30 Tage kostenlos testen:
Mehr Spaß am Lernen.

Überzeugen Sie sich von der Qualität unserer Inhalte.

Drehimpulserhaltungssatz 08:04 min

Textversion des Videos

Transkript Drehimpulserhaltungssatz

Hallo und herzlich willkommen zu Physik mit Kalle! Wir wollen uns heute aus dem Bereich Mechanik den Drehimpulserhaltungssatz ansehen. Für dieses Video solltet ihr bereits den Film über den Drehimpuls gesehen haben. Wir lernen heute: Was der Drehimpulserhaltungssatz besagt? Welche Formeln ich dabei anwenden kann? Und zum Schluss wollen wir uns ein paar Beispiele ansehen. Der Drehimpulserhaltungssatz besagt: Wirkt auf ein abgeschlossenes System kein Drehmoment, so bleibt sein Gesamtdrehimpuls, LGesamt, erhalten. Vielleicht ist es euch schon aufgefallen, würdet ihr einen Stift nehmen und einfach überall das Wort "Dreh" herausstreichen, hättet ihr exakt den Impulserhaltungssatz, denn die Rotation verhält sich auch in diesem Bereich genauso wie die Translation. Wir hatten bereits gelernt, der Drehimpuls ist das Trägheitsmoment mal die Winkelgeschwindigkeit. Der Gesamtdrehimpuls ist die Summe der Drehimpulse aller Bestandteile eines Systems. Schaue ich also zum Beispiel nur einen sich drehenden Ball an, dann ist der Gesamtdrehimpuls der Drehimpuls des Balles. Schaue ich mir aber zum Beispiel das Sonnensystem an, dann muss ich die Drehimpulse aller Planeten und der Sonne addieren. Als Formel kann ich also schreiben: LGes=L1+L2+L3+L4 und so weiter, bis ich alle Bestandteile zusammenhabe, und dieser Gesamtdrehimpuls ist konstant. Wenn ihr die Formel L=J×ω betrachtet, dann fällt euch auf: Würde ich das Trägheitsmoment eines rotierenden Körpers verändern, so müsste sich auch die Winkelgeschwindigkeit passend dazu so verändern, dass der Drehimpuls konstant bleibt. Ein gutes Beispiel dafür ist die Pirouette einer Eiskunstläuferin. Diese dreht sich und zieht dann ihre Arme an. Dadurch verändert sie ihr Trägheitsmoment, das ja dadurch bestimmt wird, wie die Masse im Verhältnis zur Drehachse verteilt ist. Wenn sie ihre Arme anlegt, ist die Masse näher an der Drehachse, ihr Trägheitsmoment wird also kleiner, und deshalb muss die Winkelgeschwindigkeit ω steigen. Sie dreht sich also schneller. Wenn sie nun die Arme wieder ausstreckt, vergrößert sie ihr Trägheitsmoment und wird dadurch wieder langsamer. Man kann das Ganze auch ganz gut zu Hause auf einem gut geölten Drehstuhl ausprobieren. Im nächsten Kapitel wollen wir nun einen kurzen Blick auf die Formeln werfen, die wir für den Drehimpulserhaltungssatz verwenden können. Wir hatten bereits gehört, der Drehimpuls ist das Trägheitsmoment mal die Winkelgeschwindigkeit. Außerdem hatten wir im letzten Video hergeleitet, die Änderung des Drehimpulses ist das Drehmoment und das ist das Trägheitsmoment mal die Winkelbeschleunigung α. Daraus können wir übrigens eine Formel ableiten, die uns ebenfalls schon mal über den Weg gelaufen ist. Wir sehen: Ist die Änderung des Drehimpulses gleich 0, dann sind, auf der rechten Seite der Gleichung, auch das Drehmoment beziehungsweise die Winkelbeschleunigung α gleich 0. Diese Gleichung besagt also: Wirkt kein Drehmoment, so bleibt der Drehimpuls unverändert. Man kann dies auch als Trägheitsgesetz der Rotation bezeichnen. Eine weitere wichtige Formel, die wir auch im letzten Video bereits hergeleitet hatten, ist die für den Drehimpuls eines Körpers, der um eine Drehachse rotiert. Sein Drehimpuls beträgt: L=r×p. Oder in Vektorschreibweise: Der Vektor des Drehimpulses ist das Kreuzprodukt der Vektoren von Radius und Impuls. Und dieser Drehimpuls ist konstant. Die Formel lässt sich schnell herleiten, wenn man sich erinnert, dass das Trägheitsmoment J, da alle Masse im Abstand r ist, m×r² ist und die Winkelgeschwindigkeit ω=v/r. Im letzten Kapitel wollen wir uns