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Wurzeln und irrationale Zahlen (5)

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Ø 3.0 / 2 Bewertungen

Die Autor/-innen
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Martin Wabnik
Wurzeln und irrationale Zahlen (5)
lernst du in der 9. Klasse - 10. Klasse

Beschreibung Wurzeln und irrationale Zahlen (5)

Herzlich Willkommen zum Video „ Wurzeln und irrationale Zahlen 5 “. Im letzten Film wurde dir gezeigt, dass p nur eine gerade Zahl sein kann. Können wir daraus schließen, dass die Wurzel aus 2 irrational ist? Was war eine irrationale Zahl? Wie geht der Beweis von Euklid nun weiter? Fragen über Fragen! Wir klären sie für dich! Nutze die Gelegenheit und halte das Video an, falls du den einen oder anderen Beweisschritt nicht verstehst. Du hast die Möglichkeit dir die Beweisschritte noch einmal anzuschauen. Wenn du die Gedankengänge in diesem Video verstanden hast, dann wartet auf dich die letzte Etappe!

Transkript Wurzeln und irrationale Zahlen (5)

Hallo, jetzt nimmt unser Beweis etwas an Fahrt auf. Wie ich hier auf dieser Tafel im letzten Film gezeigt habe, das, was du jetzt nicht mehr sehen kannst, also wie ich da gezeigt habe, kann p nur eine gerade Zahl sein. Deshalb kann man jetzt schreiben - das schreibe ich darunter einfach - sei p = 2b, zum Beispiel. Das darf man machen, und zwar deshalb, weil ja p eine gerade Zahl ist. Dann können wir es auch durch eine Zahl ersetzen. Also wenn wir jetzt p durch 2 teilen, kommt ja eine natürliche Zahl heraus und deshalb soll die Zahl jetzt mal b heißen. Deshalb sind also 2b = p. Ja, wir gehen ja immer noch davon aus, was wäre, wenn die ?2 ein Bruch wäre. Und wir folgern jetzt weiter, dann wäre p auch hier eine gerade Zahl, dann können wir die ersetzen durch 2 b. Daraus folgt dann, ja jetzt mach ich hier das Äquivalenszeichen hin, da hab ich sie etwas verschlampt, die Äquivalenzzeichen, naja schöner wirds jetzt auch nicht, egal. Wenn also p durch 2b ersetzt wird, dann steht hier auf der rechten Seite: 2b × 2b. Denn hier steht ja p², wenn wir statt p 2b² oder eben einfach 2b × 2b. Das bedeutet aber, dass wir jetzt diese Gleichung hier, durch 2 teilen können. Und das werde ich jetzt mal machen: Dann haben wir also q² noch, die 2 ist dann weggekürzt, eine 2 kann ich hier auch kürzen. 2b× 2b ÷ 2 ist dann nur noch 2 × b². Und jetzt kommt der entscheidende Punkt, denn ich sage hier auf der rechten Seite steht ja eine gerade Zahl: 2 × b² ist eine gerade Zahl, denn die Zahl ist durch 2 teilbar, klar. Ist q gerade oder ungerade? Wir haben schon gesehen, in der Überlegung aus dem letzten Film, wenn q² eine gerade Zahl ist, das ist ja der Fall, weil q²  = 2b ist. 2b ist eine gerade Zahl und damit ist q² auch eine gerade Zahl. Wenn q² also eine gerade Zahl ist, dann ist q auch eine gerade Zahl. Das bedeutet, ich kann also q durch etwas anderes ersetzen, und zwar zum Beispiel - was nehmen wir mal - 2 m, warum nicht. Irgendeinen Buchstaben. Wenn q eine gerade Zahl ist, dann kann ich auch q = 2m schreiben. Dann wird es ein m geben für das gilt: 2 × m = q ist. Dann kann ich Gleichung, die hier steht also folgendermaßen schreiben: 2m * 2m = 2b². Und das kann ich jetzt wieder durch 2 kürzen: Dann steht hier auf der linken Seite noch - eine 2 kürzt sich ja weg: 2 × m² = b².  Das sieht im Moment vielleicht noch, wenn man das nicht so gewöhnt ist, etwas komisch aus. Und wie der Sinn davon ist, das zeige ich im 4. Teil. Bis dahin, viel Spaß. Tschüs. 

