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Drehimpulserhaltungssatz

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Die Autor*innen
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Jakob Köbner
Drehimpulserhaltungssatz
lernst du in der 11. Klasse - 12. Klasse

Drehimpulserhaltungssatz Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Drehimpulserhaltungssatz kannst du es wiederholen und üben.
  • Fasse dein Wissen zum Drehimpulserhaltungssatz zusammen.

    Tipps

    Was bedeuten die Größen $J$, $\omega$, $L$ und $M$ bei der Rotation?

    Analog gilt bei der Translation der Impulserhaltungssatz.

    Ändert sich in der Formel $L=J\cdot \omega$ eine der beiden Größen auf der rechten Seite, so muss sich auch die zweite ändern, sonst ist der Drehimpuls nicht konstant.

    Lösung

    Die wichtigsten Größen zur Beschreibung eines rotierenden Körpers sind sein Trägheitsmoment $J$, seine Winkelgeschwindigkeit $\omega$ und sein Drehimpuls $L$. Darüber hinaus wirkt gegebenenfalls noch eine Winkelbeschleunigung $\alpha$, sofern ein äußeres Drehmoment $M$ am rotierenden Körper angreift.

    Wirkt in einem abgeschlossenen System aber kein Drehmoment, so bleibt der Gesamtdrehimpuls erhalten. Im Falle eines Eiskunstläufers bedeutet dies, dass sich bei der Rotation um seine Drehachse (Pirouette) bei Veränderung des Trägheitsmomentes auch seine Winkelgeschwindigkeit ändert. In komplexeren Systemen mit mehreren Drehimpulsen gilt die Drehimpulserhaltung unter der genannten Voraussetzung ebenfalls. Sie ist damit analog zum Impulserhaltungssatz bei der Translation.

  • Gib das Trägheitsgesetz der Rotation in Wortlaut und Formel wider.

    Tipps

    Was besagt der Drehimpulserhaltungssatz?

    In welcher Beziehung stehen Drehimpuls und Drehmoment beziehungsweise Drehimpuls und Trägheitsmoment sowie Winkelbeschleunigung zueinander?

    $\frac {dL} {dt}=M=J\cdot \alpha$

    Lösung

    Nach dem Drehimpulserhaltungssatz bleibt der Drehimpuls $L$ eines abgeschlossenen Systems konstant, wenn kein äußeres Drehmoment $M$ wirkt.

    Oder anders formuliert: Wirkt kein Drehmoment, so bleibt der Drehimpuls unverändert. Dies ist das Trägheitsgesetz der Rotation.

    Es kann auch durch Formeln beschrieben werden. Die Drehimpulsänderung $\frac {dL} {dt}=M=J\cdot \alpha$ zeigt, dass für $\frac {dL} {dt}=0$ sowohl das Drehmoment $M$ als auch das Produkt aus Trägheitsmoment $J$ und Winkelbeschleunigung $\alpha$ Null sein muss. Da das Trägheitsmoment eine Eigenschaft des Körpers ist und nicht Null werden kann, gilt: $M=0$ und $\alpha=0$.

  • Erkläre die folgenden Beobachtungen eines Drehstuhlexperimentes.

    Tipps

    Analog lassen sich die Pirouetten eines Eiskunstläufers beschreiben und erklären.

    Lösung

    Der Effekt ist in Durchführung und Erklärung vergleichbar mit der Pirouette eines Eiskunstläufers:

    Wir haben die Rotationsbewegung eines Drehstuhls untersucht.

    Dazu wurde der Drehstuhl zunächst mit einer Versuchsperson besetzt. Dann wurde der Stuhl in Rotation versetzt. Lagen die Arme der Versuchsperson dicht am Körper, so drehte sich der Stuhl schnell. Streckte die Versuchsperson ihre Arme jedoch weit nach außen, so rotierte der Stuhl langsamer. Nahm die Versuchsperson zusätzlich Hanteln in die Hände, so verstärkte sich dieser Effekt.

    Das kann man so erklären: Bewegt die Versuchsperson ihre Arme, so verändert sie dadurch die Masseverteilung ihres Körpers um die Drehachse. Dadurch verändert sich das Trägheitsmoment der Person auf dem Drehstuhl. Der Drehimpuls muss jedoch erhalten bleiben. Daher verändert sich die Winkelgeschwindigkeit des Drehstuhls. Je kleiner das Trägheitsmoment wird, also je enger die Arme am Körper liegen, desto größer wird die Winkelgeschwindigkeit. Je mehr Masse von der Körpermitte weg verlagert wird, zum Beispiel durch die Verwendung von Hanteln, desto stärker ist dieser Effekt zu beobachten.

  • Erkläre, wie sich die Bahngeschwindigkeit der Erde auf ihrer Bahn um die Sonne verändert.

