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Carnot´scher Kreisprozess 10:50 min

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Transkript Carnot´scher Kreisprozess

Hallo und ganz herzlich willkommen zu diesem Video. Es heißt Carnot‘scher Kreisprozess. Du kennst den ersten Hauptsatz der Thermodynamik, Volumenarbeit, den Wirkungsgrad und Wärmekraftmaschinen. Nachher kannst du den Carnot‘schen Kreisprozess erläutern und seine Bedeutung erklären. Der Film besteht aus fünf Abschnitten. 1. Kreisprozesse. 2. Besonderheiten des Carnot’schen Prozesses. 3. Der prinzipielle Verlauf. 4. Die verrichtete Arbeit und 5. Der thermische Wirkungsgrad. 1. Kreisprozesse: Es gibt verschiedene Wärmekraftmaschinen. Ihre Funktionsweise wird in sogenannten Kreisprozessen veranschaulicht. Kreisprozesse beschreiben die thermodynamischen Zustände von Wärmekraftmaschinen während ihrer Arbeit. Als Ergebnisse kann man daraus entnehmen: Temperaturänderungen, Energieumwandlungen, die verrichtete Arbeit und schließlich den Wirkungsgrad. Die Funktionsweise der Wärmekraftmaschine wird dargestellt in einem Diagramm. Man trägt den Druck P über das Volumen V ab. Zum Beispiel so: Mit dem Pfeil kennzeichne ich die Richtung des Prozesses. Eine derartige Darstellung bezeichnet man als Indikatordiagramm. Häufig sieht ein solches Diagramm so aus: Mit 1 bis 4 bezeichne ich die thermodynamischen Zustände. Der grüne Pfeil gibt die Richtung des Prozesses an. In der Regel ist der Prozess reversibel. Er kann in beiden Richtungen ablaufen. 2. Besonderheiten des Carnot’schen Prozesses: Carnot entwickelte seinen berühmten Kreisprozess 1824. Der Carnot‘sche Kreisprozess ist ein idealer Prozess. ηc ist in diesem Prozess der maximale theoretische Wirkungsgrad, man sagt auch thermischer Wirkungsgrad. Im Prozess werden keine realen Energieverluste berücksichtigt. Der Prozess veranschaulicht den zweiten Hauptsatz der Thermodynamik. Der Carnot’sche Prozess ist reversibel. Es ist ein Betrieb von Wärmepumpen als auch von Kältepumpen möglich. 3. Der prinzipielle Verlauf: Beide Richtungen sind möglich. Wir werden hier den Verlauf im Uhrzeigersinn betrachten. Zwecks Vereinfachung betrachten wir nur 1 mol Arbeitsgas. Das Indikatordiagramm nach Carnot sieht so aus. Durch 1 bis 4 werden die thermodynamischen Zustände beschrieben. Die Richtung ist im Uhrzeigersinn. Die eingeschlossene Fläche entspricht der verrichteten Arbeit. In einer Wärmekraftmaschine wird Wärme in mechanische Energie umgewandelt. Was passiert beim Übergang vom Zustand 1 zum Zustand 2? Das Volumen wird größer. Bei der Temperatur T1 findet eine Isotherme expansion statt. Zwischen den Zuständen 2 und 3 vergrößert sich das Volumen weiter. Es kommt zu einer adiabatischen Expansion. Der Wärmeaustausch mit der Umgebung ist 0. Die Temperatur sinkt von T1 auf T2. Zwischen den Zuständen 3 und 4 kommt es zu einer isothermen Kompression. Das Volumen vermindert sich. Die Temperatur hier ist T2. Der Übergang vom Zustand 4 zum Zustand 1 vollendet den Zyklus. Das Volumen wird weiter vermindert. Es kommt zur adiabatischen Kompression. Es findet kein Wärmeaustausch mit der Umgebung statt. 