes System kein Drehmoment, so bleibt sein Gesamtdrehimpuls, LGesamt, erhalten. Vielleicht ist es euch schon aufgefallen, würdet ihr einen Stift nehmen und einfach überall das Wort "Dreh" herausstreichen, hättet ihr exakt den Impulserhaltungssatz, denn die Rotation verhält sich auch in diesem Bereich genauso wie die Translation. Wir hatten bereits gelernt, der Drehimpuls ist das Trägheitsmoment mal die Winkelgeschwindigkeit. Der Gesamtdrehimpuls ist die Summe der Drehimpulse aller Bestandteile eines Systems. Schaue ich also zum Beispiel nur einen sich drehenden Ball an, dann ist der Gesamtdrehimpuls der Drehimpuls des Balles. Schaue ich mir aber zum Beispiel das Sonnensystem an, dann muss ich die Drehimpulse aller Planeten und der Sonne addieren. Als Formel kann ich also schreiben: LGes=L1+L2+L3+L4 und so weiter, bis ich alle Bestandteile zusammenhabe, und dieser Gesamtdrehimpuls ist konstant. Wenn ihr die Formel L=J×ω betrachtet, dann fällt euch auf: Würde ich das Trägheitsmoment eines rotierenden Körpers verändern, so müsste sich auch die Winkelgeschwindigkeit passend dazu so verändern, dass der Drehimpuls konstant bleibt. Ein gutes Beispiel dafür ist die Pirouette einer Eiskunstläuferin. Diese dreht sich und zieht dann ihre Arme an. Dadurch verändert sie ihr Trägheitsmoment, das ja dadurch bestimmt wird, wie die Masse im Verhältnis zur Drehachse verteilt ist. Wenn sie ihre Arme anlegt, ist die Masse näher an der Drehachse, ihr Trägheitsmoment wird also kleiner, und deshalb muss die Winkelgeschwindigkeit ω steigen. Sie dreht sich also schneller. Wenn sie nun die Arme wieder ausstreckt, vergrößert sie ihr Trägheitsmoment und wird dadurch wieder langsamer. Man kann das Ganze auch ganz gut zu Hause auf einem gut geölten Drehstuhl ausprobieren. Im nächsten Kapitel wollen wir nun einen kurzen Blick auf die Formeln werfen, die wir für den Drehimpulserhaltungssatz verwenden können. Wir hatten bereits gehört, der Drehimpuls ist das Trägheitsmoment mal die Winkelgeschwindigkeit. Außerdem hatten wir im letzten Video hergeleitet, die Änderung des Drehimpulses ist das Drehmoment und das ist das Trägheitsmoment mal die Winkelbeschleunigung α. Daraus können wir übrigens eine Formel ableiten, die uns ebenfalls schon mal über den Weg gelaufen ist. Wir sehen: Ist die Änderung des Drehimpulses gleich 0, dann sind, auf der rechten Seite der Gleichung, auch das Drehmoment beziehungsweise die Winkelbeschleunigung α gleich 0. Diese Gleichung besagt also: Wirkt kein Drehmoment, so bleibt der Drehimpuls unverändert. Man kann dies auch als Trägheitsgesetz der Rotation bezeichnen. Eine weitere wichtige Formel, die wir auch im letzten Video bereits hergeleitet hatten, ist die für den Drehimpuls eines Körpers, der um eine Drehachse rotiert. Sein Drehimpuls beträgt: L=r×p. Oder in Vektorschreibweise: Der Vektor des Drehimpulses ist das Kreuzprodukt der Vektoren von Radius und Impuls. Und dieser Drehimpuls ist konstant. Die Formel lässt sich schnell herleiten, wenn man sich erinnert, dass das Trägheitsmoment J, da alle Masse im Abstand r ist, m×r² ist und die Winkelgeschwindigkeit ω=v/r. Im letzten Kapitel wollen wir uns nun noch ein paar Beispiele ansehen. Ein gutes Beispiel für Drehimpulserhaltung ist der Kreisel. Ich habe mir schnell einen kleinen Kreisel gebastelt, indem ich einfach zwei Stecknadeln in ein leeres Tintenfass gesteckt habe. Ich nehme nun meinen Kreisel, stelle ihn auf seine Spitze und drehe ihn an. Ihr kennt das