    Tipps

    Es gilt: $L_{Erde}=\text {const.}=J_{Erde}\cdot \omega_{Erde}$.

    Außerdem kann verwendet werden: $J_{Erde}=m_{Erde}\cdot r_{Erdbahn}^2$.

    Die Masse der Erde bleibt konstant, der Radius der Erdbahn ändert sich. Wie verändert sich dadurch das Trägheitsmoment der Erde?

    Wie wird ein kleineres oder größeres Trägheitsmoment auf den Bahnabschnitten ausgeglichen, damit der Drehimpuls immer konstant bleibt?

    Lösung

    Verändert sich der Abstand der Erde zur Sonne, so verändert sich das Trägheitsmoment der Erde: Betrachtet man die Erde in diesem Bahnabschnitt als Massepunkt auf einer Kreisbahn, so kann das Trägheitsmoment der Erde mit der Formel $J_{Erde}=m_{Erde}\cdot r_{Erdbahn}^2$ ausgedrückt werden. Die Erdmasse ändert sich nicht. Ist der Erdbahnradius klein (Sonnennähe), so ist auch das Trägheitsmoment klein. Ist der Erdbahnradius groß (Sonnenferne), so ist das Trägheitsmoment größer.

    Der Bahndrehimpuls der Erde $L_{Erde}=\text {const.}=J_{Erde}\cdot \omega_{Erde}$ muss jedoch die ganze Zeit konstant bleiben. Ist das Trägheitsmoment bei Sonnennähe kleiner, so muss die Winkelgeschwindigkeit größer werden. Dadurch erhöht sich die Bahngeschwindigkeit der Erde. Umgekehrt nimmt die Bandgeschwindigkeit der Erde ab, wenn sie sich von der Sonne entfernt.

    Dieses Phänomen wurde erstmals ausführlich durch Johannes Kepler beschrieben und findet im 2. Keplerschen Gesetz eine etwas andere Formulierung: Alle Flächen, die die der Fahrstrahl der Erde in gleichen Zeiten überstreicht, sind gleich groß. Muss die Erde dabei ein langes Bahnstück zurücklegen (Sonnennähe - Fläche 1), muss sie sich schneller bewegen. (siehe Abbildung)

  • Nenne typische Beispiele, die die Drehimpulserhaltung demonstrieren.

    Tipps

    Alle Beispiele beschreiben den Aspekt der Drehimpulserhaltung.

    Wie wird die Drehimpulserhaltung in jedem Beispiel umgesetzt?

    Lösung

    In allen Beispielen beeinflusst die Drehimpulserhaltung die Bewegung der Objekte.

    Beim Fahrradfahren, beim Kreisel und auch bei Schwungrädern wird die Drehimpulserhaltung zur Stabilisierung verwendet. Die technischen Anwendungen sind so konzipiert, dass sie bei höheren Geschwindigkeiten einen großen Drehimpuls besitzen. Dessen Erhaltung bewirkt, dass die Konstruktionen über einen langen Zeitraum stabil in ihrer Ausgangsposition verbleiben: Das Rad kippt nicht um, der Kreisel ebenfalls nicht, Schwungräder halten Gyroskope und ähnliche Anwendungen stabil in einer Ebene.

    Durch den Drehstuhl lässt sich der Pirouetteneffekt nachahmen und nachweisen: Ein höheres Trägheitsmoment hat eine geringere Winkelgeschwindigkeit zur Folge, da der Drehimpuls erhalten bleibt.

  • Leite die Formel $L=r\cdot p$ für den gezeigten Spezialfall her.

    Tipps

    Wie lautet die allgemeine Formel zur Bestimmung des Drehimpulses?

    Wie können die dort enthaltenen Größen umgeschrieben werden?

    Lösung

    Die Formel $L=r\cdot p$ gilt für den Spezialfall eines punktförmigen Körpers, der auf einer Kreisbahn um einen Mittelpunkt rotiert. Dabei ist $L$ der Drehimpuls, $r$ der Radius der Kreisbahn und $p$ der Impuls des Körpers.

    Durch die geometrischen Besonderheiten kann man für diesen Fall die allgemeine Formel für den Drehimpuls $L=J\cdot \omega$ mit dem Trägheitsmoment $J$ und der Winkelgeschwindigkeit $\omega$ umschreiben. Das Trägheitsmoment einer Punktmasse $m$ auf einer Kreisbahn beträgt $J=m\cdot r^2$. Die Winkelgeschwindigkeit kann durch die Bahngeschwindigkeit wie folgt ersetzt werden: $\omega=\frac vr$.

    Damit folgt: $L=J\cdot \omega=m\cdot r^2\cdot \frac vr=m\cdot r\cdot v=r\cdot p$.

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