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Wurzeln und irrationale Zahlen (3)

Bewertung

Ø 4.1 / 8 Bewertungen

Die Autor*innen
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Martin Wabnik
Wurzeln und irrationale Zahlen (3)
lernst du in der 9. Klasse - 10. Klasse

Beschreibung Wurzeln und irrationale Zahlen (3)

Herzlich Willkommen zum Video „ Wurzeln und irrationale Zahlen 3 “. Du weißt bereits, dass Wurzel 2 keine endliche Dezimalzahl sein kann. Kann die Wurzel aus 2 ein Bruch sein? Das wäre die nächste Frage! Wir wollen ja zeigen, dass Wurzel 2 eine irrationale Zahl ist. Wir werden dir im folgenden Film einen Widerspruchsbeweis von Euklid zeigen! Wir gehen davon aus, dass Wurzel 2 ein Bruch ist. Wie geht es nun weiter? Versuche den Beweisgedanken im vorliegenden Film zu verstehen. Nutze die Möglichkeit und halte das Video an, falls dir die Erklärungen und Gedankengänge zu schnell sind. Die Fortsetzung des Beweises findest du im nächsten Video! Viel Spaß!

Transkript Wurzeln und irrationale Zahlen (3)

Hallo. Wir haben schon gesehen, dass ?2 keine endliche, dezimale Zahl sein kann, das heißt eine Kommazahl mit mehreren Nachkommastellen, die sich nicht immer wiederholen. ?2 kann eine solche, endliche Dezimalzahl nicht sein. Kann ?2 ein Bruch sein? Das wäre die nächste Frage. Wir wollen im Prinzip darauf hinaus, dass ?2 eine irrationale Zahl ist, also keine rationale Zahl sein kann. Das müssen wir noch beweisen, dass das nicht geht. Könnte also?2 ein Bruch sein? Mal angenommen ?2 wäre ein Bruch. Ich mache jetzt einen Widerspruchsbeweis, der ist an Euklid angelehnt, den habe ich nicht selber erfunden. Das soll hier ein q sein, ich hoffe das sieht man gut genug. Wir gehen also davon aus: Was wäre, wenn ?2 ein Bruch wäre? Dann wären p und q natürliche Zahlen und wir könnten die gesamte Gleichung quadrieren. Das deutet man ja so an. Das bedeutet ?2×?2=2. Einen Bruch multipliziert man Zähler × Zähler, Nenner × Nenner. Also bekommen wir im Zähler p² und im Nenner q². Das muss ich nicht weiter begründen, das ist die Bruchmultiplikation, da sag ich jetzt nicht mehr viel zu. Also das alles unter der Annahme: Was wäre, wenn ?2 ein Bruch wäre? Hier haben wir jetzt wieder eine ganz normale Gleichung, Ich darf da Äquivalenzumformungen drauf anwenden. Z. B. kann ich rechnen: ×q². Dann habe ich auf der linken Seite stehen: 2xq². Und q² würde sich hier jetzt rauskürzen, wie man so sagt. Da steht dann also nur noch p² auf der rechten Seite. So weit, so gut. Und jetzt kommt das langsam so mit den Tricks, dass man das also langsam untersucht und zum Widerspruch führt. Da habe ich mich jetzt verschrieben. Das ist natürlich kein q, das ist ein p. Ja, manchmal gerät das beim umgekehrt Schreiben so durcheinander. Jetzt ist es richtig 2q²=p². Da habe ich es auch richtig gemacht, ja, Okay, wir können uns jetzt einfach so überlegen: Ist p gerade oder ungerade? Hier auf der linken Seite steht eine gerade Zahl. Das ist unbestritten, denn 2x eine natürliche Zahl ist eine gerade Zahl. p² ist auch eine gerade Zahl, denn p² ist ja so groß wie diese Zahl hier. Die Frage ist: ist p selber gerade oder ungerade? Und das kann man sich mit einer kleinen Nebenrechnung verdeutlichen, die ich dann im nächsten Film zeige. Bis dahin viel Spaß. Tschüss

3 Kommentare

3 Kommentare
  1. Hallo Jannes,
    da hast du Recht! Den Fehler hat Martin Wabnik später in Minute 2:53 auch erkannt und korrigiert.
    Liebe Grüße aus der Redaktion

    Von Jeanne O., vor etwa 3 Jahren
  2. 2.20 p statt nem q da hab ich dich erwischt xD

    Von Jannes V., vor etwa 3 Jahren
  3. DANKE für Ihre Videos! Bei Ihnen verstehe ich Zusammenhänge - toll wie Sie Wissen anderen Menschen an die Hand geben! DANKE!

