Streifenmethode des Archimedes

Name: Streifenmethode des Archimedes
Uploaded: 2021-09-28T16:42:13.000+02:00
Description: Streifenmethode des Archimedes erklärt inkl. Übungen

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Streifenmethode des Archimedes

Bestimmtes Integral – Obersumme berechnen

Was ist ein Integral?

Hallo! Kennst du bereits die Streifenmethode des Archimedes? Ich werde sie dir hier im Video erklären. Archimedes von Syrakus war ein griechischer Gelehrter, der von 287 bis 212 v. Chr. lebte. Unter anderem beschäftigte er sich damit, die Fläche unter einer Parabel abzuschätzen. Dazu abstrahierte er diese Fläche durch eine Vielzahl von Rechtecken. Die Methode ist deshalb interessant, weil sie ein Vorläufer der Integralrechnung ist. Wir wollen nun die Streifenmethode des Archimedes selbst nachvollziehen. Es geht darum, den Flächeninhalt A zwischen der Normalparabel mit der Funktionsgleichung f(x)=x²und der x-Achse im geschlossenen Intervall zwischen null und eins zu bestimmen. Archimedes zerlegte diese Fläche nun in eine Vielzahl gleich breiter Streifen. Beginnen wir erst einmal mit fünf Streifen. Wir unterteilen also das Intervall null bis eins in fünf gleich große Abschnitte. Jeder Streifen hat damit die Breite Δx ist gleich ⅕. Um ein Rechteck passend zum Graphen in den jeweiligen Abschnitten zu finden, müssen wir zu jedem Abschnitt eine Höhe definieren. Wir wählen den maximalen Funktionswert innerhalb eines jeden Abschnitts. Das erste Rechteck hat damit die Höhe des Funktionswertes bei ⅕, also f(⅕)=(⅕)², das zweite hat die Höhe des Funktionswertes bei ⅖, also f(⅖)=(⅖)² und so weiter. Um den Flächeninhalt A zwischen dem Graphen und der x-Achse auf dem Intervall null bis eins abzuschätzen, müssen wir nur noch die Summe der Flächeninhalte der fünf Rechtecke berechnen. Da wir den maximalen Funktionswert eines jeden Abschnitts als Höhe definiert haben, sprechen wir von der Obersumme O der fünf Rechtecke, die wir nun berechnen. Entsprechend der Flächeninhaltsformel Breite mal Höhe berechnen wir die Obersumme O mit O=⅕•f(⅕)+⅕•f(⅖)+...+⅕•f(5/5). Das entspricht ⅕• ⅕²+1/5•(⅖)²+...+⅕•(5/5)². ⅕ können wir ausklammern, außerdem (⅕)² aus jedem Funktionswert. Wir erhalten dann O=(⅕)³•(1²+2²+...+5²). Ausmultipliziert erhalten wir O=55/125=0,44 Flächeneinheiten. Wenn du dir das Schaubild anschaust, dann wird dir klar werden, dass wir mit der Obersumme einen Wert erhalten werden, der den tatsächlich gesuchten Flächeninhalt A zwischen dem Graphen und der x-Achse überschätzt. Eine Unterschätzung liefert die Untersumme der fünf Rechtecke, deren Höhe sich dann aus dem minimalen Funktionswert im entsprechenden Abschnitt berechnet. Der erste Streifen hat nun also die Höhe des Funktionswertes an der Stelle null, also f(0)=0²=0. Der zweite Streifen hat die Höhe des Funktionswertes an der Stelle ⅕. Also f(⅕)=(⅕)² und so weiter. Die Untersumme berechnet sich entsprechend der Flächeninhaltsformel Breite mal Höhe. U=⅕•f(0)+⅕•f(⅕)+...+⅕•f(⅘). Analog zur Obersumme kann dieser Term umgeformt werden in ⅕³ mal die Summe der Quadratzahlen von null bis vier. U=30/125=0,24 Flächeneinheiten. Da die Untersumme den tatsächlich gesuchten Flächeninhalt unterschätzt, die Obersumme den tatsächlich gesuchten Flächeninhalt überschätzt, liegt der Flächeninhalt A unter der Parabel also irgendwo zwischen Unter- und Obersumme. A liegt also zwischen 0,24 und 0,44 Flächeneinheiten. Wir könnten den Flächeninhalt unter der Parabel nun immer weiter verfeinern, indem wir das Intervall von null bis eins in immer mehr gleich breite Abschnitte unterteilen. Eine allgemeingültige Formel zur Berechnung der Ober- und Untersumme mit n Abschnitten wäre dabei hilfreich. Die ist gar nicht so schwer herzuleiten. Wir haben ja bereits zur Berechnung der Obersumme der fünf Rechtecke folgende Schreibweise gewählt: O=⅕³•(1²+2²+...+5²). Ersetzen wir für n Streifen die Breite der Abschnitte mit eins durch n, so erhalten wir O_n ist gleich eins durch n hoch drei mal der Summe der Quadratzahlen von null bis n. Äquivalent dazu erhalten wir für die Untersumme die Formel U_n ist gleich eins durch n hoch drei mal der Summe der Quadratzahlen von null bis n minus eins. Je höhere Werte du nun für n einsetzt, desto genauer wird unsere Abschätzung des Flächeninhalts zwischen dem Graphen und der x-Achse. Damit haben wir auch schon die Streifenmethode des Archimedes nachvollzogen. Wir rechnen heute noch mit Methoden, die über 2000 Jahre alt sind. Mathematik ist eben zeitlos. Von nun an kannst du den Flächeninhalt zwischen dem Graphen einer kurvigen Funktion und der x-Achse näherungsweise bestimmen. Damit bist du gut gerüstet für das Abenteuer Integralrechnung. Bis zum nächsten Mal.