4. Die verrichtete Arbeit: Man sagt dazu auch abgegebene Arbeit. Sie ist wichtig, um η, den Wirkungsgrad der Wärmekraftmaschine zu berechnen. Es ist offensichtlich, dass die Gesamtarbeit des Carnot’schen Prozesses die Summe der Arbeiten der einzelnen Teilschritte ist. Nach dem ersten Hauptsatz der Thermodynamik ist die Änderung der inneren Energie eines Systems gleich der Summe aus auf- beziehungsweise abgegebener Arbeit und auf- beziehungsweise abgegebener Wärme. Für die beiden adiabatischen Schritte ist Q=0. Daher berechnet sich die Arbeit jeweils aus den Differenzen für die innere Energie. Und das ist eine feine Sache, denn W23 und W41 sind gleich, nur mit verschiedenen Vorzeichen. Daher ist ihre Summe 0. Das freut uns, denn der Term für die Gesamtarbeit wird stark vereinfacht. Wges ist die Summe der Teilarbeiten aus den Abschnitten 1, 2 und 3, 4. Beide Teilprozesse sind isotherm. Wir können die Formel für die Volumenarbeit verwenden. Die Ausdrücke für die Volumenarbeit, für W12 und W34 sehen so aus. Befriedigend ist es nicht, denn wir können wegen der vier Volumina die beiden Teilarbeiten nicht zusammenfassen. Doch auch hierfür gibt es eine Lösung zwischen 2, 3 und 4, 1 finden adiabatische Zustandsänderungen statt. Eine ähnliche Formel wie die folgende haben wir bereits erwähnt. Die folgende Formel nimm bitte einfach so ohne Beweis zur Kenntnis. Zwischen 2 und 3 gilt T1 * V1Kappa-1 = T2 * V3Kappa-1. Eine analoge Beziehung gilt beim Übergang von 4 zu 1. Kappa ist die Adiabatenkonstante. Bei 1 vertauschen wir die Seiten und erhalten 1a. Wir dividieren 1a durch 2, wodurch sich die Temperaturen herauskürzen. Wir erhalten die Gleichung unten rechts. Zähler und Nenner links und rechts können wir unter den gleichen Exponenten schreiben. Nun ziehen wir die Wurzel, natürlich die Kappa-1. Und übrig bleibt V3 / V4 = V2 / V1. Anstelle von V3 / V4 setzen wir nun V2 / V1 in die Gleichung für W34 ein. Im Logarithmus vertauschen wir Zähler und Nenner und erhalten ein negatives Vorzeichen. Somit ergibt sich Wges als Ausdruck zweier einfacher ähnlicher Teilterme. R * ln (V1 / V2) können wir ausklammern. Und davor steht dann in Klammern (T1 - T2). Wir haben somit die verrichtete Arbeit, auch abgegebene Arbeit, für den Carnot’schen Kreisprozess berechnet. Darauf können wir mit Recht stolz sein. 5. Der Thermische Wirkungsgrad: Eine ideale Maschine wie unsere Wärmekraftmaschine sollte eigentlich einen Wirkungsgrad η von 1 besitzen. Denn, nicht wahr, es gibt ja keinerlei Verluste. Ist das wirklich so? Warum dann das Ganze? Der Wirkungsgrad unserer Wärmekraftmaschine ist der Quotient aus abgegebener Arbeit und aufgenommener Wärme. η = Wges / Q12. Den Zähler haben wir im Abschnitt 4 bestimmt und der Nenner ist offensichtlich T1 * R * ln (V1 / V2). Es gibt einiges zu kürzen und wir erhalten η = (T1 - T2) / T1. Der Wirkungsgrad η hängt nur von T1 und T2 ab. Also ist η stets kleiner als 1. Man versieht η mit C, um auf den Carnot’schen Kreisprozess hinzuweisen. Und damit kommen wir zu einer fundamentalen Aussage der Thermodynamik. Die ideale Kraftmaschine kann den Wirkungsgrad ηc = 1 niemals erreichen. Tja, auch die Natur ist nicht immer perfekt. Das war ein weiterer Film von Andre Otto. Ich wünsche euch alles Gute und viel Erfolg. Tschüss!

