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Zentralprojektion

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Die Autor*innen
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Lennartneums
Zentralprojektion
lernst du in der 9. Klasse - 10. Klasse

Grundlagen zum Thema Zentralprojektion

Die Zentralprojektion ist eine häufig verwendete Projektionsart. In diesem Video erkläre ich dir wie die Zentralprojektion funktioniert. Am Ende des Videos wirst du dazu noch einen kleinen Versuch mit einem Prisma und einer Taschenlampe finden.

Transkript Zentralprojektion

Hallo, ich bin Lennart. Und in diesem Video erkläre ich dir, was Zentralprojektionen sind und welche Eigenschaften sie haben. Dazu erkläre ich als erstes das Prinzip und danach die wichtigsten Eigenschaften der Zentralprojektion. Dann werde ich dir eine kleine Durchführung demonstrieren und zum Schluss werde ich alles Gelernte zusammenfassen. Wie du bereits weißt, ist eine Projektion nichts anderes als die Abbildung eines dreidimensionalen Körpers auf eine Ebene. Dabei unterscheidet man zwischen der Parallelprojektion und der Zentralprojektion. In diesem Beispiel hier wird ein gelber Quader auf die graue Ebene projiziert. Bei der Parallelprojektion verlaufen die Projektionsgeraden parallel zueinander. Bei der Zentralprojektion treffen sich die Projektionsgeraden in einem Punkt Z. Man kann sich auch vorstellen, dass im Punkt Z eine Lichtquelle ist, durch die ein Schatten vom Objekt entsteht. Demnach könnte ein parallel projizierter Würfel in etwa so aussehen. Da hier alle parallelen Kanten parallel bleiben und man eine recht gute räumliche Vorstellung des Objektes hat, wird diese Art der Projektion oft für Skizzen benutzt, um Probleme der Geometrie darzustellen. Ein zentral projizierter Würfel könnte so aussehen. Hier bleiben parallele Kanten nicht mehr unbedingt parallel, aber, wie dir bestimmt aufgefallen ist, wirkt der Würfel viel realer. Deshalb wird die Zentralprojektion oft in der Kunst, bei Computerspielen oder in der Werbung verwendet. Doch wieso wirkt die Zentralprojektion so realistisch? Dies liegt daran, dass beim Sehen ein Objekt auf unsere Netzhaut zentral projiziert wird. Dazu eine kleine Skizze, die du bestimmt schon im Biologieunterricht gesehen hast. Die Lichtstrahlen vom Objekt treffen durch die Pupille auf die Netzhaut. Dabei sind die Lichtstrahlen die Projektionsgeraden. Diese Projektionsgeraden treffen in der Pupille und projizieren ein Bild auf der Netzhaut. Dieses Bild ist also durch eine Zentralprojektion entstanden. Das entstandene Bild ist allerdings auf den Kopf gestellt und seitenverkehrt. Das Gehirn macht dieses Bild jedoch wieder gerade. Die Zentralprojektion hat bestimmte Eigenschaften. Um alle Eigenschaften zeigen zu können, drehe ich den Würfen in der Perspektive, sodass wir ihn sozusagen von vorne betrachten. Du kannst sehen, dass immer noch Kanten auf Kanten abgebildet werden. Dies liegt daran, dass bei der Zentralprojektion Geraden auf Geraden abgebildet werden. Außerdem fällt auf, dass die vordere und hintere Fläche des Würfels wieder auf Quadrate abgebildet werden, allerdings auf unterschiedlich große, obwohl sie beim Würfel gleich groß sind. Dies geschieht mit allen Flächen, die parallel zur Bildebene sind, denn Figuren, die parallel zur Bildebene sind, werden auf ähnliche Figuren abgebildet. Demnach bleiben auch parallele Geraden und Kanten, die auch zur Bildebene parallel sind, parallel, wie diese oder diese Kante hier. Diese Kanten hier wären beim echten Würfel allerdings auch parallel, sind es auf der Abbildung aber offensichtlich nicht. Wenn man diese parallelen Kanten jedoch verlängert, sieht man, dass sich alle in einem Punkt schneiden. Dies liegt daran, dass alle zueinander parallelen Geraden, die nicht parallel zur Bildebene sind, sich in einem Punkt schneiden. Da man sich die Zentralprojektion als Schatten vorstellen kann, kann man, mithilfe einer Taschenlampe, auch ganz leicht selbst eine Zentralprojektion durchführen. Dazu nehme ich dieses dreiseitige Prisma. Mithilfe einer Taschenlampe erzeuge ich einen Schatten. Dabei ändert sich die Projektion beziehungsweise der Schatten je nachdem, wie ich die Lampe halte, also welchen Winkel und aus welcher Position die Lichtstrahlen auf das Objekt treffen. Ich entscheide mich für diese Lichtposition für meine Projektion. Nun markiere ich alle Eckpunkte des Schattens. Außerdem markiere ich die Eckpunkte der Fläche, die auf der Bildebene, also meinem Whiteboard, aufliegt. Jetzt kann ich das Licht wieder einschalten und das Prisma herunternehmen. Als letztes muss ich die Punkte nur noch verbinden und fertig ist meine Zentralprojektion. Ich fasse noch einmal alles Wichtige zusammen. Zentralprojektionen werden meistens für Abbildungen verwendet, die besonders realitätsgetreu wirken sollen. Dabei kann man die Zentralprojektion mit einem Schatten vergleichen, der von einer Lampe erzeugt wird. Die wichtigsten Eigenschaften der Zentralprojektion sind, dass Geraden auf Geraden abgebildet werden. Außerdem werden Figuren, die sich parallel zur Bildebene befinden, auf ähnliche Figuren abgebildet. Zueinander parallele Geraden, die nicht parallel zur Bildebene sind, schneiden sich in einem Punkt. Ich hoffe, du hast alles verstanden. Tschüss und bis zum nächsten Mal.

