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Was ist ein Maßstab? 08:45 min

Textversion des Videos

Transkript Was ist ein Maßstab?

Hallo, schön dich mal wieder hier zu sehen. Vielleicht kannst du mir bei einem Problem helfen. Miguell möchte mit einem Flugzeug von München nach Berlin fliegen. Er will die Entfernung mit Hilfe einer Deutschlandkarte bestimmen. Er misst eine Entfernung von 51 cm.

Julia nimmt den gleichen Flug, auch sie schaut in einem Atlas nach und misst eine Entfernung von nur 10,2 cm. Wie weit ist es denn nun von München nach Berlin? 51 oder 10,2 cm können wohl nicht die wahre Entfernung sein? Und wieso haben Miguel und Julia unterschiedliche Entfernung auf der Karte gemessen?

Um diese Fragen zu beantworten, müssen wir uns mit dem Begriff des Maßstabes beschäftigen.

  • Zunächst werden wir lernen, wie man den Maßstab definiert und wie man mit einem Maßstab umgeht.
  • Danach werden wir noch einige Beispiele zum Maßstab betrachten. Hierbei geht es um Vergrößerungen und Verkleinerungen.

Umgang mit dem Maßstab

Ok, was ist ein Maßstab und wie geht man mit ihm um?

Schauen wir uns dafür eine einfache Wanderkarte genauer an. Dort unten in der Ecke steht: 1:25000. Diese Angabe informiert uns über den Maßstab der Karte. Dochwas bedeutet “1:25000”?

Zunächst müssen wir allerdings eines klären: Einen Maßstab liest man nicht “1:25000” – dies ist nur die Schreibweise – man spricht ihn so aus: 1 zu 25000.

Dies bedeutet, dass 1 Zentimeter auf der Karte 25000 Zentimeter in der Wirklichkeit entsprechen. 25000 Zentimeter können wir auch in 250 Meter umwandeln.

Also sind 1 Zentimeter auf der Karte 250 Meter in der Wirklichkeit. Dadurch wird die abgebildete Landschaft auf der Karte natürlich viel kleiner als in der Realität dargestellt.

  • Messe ich also auf der Karte eine Entfernung von 1cm, so entspricht diese Entfernung 250m in der Wirklichkeit.
  • Messe ich auf der Karte eine Entfernung von 2cm, so entspricht diese Entfernung 500m in der Wirklichkeit.
  • Messe ich auf der Karte eine Entfernung von 3cm, so entspricht diese Entfernung 750m in der Wirklichkeit. und so weiter.

Wenn du also eine Wanderung machen möchtest, dann ist ja immer auch die Länge des Weges relevant. Entspricht die Strecke der geplanten Wanderung einem gemütlichen Verdauungspaziergang oder eher einem anstrengendem Tagesmarsch. Wenn du dich also über die Länge deines Wanderweges informieren möchtest, dann musst du ihn lediglich auf der Karte abmessen.

Angenommen du misst auf der Karte zwanzig Zentimeter. Dann musst du diese 20 cm nur entsprechend dem Maßstab umrechnen. Und das geht so:

  • 1 Zentimeter auf der Karte entsprechen 250 Meter in der Wirklichkeit.
  • Um nun zu erfahren, wie viele Meter 20 cm in der Wirklichkeit sind, multiplizieren wir die eins mit der 20.
  • Dasselbe machen wir mit den 250 Meter.

So erhalten wir als Ergebnis: 20 cm sind 20 mal 250 Meter, sind 5000 Meter. Diesen Wert kann man nun noch in Kilometer umwandeln. Man erhält fünf Kilometer. Das dürfte an einem halben Tag, locker zu schaffen sein. Was denkst du?

Nun können wir den Begriff des Maßstabes definieren:

Der Maßstab ist gleich die Länge der Kartenstrecke durch die Länge er Originalstrecke.

Maßstab-Beispiel 1

Du siehst hier die Zellen einer Zwiebelhaut. Sie sind die kleinste Funktionseinheiten eines Lebewesens und können nur mit dem Mikroskop betrachtet werden. Die Zwiebelzellen sind in der Realität natürlich viel kleiner, so dass hier eine Vergrößerung stattgefunden hat.

Schauen wir uns noch einmal die Formel genauer an. Wenn die Größe der Zellen in Wirklichkeit viel kleiner sind, so ist dies der Wert Streckenlänge in der Wirklichkeit. Die Kartenstrecke entspricht hier die Größe der Zellen im Bild.