1 Kommentar

1 Kommentar
  1. bisschen professioneller pls

    Von Lejo B., vor mehr als 5 Jahren

Wurzeln und irrationale Zahlen (5) Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Wurzeln und irrationale Zahlen (5) kannst du es wiederholen und üben.
  • Ergänze die Erklärung, wie man bei der Gleichung $2q^2=p^2$ weiterrechnen kann.

    Tipps

    Was fällt dir bei den geraden Zahlen $2$, $4$, $6$, $8$ .... auf?

    $3$ ist ungerade. $2\cdot 3=6$ ist gerade.

    Ein Quadrat $p^2$ ist ein abkürzende Schreibweise für ein Produkt $p\cdot p$.

    Lösung

    Wenn man annimmt, dass $\sqrt 2$ rational ist, kann man wie folgt beginnen:

    $\begin{align*} \sqrt 2&=\frac pq&|&(~~)^2\\ 2&=\frac{p^2}{q^2}&|&\cdot q^2\\ 2q^2&=p^2. \end{align*}$

    Es muss nun gelten, dass $p^2$ gerade, denn die linke Seite $2q^2$ ist ebenfalls gerade. Dann muss auch $p$ selbst gerade sein. Sie lässt sich also wie folgt schreiben:

    $p=2b$.

    Nun kann die letzte Zeile wie folgt umgeformt werden:

    $2q^2=2b\cdot 2b$.

  • Schildere, wie die Gleichung $2q^2=p^2$ weiter umgeformt werden kann.

    Tipps

    Ein Quadrat ist dann nur dann gerade, wenn die zu quadrierende Zahl ebenfalls gerade ist.

    Lösung

    Man kann mit $2q^2=p^2$ folgern, dass $p^2$ gerade sein muss.

    Ein Quadrat ist nur dann gerade, wenn die zu quadrierende Zahl gerade ist. Also muss $p=2b$ sein. Nun kann $p$ in der obigen Gleichung ersetzt werden:

    $2q^2=2b \cdot 2b$.

    Nun kann durch $2$ geteilt werden. Daraus folgt:

    $q^2=2b^2$.

    Auf der rechten Seite steht, wegen des Faktors $2$, eine gerade Zahl. Also muss auch $q^2$ und damit $q$ eine gerade Zahl sein.

    Also ist $q=2m$.

    Wiederum kann dies in der Gleichung eingesetzt werden:

    $2m\cdot 2m=2b^2$.

    Division durch $2$ führt zu:

    $2m^2=b^2$.

  • Prüfe die folgenden Aussagen.

    Tipps

    Eine gerade Zahl lässt sich schreiben als ein Vielfaches von $2$.

    Addiert man zu einer geraden Zahl $1$, erhält man eine ungerade Zahl.

    Mache dir die jeweiligen Aussagen an Beispielen klar.

    Ist die Aussage falsch, genügt ein Gegenbeispiel.

    Lösung

    Ein Quadrat ist nur dann gerade ist, wenn die zu quadrierende Zahl gerade ist. Außerdem gilt: Ein Quadrat ist nur dann ungerade ist, wenn die zu quadrierende Zahl ungerade ist.

    Wie sieht dies mit Produkten oder Differenzen von geraden und/oder ungeraden Zahlen aus?

    • Ein Produkt aus natürlichen Zahlen ist nur dann ungerade, wenn beide Faktoren ungerade sind.
    • Ist in einem Produkt aus natürlichen Zahlen (mindestens) ein Faktor gerade, dann ist auch das Produkt gerade.
    Betrachtet wird eine Differenz, bei welcher der Minuend größer ist als der Subtrahend; damit das Ergebnis wieder eine natürliche Zahl ist:
    • Eine Differenz zweier natürlicher Zahlen ist gerade wenn entweder beide Zahlen gerade oder beide ungerade sind.
    • In den übrigen Fällen ist die Differenz ungerade.

  • Weise die Aussage nach, dass das Produkt $p\cdot q$ zweier natürlicher Zahlen $p$ und $q$ ungerade ist, wenn beide Faktoren ungerade sind.

    Tipps

    Eine ungerade Zahl lässt sich immer als Summe einer geraden Zahl und $1$ schreiben.