4 Kommentare

4 Kommentare
  1. Hallo Oleschmidt94,
    danke für deinen Kommentar. Wir arbeiten beständig an der Produktion neuer Videos. Über Rückmeldungen, welche Themen gewünscht sind, freuen wir uns sehr. Natürlich streben wir eine möglichst hohe Abdeckung an.
    Liebe Grüße aus der Redaktion

    Von Franziska H., vor mehr als 3 Jahren
  2. Die Berechnung/Projezieren dieser sowie der Parallelprojektion wäre noch super, da in diesen Videos und Aufgaben lediglich die Eigenschaften erklärt werden. Z.B projezieren Sie P=(...) auf x,y-Ebene.

    Von Oleschmidt94, vor mehr als 3 Jahren
  3. super Videos. Danke dir, jetzt kann ich es endlich verstehen.

    Von Nicolas Santner, vor etwa 5 Jahren
  4. Das ist so cool! Schönes Video, danke Lennart!

    Von Jessy ღ., vor etwa 5 Jahren

Zentralprojektion Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Zentralprojektion kannst du es wiederholen und üben.
  • Beschreibe, wie eine Zentralprojektion durchgeführt werden kann.

    Tipps

    Eine Zentralprojektion eines räumlichen Objektes kannst du dir auch vorstellen wie den Schatten, den eine punktförmige Lichtquelle von diesem Objekt erzeugt.

    Bei einer Parallelprojektion würde der Schatten durch parallel einfallende Strahlen erzeugt werden.

    Lösung

    Man kann mit Hilfe einer Taschenlampe eine Zentralprojektion durchführen.

    Ein räumliches Objekt wird von der Taschenlampe angestrahlt:

    • es werden alle Eckpunkte des Schattens und
    • die der Grundfläche des Objektes, zum Beispiel eines Prismas mit dreieckiger Grundfläche, markiert.
    • Diese Eckpunkte werden miteinander verbunden.

  • Benenne die Eigenschaften der Zentralprojektion.

    Tipps

    Bei Parallelprojektionen werden Flächen die zur Bildebene parallel sind auf kongruente Flächen abgebildet.

    Der blaue Würfel ist eine Parallelprojektion und der grüne eine Zentralprojektion.

    Vergleiche die beiden miteinander.

    Lösung

    Die Eigenschaften der Zentralprojektion sind:

    • Es werden Geraden auf Geraden abgebildet.
    • Alle Flächen, die parallel zur Bildebene sind, werden auf ähnliche Flächen abgebildet.
    • Alle zueinander parallelen Geraden, die nicht parallel zur Bildebene sind, schneiden sich in einem Punkt.

  • Entscheide, ob eine Zentralprojektion vorliegt.

