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Was ist eine Matrix?

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Die Autor*innen
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Annejahn089
Was ist eine Matrix?
lernst du in der 11. Klasse - 12. Klasse - 13. Klasse

Grundlagen zum Thema Was ist eine Matrix?

Inhalt

Wozu verwendet man Matrizen?

In Mathe kommen Matrizen in verschiedenen Anwendungen vor: Man verwendet sie zum Beispiel, um die Entfernungen zwischen verschiedenen Städten in einer Tabelle darzustellen. Die Spalten und Zeilen der Tabelle sind Listen der Städtenamen. In die Tabelle selbst tragen wir die Zahlenwerte der Entfernungen ein. Verwenden wir nur noch diese Zahlenwerte an den Positionen der Tabelle, ohne die begrenzenden Linien und Überschriften, so erhalten wir eine Matrix. Ähnlich können wir auch die Marktanteile verschiedener Firmen und deren Veränderung in einer Tabelle notieren. Die Zeilen und Spalten der Tabelle bezeichnen die einzelnen Firmen. Die Einträge der Tabelle selbst sind diejenigen Marktanteile, die von der Firma der jeweiligen Zeile an die Firma der Spalte übergehen. Extrahieren wir aus dieser Tabelle nur die Zahlenwerte, so erhalten wir eine Matrix.

Was ist eine Matrix?

Schauen wir uns an, wie eine Matrix in Mathe genau definiert ist.

Ein rechteckiges Schema mit $m$ Zeilen und $n$ Spalten heißt $m \times n$ Matrix. Hierbei sind $m$ und $n$ natürliche Zahlen. Die Einträge der Matrix sind meist reelle Zahlen. Den Eintrag einer Matrix $A$ in der $i$-ten Zeile und $j$-ten Spalte bezeichnen wir mit $a_{ij}$. Hierbei kann der Zeilenindex $i$ jede natürliche Zahl zwischen $1$ und $m$ sein. Der Spaltenindex $j$ ist eine natürliche Zahl zwischen $1$ und $n$. Die gesamte Matrix sieht also so aus:

$A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \ldots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \ldots & a_{mn} \end{pmatrix} $

(m x n) Matrix

Man nennt $(m \times n)$ die Ordnung der Matrix. In der Ordnung steht immer an erster Stelle die Anzahl der Zeilen und an zweiter Stelle die Anzahl der Spalten. Eine Matrix als Ganzes bezeichnet man durch einen Großbuchstaben, zum Beispiel $D$. Die Einträge der Matrix $D$ bezeichnet man mit dem zugehörigen Kleinbuchstaben und zwei Indexen: Der erste Index bezeichnet die Zeile und der zweite die Spalte. Der Eintrag $d_{23}$ steht also in der zweiten Zeile und dritten Spalte der Matrix $D$.

Matrix – Anwendung

Als Beispiel für die Konstruktion einer Matrix verwenden wir ein Schema, das die Veränderung der Kundenbindungen der Firmen $A$, $B$ und $C$ beschreibt:

Daten Übergangsmatrix

Die Pfeilrichtungen stellen die Veränderung der Kundenbindung dar. Die Summe der Prozentsätze, die von einem Buchstaben ausgehen, beträgt immer $100\%$. Die von $A$ ausgehenden Pfeile bedeuten: $60\%$ der Kunden von $A$ bleiben $A$ treu, $30\%$ der Kunden von $A$ wechseln zu $B$ und $10\%$ der Kunden von $A$ wechseln zu $C$. Analog sind die Prozentsätze der von den anderen Firmen ausgehenden Pfeile zu verstehen.

Die Übergangsmatrix $E$ dieses Diagramms sammelt alle mathematischen Informationen, die für eine Berechnung zum Beispiel der Entwicklung der Kundenbindung nötig sind. Dazu tragen wir einfach die Prozentsätze aus dem Schema in eine Matrix $E$ ein. Die Zeilen der Matrix entsprechen den Startpunkten der Pfeile, die Spalten den Zielen der Pfeile in dem Schema. In der ersten Zeile stehen also die Prozentsätze der drei Pfeile, die von $A$ ausgehen: $e_{11}= 0,6$ und $e_{12}=0,3$ und $e_{13} = 0,1$. In die zweite Zeile schreiben wir die Prozentsätze aller Pfeile, die von $B$ ausgehen: $e_{21} = 0,5$ und $e_{22} = 0,5$ und $e_{23} = 0$. Schließlich stehen in der dritten Zeile die Prozentsätze für die Firma $C$: Der Verlust von $C$ an $A$ beträgt $90\%$, also $e_{31}=0,9$, der Verlust an $B$ beträgt $5\%$, also $e_{32} = 0,05$ und die Kundenbindung liegt ebenfalls bei nur $5\%$, also $e_{33} = 0,05$.

