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Aufgabe zur Reihenschaltung von Widerständen im Wechselstromkreis

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Wolfgang Tews
Aufgabe zur Reihenschaltung von Widerständen im Wechselstromkreis
lernst du in der 11. Klasse - 12. Klasse

Beschreibung Aufgabe zur Reihenschaltung von Widerständen im Wechselstromkreis

In diesem Video wird eine Aufgabe zur Reihenschaltung von Kondensator und Spule im Wechselstromkreis bearbeitet. Dabei werden zwei Schaltungsarten zugrunde gelegt. In der ersten Schaltung wird nur ein Kondensator benutzt, in der zweiten Schaltung wird parallel zum ersten Kondensator ein zweiter Kondensator angeschlossen. In beiden Fällen wird je ein f-I-Diagramm simuliert. Diese Diagramme bilden die Grundlage für die Aufgabenstellungen. Es geht um die Resonanzfrequenzverschiebung für beide Schaltungen, die Berechnung der Kapazitäten der benutzten Kondensatoren und die Berechnung einiger Wechselstromwiderstände.

Transkript Aufgabe zur Reihenschaltung von Widerständen im Wechselstromkreis

Herzlich willkommen zu einem Video von Dr. Psi. Wir beschäftigen uns heute mit der Lösung einer Aufgabe zur Reihenschaltung von Widerständen im Wechselstromkreis. Vorab werden wir einige Formeln nochmal wiederholen, die sich mit der Reihenschaltung von Widerständen beschäftigen. Und dann werden wir versuchen, mit Hilfe dieser Formeln die Aufgabe zur Reihenschaltung, die uns vorliegt, zu lösen. Und zum Schluss geben wir wieder einen Überblick über das Gelernte. Wir sehen hier eine Reihenschaltung von Widerständen, einmal als ohmscher Widerstand die Glühlampe, dann eine Spule und ein Kondensator. Und an dieser Reihenschaltung liegt eine frequenzvariable Spannung an. Wir können aufgrund der Zusammenhänge, die wir in früheren Videos schon gesehen haben, ein Zeigerdiagramm für die Widerstände erstellen. Und das sehen wir an dieser Stelle und wir können dort mit Hilfe des Pythagoras den Gesamtwiderstand Z, den wir als Impedanz oder auch als Scheinwiderstand bezeichnen, herleiten. Wir nehmen das Quadrat über den Katheten, deren Summe, und setzen das gleich dem Gesamtwiderstand Z, und erhalten: Z gleich Wurzel aus R2+(XL-XC)2. XL ist der induktive Widerstand, also der Widerstand der Spule, und XC der Widerstand des Kondensators, also der kapazitive Widerstand. Wenn wir jetzt die entsprechenden Zusammenhänge für XL und XC einsetzen, also zum Beispiel: XL ist gleich Omega mal L, wobei L die Induktivität der Spule ist. Und: XC gleich 1 durch Omega mal C. C ist die Kapazität des Kondensators und Omega ist die Kreisfrequenz: Omega =2Pif. Wenn wir das in diese Formel einsetzen, erhalten wir den Wechselstromwiderstand in folgender Form: R2, der ohmsche Widerstand, Plus XL, das ist Omega L, Minus XC, das ist eins durch Omega C, in Klammern zum Quadrat. Und hier tritt noch ein besonderer Fall auf. Wenn nämlich diese Widerstände, das ist ja ein Wirkwiderstand R, und die beiden Widerstände sind Blindwiderstände, wenn die Klammer gleich null ist, dann sehen wir hier, dass das ein besonderer Fall ist. Wir kennen das als Resonanzfall. Und wenn wir das gleich null setzen, dann können wir Omega L gleich 1 durch Omega C setzen und gewinnen daraus, wenn wir jetzt für Omega „2 Pi f“ einsetzen, die Resonanzfrequenz der Reihenschaltung. Das ist f gleich eins durch zwei Pi mal Wurzel L mal C. Wir behandeln jetzt eine Textaufgabe zum Thema Reihenschaltung von Wechselstromwiderständen und wir betrachten eine Reihenschaltung, so wie sie hier zunächst mal in einem Bild dargestellt ist. Wir haben Messgeräte für Stromstärke und Spannung. Dann haben wir