    Von S Kohler Dibl, vor mehr als 7 Jahren

Wurzeln und irrationale Zahlen (3) Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Wurzeln und irrationale Zahlen (3) kannst du es wiederholen und üben.
  • Ergänze den Lückentext zur Zahl $\sqrt{2}$.

    Tipps

    Wie bezeichnet man Dezimalzahlen auch?

    Ein Beispiel für eine Dezimalzahl ist $3,1415$.

    Jeder Bruch ist entweder eine

    • endende Dezimalzahl $\frac18=0,125$ oder
    • eine periodische Dezimalzahl $\frac19=0,\bar1$.
    Die Schreibweise $\bar1$ deutet an, dass unendlich viele Einsen folgen.

    Ein Beispiel für eine nicht endende und nicht periodische Dezimalzahl ist die Zahl $\pi=3,1415....$.

    Lösung

    Die Wurzel aus $2$, $\sqrt 2$, kann keine endliche Dezimalzahl sein. Das heißt, sie ist keine Kommazahl mit endlich vielen Nachkommastellen.

    Kann $\sqrt 2$ ein Bruch sein?

    Lässt sich $\sqrt 2$ wie folgt darstellen:

    $\sqrt 2=\frac pq$? Die Antwort darauf lautet: Nein, denn sie ist eine unendliche Nachkommazahl, bei der sich Stellen nicht wiederholen.

  • Schildere den Beginn des Beweises, dass $\sqrt{2}$ kein Bruch sein kann.

    Tipps

    Dies ist ein Widerspruchsbeweis:

    Man nimmt das Gegenteil dessen an, was zu zeigen ist, und führt diese Annahme zu einem Widerspruch.

    Dies bedeutet, dass die Annahme falsch gewesen sein muss.

    Führe bei der Umformung der Gleichung Äquivalenzumformungen durch.

    Beachte, dass ein Bruch potenziert wird, indem Zähler und Nenner jeweils einzeln potenziert werden.

    Lösung

    Kann $\sqrt 2$ ein Bruch sein?

    Diese Annahme wird zu einem Widerspruch geführt:

    $\sqrt 2=\frac pq$.

    Quadrieren führt zu

    $2=\frac{p^2}{q^2}$.

    Nun kann man mit $q^2$ auf beiden Seiten multiplizieren:

    $2\cdot q^2=p^2$.

    Das weitere Vorgehen hängt davon ab, ob $p$ gerade oder ungerade ist.

    Auf der rechten Seite der Gleichung steht mit $2\cdot q^2$ eine gerade Zahl, sodass auch $p^2$ gerade sein muss.

  • Erkläre, warum bei einem Bruch immer so weit gekürzt werden kann, dass nicht gleichzeitig im Zähler und Nenner gerade Zahlen stehen.

    Tipps

    Sei der Bruch zum Beispiel $\frac{16}{18}$, dann kann wie folgt gekürzt werden

    $\frac{16}{18}=\frac{2\cdot 8}{2\cdot 9}=\frac89$.

    Hier ist der Nenner ungerade.

    Probiere das Gleiche mal mit $\frac{16}{12}$. Kürze so weit als möglich.

    Es ist $\frac{16}{12}=\frac43$.

    Natürlich muss die ungerade Zahl nicht immer im Nenner stehen:

    $\frac{12}{16}=\frac34$.

    Es können auch sowohl im Nenner als auch im Zähler ungerade Zahlen stehen:

    $\frac{10}{14}=\frac57$.

    Lösung

    Der Einfachheit halber werden hier nur positive Brüche mit positivem Zähler und Nenner betrachtet. Natürlich sind alle Betrachtungen auch mit negativen Zahlen möglich.

    Jeder Bruch lässt sich in der Form

    $\frac pq$

    schreiben.

    Nehmen wir an, es sind nicht sowohl $p$ als auch $q$ gerade, dann ist man bereits fertig.

    Andernfalls lassen sich $p$ und $q$ jeweils wie folgt schreiben:

    • $p=2\cdot k$ und
    • $q=2\cdot l$.
    Somit ist durch Kürzen von $2$ $\frac pq=\frac{2\cdot k}{2\cdot l}=\frac kl$.

