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Wurzeln und irrationale Zahlen (6)

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Ø 3.3 / 4 Bewertungen

Die Autor*innen
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Martin Wabnik
Wurzeln und irrationale Zahlen (6)
lernst du in der 9. Klasse - 10. Klasse

Beschreibung Wurzeln und irrationale Zahlen (6)

Herzlich Willkommen zum Video „ Wurzeln und irrationale Zahlen 6 “. Das Finale wartet auf dich! Wir werden in diesem Film den Widerspruchsbeweis von Euklid beenden und dir somit zeigen, dass die Wurzel aus 2 eine irrationale Zahl ist. Hierzu werden wir dir noch einmal alle Beweisschritte, welche wir in den letzten Videos getätigt haben, wiederholen. Somit bekommst du einen gesamten Überblick vom Beweis, damit du auch die Schlussfolgerung verstehst, warum die Wurzel aus 2 irrational ist. Herzlichen Glückwunsch! Du hast es geschafft!

Transkript Wurzeln und irrationale Zahlen (6)

Hallo! Jetzt kommt der Sinn des Ganzen, was hier steht, und zwar: Gehen wir noch mal durch, was wir hier gemacht haben. Wir haben angenommen \sqrt2 sei eine rationale Zahl, sei also ein Bruch. Dann gibt es ein p und ein q, das sind natürliche Zahlen, sodass man schreiben kann \sqrt2=p/q oder p q-tel, ist ja auch egal. Dann haben wir das quadriert, wir haben eine Umformung gemacht und wir haben gesagt, okay, hier steht eine grade Zahl auf der Linksseite, dann wissen wir auch, dass nicht nur dieses Quadrat, sondern p selbst auch gerade ist. Das heißt, wir können also dieses p zum Beispiel durch 2b ersetzen, durch eine natürliche Zahl, die mit 2 multipliziert wird. Dann haben wir das hier eingesetzt und umgeformt und sind darauf gekommen, dass also nicht nur hier p eine gerade Zahl sein muss, sondern auch q eine gerade Zahl sein muss, denn q2 ist gerade, also ist q auch gerade. Dann haben wir das wieder ersetzt mit einer natürlichen Zahl, die mit 2 multipliziert q ergibt, das ist ja bei geraden Zahlen so, und haben wieder Umformungen gemacht und sind darauf gekommen, dass nun wieder b eine gerade Zahl sein muss, weil das Quadrat von b eine gerade Zahl ist. Und das könnten wir jetzt immer weiter machen. Wir könnten jetzt sagen, dass b eine gerade Zahl ist, dann ersetzen wir das wieder durch 2× eine andere Zahl. Dann kriegen wir die Situation hier wieder mit diesen beiden Zweien. Wir können eine 2 quasi aus der Gleichung rauskürzen, würden dann feststellen, dass m eine gerade Zahl ist. Das können wir wieder ersetzen und so weiter, und so weiter. Das bedeutet: Wenn \sqrt2 ein Bruch wäre, dann enthielten p und q, dann enthielten also der Zähler und der Nenner unendlich viele Zweien. Das kann aber nicht sein. Es gibt keinen Bruch, bei dem der Zähler unendlich viele Zweien enthält und deshalb, da das also nicht funktioniert, müsste man sagen, kann \sqrt2 kein Bruch sein. Das sage ich deshalb so langsam, weil man sich das mal wirklich überlegen muss. Also wir haben uns gedacht: was wäre, wenn \sqrt2 ein Bruch wäre? Da haben wir gesehen: Da funktioniert was nicht, beziehungsweise wir haben gesehen: Wir können immer wieder 2 davon abspalten quasi, diesen Bruch also durch 2 kürzen. Das könnten wir unendlich oft weitermachen, wenn es ein Bruch wäre. Und damit können wir davon ausgehen, dass \sqrt2 kein Bruch ist. Dazu muss ich noch sagen, ir müssen noch zusätzlich davon ausgehen, dass entweder \sqrt2 ein Bruch ist oder kein Bruch ist. Da wird sich mal jemand denken: wieso? Warum sagt der das? Ja. Das hat den Grund, wir müssten quasi die 3. Möglichkeit ausschließen. Es gibt ja, hier in dem Fall nicht gut vorstellbar, aber normalerweise im Leben ist es ja so, dass man nicht nur das Eine oder das Andere hat beziehungsweise das Eine oder das Gegenteil. Es kann ja auch etwas Drittes der Fall sein. Aber wir gehen hier davon aus, dass entweder \sqrt2 ein Bruch ist oder kein Bruch ist und das etwas völlig anderes gar nicht infrage kommt. Wenn wir also davon ausgehen und wissen: Es kann kein Bruch sein, \sqrt2 kann kein Bruch sein, weil wir ihn unendlich oft kürzen könnten, wenn es einer wäre, das geht ja nicht, das ist ja ein Widerspruch, also ist es kein Bruch. Damit wissen wir aber auch, dass \sqrt2 kein periodischer, also ein unendlicher periodischer, Dezimalbruch sein kann. Es kann keine Dezimalzahl sein, überhaupt gar keine, weder eine endliche, also, es kann keine endliche und keine unendliche periodische Dezimalzahl sein, denn wir haben ja gesehen, dass man alle Brüche in endliche beziehungsweise in unendliche Dezimalzahlen übersetzen kann. Umgekehrt geht das außerdem auch, und deshalb haben wir nun also einen großen Schritt gemacht in der Entwicklung unserer Mathematik, wir wissen nämlich, wie irrationale Zahlen aussehen, denn wir haben alles andere ausgeschlossen. Irrationale Zahlen sind unendliche, nicht periodische Dezimalzahlen. Das wissen wir deshalb, weil wir gesehen haben: Eine irrationale Zahl wie zum Beispiel \sqrt2 kann kein Bruch sein, es kann keine endliche Dezimalzahl sein, sowieso schon nicht, es kann keine periodische Dezimalzahl sein, also unendliche periodische Dezimalzahl. Dann bleiben nur noch die unendlichen nicht periodischen Dezimalzahlen übrig. \sqrt2 ist eine solche Zahl, ebenso \sqrt3. Viele andere Wurzeln auch, ich zähle sie jetzt nicht alle auf, sind auch irrationale Zahlen und damit haben wir also geklärt, dass es die wirklich gibt und geben muss, und wie man sonst noch damit rechnet und wie man damit klarkommt, kommt in den nächsten Filmen. Bis dahin, viel Spaß, tschüss!