einen Kondensator C1 und eine Spule, die die Induktivität L hat. Es liegt an diesem Wechselstromkreis eine frequenzvariable Spannung an. In einer zweiten Schaltung wird parallel zum Kondensator C1 ein Kondensator C2 geschaltet. Und für beide Schaltungen wird ein Frequenz-Stromstärke-Diagramm aufgenommen. Wir haben als gegebene Größen eine Spannung von drei Volt, eine Induktivität von 40 Millihenry. Und an gesuchten Größen sind folgende festzustellen: Wir betrachten unsere beiden Schaltungen und dazu werden jetzt die Diagramme dargestellt, die aufgenommen wurden: Die Frequenzabhängigkeit der Stromstärke. Wir haben zwei Diagramme dort. Ein Diagramm hier in schwarzer Farbe dargestellt, mit (1) bezeichnet: Das betrifft die erste Reihenschaltung von der Kapazität C1 und der Spule. Und das rote Diagramm ist die Kurve, die aufgenommen wurde, wenn jetzt ein zweiter Kondensator zu dem ersten parallel geschaltet wird. Unsere Fragestellungen sind jetzt folgende: Wir beobachten ja in diesen Diagrammen eine Verschiebung der Frequenz von der schwarzen Kurve zur roten Kurve, also der Resonanzfrequenz, die hier mit f01 bezeichnet wird. Die ist größer als die von f02. Warum ist das so? Nun, das wollen wir klären. Dann wollen wir mit Hilfe unserer Daten die beiden Kapazitäten bestimmen, also C1 und C2 und wollen dann schließlich in einem dritten Schritt einige Widerstände bestimmen, insbesondere den Widerstand – wir sehen das ja hier in der graphischen Darstellung, die beiden Kurven schneiden sich an einer bestimmten Stelle. Ich habe übrigens in diese Diagramme Zwischenwerte eingezeichnet, die wir brauchen und da finden wir auch diesen Punkt ZS. Das ist der Schnittpunkt dieser beiden Diagramme. Und dann wollen wir noch die Werte für C1 und C2 ausrechnen. Kommen wir nun zu unserer ersten Aufgabe: Warum ist die Resonanzfrequenz f01 größer als f02? Um diese Frage zu beantworten, also wir wollen jetzt a) lösen. Schauen wir uns mal die Formel für die Resonanzfrequenz nochmal an. Das ist 1 durch 2Pi Wurzel LC. Und wenn wir mal von den Konstanten 2Pi und der Konstanten Induktivität absehen, ist f0 ja proportional zu 1 durch Wurzel aus C. Gucken wir uns mal die beiden Schaltungen nochmal an und vergegenwärtigen uns, dass in der ersten Schaltung haben wir eine Kapazität C1. In der zweiten Schaltung haben wir zwei Kondensatoren parallel geschaltet und wenn du dich noch erinnern kannst, ist für eine Parallelschaltung die Gesamtkapazität die Summe der beiden Einzelkapazitäten. Also ist folgende Ungleichung gültig: C1 Plus C2, die Gesamtkapazität in der zweiten Schaltung, also für f02, die ist größer als die Kapazität von C1. Wenn wir nun diese Proportionalität berücksichtigen, fällt sofort auf, dass gelten muss: f01>f02. Warum? Na klar, wenn wir hier die Kapazität C1 einsetzen, ist natürlich dieser Wert hier kleiner und damit ist die Frequenz größer als in dem anderen Fall. Wenn wir hier einen größeren Wert unter der Wurzel haben, ist die Frequenz – im Nenner steht ja dann ein größerer Wert – kleiner und daher gilt diese Beziehung, dass die Frequenz sich bei der Zuschaltung von einem zweiten Kondensator zu kleineren Werten hin verschiebt. Damit wäre also die Aufgabe a) gelöst. Nun die Aufgabe b). Wir benutzen diese Beziehung, dass die Frequenz proportional ist zu 1 durch Wurzel aus C, und bilden jetzt mal das Verhältnis von f01 durch f02, und das ist gleich f01, das ist ja proportional, hier 1 durch C1, das steht also dann im Nenner: Wurzel aus C1. Und im Zähler steht die Summe dieser beiden Einzelkapazitäten, das wäre dann C1 Plus C2. Das können wir quadrieren. Dann steht hier f012 durch f022 und