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Besondere Vierecke mit Vektoren bestimmen 12:43 min

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Transkript Besondere Vierecke mit Vektoren bestimmen

Hallo, mein Name ist Frank. In diesem Video werde ich dir zeigen, wie du besondere Vierecke mit Vektoren nachweisen kannst, also die Eigenschaften von besonderen Vierecken. Das ist eine Aufgabenstellung, die im Rahmen einer Geometrieaufgabe im Abitur gerne einmal so als Teilaufgabe gestellt wird. Und ich fange einfach einmal an, hier links mit dem sogenannten Haus der Vierecke. Da kannst du die verschiedenen Vierecke darin sehen und kannst auch noch einmal wiederholen und schauen, ob du die alle noch kennst. Also ganz oben siehst du ein Quadrat. Ein Quadrat ist ein spezielles Rechteck mit vier gleich langen Seiten. Und dann haben wir auch schon das Rechteck. Und die vier gleich langen Seiten, das könnte auch eine Raute sein, nur hat die Raute keine rechten Winkel. Und wenn wir jetzt noch einmal diese gleich langen Seiten herausnehmen, dann nur noch die Parallelität gegenüberliegender Seiten, haben wir ein Parallelogramm, darunter dann ein Trapez, erst einmal ein symmetrisches Trapez und ein Drachen. Und diese Pfeile, die du da siehst, diese grünen Pfeile, sagen immer, die entsprechenden Vierecke sind auch das, also ein Parallelogramm wäre auch ein Trapez. Und ein Rechteck wäre auch ein symmetrisches Trapez. Das kannst du an diesen Pfeilen erkennen. Dann haben wir unten ein Trapez, das hat die Eigenschaft, dass zwei gegenüberliegende Seiten parallel sind und ganz unten ganz allgemein ein Viereck, das einfach irgendwie aussieht. Und ich werde jetzt anhand von einigen Beispielen dir mit Hilfe von Vektoren zeigen, wie du solche Eigenschaften nachweisen kannst. So, ich beginne mit dem Beispiel eines Parallelogramms. Beim Parallelogramm müssen die gegenüberliegenden Seiten parallel sein, das heißt, ich muss jetzt wieder ein paar Verbindungsvektoren berechnen. Und damit ich überhaupt weiß, welche Verbindungsvektoren ich berechnen muss, gehe ich der Einfachheit halber davon aus, dass die Ecken des Vierecks entgegen des Uhrzeigersinns bezeichnet sind, also so, wie es hier angedeutet, ABCD. Das muss jetzt nicht so aussehen, das A könnte auch da sein, ABCD, aber nur, damit du weißt, dass du diese Verbindungsvektoren berechnen musst. Ansonsten kannst du dir eigentlich theoretisch alle Verbindungsvektoren berechnen, wenn du nicht weißt, wo die Punkte liegen. Das heißt also bei dem Beispiel, ich schaue mir den Verbindungsvektor AB an. Der ist gerade 3 - 1 = 2, 1 - 1 = 0, 3 - 2 = 1. AB = (2, 0, 1). Dann schaue ich mir den Verbindungsvektor AD an. Der ist 0 - 1 = -1, 3 - 1 = 2, 0 - 2 = -2. AD = (-1, 2, -2). Dann schaue ich mir den Verbindungsvektor BC an. Also die Reihenfolge ist egal. Du musst halt nur diese vier Verbindungsvektoren hier betrachten, also BC wäre 2 - 3 = -1, 3 - 1 = 2, 1 - 3 = -2. BC = (-1, 