Pommes der Pinguin hält einen großen gelben Stern in den Händen
Pommes der Pinguin hält einen großen gelben Stern in den Händen
30 Tage kostenlos testen
30 Tage kostenlos testen
Über 1,6 Millionen Schüler*innen nutzen sofatutor Über 1,6 Millionen Schüler*innen nutzen sofatutor
Lernpakete anzeigen
Lernpakete anzeigen
Lernpakete anzeigen

Geometrische Figuren mit Vektoren bestimmen

Du kennst bereits Dreiecke und Vierecke. Hier lernst du, wie du mithilfe von Vektoren entscheiden kannst, ob ein spezielles Viereck vorliegt.

Inhaltsverzeichnis zum Thema

Einführung Vektoren

Vektoren beschreiben Bewegungen oder Verschiebungen im Raum. So kannst du zum Beispiel einen Punkt AA zu einem Punkt BB verschieben.

Im Folgenden lernst du verschiedene Anwendungen von Vektoren in Vektorräumen kennen.

Teilverhältnisse mit Vektoren berechnen

Du sollst prüfen, in welchem Verhältnis ein Punkt einer Strecke diese teilt. Betrachte hierfür das folgende Beispiel: Gegeben sind die Punkte A(311)A(3|1|1) sowie B(759)B(7|5|9). Der Punkt T(423)T(4|2|3) liegt auf der Strecke AB\overline{AB}.

1159_Strecke_teilen

Bestimme zunächst die Verbindungsvektoren AT\vec{AT} sowie TB\vec{TB}:

AT=(112)\vec{AT}=\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}

TB=(336)\vec{TB}=\begin{pmatrix} 3 \\ 3 \\ 6 \end{pmatrix}

Du siehst, es gilt TB=3AT\vec{TB}=3\cdot \vec{AT}. Das bedeutet, dass die Vektoren kollinear sind. Insbesondere ist damit auch nachgewiesen, dass der Punkt TT auf der Strecke AB\overline{AB} liegt.

Da der Vektor TB\vec{TB} das Dreifache des Vektors AT\vec{AT} ist, kannst du daraus schließen, dass der Punkt TT die Strecke AB\overline{AB} im Verhältnis 1:31:3 teilt.

Ebenso gehst du vor, wenn du Teilverhältnisse in Körpern, zum Beispiel Quadern, bestimmen möchtest.

Besondere Dreiecke mit Vektoren bestimmen

Neben Teilverhältnissen kannst du mithilfe von Vektoren auch entscheiden, ob ein besonderes Dreieck vorliegt.

Wenn du drei Punkte gegeben hast und untersuchen sollst, ob diese ein Dreieck bilden, schreibst du die Verbindungsvektoren von jeweils zwei der drei Vektoren auf. Sind diese nicht kollinear, so liegt ein Dreieck vor. Andernfalls liegen die drei Punkte auf einer Geraden.

Rechtwinklige Dreiecke

Betrachte die drei Punkte A(122)A(-1|2|2), B(311)B(3|1|1) und C(044)C(0|4|4). Weise nach, dass das Dreieck ABC\triangle{ABC} rechtwinklig ist mit dem rechten Winkel in AA. Da der Scheitelpunkt AA des rechten Winkels gegeben ist, untersuchst du die folgenden Verbindungsvektoren:

AB=(411)\vec{AB}=\begin{pmatrix} 4 \\ -1 \\ -1 \end{pmatrix}

AC=(122)\vec{AC}=\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix}

Diese beiden Vektoren sind nicht kollinear. Berechne nun das Skalarprodukt der beiden Vektoren. Ist dieses 00, so sind die Vektoren orthogonal zueinander.

ABAC=(411)(122)=422=0\vec{AB}\star \vec{AC}=\begin{pmatrix} 4 \\ -1 \\ -1 \end{pmatrix}\star\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix}=4-2-2=0

Das vorliegende Dreieck ist also rechtwinklig.

Gleichschenklige und gleichseitige Dreiecke

Bei gleichschenkligen Dreiecken sind mindestens zwei Seiten gleich lang. Die Seitenlängen eines Dreiecks, welches durch drei Punkte im R3\mathbb{R}^{3} gegeben ist, kannst du als Längen der Verbindungsvektoren berechnen. Betrachte das Dreieck, welches durch die Punkte A(211)A(2|1|1), B(611)B(6|1|1) und C(432)C(4|3|2) beschrieben ist.

Du berechnest die Länge der Verbindungsvektoren:

AB=(400)=4|\vec{AB}|=\left|\begin{pmatrix} 4 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}\right|=4

AC=(221)=3|\vec{AC}|=\left|\begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}\right|=3

BC=(221)=3|\vec{BC}|=\left|\begin{pmatrix} -2 \\ 2\\ 1 \end{pmatrix}\right|=3

Es gilt AC=BC\overline{AC}=\overline{BC}. Damit ist das Dreieck ABC\triangle{ABC} gleichschenklig.

Ebenso weist du nach, ob ein Dreieck gleichseitig ist, also alle drei Seiten gleich lang sind.

Besondere Vierecke mit Vektoren bestimmen

So ähnlich wie bei dem Nachweis von besonderen Dreiecken gehst du vor, wenn du besondere Vierecke nachweisen möchtest.

Dies schauen wir uns einmal am Beispiel von Quadraten an: Die Punkte A(211)A(2|1|1), B(611)B(6|1|1) sowie C(615)C(6|1|5) sollen durch einen weiteren Punkt DD zu einem Quadrat ergänzt werden.

1159_Quadrat

Da AB=BC=4|\vec{AB}|=|\vec{BC}|=4 sowie ABBC\vec{AB}\perp\vec{BC} ist, kannst du den Punkt DD so bestimmen:

d=c+BA=(615)+(400)=(215)\vec d=\vec c+\vec{BA}=\begin{pmatrix} 6 \\ 1 \\ 5 \end{pmatrix}+ \begin{pmatrix} -4 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 5 \end{pmatrix}

Du hast den Punkt D(215)D(2|1|5) gefunden. Das Viereck ABCDABCD ist ein Quadrat.