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Terme aufstellen – Altersaufgabe 2

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Die Autor/-innen
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Martin Wabnik
Terme aufstellen – Altersaufgabe 2
lernst du in der 7. Klasse - 8. Klasse

Beschreibung Terme aufstellen – Altersaufgabe 2

Diese Aufgabe könnte in der zentralen Vergleichsarbeit in der achten Klasse (Vera 8) so oder so ähnlich vorkommen. Typischerweise besteht sie aus einem etwas längeren Aufgabentext und mehreren kurzen Fragen dazu. Der Aufgabentext lautet:

Dein Vater ist x Jahre alt, dein kleiner Bruder ist halb so alt wie du und deine Mutter ist zwei Jahre jünger als dein Vater. Als dein Vater deine Mutter kennenlernte, hatte er eine Tochter, die zur Welt kam, als er 22 Jahre alt war. Dein Alter ist ein Drittel des Alters deines Vaters.

Die zweite Frage dazu ist: Schreibe einen Term auf, mit dem du das Gesamtalter aller genannten Personen in Abhängigkeit von x berechnen kannst.

Bei der Beantwortung dieser Frage kannst du deine Erfahrung im Aufstellen von Termen voll ausnutzen. Wenn du den Term aufgestellt hast, solltest du ihn soweit wie möglich vereinfachen. Das ist immer verlangt, auch wenn es nicht extra da steht.

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Terme aufstellen – Altersaufgabe 2 Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Terme aufstellen – Altersaufgabe 2 kannst du es wiederholen und üben.
  • Bestimme das jeweilige Alter in Abhängigkeit von $x$.

    Tipps

    Ein Term besteht aus Variablen, Zahlen und Rechenzeichen. Er muss sinnvoll sein:

    • $x-5$ ist ein Term aber
    • $x+-3$ ist kein Term.

    Was bedeutet „zwei Jahre jünger“?

    Wenn der Vater 50 Jahre alt ist, ist die Mutter 48 Jahre alt.

    Zur Geburt ist die Tochter 0 Jahre alt und ihr Vater 22 Jahre. Dieser Unterschied wird immer so bestehen: Wenn der Vater 42 Jahre alt ist, ist seine Tochter 20 Jahre alt.

    Lösung

    Das Aufstellen von Termen ist eine wichtige Aufgabe im Zusammenhang von Textaufgaben. Es soll geübt werden, Aufgabenformulierungen in mathematische Terme zu übersetzen.

    Der Vater sei $x$ Jahre alt. In Abhängigkeit von diesem $x$ soll nun das jeweilige Alter der übrigen genannten Personen bestimmt werden:

    • Da die Mutter zwei Jahre jünger ist als der Vater bedeutet dies, die Mutter ist $x-2$ Jahre alt.
    • Die Tochter wurde geboren, als der Vater 22 Jahre alt war. Somit ist der Vater 22 Jahre älter als seine Tochter. Die Tochter ist demnach $x-22$ Jahre alt.
    • „Dein“ Alter ist ein Drittel des Alters „deines“ Vaters. Dies drückt man als Quotient $\frac x3$ aus.
    • Der kleine Bruder ist halb so alt wie „du“. Da „du“ bereits ein Drittel so alt bist wie „dein“ Vater, entspricht dies $\frac x6$.

  • Gib den Term, in Abhängigkeit von $x$, an, welcher das Gesamtalter aller genannten Personen darstellt.

    Tipps

    Die Mutter ist $x-2$, die Tochter $x-22$, „du“ $\frac x3$ und der kleine Bruder $\frac x6$ Jahre alt.

    Das Gesamtalter ist die Summe der einzelnen Altersangaben.

    Vereinfache den Term so weit als möglich.

    Vergiss beim Addieren den Vater nicht.

    Lösung

    Aus der Aufgabenstellung kann das Alter jeder genannten Person hergeleitet werden:

    • Die Mutter ist $x-2$ Jahre alt,
    • die Tochter $x-22$,
    • „du“ $\frac x3$ und
    • der kleine Bruder $\frac x6$.
    All diese Terme müssen nun addiert werden:

    $x+x-2+x-22+\frac x3+\frac x6$.

    Nun können noch einzelne Terme zusammengefasste werden.

    Man kann mit den Termen beginnen, in welchen $x$ vorkommt:

    $x+x+x+\frac x3+\frac x6=3x+\left(\frac26+\frac16\right)x=3x+\frac12x=3,5x$.

    Ebenso können die Terme zusammengefasst werden, in welchen kein $x$ vorkommt: $-2-22=-24$.

