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Vektoren addieren – Kräfte (1)

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Martin Wabnik
Vektoren addieren – Kräfte (1)
lernst du in der 11. Klasse - 12. Klasse - 13. Klasse

Beschreibung Vektoren addieren – Kräfte (1)

Kräfte addieren sich vektoriell, man kann sie also vektoriell aneinandersetzen. Was das mit einer Axt zu tun hat, siehst du in diesem Film. Dieses Video soll eine allgemeine Idee davon geben, wozu man die Vektorrechnung benötigt und was man mit Vektoren machen kann. Zunächst wird kurz erklärt, warum es die Vektorrechnung gibt und wozu man sie bei Kräften benötigt. Danach wird geklärt, was passiert, wenn eine Axt auf ein Stück Holz zukommt. Dafür wird ein Bild von der Axt und den entsprechenden Kräften gezeichnet. Diese Kräfte sind Vektoren. Wie diese aussehen, welche Länge und Richtung sie haben, wird dazu ausführlich geklärt.

Transkript Vektoren addieren – Kräfte (1)

Hallo! Einer der vielen Gründe, warum es Vektorrechnung gibt, ist das sich Kräfte vektoriell verhalten. Man kann auch sagen: Wo rohe Kräfte sinnlos walten, da nimm den Vektor zum Gestalten. Und um rohe Kräfte mal zu veranschaulichen, habe ich rein zufällig mal hier meine Axt stehen. Ja, das ist eine Axt, und wenn man damit auf etwas drauf haut, dann geht das kaputt. Warum eigentlich? Wie kann man sich das physikalisch, vektoriell vorstellen, warum etwas kaputt geht, wenn man mit der Axt da drauf haut? Zum Beispiel könnten wir ja auf Holz hauen und das Holz wird dann durch die Axt gespalten.Und wenn wir so versuchen Holz auseinander zu ziehen, dann geht das ja nicht - also ich kann das zumindest nicht, aber mit der Axt kann ich das schon. Warum? Man muss nur dafür sich die Axt mal von vorne angucken,  ich zeig das mal hier vielleicht ein bisschen näher. Das ist die Axt von vorne gesehen, ich unterleg das mal ein bisschen hell, damit du das sehen kannst. Diese Axt ist also keilförmig, d. h. unten ist sie schmal, oben ist sie breiter.Okay, das wusstest du wahrscheinlich, dass das so ist, ich wollte es nur noch mal eben zeigen, falls du das nicht weißt. Jetzt überlegt man sich Folgendes: Was passiert nun, wenn diese Axt auf ein Holz zukommt und darin eindringt? Dann haben wir einmal hier diese keilförmige Axt, die jetzt also so ungefähr aussieht und wir haben hier einen bestimmtem Winkel ?, der gibt an, wie weit diese Axt so auseinandergeht. Wir können jetzt die Kraft, die von der Axt ausgeht, also die ich jetzt da quasi darein gesteckt habe, indem ich die Axt bewege und auf das Holz zubewege, die kann man sich durch diesen Pfeil hier, durch diesen Kraftpfeil, das ist ein Vektor, so vorstellen. Da wirkt die jetzt nach unten. Was aber eigentlich im Holz wirkt, das sind zwei Kräfte, die hier rechtwinklig zu den Seiten der Axt, also zu diesen Seiten der Axt, verlaufen, die gehen da also so rechtwinklig ab. Das möchte ich jetzt mal durch diesen Pfeil hier auch zeigen, der ist jetzt quasi rechtwinklig dazu. Der geht hier so los und um mal zu zeigen, wie lang der sein muss, mache ich Folgendes: Hier gibt es diese Mittellinie, dieses Pfeils hier, diese Linie teilt diesen Pfeil in 2 Hälften und die Kräfte, die hier abgehen, also rechtwinklig, die sehen dann so aus. Ja,die gehen hier los und jeden dieser Pfeile muss ich bis zur Mittellinie zeichnen.Oh, das wird krumm, das sollte nicht sein. Der geht bis zur Mittellinie also bis dahin quasi und der andere auch, der geht bis dahin. Jetzt könnte ich den quasi nehmen und hier dransetzen und dann würde ich wieder hier hin zurückkommen.