das ist gleich C1 Plus C2 durch C1. Nun, wenn wir hier jetzt die Werte, die gegeben sind, einsetzen. Wir schauen noch einmal auf unser Diagramm. Wir lesen dort ab, dass f01 einen Wert hat von 1185 Hertz, das quadrieren wir. f02 hat einen Wert von 840 Hertz. Das quadrieren wir und wenn wir das mit dem Taschenrechner, das solltest du unbedingt tun, mal ausrechnen, bekommen wir einen Wert raus, der ungefähr gleich 2 ist. Wenn wir das hier berücksichtigen, dann finden wir hier 2 ist gleich C1 Plus C2 durch C1. Wir bringen C1 rüber, erhalten 2C1 gleich C1 Plus C2. Subtrahieren wir C1, dann steht hier C1 gleich C2. Und damit haben wir nachgewiesen, dass hier C1 ungefähr gleich C2 ist. Das Ungefährzeichen kommt aus dieser Beziehung, hier steht natürlich C1 gleich C2. Gut, wir wollen uns dann im nächsten Schritt der Lösung der Aufgabe c) zuwenden. Kommen wir zur Lösung unserer Aufgabe c). Wir wissen ja, dass im Resonanzfall XL=XC gilt. Und wenn wir uns noch die Impedanz vorstellen, das war ja Wurzel aus R2 Plus in Klammern Omega L Minus 1 durch Omega C zum Quadrat, und im Resonanzfall sind XL und XC gleich. Dann fällt diese Klammer, die Blindwiderstände betreffen, weg, und es bleibt der Wirkwiderstand R2 unter der Wurzel. Und Z ist dann Wurzel aus A2, also in diesem Fall ist dann Z gleich R. Und damit könne wir also zum Beispiel den Widerstand für den ersten Stromkreis berechnen. Das ist dann Z1=R1 und das ist u durch, in diesem Fall, I1. Und wenn wir unser Diagramm anschauen, dann finden wir also u. 3 Volt war ja gegeben, I1, das können wir ablesen. Das ist 0,15 Ampere. Und das gibt dann 20 Ohm. Noch eine Bemerkung zwischendurch: Wir behandeln hier ja eine Textaufgabe und eigentlich gehört zu diesen ganzen Lösungen, die wir hier erhalten haben, ein ganz vernünftiger Antwortsatz. Darauf verzichten wir hier aus Zeitgründen und aus Platzgründen. Ich markiere hier höchstens das Ergebnis mit einem Doppelunterstrich. Also das wäre unser erstes Ergebnis R1. Und analog können wir jetzt Z2, das ist gleich R2, berechnen. Das ist wieder in diesem Fall 3 Volt, analog zu dieser Beziehung. Und wenn wir aus dem Diagramm die Stromstärke ablesen, dann ist das 0,166 Ampere. Und das ist ungefähr 18 Ohm. Und wenn wir jetzt uns den Schnittpunkt unserer beiden Diagramme anschauen, dann können wir den Wechselstrom Widerstand ZS berechnen, ZS an dieser Stelle, wo sich die beiden Diagramme schneiden. Ich habe auch hier die Werte notiert, die dort abzulesen sind. Das wäre dann u durch IS, und das ist, wenn wir die entsprechenden Werte da einsetzen: 3 Volt durch 0,034 Ampere, und das sind rund 88 Ohm. Nun fehlt noch als letztes: Wie groß ist unsere Kapazität? Nun, wir können wieder unsere Beziehung für die Resonanzfrequenz an die Tafel schreiben und das war 1 durch, ich hoffe du kennst die inzwischen auch auswendig, 2Pi Wurzel L mal C. Und hier gewinnen wir durch quadrieren f02 gleich 1 durch 4Pi2 L mal C. Wir stellen das Ganze nach C1 um, also C1 wollen wir ausrechnen. Wir könnten hier das aus dem ersten Diagramm oder aus dem zweiten Diagramm ausrechnen. Das ist völlig wurscht. Wir wählen hier C1 gleich 1 durch 4Pi2 mal f02 mal L. Und wenn wir die Werte einsetzen, ist das 4Pi2 mal, das ist die Frequenz, 1185 Hertz, Klammer zu Quadrat, mal 40 Millihenry. Und die Rechnung ergibt, und das solltest du unbedingt selber im Taschenrechner nachrechnen, ungefähr 0,45 Mikrofarad. Und auch die Einheiten solltest du überprüfen für Henry und Hertz. Und daraus gewinnt man dann die Einheit für die Kapazität Farad und die entsprechende Vorsilbe Mikrofarad mit 10-6. Ja, bis hoffentlich zum nächsten Mal. Dein Dr. Psi.

