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Invariante Größen – Raum-Zeit und Impuls-Energie

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Die Autor*innen
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Jakob Köbner
Invariante Größen – Raum-Zeit und Impuls-Energie
lernst du in der 11. Klasse - 12. Klasse - 13. Klasse

Invariante Größen – Raum-Zeit und Impuls-Energie Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Invariante Größen – Raum-Zeit und Impuls-Energie kannst du es wiederholen und üben.
  • Tipps

    Was bedeutet Invarianz wörtlich übersetzt?

    Welche beiden Bereiche der Physik werden hier gegenübergestellt?

    Transformationen dienen der Überführung von Koordinaten von einem Koordinatensystem in ein anderes.

    Lösung

    Invarianz beschreibt in der Physik die Unveränderlichkeit von physikalischen Größen. In der klassischen Mechanik werden die Koordinaten eines Objektes durch die Galileitransformation von einem Koordinatensystem in ein anderes überführt. In der speziellen Relativitätstheorie gilt die Lorentztransformation.

    Vergleicht man die klassische Mechanik mit der speziellen Relativitätstheorie, so fallen in Bezug auf die Invarianz von physikalischen Größen folgende Unterschiede auf:

    In der klassischen Mechanik ist die Länge eine invariante Größe, in der speziellen Relativitätstheorie jedoch nicht. In der speziellen Relativitätstheorie sind Raum und Zeit nur zusammen als Raum-Zeit invariant, in der klassischen Physik sind sie beide für sich invariant. Darüber hinaus ist die Lichtgeschwindigkeit und die Impuls-Energie in der speziellen Relativitätstheorie invariant.

  • Tipps

    Die erste Formel dient zur Berechnung der Raum-Zeit, die zweite zur Berechnung der Impuls-Energie.

    Beide Formeln enthalten als eine Größe die Lichtgeschwindigkeit.

    Die erste Formel wurde mit Hilfe eines Minkowski-Diagramms hergeleitet. Welche Achsen treten dort auf?

    Bei der zweiten Formel müssen insgesamt drei verschiedenen Energien definiert werden.

    Lösung

    Mit den gezeigten Formeln können Raum-Zeit und Impuls-Energie in verschiedenen über die Galileitransformation miteinander verbundenen Koordinatensystemen bestimmt werden.

    Darüber hinaus zeigt sich anhand dieser Formeln, dass sowohl die Raum-Zeit als kombinierte Größe in der speziellen Relativitätstheorie sowie die Impuls-Energie invariant sind. Unabhängig davon, in welchem Bezugssystem ich sie bestimme, ändert sie ihre Größe nicht.

  • Tipps

    Die Länge kann in beiden Systemen beschrieben werden. Die Größen zwischen den Systemen dürfen sich aber nicht vermischen.

    Die auftretenden Größen entsprechen (abgesehen von der Differenz) den Achsen im Minkowski-Diagramm.

    Lösung

    Die Formel für die raumzeitliche Länge l in verschiedenen über die Lorentztransformation miteinander verbundenen Systemen kann immer gleich aufgestellt werden: Vom quadrierten Produkt aus Lichtgeschwindigkeit und Zeitdifferenz wird die Raumdifferenz zum Quadrat abgezogen und anschließend aus dem gesamten Term die Wurzel gezogen. Diese Größen kann man sich über die Beschriftung der Achsen im Minkowski-Diagramm einprägen. (Einfach gesagt: Wurzel aus y-Achsen-Differenz zum Quadrat minus x-Achsen-Differenz zum Quadrat).

    Dieses Prinzip ist immer gleich und kann auf beliebig viele Systeme angewendet werden. Wird die Länge in einem System nach der genannten Formel beschrieben, dürfen jedoch nur Zeit- und Raumdifferenz dieses Systems verwendet werden.

  • Tipps

    Der Lorentzfaktor ist $k=\frac {1} {\sqrt {1-\frac {v^2} {c^2}}}$.

    Es gilt: $E_0=m\cdot c^2$.

    Lösung

    Aus den gegebenen Formeln für die Gesamtenergie und den Impuls eines Teilchens wurde mit Hilfe eines geschickt gewählten Ansatzes die Beschreibung der Geschwindigkeit des Teilchens mittels Impuls und Gesamtenergie ermöglicht.

    Dieser Term konnte unter Verwendung des Lorentzfaktors so eingesetzt werden, dass ein Ausdruck für die Ruheenergie des Teilchens mit Hilfe der Größen Gesamtenergie, Impuls und Lichtgeschwindigkeit hergeleitet werden konnte.

    Damit wurde die Invarianz der Impuls-Energie in der speziellen Relativitätstheorie bewiesen.

  • Tipps

    Drei der genannten Größen sind in der speziellen Relativitätstheorie invariant.

    Lösung

    In der speziellen Relativitätstheorie sind die Größen Lichtgeschwindigkeit, Raum-Zeit und Impuls-Energie invariant.

    Das bedeutet, dass sich diese Größen bei der Anwendung der Lorentztransformation nicht verändern.

    Demgegenüber stehen Raum und Zeit als einzelne Größen. Sie sind aufgrund der Längenkontraktion und Zeitdilatation in der speziellen Relativitätstheorie nicht invariant.

  • Tipps

    Welche Größen tauchen in der eingangs genannten Formel auf?

    Welche davon könnte ersetzt werden?

    Welche Gesetzmäßigkeit der speziellen Relativitätstheorie verbirgt sich dahinter?

    Lösung

    Die Herleitung der Formel erfolgt durch die Verwendung eines Lösungsschrittes, der die Zeitdilatation verwendet: $\Delta t´´=\Delta t´\cdot \sqrt {1-\frac {v´^2} {c^2}}=\Delta t\cdot \sqrt {1-\frac {v^2} {c^2}}$.

    Durch Einsetzen der Formel für die Zeitdilatation kann die Formel für die Raum-Zeit und die Invarianz dieser ermittelt werden: $l=\sqrt {(c\Delta t)^2-(\Delta x)^2}$.

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