nun noch ein paar Beispiele ansehen. Ein gutes Beispiel für Drehimpulserhaltung ist der Kreisel. Ich habe mir schnell einen kleinen Kreisel gebastelt, indem ich einfach zwei Stecknadeln in ein leeres Tintenfass gesteckt habe. Ich nehme nun meinen Kreisel, stelle ihn auf seine Spitze und drehe ihn an. Ihr kennt das Bild: Der Kreisel bleibt auf seiner Spitze stehen und dreht sich, bis er irgendwann ins Torkeln gerät und umfällt. Stelle ich den Kreisel auf seine Spitze ohne ihn anzudrehen, dann fällt er stattdessen direkt um. Schuld daran ist natürlich der Drehimpulserhaltungssatz. Der stillstehende Kreisel kann einfach umkippen, aber der rotierende Kreisel hat einen Drehimpuls. Das heißt, er wehrt sich dagegen, seinen Drehimpuls zu ändern. Da die aufgrund der Reibung mit der Tischoberfläche wirkende Kraft relativ klein ist, dauert es eine ganze Weile, bis der Kreisel überhaupt ins Torkeln kommt. Man nennt das auch eine Präzisionsbewegung. Der Kreisel steht also relativ lange stabil auf seiner Spitze - umso länger, je größer sein Drehimpuls ist. Und das bringt uns zu einer Anwendung des Drehimpulserhaltungssatzes, die wir schon im letzten Video angesprochen hatten. Man kann einen Körper mit hohem Drehimpuls zur Stabilisierung einsetzen, zum Beispiel ein Schwungrad. Rechts seht ihr ein solches Kreiselinstrument. Man nennt das auch ein Gyroskop. Wenn mein Schwungrad in der Mitte einen relativ hohen Drehimpuls hat, kann ich das Gestell außenrum bewegen, wie ich will. Das Schwungrad wird seine Position beibehalten. Ein Beispiel für solche eine Anwendung wäre der Kreiselkompass, dessen Rotationsachse immer parallel zur Rotationsachse der Erde ist. Es gibt aber noch viele andere gute Beispiele für die Drehimpulserhaltung. Habt ihr euch schon mal gefragt, warum es auf einem Fahrrad viel schwerer ist, langsam zu fahren als schnell? Je schneller sich die beiden Räder drehen, desto höher ist ihr Drehimpuls und desto schwerer ist es auch, ihn zu verändern. Das heißt, je schneller ein Fahrrad fährt, desto stabiler ist es. Das ist zwar nicht der einzige Faktor bei der Stabilität des Fahrrads, die Anordnung von Lenker, Vorderrad und Gabel spielen auch eine große Rolle, aber es ist ein wichtiger Punkt. Ein weiteres gutes Beispiel, wie vorhin schon gesagt, ist der Drehstuhl. Probiert einfach aus, was passiert, wenn ihr euch so schnell wie möglich dreht, und dann eure Arme abwechselnd ausstreckt und wieder einzieht. Um den Effekt so groß wie möglich zu machen, könnt ihr übrigens probieren, wie viel Unterschied es macht, wenn ihr zwei Hanteln in die Hand nehmt oder etwas ähnliches Schweres. Ein letztes Beispiel wäre zum Beispiel auch ein Salto. Ein Turner, der einen Salto macht, springt ab, rollt sich zu einer Kugel zusammen und landet dann wieder auf den Füßen. Das tut er deshalb, da er sich nur in zusammengerollter Form schnell genug drehen kann, um nach dem Abspringen wieder mit den Füßen auf dem Boden zu landen. Sonst ist sein Trägheitsmoment zu groß und er wird nicht die erforderliche Winkelgeschwindigkeit erreichen. Wir wollen noch mal wiederholen, was wir heute gelernt haben: Erfährt ein abgeschlossenes System kein Drehmoment von außen, so bleibt sein Gesamtdrehimpuls erhalten. Das kann ich mit der Formel beschreiben: LGes=L1+L2+...+LN. Die Formel des Drehimpulses lautete: L=J×ω. Oder für einen Körper der Masse M, der sich im Abstand r um eine Drehachse dreht: L=r×p. Die Änderung des Drehimpulses mit der Zeit ist das Drehmoment M oder das Trägheitsmoment J mal die Winkelbeschleunigung α. Außerdem hatten wir gehört, Objekte mit hohem Drehimpuls können zur Stabilisierung eingesetzt werden. So, das war's schon wieder für heute. Ich hoffe, ich konnte euch helfen. Vielen Dank fürs Zuschauen. Vielleicht bis zum nächsten Mal - euer Kalle!

