Teilweises Wurzelziehen

Teilweises Wurzelziehen Übung

• Beschreibe, wie du die Wurzel einer Zahl teilweise ziehen kannst.

  Tipps

  Steht unter einer Wurzel eine Potenz, wobei der Exponent der Potenz gleich dem Wurzelexponenten ist, so erhältst du beim Wurzelziehen die Basis der Potenz. Sieh dir hierzu folgendes Beispiel an:

  • $\sqrt[2]{3^2}=3$

  Du kannst die Wurzel eines Produktes auch als Produkt der Wurzeln der einzelnen Faktoren schreiben.

  Lösung

  Wir betrachten unter der Wurzel einen Term, der folgende Struktur hat: $~\sqrt{a^2\cdot b}$ mit $a,\ b\geq 0$

  Unter der Wurzel steht also ein Produkt mit den Faktoren $a$ zum Quadrat und $b$. Da $b\geq 0$ gilt, können wir zunächst das folgende Gesetz anwenden und die beiden Faktoren unter getrennte Wurzeln schreiben: $~\sqrt{a^2\cdot b}=\sqrt{a^2}\cdot \sqrt{b}$

  • Wir können die Wurzel eines Produktes nämlich auch als Produkt der Wurzeln der einzelnen Faktoren schreiben.

  Auf $\sqrt{a^2}$ mit $a\geq 0$ können wir folgendes Gesetz anwenden: $~\sqrt{a^2}=a$

  • Steht unter einer Wurzel eine Potenz, wobei der Exponent der Potenz gleich dem Wurzelexponenten ist, so erhalten wir beim Wurzelziehen die Basis der Potenz. Hier ist $a^2$ eine Potenz mit der Basis $a$ und dem Exponenten $2$. Der Wurzelexponent ist hier ebenfalls $2$, wir haben also eine Quadratwurzel. In so einem Fall kann man den Wurzelexponenten einfach weglassen.

  Wir können also insgesamt Folgendes schreiben: $~\sqrt{a^2}\cdot \sqrt{b}=a\cdot \sqrt{b} $

  Das nennt sich teilweises Wurzelziehen.

• Bestimme die Wurzel aus $675$ durch teilweises Wurzelziehen.

  Tipps

  Bestimme zunächst die Primfaktorzerlegung von $675$. Die Primfaktorzerlegung von $60$ ist zum Beispiel: $2\cdot 2 \cdot 3\cdot 5$.

  Suche dann gerade Exponenten in der Zerlegung. Anschließend zerlegst du die Wurzeln in vollständig ziehbare und nicht ziehbare Wurzeln, indem du gerade Exponenten in eigene Wurzeln schreibst.

  Für $a\geq0$ gilt: $\sqrt{a^2}=a$.

  Lösung

  Wir gehen im Folgenden wie folgt vor:

  1. Wir zerlegen die Zahl unter der Wurzel in ihre Primfaktoren.
  2. Wir suchen gerade Exponenten in der Zerlegung.
  3. Wir zerlegen die Wurzeln in vollständig ziehbare und nicht ziehbare Wurzeln, indem wir gerade Exponenten in eigene Wurzeln schreiben.
  4. Wir ziehen die ziehbaren Wurzeln.

  $\begin{array}{lll} \sqrt{675} &=& \sqrt{3\cdot 3\cdot 3\cdot 5\cdot 5} \\ \\ &=& \sqrt{(3\cdot 5)^2\cdot 3} \\ \\ &=& \sqrt{15^2\cdot 3} \\ \\ &=& 15\sqrt{3} \end{array}$

• Ermittle, wo das teilweise Wurzelziehen korrekt angewandt wurde.

  Tipps

  Zerlege die Zahl unter der Wurzel zunächst in zwei Faktoren, wobei einer dieser Faktoren eine Quadratzahl sein sollte. Dann kannst du die Wurzeln der Faktoren getrennt betrachten.

  Du kannst die Rechnungen auch überprüfen, indem du die rechte Seite wieder so umformst, dass beide Faktoren unter der Wurzel stehen. Dann bestimmst du das Produkt und vergleichst dieses mit der Zahl, die links vom Gleichheitszeichen unter der Wurzel steht.