1 Kommentar
  1. Toll erklärt, doch sprecht eta als ita aus. Danke

    Von Alex S., vor mehr als einem Jahr

Carnot´scher Kreisprozess Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Carnot´scher Kreisprozess kannst du es wiederholen und üben.

  • Benenne die wesentlichen Merkmale des Carnot´schen Kreisprozesses.

    Tipps

    Der dritte Hauptsatz der Thermodynamik bezieht sich auf die Nichterreichbarkeit des absoluten Nullpunktes.

    Eine Wärmepumpe transportiert thermische Energie von einem kühleren Reservoir zu einem wärmeren Reservoir, eine Kältepumpe hingegen umgekehrt.

    Lösung

    Der Carnot´sche Kreisprozess ist ein idealer Prozess. Er kann so in Form einer Maschine nicht realisiert werden.

    Der Carnot´sche Kreisprozess liefert mit $\eta_C$ den maximalen theoretischen (oder thermischen) Wirkungsgrad, den eine ideale Maschine unter den gegebenen Bedingungen in Abhängigkeit von den herrschenden Temperaturdifferenzen erreichen kann. Nach dem zweiten Hauptsatz der Thermodynamik kann keine Wärmekraftmaschine einen größeren Wirkungsgrad erzielen als den Carnot´schen Wirkungsgrad $\eta_C$.

    Da die Bedingungen idealisiert sind, gibt es beim Carnot´schen Kreisprozess keine realen Energieverluste. Er ist reversibel, kann also im oder gegen den Uhrzeigersinn ablaufen. Mit dem Carnot´schen Kreisprozess können damit sowohl Wärme- als auch Kältepumpen betrieben werden.

  • Fasse dein Wissen über Kreisprozesse zusammen.

    Tipps

    Abgebildet ist das Diagramm eines Kreisprozesses, genauer gesagt eines Carnot´schen Kreisprozesses.

    Lösung

    Kreisprozesse lassen sich sehr gut im Druck-Volumen- Diagramm veranschaulichen, auch Indikatordiagramm genannt (siehe Abbildung).

    Zu sehen sind in diesem Diagramm vier Zustände eines Systems (mit jeweils einem bestimmten Gasvolumen und Gasdruck), die in einer bestimmten Reihenfolge immer wieder durchlaufen werden können. Die Richtung ist dabei beliebig, solche Prozesse sind in der Regel reversibel. Hier ist ein Carnot´scher Kreisprozess gezeigt.

    Mit zusätzlichen Zahlenangaben lassen sich aus diesem Diagramm die Temperatur- und Energieänderungen der zu Grunde liegenden (idealen) Wärmekraftmaschine bestimmen sowie auch die von ihr geleistete Arbeit (Flächeninhalt) und ihr Wirkungsgrad.

  • Beschreibe den Verlauf des dargestellten Carnot´schen Kreisprozesses.

    Tipps

    Expansion oder Kompression? Sehe dir die Volumen- und Druckveränderungen im Diagramm an.

    Isotherm oder adiabatisch? Isotherme Zustandsänderungen sind durch eine konstante Temperatur gekennzeichnet, adiabatische Zustandsänderungen durch einen fehlenden Wärmeaustausch zwischen Gas und Umgebung.

    Lösung

    In einem Carnot´schen Kreisprozess gibt es insgesamt vier Zustände, die in der angegebenen Richtung und Reihenfolge immer wieder durchlaufen werden. Für den Ablauf im Uhrzeigersinn gilt:

    (1) - (2): Isotherme Expansion: Das Gas dehnt sich aus, sein Druck verringert sich. Dabei bleibt die Temperatur $T_1$ konstant. Der Graph ist eine Hyperbel.

    (2) - (3): Adiabatische Expansion: Das Gas dehnt sich stärker aus, sein Druck verringert sich weiter. Dabei wird keine Wärme mit der Umgebung ausgetauscht ($Q=0$). Der Graph ist eine Adiabate.

    (3) - (4): Isotherme Kompression: Das Gas verringert sein Volumen, sein Druck erhöht sich. Dabei bleibt die Temperatur $T_2$ konstant. Der Graph ist ebenfalls eine Hyperbel.

    (4) - (1): Adiabatische Kompression: Das Gas zieht sich weiter zusammen, sein Druck erhöht sich noch mehr. Dabei wird erneut keine Wärme mit der Umgebung ausgetauscht ($Q=0$). Der Graph ist ebenfalls eine Adiabate.

  • Erkläre, weshalb der Wirkungsgrad eines Carnot´schen Kreisprozesses nicht gleich Eins sein kann.

    Tipps

    Argumentiere mit Hilfe der Formel für den Wirkungsgrad $\eta_C$.

    Lösung

    Der Wirkungsgrad eines Carnot´schen Kreisprozesses berechnet sich mit der Formel $\eta_C=\frac {T_1-T_2} {T_1}$.