Bild: Der Kreisel bleibt auf seiner Spitze stehen und dreht sich, bis er irgendwann ins Torkeln gerät und umfällt. Stelle ich den Kreisel auf seine Spitze ohne ihn anzudrehen, dann fällt er stattdessen direkt um. Schuld daran ist natürlich der Drehimpulserhaltungssatz. Der stillstehende Kreisel kann einfach umkippen, aber der rotierende Kreisel hat einen Drehimpuls. Das heißt, er wehrt sich dagegen, seinen Drehimpuls zu ändern. Da die aufgrund der Reibung mit der Tischoberfläche wirkende Kraft relativ klein ist, dauert es eine ganze Weile, bis der Kreisel überhaupt ins Torkeln kommt. Man nennt das auch eine Präzisionsbewegung. Der Kreisel steht also relativ lange stabil auf seiner Spitze - umso länger, je größer sein Drehimpuls ist. Und das bringt uns zu einer Anwendung des Drehimpulserhaltungssatzes, die wir schon im letzten Video angesprochen hatten. Man kann einen Körper mit hohem Drehimpuls zur Stabilisierung einsetzen, zum Beispiel ein Schwungrad. Rechts seht ihr ein solches Kreiselinstrument. Man nennt das auch ein Gyroskop. Wenn mein Schwungrad in der Mitte einen relativ hohen Drehimpuls hat, kann ich das Gestell außenrum bewegen, wie ich will. Das Schwungrad wird seine Position beibehalten. Ein Beispiel für solche eine Anwendung wäre der Kreiselkompass, dessen Rotationsachse immer parallel zur Rotationsachse der Erde ist. Es gibt aber noch viele andere gute Beispiele für die Drehimpulserhaltung. Habt ihr euch schon mal gefragt, warum es auf einem Fahrrad viel schwerer ist, langsam zu fahren als schnell? Je schneller sich die beiden Räder drehen, desto höher ist ihr Drehimpuls und desto schwerer ist es auch, ihn zu verändern. Das heißt, je schneller ein Fahrrad fährt, desto stabiler ist es. Das ist zwar nicht der einzige Faktor bei der Stabilität des Fahrrads, die Anordnung von Lenker, Vorderrad und Gabel spielen auch eine große Rolle, aber es ist ein wichtiger Punkt. Ein weiteres gutes Beispiel, wie vorhin schon gesagt, ist der Drehstuhl. Probiert einfach aus, was passiert, wenn ihr euch so schnell wie möglich dreht, und dann eure Arme abwechselnd ausstreckt und wieder einzieht. Um den Effekt so groß wie möglich zu machen, könnt ihr übrigens probieren, wie viel Unterschied es macht, wenn ihr zwei Hanteln in die Hand nehmt oder etwas ähnliches Schweres. Ein letztes Beispiel wäre zum Beispiel auch ein Salto. Ein Turner, der einen Salto macht, springt ab, rollt sich zu einer Kugel zusammen und landet dann wieder auf den Füßen. Das tut er deshalb, da er sich nur in zusammengerollter Form schnell genug drehen kann, um nach dem Abspringen wieder mit den Füßen auf dem Boden zu landen. Sonst ist sein Trägheitsmoment zu groß und er wird nicht die erforderliche Winkelgeschwindigkeit erreichen. Wir wollen noch mal wiederholen, was wir heute gelernt haben: Erfährt ein abgeschlossenes System kein Drehmoment von außen, so bleibt sein Gesamtdrehimpuls erhalten. Das kann ich mit der Formel beschreiben: LGes=L1+L2+...+LN. Die Formel des Drehimpulses lautete: L=J×ω. Oder für einen Körper der Masse M, der sich im Abstand r um eine Drehachse dreht: L=r×p. Die Änderung des Drehimpulses mit der Zeit ist das Drehmoment M oder das Trägheitsmoment J mal die Winkelbeschleunigung α. Außerdem hatten wir gehört, Objekte mit hohem Drehimpuls können zur Stabilisierung eingesetzt werden. So, das war's schon wieder für heute. Ich hoffe, ich konnte euch helfen. Vielen Dank fürs Zuschauen. Vielleicht bis zum nächsten Mal - euer Kalle!