2, -2). Und zu guter Letzt noch den Verbindungsvektor, welcher fehlt mir noch? DC, und der ist gerade 0-2, Entschuldigung DC, also 2 - 0 = 2, 3 - 3 = 0 und 1 - 0 = 1. DC = (2, 0, 1) Und du siehst die Verbindungsvektoren AB und DC, also diese beiden hier, gut, in dem Bild jetzt natürlich nicht, sind identisch. Und genauso sind die Verbindungsvektoren AD und BC identisch. Und das heißt für die entsprechenden Seiten, dass die parallel sein müssen. Und das siehst du hier schon einmal in einem ersten Bild eines Parallelogramms. Und die entsprechenden parallelen Seiten sind jetzt farbig markiert. Ich nehme es und tue das hier oben hin zum Parallelogramm. Also wir haben nachgewiesen, dass in diesem Beispiel ein Parallelogramm vorliegt. Nun schaue ich mir ein weiteres Beispiel an. Ich überprüfe, ob das nächste Feld, das ich vorgebe, ob das ein Rechteck ist. also die Punkte A(1|2|1), B(3|2|1), C(1|1|4) und D(-2|1|4). Und wenn ein Rechteck vorliegen soll, das hatte ich vorhin bei dem Haus der Vierecke schon gezeigt, dann müssen auf jeden Fall die vier gegenüberliegenden Seiten parallel sein. Und das schaue ich jetzt wieder, genau wie hier. Also bestimmen wir die Verbindungsvektoren AB genau wie im vorherigen Beispiel, 3 - 1 = 2, 2 - 2 = 0, 1 - 1 = 0. AB = (2, 0, 0). Dann AD -2 - 1 = -3, 1 - 2 = -1, 4 - 1 = 3. AD = (-3, -1, 3). Dann BC, also wie jetzt oben auch, 1 - 3 = -2, 1 - 2 = -1, 4 - 1 = 3. BC = (-2, -1, 3). Wie in dem vorigen Beispiel schon gesehen, die beiden müssten identisch sein. Das sind sie hier nicht. Also ich könnte jetzt eigentlich schon aufhören. Ich bestimme jetzt einmal der Vollständigkeit halber noch den Verbindungsvektor DC, und der wäre 1 - (-2) = 3, 1 - 1 = 0, 4 - 4 = 0. DC = (3, 0, 0). Und du siehst, diese Vektoren sind nicht identisch. Also ist das auf jeden Fall schon einmal kein Parallelogramm. Und wenn es kein Parallelogramm ist, kann es natürlich auch kein Rechteck sein. Wenn es ein Parallelogramm wäre, müssten wir zusätzlich noch einen rechten Winkel nachweisen. Das brauchen wir jetzt hier nicht, weil es ja, wie gesagt, schon kein Parallelogramm ist. Das Bild dazu siehst du jetzt hier. Und du kannst jetzt farbig erkennen, dass keine gegenüberliegenden Seiten parallel sind. Und deswegen haben wir kein Rechteck. Ich mache das hier kleiner und lass das hier. Abschließend werde ich noch ein drittes Beispiel betrachten und ja, dann wären wir soweit fertig. So, jetzt komme ich zu dem abschließenden Beispiel. Also ich habe hier die Punkte schon einmal angeschrieben, wieder ein Viereck. Und ich möchte überprüfen, ob es sich bei diesem Viereck um ein Drachen handelt. Und wenn du noch einmal an dieses Haus der Vierecke denkst, hat der Drachen die Eigenschaft, dass die Diagonalen senkrecht aufeinander stehen. Und die Diagonalen, da kannst du jetzt wieder dieses Planviereck hernehmen, sind die Strecke von A nach C und von B nach D. Also brauche ich zuerst einmal die beiden Verbindungsvektoren