    Gesamt erhält man also

    $3,5x-24$.

  • Ordne dem Alter des Vaters das Gesamtalter aller genannten Personen zu.

    Tipps

    Der Vorteil, einen solchen Term aufzustellen besteht eben darin, dass dieser Term für verschiedene $x$ ausgewertet werden kann.

    Setze das jeweilige $x$ in den Term ein.

    Lösung

    Warum bestimmt man einen Term in Abhängigkeit von einer Variablen, in diesem Fall $x$?

    Man könnte die Aufgabe für jedes angegebene Alter erneut berechnen. Das wäre reichlich viel Aufwand. Dadurch dass der Term $3,5x-24$ bekannt ist, muss das jeweilige Alter nur noch eingesetzt werden:

    • $x=40 ~\rightarrow~ 3,5\cdot40-24=140-24=116$.
    • $x=44 ~\rightarrow~ 3,5\cdot44-24=154-24=130$.
    • $x=50 ~\rightarrow~ 3,5\cdot50-24=175-24=151$.
    • $x=60 ~\rightarrow~ 3,5\cdot60-24=210-24=186$.

  • Leite einen Term her, der in Abhängigkeit des Alters der Tochter das Alter des kleinen Bruders angibt.

    Tipps

    Du kannst rückwärts rechnen: Für das Alter des Bruders benötigst du „dein“ Alter. Hierfür benötigst du das Alter des Vaters.

    Der Vater ist bei der Geburt der Tochter 22 Jahre alt. Das heißt, er ist 22 Jahre älter als seine Tochter.

    Wenn du das Alter des Vaters kennst, gelangst durch zweimaliges Dividieren zu dem Alter des kleinen Bruders.

    Lösung

    Das Alter der Tochter sei $x$. Der Vater ist bei der Geburt seiner Tochter 22 Jahre alt, also ist der Vater $x+22$ Jahre alt.

    „Dein“ Alter ist ein Drittel des Alters „Deines“ Vaters. Dies bedeutet:

    $\frac13(x+22)$.

    Der kleine Bruder ist halb so alt wie „du“: $\frac12\cdot \frac13(x+22)$.

    Dieser Term kann noch weiter vereinfacht werden:

    $\frac16(x+22)=\frac x6+\frac{11}3$.

  • Ergänze die Erklärung zur Erstellung eines Termes.

    Tipps

    Der Vorteil der Darstellung mit $x$ liegt darin, dass die Aufgabe nicht für jedes $x$ von vorne berechnet werden muss.

    Ein Term ist eine sinnvolle Aneinanderreihung von Zahlen, Variablen und Rechenzeichen.

    Zum Beispiel ist $x+2$ ein Term.

    Du kannst alles auch mit einer festen Zahl berechnen und diese in einer anderen Farbe schreiben. Wenn du diese Zahl immer stehen lässt, kannst du sie am Schluss wieder durch $x$ ersetzen.

    Lösung

    Die Aufgabenstellung lautet: Schreibe einen Term auf, mit dem du das Gesamtalter aller genannten Personen berechnen kannst (in Abhängigkeit von $x$).

    Was bedeutet „in Abhängigkeit von $x$“?

    $x$ soll in diesem Term vorkommen. Wenn der Term fertiggestellt ist, kann eine beliebige Zahl für dieses $x$ eingesetzt werden und man erhält das Gesamtalter für dieses $x$.

  • Entscheide, wie alt die Tochter ist, wenn der kleine Bruder 11 Jahre alt ist.

    Tipps

    Stelle eine Gleichung mit dem Term $\frac x6+\frac{11}3$, dem Alter des kleinen Bruders in Abhängigkeit des Alters der Tochter, und dem bekannten Alter des kleinen Bruders auf.

    Forme diese Gleichung so um, dass $x$ alleine steht.

    Das Ergebnis ist eine ganze Zahl.

    Lösung

    Es ist bekannt, dass der Term, welcher das Alter des Bruders in Abhängigkeit des Alters der Tochter angibt, gegeben ist durch

    $\frac x6+\frac{11}3$.

    Es muss also gelten

    $\frac x6+\frac{11}3=11$.

    Es kann auf beiden Seiten $\frac{11}3$ subtrahiert werden:

    $\frac x6=11-\frac {11}3=\frac{22}3$.

    Nun muss noch mit $6$ multipliziert werden:

    $x=6\cdot \frac{22}3=2\cdot 22=44$.

    Die Tochter ist jetzt 44 Jahre alt.

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