  Lösung

  Wir können hier auf verschiedene Weisen vorgehen:

  1. Wir zerlegen die Zahl unter der Wurzel zunächst in zwei Faktoren, wobei einer dieser Faktoren eine Quadratzahl sein sollte. Dann können wir die Wurzeln der Faktoren getrennt betrachten. Dies sehen wird deutlich, wenn wir die Zahl unter der Wurzel in Primfaktoren zerlegen, kommen diese nämlich doppelt vor, ist ihr Produkt eine Quadratzahl. Zum Beispiel: $\sqrt{20}=\sqrt{2\cdot 2\cdot 5}=\sqrt{2^2\cdot 5}=\sqrt{2^2}\cdot \sqrt{5}=2\sqrt{5}$
  2. Wir können die Rechnungen auch überprüfen, indem wir die rechte Seite wieder so umformen, dass beide Faktoren unter der Wurzel stehen. Dann bestimmen wir das Produkt und vergleichen dieses mit der Zahl, die links vom Gleichheitszeichen unter der Wurzel steht. Man macht hier also genau das Gegenteil des teilweisen Wurzelziehens. Man quadriert den Faktor, der nicht unter der Wurzel steht, um diesen so unter die Wurzel zu ziehen.

  • $\sqrt{20}=\sqrt{4\cdot 5}=\sqrt{4}\cdot \sqrt{5}=2\sqrt{5}~\checkmark$

  • $\sqrt{18}=\sqrt{9\cdot 2}=\sqrt{9}\cdot \sqrt{2}=3\sqrt{2}\neq 2\sqrt{9}$

  • $3\sqrt{5}=\sqrt{9}\cdot \sqrt{5}=\sqrt{9\cdot 5}=\sqrt{45}~\checkmark$

  • $\sqrt{32}=\sqrt{16\cdot 2}=\sqrt{16}\cdot \sqrt{2}=4\sqrt{2}~\checkmark$

  • $2\sqrt{11}=\sqrt{4}\cdot\sqrt{11}=\sqrt{4\cdot 11}=\sqrt{44}\neq \sqrt{22}$

  • $\sqrt{28}=\sqrt{4\cdot 7}=\sqrt{4}\cdot \sqrt{7}=2\sqrt{7}~\checkmark$

• Bestimme die vereinfachten Quadratwurzeln durch teilweises Wurzelziehen.

  Tipps

  Gehe wie folgt vor:

  1. Zerlege die Zahl unter der Wurzel in ihre Primfaktoren.
  2. Suche gerade Exponenten in der Zerlegung.
  3. Zerlege die Wurzeln in vollständig ziehbare und nicht ziehbare Wurzeln, indem du gerade Exponenten in eigene Wurzeln schreibst.
  4. Ziehe die ziehbaren Wurzeln.

  Sieh dir folgendes Beispiel an:

  $\sqrt{180}=\sqrt{2\cdot 90}=\sqrt{2\cdot 2\cdot 45}=\sqrt{2\cdot 2\cdot 3\cdot 15}=\sqrt{2\cdot 2\cdot 3\cdot 3\cdot 5}$

  Die Primfaktoren $2$ und $3$ sind jeweils zweimal in der Zerlegung enthalten. Wir können diese wie folgt als Potenz schreiben und die Wurzel zerlegen:

  $\sqrt{2\cdot 2\cdot 3\cdot 3\cdot 5}=\sqrt{2^2\cdot 3^2\cdot 5}=\sqrt{2^2}\cdot\sqrt{3^2}\cdot\sqrt{5}=2\cdot 3\cdot \sqrt{5}=6\sqrt{5}$

  Lösung

  Wir gehen im Folgenden wie folgt vor:

  1. Wir zerlegen die Zahl unter der Wurzel in ihre Primfaktoren.
  2. Wir suchen gerade Exponenten in der Zerlegung.
  3. Wir zerlegen die Wurzeln in vollständig ziehbare und nicht ziehbare Wurzeln, indem wir gerade Exponenten in eigene Wurzeln schreiben.
  4. Wir ziehen die ziehbaren Wurzeln.

  Beispiel 1

  • $\sqrt{75}=\sqrt{3\cdot 25}=\sqrt{3\cdot 5\cdot 5}=\sqrt{3\cdot 5^2}=\sqrt{3} \cdot \sqrt{5^2}=\sqrt{3}\cdot 5=5\sqrt{3}$

  Beispiel 2

  • $\sqrt{98}=\sqrt{2\cdot 49}=\sqrt{2\cdot 7\cdot 7}=\sqrt{2\cdot 7^2}=\sqrt{2}\cdot \sqrt{7^2}=\sqrt{2}\cdot 7=7\sqrt{2}$

  Beispiel 3

  • $\sqrt{68}=\sqrt{2\cdot 34}=\sqrt{2\cdot 2\cdot 17}=\sqrt{2^2\cdot 17}=\sqrt{2^2}\cdot \sqrt{17}= 2\sqrt{17}$

• Bestimme die Wurzel aus $60$ durch teilweises Wurzelziehen.

  Tipps

  Schreibe die Quadratzahl als Potenz mit dem Exponenten $2$.

