Über 1,6 Millionen Schüler*innen nutzen sofatutor!
  • 93%

    haben mit sofatutor ihre Noten in mindestens einem Fach verbessert

  • 94%

    verstehen den Schulstoff mit sofatutor besser

  • 92%

    können sich mit sofatutor besser auf Schularbeiten vorbereiten

Was ist eine Matrix?

Matrizen sind rechteckige Tabellen zur Darstellung von Zahlen, zum Beispiel zur Analyse von Marktanteilen von Unternehmen. Die Anordnung einer Matrix bestimmt die Anzahl der Zeilen und Spalten. Finde heraus, welche Rolle die Zahlen in einer Matrix spielen. Neugierig? All das und mehr erwartet dich im folgenden Text!

Alle Inhalte sind von Lehrkräften & Lernexperten erstellt
Alle Inhalte sind von Lehrkräften & Lernexperten erstellt
Du willst ganz einfach ein neues Thema lernen
in nur 12 Minuten?
Du willst ganz einfach ein neues
Thema lernen in nur 12 Minuten?
  • Das Mädchen lernt 5 Minuten mit dem Computer 5 Minuten verstehen

    Unsere Videos erklären Ihrem Kind Themen anschaulich und verständlich.

    92%
    der Schüler*innen hilft sofatutor beim selbstständigen Lernen.
  • Das Mädchen übt 5 Minuten auf dem Tablet 5 Minuten üben

    Mit Übungen und Lernspielen festigt Ihr Kind das neue Wissen spielerisch.

    93%
    der Schüler*innen haben ihre Noten in mindestens einem Fach verbessert.
  • Das Mädchen stellt fragen und nutzt dafür ein Tablet 2 Minuten Fragen stellen

    Hat Ihr Kind Fragen, kann es diese im Chat oder in der Fragenbox stellen.

    94%
    der Schüler*innen hilft sofatutor beim Verstehen von Unterrichtsinhalten.
Bewertung

Ø 4.1 / 33 Bewertungen
Die Autor*innen
Avatar
Annejahn089
Was ist eine Matrix?
lernst du in der 11. Klasse - 12. Klasse - 13. Klasse

Was ist eine Matrix? Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Was ist eine Matrix? kannst du es wiederholen und üben.
  • Ergänze die Erklärung zur Matrix.

    Tipps

    Hier siehst du ein Beispiel für eine Matrix: Hier sind die Entfernung von Städten zueinander dargestellt.

    Die zu Grunde liegende Tabelle ist hier zu sehen

    $\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline &\text{Berlin}&\text{München}&\text{Frankfurt}\\ \hline \text{Berlin}&0&592&554\\ \hline \text{München}&592&0&393\\ \hline \text{Frankfurt}&554&393&0\\ \hline \end{array}$

    Du kannst die Anzahl der Zeilen oder Spalten an den Indizes erkennen.

    Zum Beispiel steht das Element $a_{54}$

    • in der fünften Zeile und
    • der vierten Spalte.
    Lösung

    Was ist eine Matrix?

    Matrizen werden verwendet, um Zusammenhänge mathematisch zu beschreiben.

    Zum Beispiel kann man eine Entfernungsmatrix erstellen:

    Betrachtet werden die Entfernung der Städte Berlin, Frankfurt a.M. sowie München zueinander:

    $\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline &\text{Berlin}&\text{München}&\text{Frankfurt}\\ \hline \text{Berlin}&0&592&554\\ \hline \text{München}&592&0&393\\ \hline \text{Frankfurt}&554&393&0\\ \hline \end{array}$

    Dies kann auch als Matrix dargestellt werden:

    $D=\begin{pmatrix} 0&592&554 \\ 592&0&393\\ 554&393&0 \end{pmatrix}$

    Matrizen werden in runde Klammern geschrieben.

    Eine Matrix ist wie folgt definiert:

    Das rechteckige Schema reeller Zahlen

    $A=\begin{pmatrix} a_{11}&a_{12}&...&a_{1n} \\ a_{21}&a_{22}&...&a_{2n}\\ \vdots&\vdots&&\vdots\\ a_{m1}&a_{m2}&...&a_{mn} \end{pmatrix}$

    heißt Matrix. $m$ ist die Anzahl der Zeilen und $n$ die Anzahl der Spalten.

    Man spricht auch von der Ordnung einer Matrix $A$ $[m\times n]$.

  • Gib die zugehörige Übergangsmatrix an.

    Tipps

    Die Summe der Zeilenelemente ist immer $1$.

    Auf der Diagonalen stehen die Werte, welche von dem jeweiligen Element ($A$ oder $B$ oder $C$) zu sich selbst führen.

    Die Summe der Elemente in der ersten Spalte ist $1,8$.

    Lösung

    Dieses Übergangsdiagramm gibt die Wanderbewegungen von Kunden verschiedener Stromanbieter an.