1 Kommentar

1 Kommentar
  1. Das ist nicht so erklärt das man es versteht

    Von Schoko 3, vor mehr als einem Jahr

Aufgabe zur Reihenschaltung von Widerständen im Wechselstromkreis Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Aufgabe zur Reihenschaltung von Widerständen im Wechselstromkreis kannst du es wiederholen und üben.
  • Nenne eine Formel zur Berechnung der Impedanz $Z$.

    Tipps

    Die Impedanz $Z$ lässt sich mit einem Zeigerdiagramm ermitteln. Wie kann man die Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks bestimmen?

    Der Blindwiderstand der Spule kann mithilfe der Kreisfrequenz und der Induktivität der Spule ausgedrückt werden.

    Der Blindwiderstand des Kondensators kann mithilfe der Kreisfrequenz und der Kapazität des Kondensators ausgedrückt werden.

    Lösung

    Man kann die Widerstände eines Wechselstromkreises in einem Zeigerdiagramm eintragen.
    Es ergibt sich ein rechtwinkliges Dreieck mit den Größen $R$, $X_L-X_C$ und $Z$.
    In einem rechtwinkligem Dreieck gilt der Satz des Pythagoras. Es folgt
    $Z^2=R^2+(X_L-X_C)^2$ und damit
    $Z=\sqrt{R^2+(X_L-X_C)^2}$.

    Weiter können die Blindwiderstände von Spule und Kondensator auch mit der Kreisfrequenz $\omega$ ausgedrückt werden.
    Es gilt:
    $X_L=\omega \cdot L$ und $X_C= \frac{1}{\omega \cdot C}$.

    Hierbei steht $L$ für die Induktivität der Spule und $C$ für die Kapazität des Kondensators.

    Setzt man diese Größen in die zuvor genannte Gleichung ein, so ergibt sich das gesuchte Ergebnis.
    $Z=\sqrt{R^2+(\omega \cdot L-\frac{1}{\omega \cdot C})^2}$

  • Nenne die richtigen Formeln zur Berechnung der einzelnen Größen.

    Tipps

    Mit einem Zeigerdiagramm kann man die Formeln für $Z$ und $R$ herleiten. Es gilt der Satz des Pythagoras.

    Wenn die Resonanzfrequenz $f_0$ gegeben ist, können $X_L$ und $X_C$ leicht berechnet werden.

    Die Resonanzfrequenz $f_0$ tritt dann ein, wenn $X_L-X_C=0$ gilt.

    Das gilt dann, wenn $\omega \cdot L - \frac{1}{\omega \cdot C}=0$.

    Lösung

    Mit einem Zeigerdiagramm können die Formeln hergeleitet werden.
    Es bildet sich ein rechtwinkliges Dreieck.