Drehimpulserhaltungssatz Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Drehimpulserhaltungssatz kannst du es wiederholen und üben.

  • Fasse dein Wissen zum Drehimpulserhaltungssatz zusammen.

    Tipps

    Was bedeuten die Größen $J$, $\omega$, $L$ und $M$ bei der Rotation?

    Analog gilt bei der Translation der Impulserhaltungssatz.

    Ändert sich in der Formel $L=J\cdot \omega$ eine der beiden Größen auf der rechten Seite, so muss sich auch die zweite ändern, sonst ist der Drehimpuls nicht konstant.

    Lösung

    Die wichtigsten Größen zur Beschreibung eines rotierenden Körpers sind sein Trägheitsmoment $J$, seine Winkelgeschwindigkeit $\omega$ und sein Drehimpuls $L$. Darüber hinaus wirkt gegebenenfalls noch eine Winkelbeschleunigung $\alpha$, sofern ein äußeres Drehmoment $M$ am rotierenden Körper angreift.

    Wirkt in einem abgeschlossenen System aber kein Drehmoment, so bleibt der Gesamtdrehimpuls erhalten. Im Falle eines Eiskunstläufers bedeutet dies, dass sich bei der Rotation um seine Drehachse (Pirouette) bei Veränderung des Trägheitsmomentes auch seine Winkelgeschwindigkeit ändert. In komplexeren Systemen mit mehreren Drehimpulsen gilt die Drehimpulserhaltung unter der genannten Voraussetzung ebenfalls. Sie ist damit analog zum Impulserhaltungssatz bei der Translation.

  • Nenne typische Beispiele, die die Drehimpulserhaltung demonstrieren.

    Tipps

    Alle Beispiele beschreiben den Aspekt der Drehimpulserhaltung.

    Wie wird die Drehimpulserhaltung in jedem Beispiel umgesetzt?

    Lösung

    In allen Beispielen beeinflusst die Drehimpulserhaltung die Bewegung der Objekte.

    Beim Fahrradfahren, beim Kreisel und auch bei Schwungrädern wird die Drehimpulserhaltung zur Stabilisierung verwendet. Die technischen Anwendungen sind so konzipiert, dass sie bei höheren Geschwindigkeiten einen großen Drehimpuls besitzen. Dessen Erhaltung bewirkt, dass die Konstruktionen über einen langen Zeitraum stabil in ihrer Ausgangsposition verbleiben: Das Rad kippt nicht um, der Kreisel ebenfalls nicht, Schwungräder halten Gyroskope und ähnliche Anwendungen stabil in einer Ebene.

    Durch den Drehstuhl lässt sich der Pirouetteneffekt nachahmen und nachweisen: Ein höheres Trägheitsmoment hat eine geringere Winkelgeschwindigkeit zur Folge, da der Drehimpuls erhalten bleibt.

  • Gib das Trägheitsgesetz der Rotation in Wortlaut und Formel wider.

    Tipps

    Was besagt der Drehimpulserhaltungssatz?

    In welcher Beziehung stehen Drehimpuls und Drehmoment beziehungsweise Drehimpuls und Trägheitsmoment sowie Winkelbeschleunigung zueinander?

    $\frac {dL} {dt}=M=J\cdot \alpha$

    Lösung

    Nach dem Drehimpulserhaltungssatz bleibt der Drehimpuls $L$ eines abgeschlossenen Systems konstant, wenn kein äußeres Drehmoment $M$ wirkt.

    Oder anders formuliert: Wirkt kein Drehmoment, so bleibt der Drehimpuls unverändert. Dies ist das Trägheitsgesetz der Rotation.

    Es kann auch durch Formeln beschrieben werden. Die Drehimpulsänderung $\frac {dL} {dt}=M=J\cdot \alpha$ zeigt, dass für $\frac {dL} {dt}=0$ sowohl das Drehmoment $M$ als auch das Produkt aus Trägheitsmoment $J$ und Winkelbeschleunigung $\alpha$ Null sein muss. Da das Trägheitsmoment eine Eigenschaft des Körpers ist und nicht Null werden kann, gilt: $M=0$ und $\alpha=0$.

  • Leite die Formel $L=r\cdot p$ für den gezeigten Spezialfall her.

    Tipps

    Wie lautet die allgemeine Formel zur Bestimmung des Drehimpulses?

    Wie können die dort enthaltenen Größen umgeschrieben werden?

    Lösung

    Die Formel $L=r\cdot p$ gilt für den Spezialfall eines punktförmigen Körpers, der auf einer Kreisbahn um einen Mittelpunkt rotiert. Dabei ist $L$ der Drehimpuls, $r$ der Radius der Kreisbahn und $p$ der Impuls des Körpers.