Man könnte den Maßstab also auch folgendermaßen definieren:

Der Maßstab ist gleich der Streckenlänge im Bild durch die Streckenlänge im Original.

  • Wenn das Bild größer als das Original ist, dann spricht man von einer Vergrößerung.
  • Ist das Bild kleiner als das Original, dann muss es sich um eine Verkleinerung handeln.

Das Mikroskop hatte eine Vergrößerung auf das 1350-fache, der Maßstab war also 1350 zu 1. Ein Zentimeter in der Wirklichkeit entspricht demnach 1350 Zentimeter im Bild.

Maßstab-Beispiel 2

Das Modellauto ist im Maßstab eins zu achtzehn angefertigt. Dies bedeutet, dass ein Zentimeter im Modell achtzehn Zentimeter in der Wirklichkeit entsprechen. Das Auto ist in Wirklichkeit etwa vier komma fünf Meter lang. Wie lang ist denn dann unser Modell?

Um die Länge des Modellautos zu berechnen, gehst du folgendermaßen vor. Jeder Zentimeter des Modells entsprechen 18 cm. Wie viele Zentimeter entsprechen beim Modell dann den 4,5 m bzw 450 cm im Original?

Wenn immer 18 cm im Original ein cm beim Modell sind, dann müssen wir lediglich berechnen, wie oft die 18 in die 450 passt. Also teilen wir 450 durch 18. Dazu verwenden wir den Taschenrechner: 450 geteilt durch 18 gleich 25.

Also entsprechen 25 cm beim Modell den 450 Zentimeter in der Realität. Das Modellauto ist 25 Zentimeter lang.

Maßstab-Beispiel 3

Hier siehst du ein Modellflugzeug. Es hat den Maßstab eins zu 72. Das heißt ein Zentimeter im Modell entsprechen 72 Zentimeter in der Wirklichkeit.

Das Modell ist 15 Zentimeter lang. Wie lang ist das Flugzeug in der Wirklichkeit? Wir gehen wir gewohnt vor. Wenn 1 cm beim Modell 72 cm in der Realität entsprechen. Dann entsprechen 15 cm beim Modell 72 cm mal 15 gleich 1080 Zentimeter. Das sind 10,8 m. Das Flugzeug ist also in der Realität 10,8 Meter lang.

Zusammenfassung

Nun haben wir einige Beispiele betrachtet, bei denen der Maßstab angab, wie auf einer Abbildung verkleinert oder vergrößert wurde. Ein wenig Übung hast du also schon. Kommen wir deshalb zu unseem Ausgangsproblem: Wie weit ist es von München nach Berlin?

Dazu haben wir gelernt, einen Blick auf den Maßstab zu werfen. Der Maßstab der ersten Karte ist eins zu eine Million, das bedeutet, dass ein Zentimeter auf der Karte eine Million Zentimeter in der Wirklichkeit sind. Eine Million Zentimeter sind Zehntausend Meter und dies sind 10 Kilometer.

Miguel hat 51 Zentimeter auf der Karte gemessen. Wir müssen nun also 51 mal zehn Kilometer rechnen und erhalten die Flugentfernung von München nach Berlin. 51 mal zehn Kilometer gleich 510 Kilometer.

Julia hat nur zehn Komma zwei Zentimeter gemessen. Ihre Karte hat demnach einen anderen Maßstab. 10, 2 cm entsprechen auf der Karte 510 Kilometer in der Realität. Kannst du den Maßstab der Karte vielleicht selber berechnen?

So das war es schon wieder für heute. Du hast gelernt, was der Maßstab ist und wie man Vergrößerungen oder Verkleinerungen berechnen kann. Ich wünsche dir noch einen hoffentlich erlebnisreichen Tag! Tschüß!