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Die Autor*innen

Mathe-Team

Streifenmethode des Archimedes

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Streifenmethode des Archimedes Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Streifenmethode des Archimedes kannst du es wiederholen und üben.

Ordne der Skizze die passenden Angaben zu.

Tipps

Die Fläche A unter dem Graphen ist die Fläche, die von der $x$-Achse und dem Graphen der Funktion $f(x)$ im Intervall $[0;1]$ eingeschlossen wird.

Die Obersumme orientiert sich immer am höchsten $f(x)$-Wert im jeweiligen Streifen.

Lösung

Beginne immer mit den Angaben, bei denen du dir sicher bist:
Den Graphen der Funktion kannst du sicherlich schnell zuordnen. Hier musst du nur genau hinschauen, um welche Funktion es sich handelt.
Die Intervallgrenzen im Intervall $[0;1]$ kannst du sicherlich auch leicht erkennen: Das bedeutet, dass $x=0$ die untere Intervallgrenze ist und $x=1$ die obere Intervallgrenze.
Die Fläche $A$ unter dem Graphen ist die Fläche, die von der $x$-Achse und dem Graphen der Funktion $f(x)$ im Intervall $[0;1]$ eingeschlossen wird, also die schraffierte Fläche.
Da die Fläche, die die grünen Säulen beschreiben, größer ist als die schraffierte Fläche $A$, handelt es sich hier um die Obersumme.
Die Obersumme orientiert sich immer am höchsten $f(x)$-Wert im jeweiligen Streifen. Insofern ist der $f(x)$-Wert, der durch die grüne gestrichelte Linie hervorgehoben ist, der Wert für $f(0,6)$. Tipp: Orientiere dich am Graphen, nicht an den Säulen, dann erkennst du sofort, zu welchem $x$-Wert der $f(x)$-Wert gehört.
Gib die Formeln zur Berechnung der Obersumme und der Untersumme an.

Tipps

Lies die Angaben genau und in Ruhe.

Am Nenner des Bruchs erkennst du die Streifenzahl.

Bei der Obersumme entspricht der letzte Term der Formel der Anzahl der Streifen.

Der letzte Term der Untersummenformel ist um eins kleiner als die Streifenanzahl.

Lösung

Um diese Aufgabe lösen zu können, schaust du dir die Angaben zunächst ganz genau an. Es gibt die Unterscheidung nach Ober- und Untersumme und verschiedene Streifenanzahlen: $5$, $10$ und $n$.
Der Nenner des Bruchs entspricht immer der Streifenzahl. Damit kannst du zumindest schon einmal die Formel zuordnen, bei der $5$ Streifen verwendet wurden.
Die Obersumme berechnest du immer, indem du in der Klammer mit den Summen alle natürliche Zahlen von $1$ bis zur Streifenanzahl erst quadrierst und dann addierst. Die letzte Zahl gibt dir also Aufschluss, ob es sich um die Ober- oder Untersumme handelt: Bei der Berechnung der Obersumme entspricht sie der Anzahl der Streifen, bei der Berechnung der Untersumme entspricht sie der Anzahl der Streifen minus $1$.
Wenn du alle Informationen kombinierst, kannst du die Formeln den Beschreibungen ganz eindeutig zuordnen.
Berechne die Ober- und Untersumme zur Funktion $f$.