Das, was im Holz wirkt, das sind diese beiden Kräfte bzw. diese beiden, wenn ich die jetzt so einfach theoretisch mal aneinander setze. Und,ich glaube, was hier deutlich geworden ist, ich habe nicht ganz genau gezeichnet, aber was du sicher sehen kannst, ist, dass diese beiden Kräfte hier stärker sind. Das sieht man daran, dass diese Pfeile länger sind. In der Physik macht man das so. Kraftrichtung ist ja durch diesen Pfeil vorgegeben und die Stärke der Kraft, sage ich mal, wird durch die Länge des Vektors ausgedrückt. Diese beiden Kräfte sind also wesentlich stärker, als diese Kraft hier, und die führen letzten Endes dazu, das sich das Holz zur Seite bewegt und dass es dadurch gespalten wird. Ja,so funktioniert eine Axt. Hier geht es mir nur um die Idee, dass man auch Kräfte vektoriell aneinander setzen kann. Das werden wir noch öfter machen, ich möchte das jetzt auch gar nicht so genau berechnen, weil es hier keine Physikstunde ist. Es geht nur um die Vektoren dabei, den Rest kannst du in deinem Physikunterricht machen. Hier geht es nur um die Idee. Übrigens, nicht alles geht kaputt, wenn man draufhaut mit der Axt, z. B. dieser Schaumstoff geht nicht kaputt. Ich kann hier noch ein bisschen drauf hauen, es hinterlässt nicht einmal Spuren. Finde ich auch immer wieder erstaunlich, so ein bisschen Schaumstoff geht nicht kaputt, obwohl ich damit einen Baumstamm spalten kann. Ja,das Wunder der Technik. Viel Spaß damit, tschüss!    

2 Kommentare

2 Kommentare
  1. aha

    Von Felicia Zepp, vor mehr als 7 Jahren
  2. hahah ist ja lustig

    Von Felicia Zepp, vor mehr als 7 Jahren

Vektoren addieren – Kräfte (1) Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Vektoren addieren – Kräfte (1) kannst du es wiederholen und üben.
  • Ergänze die Erklärung zu Vektoren.

    Tipps

    Beachte, dass beim Eindringen der Axt in das Holz dieses gespalten wird. Dieses Spalten (und damit das Eindringen) hängt davon ab, wie groß der Winkel $\alpha$ an der Spitze der Axt ist.

    Die Vektorrechnung ist deshalb so bedeutend, weil Kräfte sich vektoriell verhalten.

    Du kannst dir einen Vektor auch vorstellen wie eine Bewegungsvorschrift. Wenn du also zwei Vektoren addierst, gehst du erst gemäß des ersten und dann gemäß des zweiten Vektors. Es entsteht ein Parallelogramm, welches von den Vektoren aufgespannt wird.

    Dies kannst du hier in dem Bild sehen.

    Lösung

    Wenn man mit einer Axt auf ein Holz schlägt, wirken dabei verschiedene Kräfte. Die Axt hat eine Keilform. Man schlägt mit einer gegebenen Richtung auf das Holz.

    Die durch die Axt wirkenden Kräfte stehen senkrecht auf die Seiten der Axt.

    Die Summe dieser Kräfte lässt sich darstellen als die Diagonale des durch diese beiden Kräfte aufgespannten Parallelogramms.

    Dieser Zusammenhang ist in der nebenstehenden Zeichnung zu erkennen.

  • Beschreibe, wie die Kräfte zusammenwirken.

    Tipps

    Beachte, dass die Kräfte, welche wirken, senkrecht auf die Seiten der Axt stehen.

    Man kann sich das Addieren zweier Vektoren vorstellen wie zwei Vektoren, die ein Parallelogramm aufspannen.

    Die resultierende Kraft, als roter Vektor dargestellt, muss von der Axt ausgehend in die Richtung wirken, in welche die Axt zeigt.

    Lösung

    Man kann sich das Holzhacken wie folgt vorstellen: Ein Keil, die Axt, dringt in das Holz ein und spaltet dieses. Wenn das Holz etwas sehr Flexibles wäre, dann würde dieser Spaltvorgang bedeuten, dass die Teile sich jeweils senkrecht zu der jeweiligen Axtseite bewegen. Dies ist natürlich sehr modellhaft erklärt.

    Das bedeutet, dass jedes Bild, in welchem die Kräfte nicht senkrecht dargestellt sind, bereits ausscheidet.

    Bei den verbleibenden kann man sich klarmachen, wie die zu den Axtseiten senkrechten Kräfte gemeinsam wirken.

    Dies ist in dem nebenstehenden Bild zu sehen: Die Kraft, welche in die gleiche Richtung wie die Axt weist, ergibt sich als Summe der beiden senkrechten Kräfte.

  • Ermittle die Vorgänge, welche sich mithilfe von Vektoren darstellen lassen.

    Tipps

    Bewege mal deinen Arm. Du könntest jede einzelne Bewegung mit einem Vektor beschreiben. Gegebenenfalls benötigst du sehr viele Vektoren.

    Wenn eine Kraft in eine Richtung wirkt, lässt sie sich mit Hilfe eines Vektors beschreiben.

    Lösung

    Kann man eigentlich jede Bewegung mit Hilfe von Vektoren darstellen?