    Soll der Wirkungsgrad gleich Eins sein, so müssen Zähler und Nenner identisch sein. Dies ist nur dann möglich, wenn die Temperatur $T_2$ gleich Null ist.

    Nach den dritten Hauptsatz der Thermodynamik kann jedoch der absolute Nullpunkt von $0~K$ nicht erreicht werden. Daher ist auch für einen Carnot-Prozess ein Wirkungsgrad von Eins nicht möglich.

    Der erreichbare Wirkungsgrad eines Carnot´schen Kreisprozesses ist übrigen umso größer, je höher die Temperaturdifferenz zwischen beiden Reservoirs ist.

  • Erkläre den Verlauf des gezeigten Carnot´schen Kreisprozesses.

    Tipps

    Beachte die Richtungsänderung im dargestellten Carnot´schen Kreisprozess.

    Fahre die Linie gedanklich in Pfeilrichtung ab. Expandiert das Gas jeweils oder wird es komprimiert?

    Die Lage der Isothermen und der Adiabaten hat sich in Vergleich zum umgekehrten Prozess nicht verändert.

    Lösung

    Die Richtung dieses Carnot´schen Kreisprozesses verläuft gegen den Uhrzeigersinn. Dabei treten erneut zwei isotherme und zwei adiabatische Zustandsänderungen auf, allerdings in einer anderen Reihenfolge (siehe auch die Abbildung). So verläuft der dargestellte Prozess im Einzelnen:

    (1) - (2): Das Volumen des Gases nimmt zu, der Druck ab. Es expandiert. Die Expansion ist adiabatisch, das zeigt der Verlauf des Graphen. Es wird dabei keine Wärme mit der Umgebung ausgetauscht.

    (2) - (3): Das Volumen des Gases nimmt weiter zu, der Druck weiter ab. Die Expansion ist isotherm und erfolgt bei der festen Temperatur $T_2$. Das erkennt man auch an der Hyperbelform des Graphen.

    (3) - (4): Nun beginnt die Kompression des Gases, das Volumen nimmt ab und der Druck zu. Die Kompression ist adiabatisch.

    (4) - (1): Eine isotherme Kompression bei $T_1$ verringert das Volumen des Gases (und erhöht dessen Druck) soweit, dass der ursprüngliche Zustand (1) wieder hergestellt wird. Der Kreisprozess wurde einmal vollständig durchlaufen.

  • Berechne die verrichtete Arbeit und den Wirkungsgrad des gezeigten Carnot´schen Kreisprozesses..

    Tipps

    Die benötigten Temperaturen kannst du im Diagramm ablesen. Darüber hinaus benötigst du das Verhältnis $\frac {V_1} {V_2}$.

    Die verrichtete Arbeit erhältst du durch Einsetzen in die Formel: $W_{ges}=(T_1-T_2)\cdot R\cdot ln\frac {V_1} {V_2}$.

    Den Wirkungsgrad kannst du mit der Formel: $\eta_C=\frac {T_1-T_2} {T_1}$ berechnen.

    Gegeben: $T_1=600~K$, $T_2=400~K$, $R=8,31\frac {J} {mol\cdot K}$, $\frac {V_1} {V_2}=\frac 12$

    Lösung

    Gegeben:

    $T_1=600~K$ (Ablesen aus dem Diagramm)

    $T_2=400~K$ (Ablesen aus dem Diagramm)

    $R=8,31\frac {J} {mol\cdot K}$

    $\frac {V_1} {V_2}=\frac 12$ ($V_2$ ist doppelt so groß wie $V_1$)

    Gesucht: $W_{ges}$ und $\eta_C$

    Lösung:

    (1) Die verrichtete Arbeit berechnet sich mit der Formel:

    $W_{ges}=(T_1-T_2)\cdot R\cdot ln\frac {V_1} {V_2}=(600~K-400~K)\cdot 8,31\frac {J} {mol\cdot K}\cdot ln\frac 12=-1~200~J=-1,2~kJ$.

    (2) Der Wirkungsgrad bestimmt sich mit der Formel:

    $\eta_C=\frac {T_1-T_2} {T_1}=\frac {600~K-400~K} {600~K}=0,33$.

    Ein Mol Gas verrichtet im gegebenen Prozess eine Arbeit von rund -1,2 kJ. Der Wirkungsgrad liegt bei rund 0,3.