Tipps

Du kannst die allgemeinen Formeln für Ober- und Untersumme anwenden.

Hier ist $n=10$.

Lösung

Diese Aufgabe kannst du sehr schnell mit den allgemeinen Formeln für die Funktionsgleichung $f(x)=x^2$ im Intervall [0;1] lösen:
$O_n=(\frac{1}{n})^3\cdot (1^2+2^2+...+n^2)$
$U_n=(\frac{1}{n})^3\cdot (0^2+1^2+...+(n-1)^2)$.
Wenn du für die Streifenanzahl $n$ den Wert $10$ einsetzt, ergibt sich:
$O_{10}=(\frac{1}{10})^3\cdot (1^2+2^2+...+10^2)=0,385~FE$
$U_{10}=(\frac{1}{10})^3\cdot [0^2+1^2+...+(9)^2)=0,285~FE$.
Die allgemeinen Formeln aus dem Video kannst du immer dann anwenden, wenn es sich um die Funktion mit der Gleichung $f(x)=x^2$ und das Intervall $[0;1]$ handelt.
Für eine andere Funktion und/oder ein anderes Intervall musst du die Formeln mit Hilfe von Überlegungen wie im Video zunächst herleiten.
Berechne die Fläche unter dem Graphen näherungsweise mit Hilfe der Streifenmethode.

Tipps

Lies die Aufgaben genau und in Ruhe und schaue, welche Angaben darin vorkommen.

Die Streifenbreite ist immer Intervallbreite geteilt durch Streifenanzahl.

Die Breite des Intervalls $[1;2]$ beträgt $1$.

Durch das veränderte Intervall verändern sich auch die Formeln zur Berechnung von Ober- und Untersumme.

Lösung

Gegeben sind die Funktion $f(x)=x^2$, das Intervall $[1;2]$ sowie die Streifenanzahl von zehn Streifen.
Gesucht ist die Fläche, die der Graph $f(x)$ und die $x$-Achse im Intervall $[1;2]$ einschließen.
Das Intervall hat die Breite von $1$ bis $2$, also eine Breite von $1$. Die zehn Streifen haben also jeweils eine Breite von $\frac{1}{10}$.
Die Formel für die Obersumme lässt sich nun so herleiten:
$O_{10}=\frac{1}{10}\cdot (f(\frac{11}{10})+ f(\frac{12}{10})+...f(\frac{20}{10}))$.
Wenn wir für $f(x)=x^2$ einsetzen, dann erhalten wir: $O_{10}=\frac{1}{10}\cdot ((\frac{11}{10})^2+ (\frac{12}{10})^2+...(\frac{20}{10})^2)$.
Wenn wir nun $(\frac{1}{10})^2$ ausklammern, dann erhalten wir: $O_{10}=\left( \frac{1}{10}\right)^3\cdot (11^2+12^2+...+20^2)$.
Mit den gleichen Überlegungen erhalten wir für die Untersumme schließlich: $U_{10}=\left( \frac{1}{10}\right)^3\cdot (10^2+11^2+...+19^2)$.
Ausgerechnet ergibt das: $2,185~FE < A < 2,485~FE$.
Prüfe, welche Aussagen zur Streifenmethode des Archimedes stimmen.

Tipps

Alle Streifen haben die Breite $\frac {1}{n}$.

Die Fläche, die von der Funktion oben begrenzt wird, kann nur näherungsweise bestimmt werden.

Das Intervall ist immer festgelegt.

Die Näherung wird immer genauer, je mehr Streifen verwendet werden.

