30 Tage risikofrei testen

Überzeugen Sie sich von der Qualität unserer Inhalte im Basis- oder Premium-Paket.

Überzeugen Sie sich von der Qualität unserer Inhalte.

30 Tage risikofrei testen

Was ist ein Übergangsdiagramm?

zur Einführung ein Beispiel aus dem täglichen Leben an. In einer Gegend befinden sich drei Supermärkte A, B und C. Das folgende Übergangsdiagramm zeigt die Bewegungen der Kunden zwischen diesen drei Supermärkten an:

1184_Übergangsdiagramm.jpg

Was bedeutet dies? Schauen dir einmal den Supermarkt A an:

  • Ein Pfeil führt von A zu sich selbst. Dieser ist mit $0,7$ beschriftet. Das bedeutet, dass $70~\%$ der Kunden von Supermarkt A diesem auch treu bleiben.
  • Ein Pfeil führt von A nach B. An diesem steht $0,2$. Dies bedeutet, dass $20~\%$ der Kunden von Supermarkt A zu Supermarkt B abwandern.
  • Ebenso siehst du, dass die verbleibenden $10~\%$ der Kunden von Supermarkt A zu Supermarkt C abwandern.

Die weiteren Bewegungen kannst du analog ablesen.

Erstellung einer Übergangsmatrix aus einem Übergangsdiagramm

Die Kundenbewegungen lassen sich auch in der Form $A \cdot b$ darstellen. Dabei ist:

  • $A$ die Matrix, welche die Übergänge beschreibt. Diese wird als Übergangsmatrix bezeichnet.
  • $b$ der Vektor, welcher die aktuellen Zahlen der Kunden der drei Supermärkte enthält.

Die Übergangsmatrix kannst du spaltenweise aufschreiben:

  • Die erste Spalte zeigt die Bewegung von Supermarkt A zu den jeweiligen Supermärkten A, B und C an.
  • Die zweite Spalte entspricht dann den Bewegung von Supermarkt B zu den jeweiligen Supermärkten A, B und C an. Und die dritte Spalte entspricht der Kundenbewegung von Supermarkt C.

Daraus ergibt sich folgende Matrix:

$A=\begin{pmatrix} 0,7& 0,2& 0,3\\\ 0,2& 0,6&0,2\\\ 0,1& 0,2&0,5 \end{pmatrix}$

  • Werden nun die einzelnen Einträge einer Spalte addiert ergibt sich in allen drei Spalten die Summe 1.
  • Zum Beispiel zeigt die zweite Spalte die Bewegung von Supermarkt B zu A, B und C an. Addierst du nun die zugehörigen Einträge der 2. Spalt ergibt sich: $0,2+0,6+ 0,2=1$.

Anwendungsbeispiel für Übergangsmatrizen

Insgesamt $1000$ Kunden verteilen sich zu Beginn der Beobachtung wie folgt auf die drei Supermärkte: * Supermarkt A $600$ * Supermarkt B * C jeweils $200$

Somit ergibt sich folgender Vektor:

$\vec b=\begin{pmatrix} 600\\ 200\\\ 200\end{pmatrix}$

Anwendungsbeispiel Übergangsmatrix Supermarkt

Möchtest du nun wissen, wie viele Kunden in dem jeweiligen Supermarkt nach einer Periode einkaufen, multiplizierst du die Matrix $A$ mit dem Vektor $\vec b$. Die Kundenbewegung für die einzelnen Supermärkte lassen sich mittels Übergangsmatrix bestimmen . Hierfür multiplizierst du jede Zeile der Matrix mit dem Vektor:

$\begin{pmatrix} 0,7& 0,2& 0,3\\\ 0,2& 0,6&0,2\\\ 0,1& 0,2&0,5 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} 600 \\\ 200 \\\ 200 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0,7\cdot 600+0,2\cdot 200+0,3\cdot 200 \\\ 0,2\cdot 600+0,6\cdot 200+0,2\cdot 200 \\\ 0,1\cdot 600+0,2\cdot 200+0,5\cdot 200 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 520 \\\ 280 \\\ 200 \end{pmatrix}$

Das bedeutet, dass nach einer Periode $520$ Kunden bei A, $280$ bei B und $200$ bei C einkaufen. Du siehst, es sind immer noch $1000$ Kunden. Dies liegt daran, dass die Spaltensummen immer $1$ ergeben. In diesem Modell wird davon ausgegangen, dass jeder Kunde weiterhin bei einem der 3 Supermärkte einkauft.

Ebenso kannst du berechnen, wie die Kunden sich nach $2$ oder $3$ Perioden auf die Supermärkte verteilen.

Du kannst umgekehrt auch herausfinden, wie die Kunden sich vor einer Periode auf die Supermärkte verteilt haben. Dabei musst du die Gleichung $A\cdot \vec x=\vec b$ lösen.

Eigenschaften der Übergangsmatrix

Du hast bereits gesehen, dass die Summen der Spaltenelemente der obigen Matrix immer $1$ ergibt. Dies ist nicht immer so.

Definitionen

Alle Einträge einer Übergangsmatrix sind Zahlen zwischen $0$ und $1$:

  • Eine Übergangsmatrix heißt zeilenstochastisch, wenn die Summe der Zeilenelemente immer $1$ ergibt.
  • Eine Übergangsmatrix heißt spaltenstochastisch, wenn die Summe der Spaltenelemente immer $1$ ergibt.
  • Eine Übergangsmatrix heißt doppelt-stochastisch, wenn sie gleichzeitig zeilen- als auch spaltenstochastisch ist.

Übergangsmatrizen sind quadratische Matrix. In dem obigen Beispiel ist eine $[3\times 3]$-Matrix, deren Einträge alle zwischen $0$ und $1$ liegen, gegeben. Eine Übergangsmatrix ist immer entweder spalten- oder zeilenstochastisch.

Woher kennst du dies, dass Werte zwischen $0$ und $1$ liegen? Du könntest es von Wahrscheinlichkeiten kennen. Häufig werden mit Übergangsmatrizen in der Wahrscheinlichkeitstheorie Übergangswahrscheinlichkeiten ausgedrückt.