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Wurzel aus 2 – Irrationalität 05:25 min

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Transkript Wurzel aus 2 – Irrationalität

Die Welt erzittert vor Boris Brecher. Er haut alles zu Bruch. Er bricht Herzen, er bricht das Gesetz und er bricht die Wurzel aus 2! Was? Wieso kann er keinen Bruch aus Wurzel 2 machen? Na klar! Das liegt daran, dass die Wurzel aus 2 irrational ist! Irrationale Zahlen sind alle die reellen Zahlen, die nicht gleichzeitig auch rationale Zahlen sind.Das heißt, irrationale Zahlen kann man nicht als Bruch aus zwei ganzen Zahlen schreiben. Aber wie will man herausfinden, ob man eine Zahl als Bruch schreiben kann oder nicht? Dazu benutzen wir einen Widerspruchsbeweis! Um unsere Aussage zu beweisen, benutzen wir einen schlauen Trick: Wir nehmen an, das Gegenteil unserer Aussage sei wahr. Man nennt dieses Gegenteil dann "verneinte Aussage", oder "Gegenannahme". Dabei müssen wir darauf achten, wirklich das logisch richtige Gegenteil zu formulieren. Dann versuchen wir, aus der Gegenannahme einen Widerspruch zu folgern. Und wenn wir mit logisch richtigen Schritten bei einem Widerspruch landen, muss der Ausgangspunkt falsch gewesen sein! Da wir von der Gegenannahme ausgegangen sind, ist die also falsch! Und das bedeutet dann, dass die eigentliche Aussage richtig sein muss. Also: zu beweisende Aussage formulieren, logisch verneinen zur Gegenannahme, auf korrekte Art zu einem Widerspruch gelangen – fertig: Die zu beweisende Aussage muss wahr sein. Dann sind wir glücklich und sagen "q.e.d." – "was zu beweisen war". Schauen wir uns dieses Verfahren doch mal mit der Irrationalität der Wurzel aus 2 an! Wir wollen beweisen, dass die Wurzel aus 2 irrational ist. Das heißt, unsere Aussage lautet: "die Wurzel aus 2 ist irrational". Die Gegenannahme ist dann "die Wurzel aus 2 ist rational", sie lässt sich also als vollständig gekürzten Bruch schreiben. Sagen wir, "Wurzel 2 gleich p durch q". Wobei p und q keine gemeinsamen Teiler haben – der Bruch soll ja vollständig gekürzt sein. So weit, so gut. Dann stellen wir doch mal die Gleichung um, damit die Wurzel verschwindet. Wir quadrieren also auf beiden Seiten. Und den Bruch lösen wir auch auf, also multiplizieren wir beide Seiten mit q Quadrat. Stellen wir doch mal nach p Quadrat um. Hm.. was wissen wir jetzt über p Quadrat? p Quadrat muss gerade sein, da es gleich 2 mal irgendeine andere Zahl ist – nämlich 2 mal q Quadrat! Aber wenn p Quadrat gerade ist, muss auch p gerade sein! Denn in p Quadrat tauchen alle Faktoren von p mindestens zweimal auf – klar, einmal für jedes p. Naja, aber wenn p auch gerade ist, dann können wir es doch als 2 mal eine andere Zahl schreiben "p gleich 2 mal r" etwa. Also konnten wir schonmal folgern, dass "p gleich 2 mal eine Zahl r" sein muss. Und was können wir daraus schließen? Wenn wir für p "2 mal r" einsetzen, dann ist "4 r Quadrat" gleich "2 q Quadrat". Da können wir einmal durch 2 teilen und die Gleichung umdrehen. Oh! Aber jetzt steht da "q Quadrat gleich 2 mal irgendeine Zahl". Und wie gerade bei p Quadrat bedeutet das, dass q gerade sein muss – zum Beispiel könnte q gleich 2 mal s sein. Siehst du schon den Widerspruch? p und q sind beide gerade. Das kann aber nicht sein, denn wir haben ja angenommen, dass der Bruch "p durch q" vollständig gekürzt ist. Dann können p und q aber nicht beide durch 2 teilbar sein, sonst hätten wir ja noch mit 2 kürzen können. Also kann "p durch q" nicht als vollständig gekürzter Bruch vorgelegen haben. Und damit kann Wurzel 2 keine rationale Zahl sein – denn alle rationalen Zahlen lassen sich als vollständig gekürzte Brüche angeben. Wir haben es also geschafft! Die Wurzel aus 2 kann keine rationale Zahl sein – denn dann gibt es einen Widerspruch! Und damit ist Wurzel 2 irrational! q.e.d. Fassen wir das alles mal zusammen. Wir haben gezeigt, dass die Wurzel aus 2 eine irrationale Zahl ist. Das heißt, dass man Wurzel 2 nicht als Bruch schreiben kann. Ihre Dezimalschreibweise bricht also niemals ab, ist aber auch nicht periodisch! Eine andere berühmte irrationale Zahl ist Pi – oder auch alle anderen Wurzeln aus ganzen Zahlen, die keine Quadratzahlen sind. So wie Wurzel 3, Wurzel 5, und so weiter. Um ganz sicher zu sein, dass Wurzel 2 keine rationale Zahl sein kann, haben wir einen Widerspruchsbeweis benutzt. Dabei sind wir von der Gegenannahme "die Wurzel aus 2 ist rational" ausgegangen und haben damit einen Widerspruch gefunden. Ihr fragt euch, was aus Boris Brecher geworden ist? Der hat sich ein schwächeres Opfer gesucht. Wie irrational!

1 Kommentar
  1. Bannerslefmade!0075

    Vielen Vielen Dank an Euch.Ich halte morgen ein Referat über die Wurzel 2 und ihr habt mir sehr gut weiter geholfen !! Danke.

    Von Han78, vor 4 Tagen