Die Übergangsmatrix $E$ sieht also so aus:

$ \begin{pmatrix} 0,6 & 0,3 & 0,1 \\ 0,5 & 0,5 & 0 \\ 0,9 & 0,05 & 0,05 \end{pmatrix} $

Bei einer Übergangsmatrix kannst du zur Kontrolle die Summe der Einträge jeder Zeile überprüfen: Diese Summe muss immer $1$ sein, denn die Summe der Prozentsätze entspricht der Gesamtheit der Kunden der Firma dieser Zeile, beträgt also $100\% = 1$.

Das Video zu Matrizen

In diesem Video wird dir verständlich erklärt, was eine Matrix ist. Du erfährst an einem Beispiel, wie du eine Matrix aus einem Schema ablesen kannst. Zu dem Video gibt es interaktive Übungen und ein Arbeitsblatt.

Transkript Was ist eine Matrix?

Hallo, ich bin Anne und ich erkläre dir heute, was eine Matrix ist. Dazu wollen wir zuerst überlegen, wozu man Matrizen verwendet. Dann gebe ich dir die genaue Definition einer Matrix. Und zum Schluss wollen wir eine sogenannte Übergangsmatrix aus einem Schema ableiten. Matrizen verwendet man, um Zusammenhänge mathematisch zu beschreiben. Zum Beispiel wollen wir jetzt eine Matrix bilden, in der man die Entfernung zwischen Städten festhält. Dazu siehst du hier eine Deutschlandkarte mit drei Städten: Berlin, München und Frankfurt am Main. Aus diesen Entfernungen wollen wir jetzt eine Tabelle bilden. Dazu schreiben wir in die Spalten der Tabelle die drei Städte, genauso in die Zeilen. Und jetzt übertragen wir die Entfernungen in diese Tabelle. Zum Beispiel fährt man von Berlin nach München 592 Kilometer und der Rückweg, also München Berlin ist natürlich genauso lang. Dann fährt man zum Beispiel von München nach Frankfurt am Main 393 Kilometer, der Rückweg ist wieder genauso lang. Und die Entfernung der Städte zu sich selbst ist natürlich Null Kilometer. Die Matrix erhält man jetzt, indem man aus der Tabelle nur noch die Zahlenwerte schreibt. Und Matrizen schreibt man immer in so runden Klammern. Der Sachverhalt, der dahinter steht, den muss man sich jetzt merken. Gleich gebe ich dir ein zweites Beispiel aus der Wirtschaft. Das zweite Beispiel kommt aus der Wirtschaft. Und dabei geht es um zwei Stromanbieter, die um ihre Kunden konkurrieren. Diese beiden Stromanbieter nennen wir jetzt mal A und B und anhand dieses Schemas kann man jetzt erkennen, wie sich die Marktanteile der Kunden von Jahr zu Jahr verändern. Zum Beispiel bleiben 60% der Kunden dem Stromanbieter A treu und 30% der Kunden von B bleiben dem Stromanbieter B treu. Diese Marktanteile wollen wir jetzt wieder in eine Tabelle übertragen, um letztendlich dann auf die sogenannte Übergangsmatrix zu kommen. Also wir schreiben wieder eine Tabelle auf. In den Spalten stehen die beiden Stromanbieter A und B und genauso in den Zeilen der Matrix. Also wir haben schon gesagt: 60% der Kunden von A bleiben auch bei A im Folgejahr, das heißt, in dieser ersten Zeile, erste Spalte steht dann 0,6. Von A nach B wandern 40% der Kunden von A, also schreiben wir rechts daneben 0,4. Von B nach A wandern 70% der Kunden von B, das heißt in dieser zweiten Zeile, erste Spalte schreiben wir 0,7. Und dreißig Prozent der Kunden von B bleiben auch bei dem Stromanbieter B, deswegen schreibt man dann in die zweite Zeile, zweite Spalte 0,3. Man erhält jetzt wieder die Matrix, indem man nur noch diese Zahlenwerte aus der Tabelle schreibt. Und wieder in diesen runden Klammern. Übrigens ergibt jede Zeile dieser Übergangsmatrix Eins, da sich in jeder Zeile quasi diese 100% der Kunden eines Stromanbieters befinden. Also in