1 Kommentar

1 Kommentar
  1. Sehr gut erklärt habe alles verstanden.

    Von Hajto, vor mehr als 3 Jahren

Wurzeln und irrationale Zahlen (6) Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Wurzeln und irrationale Zahlen (6) kannst du es wiederholen und üben.
  • Gib an, welcher der Schritte zu der Rechung gehört.

    Tipps

    Quadriere zunächst und multipliziere dann auf beiden Seiten $q^2$.

    Ist eine Zahl ein Vielfaches von $2$, dann muss sie gerade sein.

    Ein Quadrat ist nur dann gerade, wenn die zu quadrierende Zahl gerade ist.

    Lösung

    Wie sieht der Beweis aus, dass $\sqrt 2$ irrational sein muss?

    Es kann ein Widerspruchsbeweis geführt werden. Das bedeutet, dass man das Gegenteil dessen annimmt, was bewiesen werden soll. Wir nehmen an, dass $\sqrt{2}=\frac{p}{q}$ ein Bruch ist, der bereits gekürzt ist. Unter dieser Annahme gelangt man durch Äquivalenzumformungen zu einem Widerspruch. Das heißt, dass die Annahme falsch gewesen sein muss.

    Die Rechnung sieht wie folgt aus:

    $\begin{align*} \sqrt 2&=\frac pq&|&(~~)^2\\ 2&=\frac{p^2}{q^2}&|&\cdot q^2\\ 2q^2&=p^2 \end{align*}$

    Nun muss $p^2$ und somit auch $p$ gerade sein, also $p=2b$. Dies führt zu $2q^2=4b^2$ bzw. $q^2=2b^2$.

    Dieses Mal muss $q^2$ und somit auch $q$ gerade sein, also $q=2m$. Dies führt zu $4m^2=2b^2$ bzw. $2m^2=b^2$.

    Wir erkennen, dass $p$ und $q$ jeweils durch $2$ teilbar sind. Der Bruch $\frac{p}{q}$ ist also doch nicht gekürzt, was einen Widerspruch ergibt.

