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Trägerfunktion für Quadrate 05:51 min

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Transkript Trägerfunktion für Quadrate

Hallo, es geht um Quadrate. Und hier sind drei der Eckpunkte aufgelistet. A hat immer die Koordinaten (0|0), für jedes Quadrat der Quadrate um die es hier geht. Bn hat als x-Koordinate einfach das x, x muss übrigens größer als minus drei sein dabei. Und die y-Koordinate kann man so errechnen mit diesem Term hier, nämlich mit -log3(x + 3) - 3. Die Punkte Dn, die kann man auch ausrechnen, und zwar indem man das gleiche x nimmt, das hier einsetzt und dann hat man also als x-Koordinate eines Punktes Dn log3(x + 3) + 3. Und die y-Koordinate eines Punktes Dn ist einfach diese x-Koordinate, die sind also gleich. Und was wir jetzt suchen, ist die Trägerfunktion. Und zwar dieser Punkte Dn. Diese Punkte Dn liegen alle auf einem Funktionsgraphen und den suchen wir jetzt. Also wir suchen den Funktionsterm oder die Funktionsgleichung zu dem Graphen, auf dem diese ganzen Punkte liegen. Und dazu, um das herauszufinden, habe ich mal was vorbereitet. Wir müssen dazu Folgendes berechnen. Wir sagen einfach, die Koordinaten der Punkte Dn sollen mal x’ und y’ heißen. Und dann wissen wir dass x’ sich also berechnet, indem wir das x eines Punktes Bn hier einsetzen und dann rechnen log3(x + 3) + 3 und die y-Koordinate, die mit y’ bezeichnet wird eines Punktes Dn ist dann einfach gleich x. Und jetzt geht es darum, diese Gleichung hier nach x aufzulösen, denn wenn ich die nach x aufgelöst habe, dann kann ich dieses x einfach ersetzen durch das, was hier steht. Und dann habe ich die Funktionsgleichung. Das geht folgendermaßen, hier nach x auflösen, indem man einfach hier minus drei rechnet auf beiden Seiten, das ist keine große Kunst, das steht hier. Und dann hat man hier den Logarithmus stehen, den möchte man da nicht mehr haben, das x soll ja letzten Endes alleine stehen. Und was macht man da? Man setzt also die gesamten Gleichungsseiten als Exponenten von drei ein. Das heißt, man erhebt es in den Exponenten, man erhebt diese Dreiecksseite in den Exponenten von drei und dann hat man hier stehen 3x’ - 3, weil hier ja vorher x’ - 3 steht. Und man könnte jetzt natürlich auch hinschreiben 3log3(x + 3). Und da ergibt sich natürlich die Frage, was ist denn das eigentlich. Also der Logarithmus der Basis drei fragt ja nach dem Exponenten, mit dem man drei potenzieren muss, um x plus drei herauszubekommen. Wenn man drei nun mit diesem Exponenten potenziert, dann kommt auch x plus drei raus und das habe ich hier hingeschrieben, einfach x plus drei. Und jetzt muss man nur noch minus drei rechnen auf beiden Seiten, dann wissen wir, dass x = 3x’ - 3 - 3 ist. Also x Strich minus drei ist hier im Exponenten. Und das habe ich hier unten also dann gleich eingesetzt für x, da steht ja das x, da habe ich einfach diesen Term, der sich hier oben ergeben hat, eingesetzt. 3x’ - 3 - 3. So und wenn jetzt also diese Striche einfach hier weglässt, dann hat man eine ganz normale Funktionsgleichung, h(x) nennt sie sich. Also das ist keine Funktionsgleichung, sondern das ist ein Funktionsterm. h(x) bezeichnet den Funktionsterm, der ist 3x’ - 3 - 3. Funktionsgleichung wäre das Ganze, wenn hier ein y stehen würde, steht da aber nicht. So, das ist die Trägerfunktion und weil das so schön ist, möchte ich das auch nochmal zeigen, wie das dann aussieht. Die habe ich hier mal vorbereitet, zeige ich mal etwas von näher. Also, das ist die Funktion, die wir vorher schon hatten und das ist hier die neue Trägerfunktion. Und hier sieht man auch, dass diese Punkte der Quadrate alle hier auf dieser Trägerfunktion liegen, die haben hier jetzt auf dieser Zeichnung ein paar andere Bezeichnungen, da habe ich jetzt nicht so drauf geachtet, das sind aber alles unsere Dns hier, die wir schon eingangs beschrieben haben. Ja, das war es dazu, wir haben die Trägerfunktion gefunden. Viel Spaß damit, tschüss.