  Quadratzahlen sind Zahlen, die du erhältst, wenn du eine natürliche Zahl einmal mit sich selbst multiplizierst. Sei $n$ eine natürliche Zahl, so ist $n^2$ die Quadratzahl von $n$.

  Lösung

  Wir möchten die Wurzel von $60$ bestimmen. Hierzu müssen wir teilweise Wurzel ziehen. Wir zerlegen die $60$ erst einmal in zwei Faktoren, von denen einer eine Quadratzahl ist, nämlich $4$:

  • $\sqrt{60}=\sqrt{4\cdot 15}$

  Nun können wir die Faktoren unter getrennte Wurzeln schreiben. Wir nutzen also das Wurzelgesetz $\sqrt{a\cdot b}=\sqrt{a}\cdot\sqrt{b}$ für $a,b\geq0$ und erhalten so:

  • $\sqrt{4\cdot 15}=\sqrt{4}\cdot \sqrt{15}$

  Die Quadratzahl $4$ schreiben wir nun als Potenz:

  • $\sqrt{4}\cdot \sqrt{15}=\sqrt{2^2}\cdot \sqrt{15}$

  Ist der Exponent der Potenz unter einer Wurzel gleich dem Wurzelexponenten, so erhalten wir mit $\sqrt{a^2}=a$, für $a\geq0$ beim Wurzelziehen die Basis der Potenz:

  • $\sqrt{2^2}\cdot \sqrt{15}=2\cdot \sqrt{15}$

  Wir können $\sqrt{15}$ nicht mehr so zerlegen, dass wir teilweise Wurzel ziehen können. Damit sind wir hier fertig.

• Zeige, welche der Wurzeln ziehbar, teilweise ziehbar und nicht ziehbar sind.

  Tipps

  Zerlege die Zahl unter der Wurzel in ihre Primfaktoren. Erhältst du Potenzen mit geraden Exponenten, so kannst du deren Quadratwurzel ziehen. Es gilt:

  • $\sqrt{a^2}=a$
  • $\sqrt{a^4}=a^2$
  • $\sqrt{a^6}=a^3$

  usw.

  Sieh dir folgendes Beispiel an:

  $\begin{array}{lll} \sqrt{136} &=& \sqrt{2\cdot 68} \\ &=& \sqrt{2\cdot 2\cdot 34} \\ &=& \sqrt{2\cdot 2\cdot 2\cdot 17} \\ &=& \sqrt{2^2\cdot 2\cdot 17} \\ &=& \sqrt{2^2}\cdot \sqrt{2\cdot 17} \\ &=& 2\sqrt{34} \end{array}$

  Aus Primzahlen kannst du keine Wurzeln ziehen, wenn nur natürliche Zahlen als Ergebnis erlaubt sind.

  Lösung

  Wir ordnen die Wurzeln wie folgt zu:

  ziehbare Wurzeln

  $\sqrt{121}=\sqrt{11\cdot 11}=\sqrt{11^2}=11$

  $\sqrt{144} = \sqrt{2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 3\cdot 3} = \sqrt{2^4\cdot 3^2} = \sqrt{2^4}\cdot \sqrt{3^2} = 2^2\cdot 3 = 12$

  $\sqrt{169}=\sqrt{13\cdot 13}=\sqrt{13^2}=13$

  teilweise ziehbare Wurzeln

  $\sqrt{80}=\sqrt{2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 5}=\sqrt{2^4\cdot 5}=\sqrt{2^4}\cdot \sqrt{5}=2^2\cdot \sqrt{5}=4\sqrt{5}$

  $\sqrt{45}=\sqrt{3\cdot 3\cdot 5}=\sqrt{3^2\cdot 5}=\sqrt{3^2}\cdot\sqrt{5}=3\sqrt{5}$

  $\sqrt{125}=\sqrt{5\cdot 5\cdot 5}=\sqrt{5^2\cdot 5}=\sqrt{5^2}\cdot\sqrt{5}=5\sqrt{5}$

  $\sqrt{50}=\sqrt{2\cdot 5\cdot 5}=\sqrt{2\cdot 5^2}=\sqrt{2}\cdot \sqrt{5^2}=5\sqrt{2}$

  nicht ziehbare Wurzeln

  $\sqrt{13}$ können wir nicht in Primfaktoren zerlegen, da $13$ bereits eine Primzahl ist.

  $\sqrt{33}=\sqrt{3\cdot 11}~~~$ Diese Zerlegung liefert keine Potenzen mit geraden Exponenten, daher ist diese Wurzel nicht ziehbar.

  $\sqrt{26}=\sqrt{2\cdot 13}~~~$ Auch hier können wir keine Wurzel ziehen.