AC, also 1 - 3 = -2, 3 - 1 = 2, 4 - 2 = 2. AC = (-2, 2, 2). Und BD, also auch da wieder, ich gehe jetzt wieder davon aus, dass dieses Viereck entsprechend bezeichnet ist. Ansonsten weiß ich ja nicht, welche Punkte diagonal gegenüber liegen. BD ist: 4 - 1 = 3, 4 - 1 = 3, 3 - 3 = 0. BD = (3, 3, 0). Und senkrecht aufeinander stehen, heißt, das Skalarprodukt der beiden Vektoren muss 0 sein, also AC∙BD = -6 + 6 + 0 = 0. Also haben wir die Orthogonalität, also einen rechten Winkel, den die beiden Diagonalen bilden. Und jetzt müssen wir für den Drachen noch zeigen, dass dann, wenn hier diese Diagonalen wären, dass dann diese beiden Seiten gleich lang sind. Und wenn die beiden gleich lang sind, sind natürlich auch diese gleich lang. Also ich mache jetzt den Nachweis über AD, auch da wieder, ich brauche den entsprechenden Verbindungsvektor, AD: 4 - 3 = 1, 4 - 1 = 3, 3 - 2 = 1. AD = (1, 3, 1). Und dann noch AB, nein in dem Fall DC schaue ich mir an. Also ich hätte auch AB machen können, dann würde ich feststellen, dass die nicht gleich lang sind, weil, wenn du hier schaust, wenn du von A ausgehst, könnten ja die beiden gleich lang sein oder die beiden. Ich weiß das schon, dass die beiden gleich lang sind, deswegen nehme ich die beiden. DC wäre also C-Vektor 1 - 4 = -3, 3 - 4 = -1, 4 - 3 = 1. Von diesen beiden brauche ich wieder die Längen, also den Betrag. Und für den Betrag eines Vektors muss ich einfach nur jede einzelne Komponente quadrieren, also den Vektor mit sich selbst multiplizieren, 12 + 32 +12 = 11 und daraus die Wurzel. (-3)2 + (-1)2 + 12 = 11 und daraus die Wurzel. Du siehst, diese beiden Längen stimmen überein, also haben wir das, diese beiden hier. Jetzt muss ich einmal gucken, AD und DC, also in diesem Bild natürlich nicht, das ist nur meine, so eine Skizze, damit ich weiß, wie die Buchstaben da stehen, sind gleich lang, damit sind auch diese beiden gleich lang. Diese Orthogonalität der Diagonalen hatten wir schon, also haben wir den Nachweis, dass es ein Drachen ist. Und das Bild kannst du jetzt hier auch noch einmal sehen. Den rechten Winkel kannst du hier markiert sehen und auch die gleichen Längen. Ich mache das noch einmal kleiner, und dann hast du es hier stehen. Nun fasse ich noch einmal kurz zusammen, was ich in diesem Video gemacht habe: Ich habe dir gezeigt, wie du besondere Eigenschaften von Vierecken mit Hilfe von Vektoren nachweisen kannst. Dafür ist es natürlich gut , wenn du die speziellen Eigenschaften der Vierecke kennst. Das habe ich ganz am Anfang gezeigt mit dem Haus der Vierecke. Und das Ganze habe ich an drei Beispielen gemacht, einmal ein Parallelogramm. Wir hatten ein Parallelogramm, einmal ein Rechteck, wir hatten kein Rechteck und einmal jetzt gerade ein Drachen. Und das war wirklich der Fall. Nun hoffe ich, dass du alles gut verstehen konntest und danke dir für deine Aufmerksamkeit. Wie immer freue ich mich über Fragen und Anregungen. Bis zum nächsten Mal, dein Frank.