    Nun

    • ist wiederum entweder nicht sowohl $k$ als auch $l$ gerade, dann ist man fertig,
    • andernfalls lassen sich auch $k$ und $l$ als Vielfaches von $2$ schreiben und $2$ kann wiederum gekürzt werden.
    Dies wird so lange wiederholt, bis im Zähler und im Nenner nicht gleichzeitig eine gerade Zahl steht.

    Das bedeutet, dass es keinen gekürzten Bruch gibt, in dem sowohl der Zähler als auch der Nenner gerade sind.

  • Untersuche die folgenden Aussagen.

    Tipps

    Überlege dir bei den Aussagen, bei welchen du glaubst, dass sie nicht stimmen, ein Gegenbeispiel.

    Multipliziere verschiedene gerade und ungerade Zahlen miteinander.

    Jede gerade Zahl lässt sich in der Form

    $p=2\cdot k$

    schreiben. Zum Beispiel ist

    $18=2\cdot 9$.

    Lösung

    Die Annahme $\sqrt 2=\frac pq$ soll zu einem Widerspruch geführt werden. Man gelangt durch Umformungen zu

    $2\cdot q^2=p^2$.

    Auf der linken Seite steht also eine gerade Zahl. Warum? Weil das Produkt einer beliebigen Zahl mit einer geraden Zahl immer gerade ist.

    Wenn auf der rechten Seite eine ungerade Zahl stünde, wäre dies ein Widerspruch. Von dort aus wird der Beweis weitergeführt.

  • Beschreibe, was eine rationale Zahl ist.

    Tipps

    Ratio kommt aus dem Lateinischen und steht für Verhältnis.

    Beispiele für rationale Zahlen sind

    • $0,5$,
    • $\frac13$ und
    • $-\frac34$.

    Lösung

    Was ist eine rationale Zahl?

    Eine rationale Zahl lässt sich als Bruch darstellen, das bedeutet, in der Form

    $\frac pq$.

    Man kann eine rationale Zahl auch als Dezimalzahl, als Kommazahl schreiben. Sie

    • hat dann entweder endlich viele Nachkommastellen oder
    • ist periodisch.
    Ein Beispiel für endlich viele Nachkommastellen ist

    $-\frac34=-0,75$.

    Ein Beispiel für eine Periode ist

    $\frac1{12}=0,833333.....=0,8\bar3$.

    Die Periode wird mit dem Strich über der (oder den) entsprechenden Zahl(en) angezeigt.

  • Arbeite den Beweis heraus, dass $\sqrt 2$ kein Bruch sein kann mit geradem Zähler und ungeradem Nenner.

    Tipps

    Eine gerade Zahl ist durch $2$ teilbar oder lässt sich andersherum als Vielfaches von $2$ schreiben.

    Ist eine Zahl durch $4$ teilbar, dann ist sie sicher auch gerade.

    Die Summe von zwei geraden Zahlen ist gerade.

    Addiert man zu einer geraden Zahl $1$, erhält man eine ungerade Zahl.

    Lösung

    Wenn man annimmt, dass $\sqrt 2$ rational ist, so lässt sich dies wie folgt schreiben

    $\sqrt 2=\frac pq$.

    Wir können so lange mit $2$ kürzen bis einer der folgenden drei Fälle eintritt:

    • $\sqrt 2=\frac{2n}{2m+1}$ oder
    • $\sqrt 2=\frac{2n+1}{2m}$ oder
    • $\sqrt 2=\frac{2n+1}{2m+1}$.
    Hier wird der Beweis für den oberen der drei Fälle erbracht:

    $\begin{align*} \sqrt 2&=\frac{2n}{2m+1}&|&(~)^2\\ 2&=\frac{(2n)^2}{(2m+1)^2}&|&\cdot (2m+1)^2\\ 2\cdot (2m+1)^2&=(2n)^2\\ 2\cdot (4m^2+4m+1)&=4n^2&|&:2\\ 4m^2+4m+1&=2n^2. \end{align*}$

    Nun steht auf der linken Seite der Gleichung die Summe aus zwei geraden Zahlen, $4m^2$ und $4m$, also wieder eine gerade Zahl, und $1$, und somit eine ungerade Zahl. Auf der rechten Seite steht das Zweifache von $n^2$. Dies ist immer gerade.

    Dies ist ein Widerspruch, da auf der linken Seite der Gleichung eine ungerade und auf der rechten eine gerade Zahl steht.

    Die Annahme, dass $\sqrt 2$ ein Bruch mit geradem Zähler und ungeradem Nenner ist, muss somit falsch sein.

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