    Damit ergibt sich für die Impedanz direkt:
    $Z^2=R^2+(\omega \cdot L-\frac{1}{\omega \cdot C})^2$ und damit
    $Z=\sqrt{R^2+(\omega \cdot L-\frac{1}{\omega \cdot C})^2}$.

    Stell man die erste Formel nach dem Ohmschen Widerstand $R$ um, ergibt sich direkt das entsprechende Ergebnis. $\begin{align} && Z^2&=R^2+(\omega \cdot L-\frac{1}{\omega \cdot C})^2 &|&-(\omega \cdot L-\frac{1}{\omega \cdot C})^2 \\ &\Leftrightarrow& R^2 &=Z^2-(\omega \cdot L-\frac{1}{\omega \cdot C})^2 &|&\sqrt{~} \\ &\Leftrightarrow& R &=\sqrt{Z^2-(\omega \cdot L-\frac{1}{\omega \cdot C})^2} \end{align} $

    Die Resonanzfrequenz $f_0$ tritt dann ein, wenn $X_L-X_C=\omega \cdot L - \frac{1}{\omega \cdot C}=0$ gilt. Es gilt dann automatisch $Z=R$, was häufig die Berechnung von $R$ erleichtern kann.
    Mit $\omega=2\cdot \pi \cdot f$ folgt hier
    $\begin{align} &&\omega \cdot L &= \frac{1}{\omega \cdot C} &|& \cdot \omega \div L\\ &\Leftrightarrow& \omega^2 &=\frac{1}{L \cdot C} &|& ~ \sqrt{~} \\ &\Leftrightarrow& \omega &= \frac{1}{\sqrt{L \cdot C}} &|& ~ \omega=2\cdot \pi \cdot f_0 \\ &\Leftrightarrow& 2\cdot \pi \cdot f_0 &=\frac{1}{\sqrt{L \cdot C}} &|& \div(2\cdot \pi) \\ &\Leftrightarrow& f_0 &=\frac{1}{2\cdot \pi \cdot \sqrt{L \cdot C}} \end{align}$

    Bei bekannter Resonanzfrequenz sind der kapazitive und der induktive Blindwiderstand leicht zu bestimmen.
    Es wird ausgehend von $X_L-X_C=\omega \cdot L - \frac{1}{\omega \cdot C}=0$ nach dem gesuchten Wert umgestellt.

    Dies kann nicht aus der Formel für den Scheinwiderstand hergeleitet werden. Dies liegt daran, das die Wurzel gezogen werden muss, um das Quadrat von $(\omega \cdot L-\frac{1}{\omega \cdot C})^2$ zu entfernen.
    Dann müsste jedoch der Betrag genommen werden. Solange nicht $X_C=0$ oder $X_L=0$ gilt, kann dieser nicht eindeutig bestimmt werden.

  • Erkläre das Frequenz-Strom-Diagramm verschiedener Schaltungen.

    Tipps

    Wenn zwei Spulen parallel geschaltet werden, ergibt sich der Kehrwert der gesamten Induktivität durch die Summe der Kehrwerte der einzelnen Induktivitäten. Ist $I_{ges}$ dann größer oder kleiner als die einzelnen Induktivitäten?

    Da die Induktivitäten gleich groß sind, kann $L_{ges}$ leicht ausgerechnet werden. Welche Rolle spielt der Faktor zwei?

    Ist die Resonanzfrequenz proportional oder antiproportional zu $L$?

    Je kleiner der Nenner eines Bruches ist, desto größer ist sein Ergebnis.

    Lösung

    Die Resonanzfrequenz $f_0$ findet sich im Frequenz-Strom-Diagramm dort, wo der Ausschlag am größten ist.
    Das hängt damit zusammen, dass bei dieser Frequenz der Scheinwiderstand am geringsten ist.
    Mit $I=\frac{U}{Z}$ folgt direkt, das $I$ dann am größten sein muss.