3 Kommentare
  1. sehr gut

    Von Hbothner, vor 11 Monaten
  2. gut verständlich erklärt danke

    Von Kaplan Murat, vor etwa 3 Jahren
  3. gut gemacht

    Von Ragai00fox, vor mehr als 3 Jahren

Besondere Vierecke mit Vektoren bestimmen Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Besondere Vierecke mit Vektoren bestimmen kannst du es wiederholen und üben.

  • Nenne die Zusammenhänge zwischen den einzelnen Vierecken.

    Tipps

    In einem Rechteck sind jeweils die gegenüber liegenden Seiten parallel. Zusätzlich sind alle (vier!) Winkel rechte Winkel.

    In einem Parallelogramm sind die gegenüberliegenden Seiten parallel zueinander.

    In einem Drachen stehen die Diagonalen senkrecht aufeinander. Dabei teilt eine der beiden Diagonalen (die Symmetrieachse) die andere in der Mitte.

    Das bedeutet, dass zwei aneinander liegende Seiten gleich lang sind.

    Lösung

    Hier ist das Haus der Vierecke zu sehen.

    Ganz oben ist ein allgemeines Viereck.

    Ganz unten befindet sich ein Quadrat. Die Pfeile von dem Quadrat zu

    • dem Rechteck oder
    • der Raute (Rhombus)
    zeigen an, dass jedes Quadrat auch ein Rechteck und eine Raute ist.

    Der Pfeil von dem Rechteck zu dem Parallelogramm zeigt, dass jedes Rechteck auch ein Parallelogramm ist. Umgekehrt ist dies nicht richtig. In einem Rechteck sind die gegenüber liegenden Seiten parallel; dies ist auch bei einem Parallelogramm so. Bei einem Rechteck sind alle Winkel rechte Winkel.

    Da weder von einem Rechteck noch von einem Parallelogramm ein Pfeil (auch über Umwege) zu dem Drachenviereck führt, sind weder Rechtecke noch Parallelogramme Drachenvierecke.

    Da jedes Quadrat auch eine Raute ist und jede Raute ein Drachenviereck ist, ist auch jedes Quadrat ein Drachenviereck.

  • Beschreibe, wie man nachweisen kann, dass das gegebene Viereck ein Parallelogramm ist.

    Tipps

    In einem Parallelogramm sind die gegenüberliegenden Seiten parallel.

    Das bedeutet, dass die entsprechenden Vektoren kollinear sein müssen. Insbesondere sind diese Seiten gleich lang.

    Den Verbindungsvektor zweier Vektoren erhältst du, indem du von dem Ortsvektor des Endpunktes den des Anfangspunktes subtrahierst.

    Zwei Vektoren heißen kollinear, wenn der eine Vektor sich als Vielfaches des anderen darstellen lässt.

    Insbesondere sind identische Vektoren kollinear.

    Lösung

    Bei den gegebenen Punkten $A(1|1|2)$, $B(3|1|3)$, $C(2|3|1)$ und $D(0|3|0)$ soll nachgewiesen werden, dass das zugehörige Viereck ein Parallelogramm ist. Dafür genügt es zu zeigen, dass die gegenüber liegenden Seiten parallel sind. Um nicht alle Verbindungsvektoren aufzustellen, verwendet man ein Planskizze für die Bezeichnung der Ecken eines Vierecks. Diese ist hier zu sehen.

    Es müssen also die Verbindungsvektoren $\vec{AB}$, $\vec{BC}$, $\vec{AD}$ und $\vec{DC}$ bestimmt werden:

    $\vec{AB}=\begin{pmatrix} 2 \\ 0\\1 \end{pmatrix}=\vec{DC}$

    Diese beiden Vektoren sind identisch, also kollinear. Das bedeutet, dass die beiden Seiten parallel sind.

    $\vec{AD}=\begin{pmatrix} -1 \\ 2\\-2 \end{pmatrix}=\vec{BC}$

    Auch diese beiden Vektoren sind identisch, also kollinear. Die entsprechenden Seiten sind parallel.

    Das Viereck $ABCD$ ist somit ein Parallelogramm.

  • Ergänze den Weg, wie man überprüft, ob das gegebene Viereck ein Drachenviereck ist.

    Tipps

    Hier siehst du ein Beispiel für ein Drachenviereck.

    Die Symmetrieachse steht senkrecht auf die andere Achse.

    Zwei Vektoren stehen senkrecht aufeinander, $\vec u\perp\vec v$, wenn das Skalarprodukt der beiden Vektoren $0$ ist.

    Beim Drachen müssen zusätzlich zwei nebeneinander liegende Seiten gleich lang sein.

    Lösung

    In einem Drachenviereck

    • stehen die Diagonalen senkrecht aufeinander,
    • schneidet eine der Diagonalen die andere in der Mitte und deshalb
    • sind zwei nebeneinander liegende Seiten gleich lang.
    Die Diagonalen sind gegeben durch $\vec{AC}$ sowie $\vec{BD}$

    $\vec{AC}=\begin{pmatrix} 1 \\ 3\\4 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} 3 \\ 1\\2 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -2 \\ 2\\2 \end{pmatrix}$

    Ebenso kann $\vec{BD}$ berechnet werden:

    $\vec{BD}=\begin{pmatrix} 3 \\ 3\\0 \end{pmatrix}$

    Das Skalarprodukt dieser beiden Vektoren ist

    $\begin{pmatrix} -2 \\ 2\\2 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} 3 \\ 3\\0 \end{pmatrix}=-6+6+0=0$

    Die beiden Vektoren stehen also senkrecht aufeinander.