38 Kommentare
  1. Ein sehr gutes Video :D

    Von Bianka Spruck, vor 3 Monaten
  2. Sehr gutes Video *=)

    Von Julia Breitschopf, vor 5 Monaten
  3. Mann kapiert alles voll leicht

    Von Ehenbichl, vor 5 Monaten
  4. Hallo Alenka H.,
    bitte beschreibe genauer, was du nicht verstanden hast. Gib beispielsweise die konkrete Stelle im Video mit Minuten und Sekunden an. Gerne kannst du dich auch an den Fach-Chat wenden, der von Montag bis Freitag zwischen 17-19 Uhr für dich da ist.
    Ich hoffe, dass wir dir weiterhelfen können.
    Liebe Grüße aus der Redaktion

    Von Jonas Dörr, vor 5 Monaten
  5. Hab ich nicht verstanden?😔😔😔😔😟😕😞😒😒😔😔😔😔😔😟

    Von Alenka H., vor 5 Monaten
  1. Mega gutes Video

    Von Kira P., vor 7 Monaten
  2. Dear Yinran Zhang,
    I am sorry that you weren't able to understand the video. However, this website is for German speaking students. Therefore we don't offer videos in English in other subjects than English.
    Kind regards

    Von Alicia v. L.C., vor 8 Monaten
  3. This Video is great. Ich kann auch deutsch sprechen

    Von Anna-Lena K., vor 8 Monaten
  4. Thats great! Thank you! But I dont speak german

    Von Yinran Zhang, vor 8 Monaten
  5. Super Video

    Von Berakiiseyas, vor 9 Monaten
  6. G.V. (gutes Video)

    Von Andrin R., vor 12 Monaten
  7. Danke! Hat mir geholfen! ( For the English people: You were great! Keep it up! :D

    Von Lana V., vor etwa einem Jahr
  8. Super

    Von Vsmece, vor etwa einem Jahr
  9. Really good

    Von EMILY B., vor mehr als einem Jahr
  10. Hey, dude very good I understand this maths work (Dylan)

    Von Alexianikita31, vor mehr als einem Jahr
  11. Einfach cool ;)

    Von Alex 48, vor mehr als einem Jahr
  12. perfektes Video :) ;) :) :) :) :) :) :)´;) ;) ;) ;)

    Von Rainergerlach, vor mehr als einem Jahr
  13. Echt tolles video !

    Von Andreas B., vor mehr als einem Jahr
  14. ja toll

    Von Omid T., vor mehr als einem Jahr
  15. super gut erklärt aber leider fast etwas zu schnell aber kleiner tipp an alle man kann das video langsamer stellen

    Von Kerstin Schoendorfer, vor mehr als einem Jahr
  16. super video,toll gezeichnet,toll erklärt. :)

    Von Luca 100%, vor mehr als 2 Jahren
  17. @Rebekka Salem: Bitte beschreibe genauer, was du nicht verstanden hast. Gib beispielsweise die konkrete Stelle im Video mit Minuten und Sekunden an. Ich hoffe, dass wir dir weiterhelfen können.

    Von Thomas Scholz, vor mehr als 2 Jahren
  18. :d

    Von Rebekka Salem, vor mehr als 2 Jahren
  19. fersteh ich nicht

    Von Rebekka Salem, vor mehr als 2 Jahren
  20. Gut erklärt echt super

    Von Deleted User 285354, vor fast 3 Jahren
  21. Super.Vielen Dank.

    Von Stefan F., vor fast 3 Jahren
  22. Echt super in der Schule hätte ich das nie kapiert
    Danke

    Von Luca H., vor fast 3 Jahren
  23. Echt gut erklärt, aber das Thema passt eher in die 3. oder 4. Klasse anstatt in die 7.Klasse

    Von Ines Steinke 1, vor etwa 3 Jahren
  24. Ja,danke das hat mir sehr geholfen mich auf die kommende Mathe Arbeit vor zu bereiten

    Von Michael M., vor mehr als 3 Jahren
  25. Super erklärt <3

    Von Roncevic, vor mehr als 3 Jahren
  26. sehr schön!!!!!!

    Von Chakib1, vor etwa 4 Jahren
  27. @ Emilio Kretschmer:
    Du findest „Die Übung“ oben neben „Das Video“ oder wenn du das Video zu Ende geschaut hast. Falls du technische Probleme haben solltest, wende dich an den support@sofatutor.com.

    Von Giuliano Murgo, vor etwa 4 Jahren
  28. Wo sind denn hier die Übungen?

    Von Emilio Kretschmer, vor etwa 4 Jahren
  29. Sehr toll!!!!!

    Von Emilio Kretschmer, vor etwa 4 Jahren
  30. danke es hat mir sehr geholfen !!! ;-)

    Von L.D.Sh, vor mehr als 4 Jahren
  31. sehr toll !!!!!!