    Verwende zum Ausmultiplizieren das Distributivgesetz:

    $a\cdot (b+c)=ab+ac$.

    Woran kannst du eine gerade Zahl erkennen?

    Antwort: Sie enthält den Faktor $2$.

    Lösung

    Das Produkt zweier ungerader Zahlen soll ungerade sein:

    • $3\cdot 5=15$
    • $7\cdot 3=21$
    • $111\cdot 9=999$
    Bei diesen Beispielen stimmt das. Nur wie kann man dies allgemein nachweisen? Man betrachtet das Produkt $p\cdot q$, wobei
    • $p=2n+1$ und
    • $q=2m+1$
    jeweils ungerade Zahlen sind.

    Dann gilt:

    $p\cdot q=(2n+1)\cdot (2m+1)$.

    Nun können die Klammern ausmultipliziert werden:

    $(2n+1) \cdot (2m+1)=2n\cdot 2m+2n+2m+1=4mn+2n+2m+1$.

    Man kann feststellen, dass die ersten drei Summanden jeweils durch $2$ teilbar sind und somit gerade. Damit ist auch deren Summe gerade. Durch die Addition von $1$ erhält man eine ungerade Zahl.

  • Beschreibe, warum $p^2$ gerade sein muss.

    Tipps

    Eine Zahl ist gerade, wenn sie sich als Vielfaches von $2$ schreiben lässt.

    Ein Produkt $a\cdot b$ ist durch jeden seiner Faktoren $a$ und $b$ teilbar.

    Ein Gleichheitszeichen bedeutet, dass links und rechts davon das Gleiche stehen muss.

    Lösung

    Gemäß der obigen Rechnung gilt $2q^2=p^2$, wenn $\sqrt 2$ sich als Bruch schreiben lässt.

    Auf der linken Seite steht ein Produkt; einer der Faktoren ist die $2$, also ist das Produkt durch $2$ teilbar und somit gerade.

    Damit die Gleichheit gilt, muss also auch $p^2$ gerade sein.

  • Arbeite den Beweis heraus, dass $\sqrt 2$ kein Bruch sein kann mit ungeradem Zähler und Nenner.

    Tipps

    Eine gerade Zahl ist durch $2$ teilbar oder lässt sich andersherum als Vielfaches von $2$ schreiben.

    Ist eine Zahl durch $4$ teilbar, dann ist sie sicher auch gerade.

    Die Summe zweier geraden Zahlen ist gerade.

    Addiert man zu einer geraden Zahl $1$, erhält man eine ungerade Zahl.

    Lösung

    Wenn man annimmt, dass $\sqrt 2$ rational ist, so lässt sich dies wie folgt schreiben:

    $\sqrt 2=\frac pq$.

    Wir kürzen $p$ und $q$ durch $2$ so oft wie möglich, sodass nur noch einer der folgenden drei Fälle auftreten kann:

    • $\sqrt 2=\frac{2n}{2m+1}$ oder
    • $\sqrt 2=\frac{2n+1}{2m}$ oder
    • $\sqrt 2=\frac{2n+1}{2m+1}$.
    Hier wird der Beweis für den unteren der drei Fälle erbracht:

    $\begin{align*} \sqrt 2&=\frac{2n+1}{2m+1}&|&(~~)^2\\ 2&=\frac{(2n+1)^2}{(2m+1)^2}&|&\cdot (2m+1)^2\\ 2\cdot (2m+1)^2&=(2n+1)^2\\ 2\cdot (4m^2+4m+1)&=4n^2+4n+1. \end{align*}$

    Nun steht auf der linken Seite der Gleichung eine gerade Zahl. Dies ist an dem Faktor $2$ zu erkennen.

    Auf der rechten Seite steht die Summe aus zwei geraden Zahlen, $4n^2$ und $4n$, also wieder eine gerade Zahl, und $1$, und somit eine ungerade Zahl.

    Dies ist ein Widerspruch, da auf der linken Seite der Gleichung eine gerade und auf der rechten eine ungerade Zahl steht.

    Die Annahme, dass $\sqrt 2$ ein Bruch mit ungeradem Zähler und Nenner ist, muss somit falsch sein.

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