    Zusätzlich ist

    $\vec{AD}=\sqrt{11}$ und $\vec{DC}=\sqrt{11}$. Die beiden Vektoren (und somit die beiden Seiten) sind gleich lang. Es liegt also ein Drachenviereck vor.

  • Weise nach, dass eine Diagonale eines Drachenvierecks die andere in der Mitte schneidet.

    Tipps

    Zur Berechnung des Schnittpunktes werden die beiden Geradengleichungen gleichgesetzt.

    Du erhältst drei Gleichungen mit zwei Unbekannten.

    Die letzte Gleichung beinhaltet nur den Parameter $r$. Forme diese nach $r$ um und berechne damit $s$.

    Durch Einsetzen eines der beiden Parameter (egal welchem!) in der entsprechenden Geradengleichung erhältst du den Schnittpunkt.

    Berechne jeweils die Verbindungsvektoren.

    Du erhältst die Länge eines Vektors, indem du die einzelnen Koordinaten quadrierst, die Quadrate addierst und aus der Summe die Wurzel ziehst.

    Zwei der Längen stimmen überein.

    Lösung

    Die beiden oben angegebenen Geraden schneiden sich. Der Schnittpunkt kann berechnet werden durch Gleichsetzen der beiden Geradengleichungen:

    $\begin{pmatrix} 3 \\ 1\\2 \end{pmatrix}+r\begin{pmatrix} -2 \\ 2\\2 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 \\ 1\\3 \end{pmatrix}+s\begin{pmatrix} 3 \\ 3\\0 \end{pmatrix}$

    Dies führt zu den Gleichungen

    $\begin{array}{lrcl} I&3-2r&=&1+3s\\ II&1+2r&=&1+3s\\ III&2+2r&=&3 \end{array}$

    Die dritte Gleichung liefert $r=0,5$. Wenn man dieses $r$ zum Beispiel in der zweiten Gleichung einsetzt, erhält man $3-1=1+3s$. Subtraktion von $1$ und Division durch $3$ führen zu $s=\frac13$. $r=0,5$ und $s=\frac13$ lösen auch die erste Gleichung. Einsetzen von $r=0,5$ in $g_1$ führt zu dem Schnittpunkt $S(2|2|3)$.

    Mit diesem Schnittpunkt kann nun der Abstand zu jedem der vier Eckpunkte bestimmt werden. Dabei müssen zwei Abstände überein stimmen. Damit ist bewiesen, dass eine der beiden Diagonalen die andere in der Mitte schneidet.

    $|\vec{AS}|=\left|\begin{pmatrix} -1 \\ 1\\1 \end{pmatrix}\right|=\sqrt{(-1)^2+1^2+1^2}=\sqrt{3}$

    $|\vec{BS}|=\left|\begin{pmatrix} 1 \\ 1\\0 \end{pmatrix}\right|=\sqrt{1^2+1^2+0^2}=\sqrt{2}$

    $|\vec{CS}|=\left|\begin{pmatrix} 1 \\ -1\\-1 \end{pmatrix}\right|=\sqrt{1^2+(-1)^2+(-1)^2}=\sqrt{3}$

    $|\vec{DS}|=\left|\begin{pmatrix} -2 \\ -2\\0 \end{pmatrix}\right|=\sqrt{(-2)^2+(-2)^2+0^2}=\sqrt{8}$

    Das bedeutet, dass die Diagonale, die die Punkte $B$ und $D$ verbindet, die Diagonale, die $A$ und $C$ verbindet, genau in der Mitte $S(2|2|3)$ schneidet.