    Von Tosaigh, vor mehr als 4 Jahren
  32. ein bisschen spaß hätte dabei sein können
    dafür ist es super erklärt und auch sehr schöne bilder ;-)

    Von Michelle Celine W., vor etwa 5 Jahren
  33. Sie könten es ein bischen lustiger machen!;)

    Von Norman Wagner, vor mehr als 5 Jahren
Mehr Kommentare

Was ist ein Maßstab? Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Was ist ein Maßstab? kannst du es wiederholen und üben.

  • Gib an, wie der Maßstab zu interpretieren ist.

    Tipps

    Da der Maßstab $1:25000$ lautet, kannst du daraus direkt die wirkliche Länge von einem Zentimeter auf der Karte ablesen.

    Für $3~ \text{cm}$ auf der Karte, überlege dir zunächst, welcher Länge $1~ \text{cm}$ auf der Karte in der Wirklichkeit entspricht.

    Lösung

    Wenn ich anhand einer Karte berechnen möchte, wie weit der Abstand zwischen zwei Orten ist, reicht es nicht einfach den Abstand mit einem Lineal zu messen. Zusätzlich muss immer der Maßstab betrachtet werden, dieser kann nämlich von Karte zu Karte unterschiedlich sein.

    • Der Maßstab der Karte ist gegeben durch $1:25000$. Das bedeutet, dass eine Strecke in der Realität $25000$ mal so lang ist wie auf der Karte. Daher sagen wir auch $1$ zu $25000$.
    Wenn man also eine $1~\text{cm}$ lange Strecke auf der Karte betrachtet, besitzt die Strecke in Wirklichkeit eine Länge von $25000~\text{cm}$, dem $25000$-fachen von $1~\text{cm}$.

    • Das sind $250$ Meter.
    Für die Berechnung einer $3~\text{cm}$ langen Strecke multiplizieren wir diesen Wert mit $3$ und erhalten daher:

    • $250\text{ m} \cdot 3 = 750 \text{ m}$
  • Bestimme, wie du den Maßstab $1:18$ mit Worten ausdrückst.

    Tipps

    Das Zeichen $:$ ist dir schon aus der Division bekannt. In diesem Zusammenhang hat es aber eine andere Bedeutung.

    Der Maßstab drückt das Verhältnis zweier Strecken aus.

    Meistens ist das Modell kleiner als das Objekt in der Realität. Ansonsten wird der Maßstab zum Beispiel so angegeben: $10000:1$.

    Lösung

    Den Doppelpunkt : in $1:18$ spricht man "zu" aus. Das ist kurz für: Die Maße im Modell verhalten sich zu den Maßen in der Realität wie $1$ zu $18$.

    Für unser Automodell mit dem Maßstab $1:18$ heißt das also:

    • $1~\text{cm}$ gemessen am Modell entspricht $18~\text{cm}$ in der Wirklichkeit.
    Genauso verhält es sich auch, wenn der Maßstab einen Gegenstand vergrößert. So wird $1350:1$ folgendermaßen ausgesprochen: $1350$ zu $1$.

  • Berechne die Länge der Gegenstände.

    Tipps

    Ein anderes Modell dieses Autos ist im Maßstab $1:9$ angefertigt. Sein Vorbild ist also auch $4,5~\text{m}=450~\text{cm}$ lang. Da $450 : 9=50$ ergibt, ist das Modell $50~\text{cm}$ lang.

    Ein Modell eines anderen Flugzeuges ist im Maßstab $1:36$ angefertigt. Das Modell ist aber ebenfalls $15~\text{cm}$ lang. Das echte Flugzeug ist dann $540~\text{cm}=5,4~\text{m}$ lang.

    Lösung

    Der Maßstab von $1:18$ hilft uns, die gefragte Länge zu berechnen. Das reale Auto ist $4,5~\text{m}=450~\text{cm}$ lang. Die Länge des Modellautos finden wir durch die Division

    • $450~\text{cm} : 18=25~\text{cm}$.
    Beim Flieger verhält es sich mit dem Maßstab $1:72$ ähnlich. Das Modell ist $15~\text{cm}$ lang. Folgende Multiplikation berechnet die Länge des Modells:

    • $15~\text{cm}\cdot72=1080~\text{cm}=10,8~\text{m}$.
  • Bestimme, was zusammen gehört.

    Tipps

    Um den korrekten Maßstab zu finden, muss man auch die Einheiten beachten!