    Tipps

    Bei einer Zentralprojektion werden Geraden, welche nicht parallel zur Bildebene verlaufen, auf Geraden abgebildet, die sich in einem Punkt schneiden.

    Flächen, die zur Bildebene parallel sind, werden auf ähnliche Flächen abgebildet.

    In einer Zentralprojektion verlaufen zueinander parallele Geraden, welche im räumlichen Objekt nicht parallel zur Bildebene sind, nicht mehr parallel.

    Lösung

    Bei Zentralprojektionen schneiden sich die Geraden, welche nicht parallel zur Bildebene verlaufen, in einem Punkt. Insbesondere sind diese Geraden nicht parallel zueinander. Im Gegensatz zu einer Parallelprojektion.

    Desweiteren sind

    • bei einer Zentralprojektion zur Bildebene parallele Flächen ähnlich und
    • bei einer Parallelprojektion kongruent zueinander.
    Dies sind die wesentlichen Unterschiede zwischen diesen beiden Projektionsarten.

    Das linke und rechte Bild in der ersten Zeile stellen keine Zentral-, sondern Parallelprojektionen dar.

    Alle übrigen Bilder stellen Zentralprojektionen dar.

  • Erkläre am Beispiel der Zentralprojektion eines Prismas mit dreieckiger Grundfläche die Prinzipien der Zentralprojektion.

    Tipps

    Die Prinzipien einer Zentralprojektion kannst du oben sehen.

    Stelle dir das Prisma mit dreieckiger Grundfläche vor und überlege, welche Flächen parallel zur Bildebene verlaufen.

    Welche Geraden verlaufen parallel zur Bildebene?

    Lösung

    Sowohl das rote Dreieck als auch das blaue Dreieck liegen parallel zur Bildebene. Diese beiden Dreiecke sind ähnlich. Darüber hinaus werden die Seiten der Dreiecke wieder auf Seiten von Dreiecken, also Geraden auf Geraden, abgebildet: Bei beiden liegen A und B vor.

    Die grünen Geraden verlaufen senkrecht zur Bildebene:

    • sie schneiden sich in einem Punkt : C und
    • sie sind die Abbildung der Geraden: A.

  • Gib das Prinzip der Zentralprojektion wieder.

    Tipps

    Ein Beispiel für eine Zentralprojektion ist ein Schrägbild.

    Bei einer Parallelprojektion sind alle Geraden, welche in dem räumlichen Objekt parallel sind, auch in der Projektion parallel.

    Bei Parallelprojektionen sind Flächen, welche parallel zu der Zeichenebene liegen, kongruent zueinander.

    Lösung

    Man unterscheidet zwischen der Parallel- und der Zentralprojektion.

    Am Beispiel eines Würfels

    • ist eine Parallelprojektion zum Beispiel durch ein Schrägbild gegeben. Der blaue Würfel und
    • die Zentralprojektion wirkt realistischer, was daran liegt, dass auch beim Sehen ein Objekt auf die Netzhaut zentral projiziert wird. Das kann man beim grünen Würfel sehen.

  • Erläutere die Erstellung einer Zentralprojektion am Beispiel eines Würfels.

    Tipps

    Wie bei dem Erstellen eines Schrägbildes, ein Spezialfall einer Parallelprojektion, wird zunächst eine Fläche des Objektes gezeichnet.

    Alle Geraden, welche nicht parallel zur Bildebene liegen, schneiden sich bei der Zentralprojektion in einem Punkt.

    Flächen, welche parallel zur Bildebene liegen, werden auf ähnliche Flächen abgebildet.

    Lösung

    Zunächst wird eine Fläche, im Falle des Würfels ein Quadrat, gezeichnet.

    Von jedem der Eckpunkte des Würfels wird eine Hilfslinie zu einem Punkt gezeichnet.

    Eine zur zuerst gezeichneten Fläche ähnliche Fläche wird versetzt so gezeichnet, dass alle Eckpunkte dieser Fläche auf den Hilfslinien liegen.

    Die Eckpunkte der zuerst gezeichneten Fläche werden mit denen der ähnlichen Fläche einander entsprechend verbunden.

    Die Hilfslinien werden entfernt.

    Alle Kanten, welche nicht sichtbar sind, werden gestrichelt gezeichnet.

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