der ersten Zeile sind die 100% Kunden des Stromanbieters A und in der zweiten Zeile sind die 100% der Kunden des Stromanbieters B. Ja, gleich gebe ich dir die genaue Definition einer Matrix. Ich gebe euch jetzt die Definition einer Matrix: Das rechteckige Schema reeller Zahlen A mit den Einträgen a11, a12 bis a1n, dann a21, a22 bis a2n und dann geht man so weiter runter bis am1, am2 bis amn heißt Matrix und m und n sind natürliche Zahlen. Sie besitzt dann m Zeilen und n Spalten. Diese Größe dieser Matrix mit m Zeilen und n Spalten nennt man auch Ordnung der Matrix. Und bei unserer Matrix A ist diese Ordnung dann mxn. Also erst schreibt man immer die Anzahl der Zeilen und dann die Anzahl der Spalten. Wenn wir unsere Entfernungsmatrix, die wir hier oben sehen mal Matrix groß D nennen, dann hat diese Matrix die Ordnung 3x3, weil sie drei Zeilen und drei Spalten hat. Man kann jetzt die Elemente einer Matrix benennen, so wie wir es eigentlich hier schon gemacht haben. Und das macht man immer mit dem kleinen Buchstaben von dem Namen von der Matrix. Also die Matrix ist immer der große Buchstabe und die Elemente der Matrix sind ein kleiner Buchstabe. Und so ein Element amn gibt immer an, in welcher Zeile und in welcher Spalte sie steht. Also für unser Beispiel Matrix D nehme ich jetzt ein kleines d, weil ich ein einzelnes Element haben will. Dann wähle ich das Element Zwei, Drei. Das heißt, zweite Zeile, dritte Spalte. Und das ist bei uns dann 393. Ja, gleich wollen wir nochmal üben, wie wir aus einem Schema eine Übergangsmatrix ablesen. Wir wollen jetzt nochmal üben, wie man aus so einem Schema eine Übergangsmatrix bildet. Und jetzt haben wir drei Stromanbieter gegeben: A, B und C. Und wir wollen jetzt aus diesem Schema erstmal die Tabelle bilden und dann daraus die Matrix. Man sieht jetzt schon mal, dass 60% der Kunden von A auch dem Stromanbieter A treu bleiben im Folgejahr. Und wir schreiben in die Tabelle jetzt die Dezimalzahlen. Deswegen haben wir jetzt hier 0,6 von A nach A. Dann von A nach B gehen 30%, also 0,3. Von A nach C gehen 10%, 0,1. Von B nach A gehen 50%, 0,5. 50% bleiben dem Stromanbieter B treu, also haben wir hier 0,5. Von B nach C sind 0%, also 0. Dann von C nach A gehen 90%, 0,9. Von C nach B gehen 5%, also 0,05. Und 5% bleiben C treu, also haben wir hier 0,05. Man kann auch mal überprüfen, ob man alles richtig gemacht hat, indem man jede Zeile addiert und da muss dann immer Eins rauskommen. Und das ist hier auch der Fall, also haben wir alles richtig gemacht. Ja, jetzt schreiben wir quasi die Matrix auf, die wir groß E nennen. Und da brauche ich jetzt quasi nur noch diese Zahlenwerte und den Sachverhalt muss ich mir merken, der dahinter steht. Also haben wir jetzt die Einträge 0,6, 0,3, 0,1, dann 0,5, 0,5 und 0 und 0,9, 0,05 und 0,05. Ja, und jetzt haben wir diese Übergangsmatrix gefunden. Zum Schluss möchte ich nochmal zusammenfassen, was du heute gelernt hast: Wir haben uns Beispiele angeguckt, wann man Matrizen verwendet, einmal für die Entfernung von Städten und einmal für solche Übergangsmatrizen. Dann habe ich dir die genaue Definition einer Matrix gegeben. Und wir haben über die Ordnung der Matrix geredet und wie man die Elemente einer Matrix benennt. Und zum Schluss haben wir nochmal geübt, wie man aus so einem Schema eine Übergangsmatrix bildet. Ja, ich hoffe, du hast alles verstanden und hattest auch ein bisschen Spaß dabei. Bis zum nächsten Mal, deine Anne.