Lösung

Archimedes von Syrakus hat sich unter anderem damit beschäftigt, wie man den Flächeninhalt bestimmen kann, der von einer Parabel, der $x$-Achse und den Intervallgrenzen eines bestimmten Intervalls eingeschlossen wird.
Bei der so genannten Streifenmethode wählt man für die Bestimmung des Flächeninhalts in einem zuvor festgelegten Intervall eine beliebige Anzahl Streifen ($n$).
Jeder Streifen ist gleich breit: exakt $\frac{1}{n}$.
Nun kann man die Fläche über die Obersumme und die Untersumme annähern. Über den Flächeninhalt der gesuchten Fläche kann man nur sagen, dass er irgendwo zwischen der Obersumme und der Untersumme liegt.
Doch je mehr Streifen man verwendet, die dann automatisch schmaler werden, desto genauer kann man den gesuchten Flächeninhalt annähern.
Gib die passende Formel zur Berechnung der Ober- oder Untersumme für die jeweilige Aufgabenstellung an.

Tipps

Es gilt $\frac{2}{10}=\frac{1}{5}$.

Die Breite der Streifen beträgt immer: Intervallbreite geteilt durch die Streifenanzahl. Den Bruch kannst du gegebenenfalls noch kürzen.

Die Summanden sind immer davon abhängig, ob du bei der Streifenbreite den Bruch gekürzt hast oder nicht.

An der Summandenanzahl erkennst du die Streifenanzahl.

Lösung

Um diese Aufgabe zu lösen, gehst du am besten so vor:
Bestimme die Streifenbreite, indem du Intervallbreite geteilt durch Streifenanzahl rechnest. Den Bruch kannst du gegebenenfalls noch kürzen. Ist das Intervall zum Beispiel $[2;4]$, dann ist die Breite des Intervalls $2$. Sollst du $20$ Streifen verwenden, so hat jeder Streifen eine Breite von $\frac{2}{20}$ oder auch gekürzt $\frac{1}{10}$.
Rechnest du mit dem gekürzten Bruch weiter, so lautet die Obersumme:
$O=\frac{1}{10} \cdot (f(2+\frac{1}{10})+f(2+\frac{2}{10})+...+f(2+\frac{20}{10})$.
Du kannst die gemischten Zahlen aber auch als Bruch schreiben:
$O=\frac{1}{10} \cdot (f(\frac{21}{10})+f(\frac{22}{10})+...+f(\frac{40}{10}))$.
Wenn du die Funktionsgleichung für $f(x)$ einsetzt, kannst du dann Teile ausklammern. Nehmen wir an, die Gleichung der Funktion lautet: $f(x)=\frac{1}{4} \cdot x^3$, dann setzt du ein:
$O=\frac{1}{10} \cdot (\frac{1}{4} \cdot (\frac{21}{10})^3+\frac{1}{4} \cdot (\frac{22}{10})^3+...+\frac{1}{4} \cdot (\frac{40}{10})^3)$.
Dann kannst du aus jedem Summanden $\frac{1}{4}$ und $(\frac{1}{10})^3$ ausklammern und erhältst:
$O=(\frac{1}{10})^4 \cdot \frac{1}{4} \cdot (21^3+22^3+...+40^3)$.
Für die Untersummen gehst du genau so vor.
Wenn du im gleichen Beispiel die Streifenbreite nicht gekürzt hast, dann lautet die Obersumme:
$O=\frac{2}{20} \cdot (f(2+\frac{2}{20})+f(2+\frac{4}{20})+...+f(2+\frac{40}{20})$.
Du kannst die gemischten Zahlen aber auch als Bruch schreiben:
$O=\frac{2}{20} \cdot (f(\frac{42}{20})+f(\frac{44}{20})+...+f(\frac{80}{20})$.
Wenn du die Funktionsgleichung für $f(x)$ einsetzt, kannst du dann Teile ausklammern. Nehmen wir an, die Gleichung der Funktion lautet: $f(x)=\frac{1}{4} \cdot x^3$, dann setzt du ein:
$O=\frac{2}{20} \cdot (\frac{1}{4} \cdot (\frac{42}{20})^3+\frac{1}{4} \cdot (\frac{44}{20})^3+...+\frac{1}{4} \cdot (\frac{80}{20})^3)$.
Dann kannst du aus jedem Summanden $\frac{1}{4}$ und $(\frac{2}{20})^3$ ausklammern und erhältst:
$O=(\frac{2}{20})^4 \cdot \frac{1}{4} \cdot (21^3+22^3+...+40^3)$.
Nach diesem Prinzip kannst du in allen Intervallen mit allen Streifenanzahlen für alle (einfachen) Funktionen den Flächeninhalt mit Hilfe der Ober- und Untersumme recht schnell bestimmen.