    Dann kann man eine Seite des Maßstabes auf 1 bringen und vergleichen.

    Lösung

    Die Strecken $10,2~\text{cm}$ und $510~\text{km}=510000~\text{m}=51000000~\text{cm}$ lassen sich in ein Verhältnis setzen, das uns den Maßstab liefert: $51000000:10,2=5000000$, also ist der Maßstab $1:5000000$. Genauso lassen sich $1~\text{mm}$ und $5~\text{km}=5000~\text{m}=5000000~\text{mm}$ dem Maßstab $1:5000000$ zuordnen, außerdem auch $2~\text{km}$ und $10000000~\text{km}$, denn $10000000:2=5000000$.

    $25~\text{cm}$ und $50000~\text{cm}$ gehören zum Maßstab $1:2000$, denn $50000:25=2000$. Auch $1~\text{m}$ und $2~\text{km}=2000~\text{m}$ lassen sich diesem Maßstab zuordnen.

    $50000~\text{cm}$ und $25~\text{cm}$ hingegen gehören zum Maßstab $2000:1$. So auch $4000~\text{cm}$ und $2~\text{cm}$, denn $4000:2=2000$. Ebenfalls lassen sich die Strecken $2000~\text{m}$ und $1~\text{m}$ sowie $2000~\text{mm}$ und $1~\text{mm}$ diesem Maßstab zuordnen, zuletzt auch $20~\text{m}=2000~\text{cm}$ und $10~\text{mm}=1~\text{cm}$.

  • Entscheide welche Maßstäbe und Streckenverhältnisse zusammen passen.

    Tipps

    Maßstäbe lassen sich vergleichen.

    Du kannst von der Aussage $30~\text{cm}$ auf der Landkarte entsprechen $6000~\text{cm}$ in der Wirklichkeit direkt auf einen Maßstab von $30:6000$ schließen. Diese Angabe ist jedoch unüblich, denn zwei Maßstäbe lassen sich am besten vergleichen, wenn die beiden Zahlen links vom Doppelpunkt gleich sind.

    Im Normalfall wird bei einer Karte die linke Zahl des Maßstabs zu einer $1$.

    Lösung

    Zur Besseren Unterscheidung nutzen wir hier $:$ nur für den Maßstab, für das Dividieren wird im Folgenden $\div$ verwendet.

    • Der Maßstab $2:16000$, der aus der Aussage "$2~\text{cm}$ auf der Landkarte entsprechen $16000~\text{cm}$ in der Wirklichkeit." folgt, lässt sich besser vergleichen, wenn man ihn so umrechnet, dass links von $:$ eine $1$ steht.
    $2:16000$ lässt sich in den Maßstab $1:8000$ umwandeln, wenn man $ 2 \div 2 = 1$ und $16000 \div 2=8000$ berechnet.

    • Genauso geschieht es mit $1000:1$. Dort erhalten wir $1:0,001$, nachdem wir $1$ durch $1000$ geteilt haben. Allerdings versucht man häufig, Kommazahlen in Maßstäben zu vermeiden.
    • Aus "$6~\text{cm}$ auf der Landkarte entsprechen $4200~\text{cm}$ in der Wirklichkeit." können wir einen Maßstab von $6:4200$ herleiten. Teilen wir nun auf beiden Seiten durch $6$, erhalten wir $1:700$.
  • Bestimme den Maßstab des Schiffsmodells.

    Tipps

    Die MS Beere ist also $270~m=27000~cm$ lang.

    Ein anderes Modell der MS Beere ist $150~cm$ lang. Dann lässt sich sein Maßstab berechnen als $150:27000$. Damit beträgt sein Maßstab $1:180$.

    Lösung

    Die MS Beere ist also $270~\text{m}=27000~\text{cm}$ lang. Ihr Modell hat eine Länge von $75~\text{cm}$.

    Dann lässt sich sein Maßstab berechnen durch $75:27000$. Da $27000:75=360$ ist, passt die $75$ $360$-mal in die $27000$. Damit können wir den Maßstab angeben. Er lautet $1:360$.

    Da das Modell der MS Sol im Maßstab $1:800$ gebaut wurde, entspricht $1~\text{cm}$ am Modell $800~\text{cm}=8~\text{m}$ in der Wirklichkeit. Somit entsprechen die $25~\text{cm}$ einer Länge von $200~\text{m}$.