  • Prüfe, ob das gegebene Viereck mit den Punkten $A(3|-3|7)$, $B(3|-6|3)$, $C(3|-2|0)$ und $D(3|1|4)$ ein Quadrat ist.

    Tipps

    In einem Quadrat sind alle Seiten gleich lang und alle Winkel rechte Winkel.

    Es genügt nicht, nur die Eigenschaft der gleichen Länge zu zeigen. Dies könnte auch eine Raute sein.

    Es genügt nicht, nur die Rechtwinkligkeit zu zeigen, dies gilt auch für ein Rechteck.

    Um einen Verbindungsvektor zu bestimmen, ziehst du von dem Ortsvektor des Endpunktes den des Anfangspunktes ab.

    Lösung

    Die Punkte sind bereits so angeordnet, wie sie in dem Quadrat (?) liegen.

    Es müssen also die folgenden Verbindungsvektoren bestimmt werden

    $\vec{AB}=\begin{pmatrix} 3 \\-6\\3 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} 3 \\ -3\\7 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 \\ -3\\-4 \end{pmatrix}$

    Ebenso können die weiteren Verbindungsvektoren bestimmt werden

    $\vec{DC}=\begin{pmatrix} 0 \\ -3\\-4 \end{pmatrix}$

    $\vec{AD}=\begin{pmatrix} 0 \\ 4\\-3 \end{pmatrix}$

    $\vec{BC}=\begin{pmatrix} 0 \\ 4\\-3 \end{pmatrix}$

    Die Länge, diese ist bei allen Vektoren gleich groß, beträgt

    $\left|\begin{pmatrix} 0 \\ -3\\-4 \end{pmatrix}\right|=\sqrt{(-3)^2+(-4)^2}=\sqrt{9+16}=5$

    Es könnte also ein Quadrat oder eine Raute vorliegen. Bei einem Quadrat sind alle Winkel rechte Winkel. Es muss also das Skalarprodukt zweier Vektoren berechnet werden, die am gleichen Punkt anliegen:

    $\vec{AD}\cdot\vec{AB}=\begin{pmatrix} 0 \\ 4\\-3 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} 0 \\ -3\\-4 \end{pmatrix}=0-12+12=0$.

    Damit ist auch die Rechtwinkligkeit nachgewiesen. Das Viereck $ABCD$ ist also ein Quadrat.

  • Bestimme den Punkt $D$ so, dass das Viereck $ABCD$ ein Rechteck ist.

    Tipps

    Es muss gelten $\vec{AB}=\vec{DC}$.

    Weiterhin muss $\vec{AD}=\vec{BC}$ gelten.

    Zum Nachweis der Rechtwinkligkeit genügt es, das Skalarprodukt der beiden Vektoren $\vec{AB}$ und $\vec{BC}$ zu berechnen.

    Wenn dieses $0$ ist, dann sind auch alle anderen Winkel rechte Winkel.

    Lösung

    Es ist

    $\vec{AB}=\begin{pmatrix} 4 \\ 2\\-4 \end{pmatrix}$

    und

    $\vec{BC}=\begin{pmatrix} -2 \\ 0\\-2 \end{pmatrix}$

    Das Skalarprodukt dieser beiden Vektoren ist

    $\begin{pmatrix} 4 \\ 2\\-4 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} -2 \\ 0\\-2 \end{pmatrix}=-8+0+8=0$

    Damit ist nachgewiesen, dass ein rechter Winkel in $B$ vorliegt.

    Der Punkt $D$ muss also so gewählt werden, dass $\vec{DC}=\vec{AB}$ ist. Damit ist auch $\vec{AD}=\vec{BC}$.

    Diesen Punkt kann man zum Beispiel dadurch finden, dass man zu dem Ortsvektor von $A$ den Vektor $\vec{BC}$ addiert:

    $\begin{pmatrix} 2 \\ 2\\5 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} -2 \\ 0\\-2 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 \\ 2\\3 \end{pmatrix}$

    Dies ist der Ortsvektor von $D$, also ist der gesuchte Punkt $D(0|2|3)$.