    Wenn zwei Spulen parallel geschaltet werden, ergibt sich der Kehrwert der gesamten Induktivität durch die Summe der Kehrwerte der einzelnen Induktivitäten. Da die Spulen dieselbe Induktivität $L$ haben, folgt:
    $\frac{1}{L_{ges}}=\frac{1}{L}+\frac{1}{L}=\frac{2}{L} \rightarrow L_{ges}=\frac{L}{2}$.

    Die Induktivität halbiert sich also, wenn eine zweite gleichartige Spule parallel zur ersten geschaltet wird.

    Für die Resonanzfrequenz gilt:
    $f_0=\frac{1}{2\cdot\pi \cdot \sqrt{L \cdot C}} \rightarrow f_0 \approx \frac{1}{L}$.

    Die Resonanzfrequenz ist also antiproportional zur Induktivität der Spule.
    Wenn die Induktivität nun kleiner wird, dann wird die Resonanzfrequenz größer.

    Da $\frac{L}{2} < L$ ist die Resonanzfrequenz bei der Parallelschaltung einer zweiten Spule größer.
    Daraus ergibt sich, dass hier die Kurve (1) gezeigt wird.

    Folglich wird in der reinen Reihenschaltung Kurve (2) gezeigt.

  • Berechne die Kapazität des Kondensators.

    Tipps

    In der Schaltung ist keine Spule vorhanden? Wie groß ist dann $X_L$?

    Die Kreisfrequenz kann durch die Frequenz ausgedrückt werden.

    Lösung

    Es wird von der Gleichung für die Impedanz $Z$ ausgegangen.
    Diese wird nach dem Blindwiderstand $X_C$ umgestellt. Es ist hierbei egal, ob erst nach $X_C$ umgestellt wird und dann $X_C= \frac{1}{\omega \cdot C}$ eingesetzt wird oder ob dies andersherum geschieht.

    Eingesetzt ergibt sich:
    $\begin{align} && Z^2 &=R^2+(X_L-\frac{1}{\omega \cdot C})^2 &|& -R^2 \\ &\Leftrightarrow& Z^2-R^2 &=(X_L-\frac{1}{\omega \cdot C})^2 &|& ~ \sqrt{~} \\ &\Leftrightarrow& \sqrt{Z^2-R^2} &=|X_L-\frac{1}{\omega \cdot C}| \end{align} $
    Es ist keine Spule in der Schaltung vorhanden. Deswegen gilt $X_L=0$.
    Es folgt weiter:
    $\begin{align} && \sqrt{Z^2-R^2} &=\frac{1}{\omega \cdot C} &|& \cdot C \div(\sqrt{Z^2-R^2}) \\ &\Leftrightarrow& C &=\frac{1}{\omega \cdot \sqrt{Z^2-R^2}} \end{align} $ .//

    Da die Kreisfrequenz auch durch $\omega= 2\cdot \pi \cdot f$ ausgedrückt werden kann, wird dies in der Formel ersetzt.

    Mit den übrigen Werten eingesetzt folgt: // $C =\dfrac{1}{2 \cdot \pi \cdot 50 Hz \cdot \sqrt{(90)^2 \Omega^2-(30)^2 \Omega^2}} \approx 0,00003751 ~ \frac{1}{Hz \cdot \Omega} = 37,51 \cdot 10^{-6} ~ \frac{s}{\Omega}=37,51 ~ \mu F$.

  • Erkläre, wie man die Resonanzfrequenz berechnet.

    Tipps

    Der Zusammenhang zwischen Strom, Spannung und Widerstand gilt auch im Wechselstromkreis. Die Position des Gesamtwiderstandes nimmt hier der Scheinwiderstand $Z$ ein.

    Das Ergebnis eines Bruches wird größer, wenn der Nenner kleiner wird.

    Wann wird der Betrag unter der Wurzel möglichst klein?

    Lösung

    Ein ohmscher Widerstand, ein Kondensator und eine Spule werden im Wechselstromkreis in Reihe geschaltet.

    Wird der Strom in Abhängigkeit von der Frequenz in ein Diagramm eingetragen, dann entsteht ein ähnliches Abbild.
    Klar zu erkennen ist die herausragende Spitze.
    Diese entsteht bei der Resonanzfrequenz.