9 Kommentare

9 Kommentare
  1. Ich halte es auch für sehr verwirrend, wenn hier mit der transponierten Matrix gearbeitet wird.

    Von Chinzen, vor 10 Monaten
  2. Sonst super Video

    Von Abiabini, vor etwa einem Jahr
  3. Nicht die zeilen ergeben 1 sondern die Spalten

    Von Abiabini, vor etwa einem Jahr
  4. Von nach wurde verwechselt

    Von Abiabini, vor etwa einem Jahr
  5. Die Übergangsmatrix ist falsch

    Von Abiabini, vor etwa einem Jahr
Mehr Kommentare

Was ist eine Matrix? Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Was ist eine Matrix? kannst du es wiederholen und üben.
  • Ergänze die Erklärung zur Matrix.

    Tipps

    Hier siehst du ein Beispiel für eine Matrix: Hier sind die Entfernung von Städten zueinander dargestellt.

    Die zu Grunde liegende Tabelle ist hier zu sehen

    $\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline &\text{Berlin}&\text{München}&\text{Frankfurt}\\ \hline \text{Berlin}&0&592&554\\ \hline \text{München}&592&0&393\\ \hline \text{Frankfurt}&554&393&0\\ \hline \end{array}$

    Du kannst die Anzahl der Zeilen oder Spalten an den Indizes erkennen.

    Zum Beispiel steht das Element $a_{54}$

    • in der fünften Zeile und
    • der vierten Spalte.
    Lösung

    Was ist eine Matrix?

    Matrizen werden verwendet, um Zusammenhänge mathematisch zu beschreiben.

    Zum Beispiel kann man eine Entfernungsmatrix erstellen:

    Betrachtet werden die Entfernung der Städte Berlin, Frankfurt a.M. sowie München zueinander:

    $\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline &\text{Berlin}&\text{München}&\text{Frankfurt}\\ \hline \text{Berlin}&0&592&554\\ \hline \text{München}&592&0&393\\ \hline \text{Frankfurt}&554&393&0\\ \hline \end{array}$

    Dies kann auch als Matrix dargestellt werden:

    $D=\begin{pmatrix} 0&592&554 \\ 592&0&393\\ 554&393&0 \end{pmatrix}$

    Matrizen werden in runde Klammern geschrieben.

    Eine Matrix ist wie folgt definiert:

    Das rechteckige Schema reeller Zahlen

    $A=\begin{pmatrix} a_{11}&a_{12}&...&a_{1n} \\ a_{21}&a_{22}&...&a_{2n}\\ \vdots&\vdots&&\vdots\\ a_{m1}&a_{m2}&...&a_{mn} \end{pmatrix}$

    heißt Matrix. $m$ ist die Anzahl der Zeilen und $n$ die Anzahl der Spalten.

    Man spricht auch von der Ordnung einer Matrix $A$ $[m\times n]$.

  • Gib die zugehörige Übergangsmatrix an.

    Tipps

    Die Summe der Zeilenelemente ist immer $1$.

    Auf der Diagonalen stehen die Werte, welche von dem jeweiligen Element ($A$ oder $B$ oder $C$) zu sich selbst führen.

    Die Summe der Elemente in der ersten Spalte ist $1,8$.

    Lösung

    Dieses Übergangsdiagramm gibt die Wanderbewegungen von Kunden verschiedener Stromanbieter an.

    Am Beispiel $A$ bedeutet dies:

    • $60\%$ bleiben diesem Anbieter treu.
    • $30\%$ wandern zu $B$ ab.
    • $10\%$ wandern zu $C$ ab.
    Nun können diese Bewegungen in einer Matrix aufgeschrieben werden:

    • Die Zeilen stehen für die Bewegung von $A$, $B$ oder $C$ aus.
    • Die Spalten stehen für die Bewegung zu $A$, $B$ oder $C$ hin.
    Dies führt zu der Übergangsmatrix

    $E=\begin{pmatrix} 0,6&0,3&0,1 \\ 0,5&0,5&0\\ 0,9&0,05&0,05 \end{pmatrix}$

    Es ist zu erkennen, dass die Summe der Elemente in einer Zeile immer $1$ ist.