    Am Beispiel $A$ bedeutet dies:

    • $60\%$ bleiben diesem Anbieter treu.
    • $30\%$ wandern zu $B$ ab.
    • $10\%$ wandern zu $C$ ab.
    Nun können diese Bewegungen in einer Matrix aufgeschrieben werden:

    • Die Zeilen stehen für die Bewegung von $A$, $B$ oder $C$ aus.
    • Die Spalten stehen für die Bewegung zu $A$, $B$ oder $C$ hin.
    Dies führt zu der Übergangsmatrix

    $E=\begin{pmatrix} 0,6&0,3&0,1 \\ 0,5&0,5&0\\ 0,9&0,05&0,05 \end{pmatrix}$

    Es ist zu erkennen, dass die Summe der Elemente in einer Zeile immer $1$ ist.

  • Ermittle zu der jeweiligen Matrix die Ordnung.

    Tipps

    Ganz allgemein ist die Ordnung einer Matrix gegeben durch

    $[$ Anzahl der Zeilen $\times$ Anzahl der Spalten $]$.

    Zähle jeweils die Zeilen und Spalten.

    Die Summe der Zeilen und Spalten ist jeweils $7$.

    Lösung

    Die Ordnung einer Matrix gibt an, wie viele Zeilen und wie viele Spalten eine Matrix besitzt.

    Dabei wird zuerst die Anzahl der Zeilen und dann die der Spalten in der folgenden Form aufgeschrieben:

    $[$ Anzahl der Zeilen $\times$ Anzahl der Spalten $]$.

    Man muss also die jeweiligen Zeilen und Spalten zählen. Dies führt zu den folgenden Ordnungen, von oben nach unten:

    • $[3\times 4]$
    • $[2\times 5]$
    • $[6\times 1]$
    • $[4\times 3]$
  • Stelle die Übergangsmatrix auf.

    Tipps

    Ein Kunde bleibt entweder bei einem Supermarkt oder wechselt zu einem der beiden anderen.

    Dies erkennst du daran, das die Zeilensumme immer $1$ ist.

    Beachte die Bewegung:

    In der zweiten Zeile dritte Spalte steht die Bewegung von $B$ nach $C$.

    Die Summe in der zweiten Spalte ist am größten: $1,15$.

    Lösung

    Dieses Übergangsdiagramm gibt an, ob, und wenn ja wie, Kunden von verschiedenen Supermärkten wechseln.

    Am Beispiel $B$ bedeutet dies:

    • $70\%$ bleiben bei diesem Supermarkt.
    • $20\%$ wechseln zu $A$.
    • $10\%$ wechseln zu $C$.
    Man kann das Käuferverhalten, genauer die entsprechenden Bewegungen in einer Matrix aufschreiben.

    • Die Zeilen stehen für die Bewegung von $A$, $B$ oder $C$ aus.
    • Die Spalten stehen für die Bewegung zu $A$, $B$ oder $C$ hin.
    Dies führt zu der Übergangsmatrix

    $S=\begin{pmatrix} 0,5&0,3&0,2 \\ 0,2&0,7&0,1\\ 0,15&0,15&0,7 \end{pmatrix}$

    Da ein Kunde entweder bei einem Supermarkt bleibt oder zu einem der beiden anderen wechselt, ist die Zeilensumme immer $1$.

  • Bestimme die Ordnung der Matrix.

    Tipps

    Die Ordnung einer Matrix ist gegeben durch die Zeilen- sowie Spaltenzahl.

    Diese Matrix hat die Ordnung $[3\times 3]$.

    Zähle die Anzahl der Zeilen sowie der Spalten.

    Lösung

    Diese Matrix besitzt $m=3$ Zeilen und $n=3$ Spalten.

    Allgemein wird die Ordnung einer Matrix mit $[m\times n]$ angegeben.

    Das bedeutet, dass diese Matrix die Ordnung $[3\times 3]$ besitzt.

  • Erstelle die Koeffizienten- sowie die erweiterte Koeffizientenmatrix.

    Tipps

    Beachte: Orientiere dich an den bereits vorgegebenen Einträgen.

    Der Koeffizient von, zum Beispiel

    • $4x$ ist $4$
    • $z$ ist $1$
    • $-3y$ ist $-3$
    • ...

    Die Zeilensumme der ersten Zeile beträgt $10$, die der zweiten $19$ und die der dritten $21$.

    Lösung

    Ein Verfahren, wie ein solches Gleichungssystem gelöst wird, ist das Gauß'sche Eliminationsverfahren.

    Hierfür wird zunächst die erweiterte Koeffizientenmatrix aufgestellt. In dieser befinden sich alle Koeffizienten der Variablen $x$, $y$ und $z$ sowie die rechte Seite der Gleichung:

    • in der ersten Zeile steht dann $2~~-5~~1~~12$,
    • in der zweiten $1~~3~~4~~11$ und
    • in der dritten $3~~5~~3~~10$.
    Gesamt erhält man also die folgende Matrix

    $\begin{pmatrix} 2&-5&1&|&12 \\ 1&3&4&|&11 \\ 3&5&3&|&10 \end{pmatrix}$