Schulausfall:
sofatutor 30 Tage kostenlos nutzen

Videos & Übungen für alle Fächer & Klassenstufen

Termumformungen – Grundregeln 05:05 min

Textversion des Videos

Transkript Termumformungen – Grundregeln

Termann ist Terminator im Außendienst und kennt sich schon gut aus mit Termen. Er weiß zum Beispiel, welche Rechenausdrücke Terme sind und welche nicht. Nun winkt eine Beförderung in den Innendienst. Termann will Intermist werden, denn dann kriegt er einen schönen Schreibtisch. Aber dazu muss er Terme auch umformen können. Also beschäftigt er sich mit den Grundregeln der Termumformung. Terme sind sinnvolle Rechenausdrücke aus Zahlen, Variablen, Klammern und Rechenzeichen. Hier beschränken wir uns aber auf Terme ohne Variablen. Weil es sich bei Termen um Rechenausdrücke handelt, kann man auch mit ihnen rechnen. Das heißt, dass man Terme umformt und vereinfacht. Aber da gibt es ein paar Grundregeln: In jedem Term gilt: Punktrechnung vor Strichrechnung. Das heißt, dass du Mal und Geteilt vor Plus und Minus rechnest. Termumformungen erzeugen gleichwertige Terme, die alle dasselbe Ergebnis haben. Diese Terme heißen deshalb auch Ergebnisgleich. Sie werden durch Gleichheitszeichen miteinander verbunden. Gibt es in einem Term keine Punktrechnung mehr, führst du die Strichrechnungen von links nach rechts aus. Hier rechnen wir also erst 25 minus 15 und dann minus 2. Was in Klammern steht, rechnest du zuerst! Klammern müssen etwas enthalten, das selbst als korrekter Term gelten würde. Deshalb wendest du innerhalb einer Klammer dieselben Regeln an: Zunächst führen wir die Punktrechnung aus und dann die Strichrechnung. Schließlich können wir den Term vollständig ausrechnen. Haben wir mehrere ineinander verschachtelte Klammern gegeben, dann rechnen wir von innen nach außen. Wie fangen also bei der inneren Klammer an. Dann haben wir nur noch eine Klammer und können das Ergebnis wie zuvor ausrechnen. Mal sehen, wie sich Termann so macht. Das sieht ganz schön kompliziert aus! Aber Termann muss sich nur genau an die Regeln halten. Der Term enthält zwei Klammern. Termann beginnt also mit der inneren. Hier führt er zunächst die Punktrechnung aus. Dann folgt die Strichrechnung, wobei er von links nach rechts rechnet. Die Klammer enthält nun nur noch eine einzelne positive Zahl. Dann können wir die Klammer auch weglassen. Das sieht ja schon sehr viel einfacher aus. Termann geht nun zur äußeren Klammer über. Auch hier führt er zunächst die Punktrechnung aus und dann die Strichrechnung. Diesmal bleibt in der Klammer eine negative Zahl übrig. Das Minus ist also Bestandteil der Zahl und kein Rechenzeichen. Damit aber nicht der Eindruck entsteht, dass hier zwei Rechenzeichen direkt nebeneinander stehen, lässt Termann die Klammern stehen. Für den Rest des Terms gilt wieder Punktrechnung vor Strichrechnung. Das Ergebnis ist Null? Irgendwie hat Termann das Gefühl, dass er dieses Ergebnis nicht zum letzten Mal gesehen haben wird. Und während er weiter fleißig Terme umformt, fassen wir zusammen: Zunächst einmal gilt immer: Punktrechnung wird vor der Strichrechnung ausgeführt. Danach rechnest du von links nach rechts. Ansonsten wird jede Klammer einzeln gerechnet: Du fängst immer bei der innersten Klammer an. Die rechnest du aus, indem du erst die Punktrechnung ausführst und dann von links nach rechts die Strichrechnung. Dann gehst du zur nächstäußeren Klammer über. Auch diese rechnest du aus, indem du erst die Punktrechnung ausführst und dann die Strichrechnung von links nach rechts. Sind alle Klammern aufgelöst, führst Du auch im verbliebenen Term die Punktrechnung zuerst aus. Bleibt dann immer noch etwas übrig, rechnest du von links nach rechts. Und Termann? Der hat den Karrieresprung geschafft und darf sich Intermist nennen! Was für ein schöner Schreibtisch!

Termumformungen – Grundregeln Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Termumformungen – Grundregeln kannst du es wiederholen und üben.

  • Gib die Grundregeln beim Rechnen mit Termen wieder.

    Tipps

    Löse bei Termen mit mehreren Klammern immer zuerst die innere Klammer:

    • $100:(3\cdot(3+4))=100:(3\cdot7)$

    Multiplikationen führst du immer vor Additionen aus:

    $3+7\cdot2=3+14$

    Bei gleichwertigen Operationen beginnst du mit dem Rechnen wie beim Lesen auf der linken Seite.