    Nein! Zum Beispielen lassen sich Rotationen nicht mit Vektoren darstellen. Eine solche Rotation kann man zum Beispiel beobachten, wenn man einen Ball auf dem Finger dreht. Eine Rotation ist auch zu beobachten, wenn eine Billardkugel mit Effet gespielt wird. Dabei beschreibt die Kugel nicht nur eine Bahn auf dem Billardtisch, sondern dreht sich selbst bei der Bewegung.

    Auch komplexere Bewegungen

    • entlang einer Kurve oder eines Kreises,
    • das Fallen eines Balles
    • die Bewegungen von tanzenden Personen oder
    • Roboterbewegungen
    lassen sich durch Vektoren darstellen. Je komplexer oder feiner die Bewegung ist, umso mehr Vektoren werden für die Darstellung benötigt. Die resultierende Kraft oder Bewegung lässt sich als Summe von zwei oder mehr Vektoren darstellen.

    Oft genügt nicht ein Vektor, wie das Beispiel mit der Axt zeigt.

    Die Reihenfolge bei der Addition zweier oder mehrerer Vektoren ist vertauschbar, unabhängig von dem zugrunde liegenden Beispiel.

  • Bestimme jeweils den Vektor, welcher durch Addition zweier Vektoren entsteht.

    Tipps

    Hier siehst du ein Beispiel für die Vektoraddition.

    Wenn du zwei Vektoren addierst, kannst du dir dies wie ein Parallelogramm vorstellen, welches von diesen beiden Vektoren gebildet wird. Der Diagonalvektor des Parallelogramms ist der Summenvektor.

    Bei der Differenz zweier Vektoren betrachtest du den Gegenvektor eines der beiden Vektoren.

    Man kann mit Vektoren ähnlich rechnen wie mit Zahlen:

    $\vec b-\vec a=\vec b +(-\vec a)=-\vec a+\vec b$.

    Lösung

    Die Lösung ist hier zu sehen.

    Die Summe zweier Vektoren ist anschaulich der Vektor, welcher entsteht, wenn man ein Parallelogramm durch die beiden Vektoren bildet. Der Diagonalvektor ist dann der Summenvektor.

    So kann man sich auch die Differenz zweier Vektoren, in dem Beispiel $\vec b-\vec a=-\vec a+\vec b$ als Summe des Gegenvektors von $\vec a$ (dieser ist $-\vec a$) sowie des Vektors $\vec b$ vorstellen.

  • Gib an, warum Vektoren so wichtig sind.

    Tipps

    Stell dir eine Kraft sehr vereinfacht so vor: Du ziehst an an etwas in eine Richtung.

    Wie kannst du dies darstellen?

    Ein Vektor hat eine gegebene Richtung, eine Orientierung und eine Länge.

    Es ist nur eine Antwort richtig.

    Lösung

    Man kann sich vielleicht fragen, warum so viel mit Vektoren gerechnet wird, oder aber, wo diese überhaupt vorkommen.

    Einer der vielen Gründe für die Vektorrechnung ist, dass Kräfte sich vektoriell verhalten.

    Das heißt, dass eine Kraft als ein Vektor oder eine Kombination von Vektoren dargestellt werden kann. So kann zum Beispiel die Summe zweier Vektoren verstanden werden als zwei gemeinsam wirkende Kräfte.

  • Berechne den jeweiligen Vektor.

    Tipps

    Hier siehst du ein Beispiel für die Addition von Vektoren.

    Hier siehst du ein Beispiel für die Differenz zweier Vektoren.

    Um den Gegenvektor eines Vektors zu erhalten, tauschst du in jeder Koordinate des Vektors das Vorzeichen um.

    Hier siehst du den Ortsvektor des Punktes $P(3|2|1)$.

    Lösung

    Zwei Vektoren werden koordinatenweise addiert oder subtrahiert:

    $\vec a+\vec b=\begin{pmatrix} 1+(-1) \\ 2+1\\ -3+2 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 \\ 3\\ -1 \end{pmatrix}$

    sowie

    $\vec b-\vec a=\begin{pmatrix} -1-1 \\ 1-2\\ 2-(-3) \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -2 \\ -1\\ 5 \end{pmatrix}$

    Den Gegenvektor erhält man durch Vertauschen der Vorzeichen. Somit ist

    $-\vec a=\begin{pmatrix} -1 \\ -2\\ -(-3) \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -1 \\ -2\\ 3 \end{pmatrix}$

    Zur Bestimmung des Verbindungsvektors zweier Punkte zieht man vom Ortsvektor des Endpunktes den des Anfangspunktes ab:

    $\vec{CD}=\begin{pmatrix} 4 \\ 2\\ -1 \end{pmatrix}- \begin{pmatrix} 3 \\ 1\\ 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 4-3 \\ 2-1\\ -1-1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 \\ 1\\ -2 \end{pmatrix}$

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