    Wegen $I=\frac{U}{Z}$ wird der Strom maximal genau dann, wenn der Scheinwiderstand $Z$ minimal wird.

    Es gilt $Z=\sqrt{R^2+(X_L-X_C)^2}$.
    Da alle Summanden unter der Wurzel quadriert werden, wird $Z$ maximal, wenn $X_L-X_C=0$ gilt.

    Mit $\omega=2\cdot \pi \cdot f$ folgt hier
    $\begin{align} &&\omega \cdot L &= \frac{1}{\omega \cdot C} &|& \cdot \omega \div L\\ &\Leftrightarrow& \omega^2 &=\frac{1}{L \cdot C} &|& ~ \sqrt{~} \\ &\Leftrightarrow& \omega &= \frac{1}{\sqrt{L \cdot C}} &|& ~ \omega=2\cdot \pi \cdot f_0 \\ &\Leftrightarrow& 2\cdot \pi \cdot f_0 &=\frac{1}{\sqrt{L \cdot C}} &|& \div(2\cdot \pi) \\ &\Leftrightarrow& f_0 &=\frac{1}{2\cdot \pi \cdot \sqrt{L \cdot C}} \end{align}$

    Ein weiterer positiver Effekt ist, dass bei der Resonanzfrequenz $Z=R$ gilt. So lässt sich der ohmsche Widerstand häufig besonders leicht berechnen.
    Wenn $C$ oder $L$ gegeben ist, dann kann die jeweils andere Größe mit der Resonanzfrequenz ebenfalls gut berechnet werden.

  • Erkläre, wie sich eine Veränderung der Widerstände auf die Resonanzfrequenz auswirkt.

    Tipps

    Von welchen Größen hängt die Resonanzfrequenz ab und von welchen nicht?

    Beachte das Verhalten von Kondensatoren in einer Reihen oder Parallelschaltung. Wie wirkt sich dies auf die Kapazität $C$ aus?

    Beachte das Verhalten von Spulen in einer Reihen und Parallelschaltung. Wie wirkt sich dies auf die Induktivität $L$ aus?

    Lösung

    Für die Resonanzfrequenz gilt:
    $f_0=\frac{1}{2\cdot \pi \cdot \sqrt{L \cdot C}}$.

    Also ist $f_0$ indirekt proportional zu L und C:
    $f_0 \sim \frac{1}{L}$ und $f_0 \sim \frac{1}{C}$.

    Die Resonanzfrequenz hängt nicht von dem ohmschen Widerstand ab. Deswegen ist es egal, ob ein zweiter ohmscher Widerstand in Reihe oder parallel geschaltet wird.
    Dies ändert nichts an der Resonanzfrequenz.

    Nun ist wichtig zu betrachten, wie sich die Induktivität und die Kapazität von Spule und Kondensator verändern, falls diese in Reihe oder parallel geschaltet werden.

    Für die Induktivität der Spule gilt:
    Parallelschaltung: $\frac{1}{L_{ges}}=\frac{1}{L_1}+\frac{1}{L_2} $
    Reihenschaltung: $ L_{ges}=L_1+L_2 $

    In einer Reihenschaltung wird die gesamte Induktivität also größer.
    Da das Ergebnis eines Bruches kleiner wird, wenn sein Nenner größer wird, würde $f_0$ kleiner werden.

    In einer Parallelschaltung wird die gesamte Induktivität kleiner. Deswegen würde $f_0$ größer werden.

    Für die Kapazität des Kondensators gilt:
    Parallelschaltung: $ C_{ges}=C_1+C_2 $
    Reihenschaltung: $ \frac{1}{C_{ges}}=\frac{1}{C_1}+\frac{1}{C_2} $

    Bei einem Kondensator ist es deswegen umgekehrt. In einer Parallelschaltung wird die gesamte Kapazität größer. Damit wird $f_0$ kleiner.

    In einer Reihenschaltung wird die gesamte Kapazität kleiner. Damit wird $f_0$ größer.

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