    Lösung

    Beim Rechnen mit Termen musst du Folgendes beachten:

    Für alle Schritte gilt:

    • Punktrechnung vor Strichrechnung
    Zuerst führst du Multiplikationen ($\cdot$) und Divisionen ($:$) durch, dann Additionen ($+$) und Subtraktionen ($-$).
    • Von links nach rechts
    Bei gleichwertigen Operationen führst du sie in der Reihenfolge durch, wie du sie von links nach rechts liest.

    Bei komplizierteren Termen musst du außerdem auf Folgendes achten:

    1. Innere Klammer zuerst: $2\cdot(3\cdot9-(9:3+4))+8$
    2. Nächstäußere Klammer: $2\cdot(3\cdot9-7)+8$
    3. Term ohne Klammern: $2\cdot20+8$
  • Beschreibe, wie du den folgenden Term vereinfachen kannst.

    Tipps

    Bedenke, dass immer Punkt- vor Strichrechnung gilt.

    Bei mehreren Klammern beginnst du immer bei der ganz inneren.

    Lösung

    Folgender Term ist gegeben:

    • $4\cdot (2-8:(4\cdot12-6\cdot7-4))+8$
    Zuerst betrachten wir die innere Klammer und berechnen dort die Multiplikationen ($4\cdot12=48$ und $6\cdot7=42$):

    • $4\cdot (2-8:(48-42-4))+8$
    Nun können wir die innere Klammer komplett von links nach rechts lösen ($48-42-4=2$):
    • $4\cdot (2-8:2)+8$
    Danach wird die äußere Klammer gelöst. Auch hier beachten wir Punkt- vor Strichrechnung:

    Zunächst die Division ($8:2=4$):

    • $4\cdot (2-4)+8$
    Und dann die Subtraktion ($2-4=-2$):
    • $4\cdot (-2)+8$
    Im letzten Schritt wird multipliziert ($4\cdot (-2)=-8$)
    • $-8+8$
    Nun addieren wir ($-8+8=0$), sodass wir $0$ erhalten. Also ist der ganze komplizierte Term eigentlich nichts weiter als Null.
  • Vereinfache die Terme so weit wie möglich.

    Tipps

    Schaue dir dieses Beispiel an:

    $3\cdot (4+5\cdot 2)$

    $=3\cdot (4+10)$

    $=3\cdot (14)$

    $=42$

    Löse erst alle Multiplikationen und Divisionen in einer Klammer, dann die Additionen und Subtraktionen.

    Lösung

    Beispiel 1: $~3\cdot (2+3\cdot(12:6-3\cdot7+20))-8$

    Zuerst betrachten wir die innere Klammer und multiplizieren dort:

    $=3\cdot (2+3\cdot(2-21+20))-8$

    Schließlich lösen wir die innere Klammer auf:

    $= 3\cdot (2+3\cdot 1)-8$

    Wir multiplizieren in der äußeren Klammer:

    $= 3\cdot (2+3)-8$

    Nun lösen wir die äußere Klammer auf:

    $=3\cdot 5-8$

    Nun im Term Punkt- vor Strichrechnung

    $=15-8$

    Zuletzt die Subtraktion:

    $=7$

    Beispiel 2: $~(16+2\cdot(4:2-1\cdot7-10)):6$

    Zuerst betrachten wir die innere Klammer und multiplizieren und dividieren dort:

    $=(12+2\cdot(2-7-10)):6$

    Schließlich lösen wir die innere Klammer auf:

    $= (12+2\cdot(-15)):6$

    Wir multiplizieren in der äußeren Klammer:

    $= (12-30):6$

    Nun lösen wir die äußere Klammer auf:

    $=(-18):6$

    Zuletzt eine Division:

    $=-3$

  • Gib an, ob und wenn ja, welche Regel zur Termumformung hier verletzt wurde.

    Tipps

    Zuerst Divisionen, dann Subtraktionen:

    $4-2:2=4-1=3$

    aber $4-2:2\neq2:2=1$.

    Du liest von links nach rechts, genauso gehst du in der Mathematik vor.