    Durch die geometrischen Besonderheiten kann man für diesen Fall die allgemeine Formel für den Drehimpuls $L=J\cdot \omega$ mit dem Trägheitsmoment $J$ und der Winkelgeschwindigkeit $\omega$ umschreiben. Das Trägheitsmoment einer Punktmasse $m$ auf einer Kreisbahn beträgt $J=m\cdot r^2$. Die Winkelgeschwindigkeit kann durch die Bahngeschwindigkeit wie folgt ersetzt werden: $\omega=\frac vr$.

    Damit folgt: $L=J\cdot \omega=m\cdot r^2\cdot \frac vr=m\cdot r\cdot v=r\cdot p$.

  • Erkläre die folgenden Beobachtungen eines Drehstuhlexperimentes.

    Tipps

    Analog lassen sich die Pirouetten eines Eiskunstläufers beschreiben und erklären.

    Lösung

    Der Effekt ist in Durchführung und Erklärung vergleichbar mit der Pirouette eines Eiskunstläufers:

    Wir haben die Rotationsbewegung eines Drehstuhls untersucht.

    Dazu wurde der Drehstuhl zunächst mit einer Versuchsperson besetzt. Dann wurde der Stuhl in Rotation versetzt. Lagen die Arme der Versuchsperson dicht am Körper, so drehte sich der Stuhl schnell. Streckte die Versuchsperson ihre Arme jedoch weit nach außen, so rotierte der Stuhl langsamer. Nahm die Versuchsperson zusätzlich Hanteln in die Hände, so verstärkte sich dieser Effekt.

    Das kann man so erklären: Bewegt die Versuchsperson ihre Arme, so verändert sie dadurch die Masseverteilung ihres Körpers um die Drehachse. Dadurch verändert sich das Trägheitsmoment der Person auf dem Drehstuhl. Der Drehimpuls muss jedoch erhalten bleiben. Daher verändert sich die Winkelgeschwindigkeit des Drehstuhls. Je kleiner das Trägheitsmoment wird, also je enger die Arme am Körper liegen, desto größer wird die Winkelgeschwindigkeit. Je mehr Masse von der Körpermitte weg verlagert wird, zum Beispiel durch die Verwendung von Hanteln, desto stärker ist dieser Effekt zu beobachten.

  • Erkläre, wie sich die Bahngeschwindigkeit der Erde auf ihrer Bahn um die Sonne verändert.

    Tipps

    Es gilt: $L_{Erde}=\text {const.}=J_{Erde}\cdot \omega_{Erde}$.

    Außerdem kann verwendet werden: $J_{Erde}=m_{Erde}\cdot r_{Erdbahn}^2$.

    Die Masse der Erde bleibt konstant, der Radius der Erdbahn ändert sich. Wie verändert sich dadurch das Trägheitsmoment der Erde?

    Wie wird ein kleineres oder größeres Trägheitsmoment auf den Bahnabschnitten ausgeglichen, damit der Drehimpuls immer konstant bleibt?

    Lösung

    Verändert sich der Abstand der Erde zur Sonne, so verändert sich das Trägheitsmoment der Erde: Betrachtet man die Erde in diesem Bahnabschnitt als Massepunkt auf einer Kreisbahn, so kann das Trägheitsmoment der Erde mit der Formel $J_{Erde}=m_{Erde}\cdot r_{Erdbahn}^2$ ausgedrückt werden. Die Erdmasse ändert sich nicht. Ist der Erdbahnradius klein (Sonnennähe), so ist auch das Trägheitsmoment klein. Ist der Erdbahnradius groß (Sonnenferne), so ist das Trägheitsmoment größer.

    Der Bahndrehimpuls der Erde $L_{Erde}=\text {const.}=J_{Erde}\cdot \omega_{Erde}$ muss jedoch die ganze Zeit konstant bleiben. Ist das Trägheitsmoment bei Sonnennähe kleiner, so muss die Winkelgeschwindigkeit größer werden. Dadurch erhöht sich die Bahngeschwindigkeit der Erde. Umgekehrt nimmt die Bandgeschwindigkeit der Erde ab, wenn sie sich von der Sonne entfernt.

    Dieses Phänomen wurde erstmals ausführlich durch Johannes Kepler beschrieben und findet im 2. Keplerschen Gesetz eine etwas andere Formulierung: Alle Flächen, die die der Fahrstrahl der Erde in gleichen Zeiten überstreicht, sind gleich groß. Muss die Erde dabei ein langes Bahnstück zurücklegen (Sonnennähe - Fläche 1), muss sie sich schneller bewegen. (siehe Abbildung)