  • Vervollständige zum Beweis der Irrationalität von $\sqrt{2}$.

    Tipps

    Einen solchen Beweis nennt man einen Widerspruchsbeweis.

    Wenn du zum Beispiel nachweisen willst, dass $3$ eine ungerade Zahl ist, nimmst du an, dass $3$ gerade ist.

    Du nimmst also das Gegenteil dessen an, was gezeigt werden soll.

    Wenn eine Annahme zu einem Widerspruch führt, muss die Annahme falsch gewesen sein.

    Irrationale Zahlen sind Dezimalzahlen, die unendlich und nicht periodisch sind.

    Lösung

    Wie sieht der Beweis aus, dass $\sqrt 2$ irrational sein muss?

    Man startet mit der Annahme, dass $\sqrt 2$ rational sei, sich also als Bruch darstellen lässt:

    $\begin{align*} \sqrt 2&=\frac pq&|&(~)^2\\ 2&=\frac{p^2}{q^2}&|&\cdot q^2\\ 2q^2&=p^2 \end{align*}$

    Nun muss $p^2$ und somit auch $p$ gerade sein, also $p=2b$. Dies führt zu $2q^2=4b^2$ bzw. $q^2=2b^2$.

    Dieses Mal muss $q$ gerade sein, also $q=2m$. Dies führt zu $4m^2=2b^2$ bzw. $2m^2=b^2$.

    Das kann man nun beliebig lange fortführen. Das heißt: Wenn $\sqrt 2$ eine rationale Zahl wäre, dann müssten sowohl im Zähler als auch im Nenner unendlich oft der Faktor $2$ stehen. Einen solchen Bruch gibt es jedoch nicht. Es liegt also ein Widerspruch vor.

    Die Annahme, dass $\sqrt 2$ rational sei, führt zu einem Widerspruch. Da $\sqrt 2$ nur entweder rational oder irrational sein kann, muss die Annahme falsch gewesen sein und somit $\sqrt 2$ irrational.

  • Prüfe die folgenden Aussagen.

    Tipps

    Primzahlen sind alle Zahlen größer oder gleich $2$, welche nur durch $1$ oder sich selbst teilbar sind.

    Jede gerade Zahl lässt sich als Vielfaches von $2$ darstellen:

    • $2=2\cdot 1$
    • $4=2\cdot 2$
    • $6=2\cdot 3$ usw.

    Die Summe von zwei ungeraden Zahlen ist gerade.

    Lösung

    Primzahlen sind alle natürlichen Zahlen größer oder gleich $2$, die nur durch $1$ oder sich selbst teilbar sind.

    Tatsächlich ist die $2$ die einzige gerade Primzahl: $2$ ist sicher nur durch $2$ und durch $1$ teilbar.

    Jede weitere gerade Zahl kann nicht prim sein, da sie ja gerade ist und somit durch $2$ teilbar.

    Das bedeutet, dass jede Primzahl, bis auf die $2$, eine ungerade Zahl sein muss.

    Umgekehrt gilt aber nicht, dass jede ungerade Zahl eine Primzahl sein ist, wie das Beispiel $9=3\cdot 3$ zeigt.

    Betrachtet man nun zwei beliebige Primzahlen, verschieden von $2$, so sind diese ungerade. Die Summe zweier ungerader Zahlen ist allerdings gerade. Das bedeutet, dass die Summe zweier Primzahlen in der Regel keine Primzahl sein kann.

    Hier würde auch ein Gegenbeispiel reichen, z. B. $17+19=36$:

    • $17$ und $19$ sind beides Primzahlen.
    • Sicher ist $36=2\cdot 2\cdot 3\cdot 3$ keine Primzahl.
  • Begründe, dass das Produkt zweier natürlicher Zahlen nur dann ungerade ist, wenn beide Faktoren ungerade sind.

    Tipps

    Eine ungerade Zahl lässt sich schreiben als Vielfaches von $2$ plus $1$.

    Eine gerade Zahl lässt sich schreiben als Vielfaches von $2$.

    Verwende das Distributivgesetz:

    $(a+b)\cdot (c+d)=ac+ad+bc+bd$.