    Lösung

    Beim Rechnen mit Termen musst du Folgendes beachten:

    Für alle Schritte gilt:

    • Punktrechnung vor Strichrechnung
    • Von links nach rechts
    Bei komplizierteren Termen musst du außerdem auf Folgendes achten:
    1. Innere Klammer zuerst!
    2. Nächstäußere Klammer!
    3. Term ohne Klammern!
    Somit gilt:

    • $3\cdot (4+5\cdot 2)\neq 3\cdot (9 \cdot 2)$
    Punkt- vor Strichrechnung! Hier hätte zuerst die Multiplikation in der Klammer und dann die Addition durchgeführt werden müssen. Das sähe dann so aus:

    $3\cdot (4+5\cdot 2)= 3\cdot (4+10)= 3\cdot 14= 42$

    • $3\cdot (5\cdot 2+4)\neq15\cdot (2+4)$
    Klammer zuerst! Hier muss zuerst die Klammer aufgelöst werden, bevor die Multiplikation mit $3$ erfolgt. Richtig wäre:

    $3\cdot (5\cdot 2+4)=3\cdot (10+4)=3\cdot 14=42$

    • $12:3\cdot 0\neq 12:0$
    Von links nach rechts! Durch diesen Rechenfehler produziert man hier sogar das Problem, dass die Aufgabe nicht mehr lösbar ist. Korrekt wäre es, zunächst die Division links auszuführen, dann die Multiplikation rechts:

    $12:3\cdot 0=4\cdot 0= 0$

    • $12\cdot5:(4+3)=12\cdot5:7$
    Dieser Term wurde korrekt vereinfacht, man kann ihn aber noch weiter vereinfachen:

    $12\cdot5:(4+2)=12\cdot5:6=60:6=10$

  • Zeige auf, welche mathematischen Ausdrücke Terme sind.

    Tipps

    Zahlen und Variablen dürfen sogar alleine stehen und gelten als Term.

    Rechenzeichen müssen zwischen Variablen und/oder Zahlen stehen, alleine bilden sie keinen Term. Außerdem dürfen niemals zwei Rechenzeichen direkt hintereinanderstehen.

    Klammern dürfen in einem Term vorkommen, müssen aber immer ein Paar sein.

    Lösung

    Terme sind Rechenausdrücke, die Folgendes beinhalten dürfen:

    • Zahlen und Variablen, die sogar alleine stehen dürfen und als Term gelten.
    • Rechenzeichen wie $+$, $-$, $\cdot$ und $:$, die aber zwischen Variablen und/oder Zahlen stehen müssen, alleine bilden sie keinen Term. Außerdem dürfen niemals zwei Rechenzeichen direkt hintereinander stehen.
    • Klammern, die immer als Paar vorkommen müssen.
    Damit sind die folgenden Ausdrücke Terme:
    • $3x$
    • $3x+4$
    • $2y$
    • $390213$
    • $b\cdot(x+n)$
    Damit sind die folgenden Ausdrücke keine Terme:
    • $3x=4$ und $3<4$
    Terme dürfen keine Relationszeichen ($=$, $<$, $\leq$) oder Ähnliches enthalten
    • $123-:4$
    Es dürfen niemals zwei Rechenzeichen direkt hinter einander stehen.
    • $+$
    Es dürfen keine Rechenzeichen alleine stehen.

  • Vereinfache die Terme vollständig.

    Tipps

    Hier siehst du eine korrekte Umformung:

    $((2\cdot1)+3)\cdot 4=(2+3)\cdot4=5\cdot4=20$

    Terme sind Rechenausdrücke, die Folgendes beinhalten dürfen:

    • Zahlen und Variablen, die sogar alleine stehen dürfen und als Term gelten.
    • Rechenzeichen wie $+$, $-$, $\cdot$ und $:$, die aber zwischen Variablen und/oder Zahlen stehen müssen, alleine bilden sie keinen Term. Außerdem dürfen niemals zwei Rechenzeichen direkt hinter einander stehen.
    • Klammern, die immer als Paar vorkommen müssen.

    Lösung

    Beim Rechnen mit Termen musst du Folgendes beachten:

    • Punktrechnung vor Strichrechnung
    • Von links nach rechts
    • Klammern zuerst
    • Klammern von innen nach außen lösen
    $0$:
    • $(5+3\cdot(8+9))\cdot0=(5+3\cdot17)\cdot0=(5+51)\cdot0=56\cdot0=0$
    • $17-4\cdot5+18:6=17-20+3=0$
    • $12:4\cdot (1-4+3)=12:4\cdot 0= 3\cdot 0=0$
    $3$:
    • $3$
    • $2\cdot(4+5):6+0=2\cdot9:6+0=18:6+0=3+0=3$
    $10$:
    • $((3\cdot5)-10)\cdot 4:2=(15-10)\cdot4:2=5\cdot4:2=20:2=10$
    • $(3\cdot5-10)\cdot 4:2=(15-10)\cdot4:2=5\cdot4:2=20:2=10$
    Kein Term:
    • $5+:3\cdot(8+9)$ Zwei Rechenzeichen dürfen nicht direkt hinter einander stehen.
    • $7+3\cdot 0>1$ Terme dürfen keine Relationszeichen enthalten.
    • $34\cdot (3+6\cdot(1+1)$ Klammern müssen immer als Paar vorkommen.