  • Ermittle zu der jeweiligen Matrix die Ordnung.

    Tipps

    Ganz allgemein ist die Ordnung einer Matrix gegeben durch

    $[$ Anzahl der Zeilen $\times$ Anzahl der Spalten $]$.

    Zähle jeweils die Zeilen und Spalten.

    Die Summe der Zeilen und Spalten ist jeweils $7$.

    Lösung

    Die Ordnung einer Matrix gibt an, wie viele Zeilen und wie viele Spalten eine Matrix besitzt.

    Dabei wird zuerst die Anzahl der Zeilen und dann die der Spalten in der folgenden Form aufgeschrieben:

    $[$ Anzahl der Zeilen $\times$ Anzahl der Spalten $]$.

    Man muss also die jeweiligen Zeilen und Spalten zählen. Dies führt zu den folgenden Ordnungen, von oben nach unten:

    • $[3\times 4]$
    • $[2\times 5]$
    • $[6\times 1]$
    • $[4\times 3]$
  • Stelle die Übergangsmatrix auf.

    Tipps

    Ein Kunde bleibt entweder bei einem Supermarkt oder wechselt zu einem der beiden anderen.

    Dies erkennst du daran, das die Zeilensumme immer $1$ ist.

    Beachte die Bewegung:

    In der zweiten Zeile dritte Spalte steht die Bewegung von $B$ nach $C$.

    Die Summe in der zweiten Spalte ist am größten: $1,15$.

    Lösung

    Dieses Übergangsdiagramm gibt an, ob, und wenn ja wie, Kunden von verschiedenen Supermärkten wechseln.

    Am Beispiel $B$ bedeutet dies:

    • $70\%$ bleiben bei diesem Supermarkt.
    • $20\%$ wechseln zu $A$.
    • $10\%$ wechseln zu $C$.
    Man kann das Käuferverhalten, genauer die entsprechenden Bewegungen in einer Matrix aufschreiben.

    • Die Zeilen stehen für die Bewegung von $A$, $B$ oder $C$ aus.
    • Die Spalten stehen für die Bewegung zu $A$, $B$ oder $C$ hin.
    Dies führt zu der Übergangsmatrix

    $S=\begin{pmatrix} 0,5&0,3&0,2 \\ 0,2&0,7&0,1\\ 0,15&0,15&0,7 \end{pmatrix}$

    Da ein Kunde entweder bei einem Supermarkt bleibt oder zu einem der beiden anderen wechselt, ist die Zeilensumme immer $1$.

  • Bestimme die Ordnung der Matrix.

    Tipps

    Die Ordnung einer Matrix ist gegeben durch die Zeilen- sowie Spaltenzahl.

    Diese Matrix hat die Ordnung $[3\times 3]$.

    Zähle die Anzahl der Zeilen sowie der Spalten.

    Lösung

    Diese Matrix besitzt $m=3$ Zeilen und $n=3$ Spalten.

    Allgemein wird die Ordnung einer Matrix mit $[m\times n]$ angegeben.

    Das bedeutet, dass diese Matrix die Ordnung $[3\times 3]$ besitzt.

  • Erstelle die Koeffizienten- sowie die erweiterte Koeffizientenmatrix.

    Tipps

    Beachte: Orientiere dich an den bereits vorgegebenen Einträgen.

    Der Koeffizient von, zum Beispiel

    • $4x$ ist $4$
    • $z$ ist $1$
    • $-3y$ ist $-3$
    • ...

    Die Zeilensumme der ersten Zeile beträgt $10$, die der zweiten $19$ und die der dritten $21$.

    Lösung

    Ein Verfahren, wie ein solches Gleichungssystem gelöst wird, ist das Gauß'sche Eliminationsverfahren.

    Hierfür wird zunächst die erweiterte Koeffizientenmatrix aufgestellt. In dieser befinden sich alle Koeffizienten der Variablen $x$, $y$ und $z$ sowie die rechte Seite der Gleichung:

    • in der ersten Zeile steht dann $2~~-5~~1~~12$,
    • in der zweiten $1~~3~~4~~11$ und
    • in der dritten $3~~5~~3~~10$.
    Gesamt erhält man also die folgende Matrix

    $\begin{pmatrix} 2&-5&1&|&12 \\ 1&3&4&|&11 \\ 3&5&3&|&10 \end{pmatrix}$

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