    Lösung

    Das Quadrat zweier ungerader Zahlen ist ungerade. Wie sieht das allgemein mit dem Produkt zweier ungerade Zahlen aus?

    Man betrachtet das Produkt $p\cdot q$, wobei

    • $p=2n+1$ und
    • $q=2m+1$.
    Damit ist $p\cdot q=(2n+1)\cdot (2m+1)=4nm+2n+2m+1=2(2nm+n+m)+1$.

    Da der erste Summand als Vielfaches von $2$ gerade ist und zu dieser geraden Zahl $1$ addiert wird, ist die Summe ungerade und somit auch das Produkt zweier beliebiger ungerader Zahlen.

    Nun muss noch nachgewiesen werden, dass jedes Produkt natürlicher Zahlen mit mindestens einem geraden Faktor gerade ist. Wir betrachten zunächst den Fall, dass genau einer der Faktoren gerade ist:

    • $p=2n$ und
    • $q=2m+1$.
    Dabei ist es egal, ob der erste oder zweite Faktor gerade ist, da die Multiplikation kommutativ ist.

    Es ist $p\cdot q=2n\cdot (2m+1)$ sicher ein Vielfaches von $2$ und damit gerade.

    Ebenso kann auch nachgewiesen werden, dass das Produkt zweier gerader Zahlen wieder gerade ist.

    Damit ist die Aussage bewiesen, dass das Produkt zweier natürlicher Zahlen nur dann ungerade ist, wenn beide Faktoren ungerade sind.

  • Beschreibe, was eine irrationale Zahl ist.

    Tipps

    Rationale Zahlen werden auch als Bruchzahlen bezeichnet.

    Eine rationale Zahl kann als Dezimalzahl geschrieben werden.

    Zum Beispiel:

    $\frac34=0,75$.

    Diese Zahl hat zwei Nachkommastellen.

    Ein weiteres Beispiel ist der Bruch:

    $\frac13=0,3333....=0,\bar3$.

    Der Strich über der $3$ zeigt an, dass noch unendlich viele Dreien folgen.

    Lösung

    Was bedeutet es eigentlich, dass eine Zahl irrational ist?

    Zunächst einmal: Was bedeutet rational?

    Eine rationale Zahl ist eine Bruchzahl. Jede Bruchzahl lässt sich auch als Dezimalzahl darstellen.

    • Entweder ist diese Dezimalzahl endlich, wie zum Beispiel bei $\frac25=0,4$,
    • oder sie ist periodisch, wie zum Beispiel $\frac16=0,1\bar6$.
    Die Vorsilbe „ir“ steht für die Verneinung. Das heißt irrationale Zahlen sind nicht rationale Zahlen.

    Das wiederum bedeutet, dass irrationale Zahlen unendliche, nicht periodische Dezimalzahlen sind.

  • Weise die folgende Aussage nach.

    Tipps

    Wenn die Zahl $12$ ist, dann ist deren Nachfolger $12+1=13$.

    Es gilt: $13^2-12^2=169-144=25=12+13$.

    Dies ist ein Beispiel, reicht aber natürlich nicht als Beweis.

    Verwende die erste binomische Formel:

    $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$.

    Schreibe $2z=z+z$.

    Lösung

    Das Quadrat aus dem Nachfolger einer Zahl minus dem Quadrat der Zahl soll die Summe der Zahl und ihres Nachfolgers sein.

    Ob das wohl immer gilt?

    Man kann sich dies mal an einem Beispiel überlegen:

    • $z=12$, $z+1=13$
    • $13^2-12^2=169-144=25$
    • $12+13=25$ $\surd$
    Nur könnte dies jetzt tatsächlich Zufall gewesen sein. Ist es nicht und das kann man auch beweisen.

    Sei die Zahl $z$, dann ist deren Nachfolger $z+1$.

    Vom Quadrat der größeren soll das der kleineren subtrahiert werden:

    $(z+1)^2-z^2$.

    Das Quadrat einer Summe kann man mit der ersten binomische Formel $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$ berechnen:

    $z^2+2z+1-z^2=2z+1=z+z+1=z+(z+1)$.

    Und da kann man sehen, dass die Aussage tatsächlich stimmt, denn auf der rechten Seite der Gleichungskette steht die Summe der beiden Ausgangszahlen.

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