30 Tage kostenlos testen

Überzeugen Sie sich von der Qualität unserer Inhalte.

Spurpunkte - Schatten einer Figur einzeichnen

Du möchtest schneller & einfacher lernen?

Dann nutze doch Erklärvideos & übe mit Lernspielen für die Schule.

Kostenlos testen
Bewertung

Ø 4.4 / 11 Bewertungen

Die Autor*innen
Avatar
Giuliano Murgo
Spurpunkte - Schatten einer Figur einzeichnen
lernst du in der 11. Klasse - 12. Klasse - 13. Klasse

Grundlagen zum Thema Spurpunkte - Schatten einer Figur einzeichnen

Klatsch Klatsch. Das Licht geht an. Du kennst sicherlich die Lichter, die sich nach dem Klatschen von selbst anschalten. Daraufhin fällt ein Schatten auf jedes Objekt, welches von dem Licht angestrahlt wird. Die Lichtstrahlen verlaufen dabei zentral von der Lichtquelle aus und treffen von dort auf das Objekt. Anders verhält es sich bei Sonnenstrahlen. Diese fallen parallel auf ein Objekt ein. Bei der zweiten Art von Lichtstrahlen können wir mit einem fixen Gegenstand und der Richtung der Sonnenstrahlen seinen Schatten berechnen. Dazu benutzen wir Geraden und Spurpunkte bzw. die Schnittpunkte von Geraden mit einer Koordinatenebene. Ich werde mit dir zusammen den Schatten eines auf dem "Boden" befindlichen Rechtecks berechnen. Viel Spaß beim Sonnen ... äh Lernen!

2 Kommentare

2 Kommentare
  1. Super erklärt danke für das Video:)
    Was ich noch nicht so richtig verstanden habe ist, woher du weißt, dass sich der Schatten in der Xy-Ebene befindet. Ich hoffe du kannst mir helfen

    Von Tanya E., vor mehr als 5 Jahren
  2. Super erklärt
    hat mir echt mega geholfen

    Von Susanne Honnef, vor mehr als 6 Jahren

Spurpunkte - Schatten einer Figur einzeichnen Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Spurpunkte - Schatten einer Figur einzeichnen kannst du es wiederholen und üben.
  • Stelle die Geradengleichung der Geraden auf, die durch die beiden oberen Punkte des Rechtecks und in Richtung der Lichtstrahlen verlaufen.

    Tipps

    Der Stützvektor einer Geraden ist der Ortsvektor eines beliebigen Punktes der Geraden.

    Der Richtungsvektor ist in der Parametergleichung daran zu erkennen, dass er mit dem Parameter multipliziert wird.

    Lösung

    Die beiden oberen Ecken des Rechteckes werden mit $C$ und $D$ bezeichnet. Die Richtung der Lichtstrahlen ist durch den Vektor $\vec{v}$ gegeben.

    Um eine Parametergleichung $g: \vec{x} = \vec{p}+t\cdot \vec{v}$ einer Geraden anzugeben benötigt man:

    • einen Stützvektor $\vec{p}$. Dies ist der Ortsvektor eines beliebigen Punktes der Geraden.
    • einen Richtungsvektor $\vec{v}$. Dieser ist für beide Geraden gegeben durch die Richtung des Lichtstrahls.
    Somit lautet die Parametergleichung der Geraden durch $C$:

    $g_C:\vec x=\begin{pmatrix}2 \\6\\4 \end{pmatrix}+t\cdot \begin{pmatrix}-1 \\2\\-1 \end{pmatrix}$

    und die der Geraden durch $D$:

    $g_D:\vec x=\begin{pmatrix}2 \\4\\4 \end{pmatrix}+t\cdot \begin{pmatrix}-1 \\2\\-1 \end{pmatrix}$.

  • Bestimme den Spurpunkt der Geraden $g_C$ mit der $xy$-Koordinatenebene.

    Tipps

    Spurpunkte sind die Schnittpunkte von Geraden im Raum mit den Koordinatenebenen. Gesucht ist hier der Spurpunkt, also der Schnittpunkt, mit der $xy$-Koordinatenebene.

    Welche Bedingung muss erfüllt sein?

    Der gesuchte Schnittpunkt muss die $z$-Koordinate $z=0$ haben.

    Lösung

    Jeder Punkt der $xy$-Koordinatenebene hat die $z$-Koordinate $z=0$.

    Also hat auch der gesuchte Spurpunkt die $z$-Koordinate $0$.

    Dies führt zu der Gleichung $0=4-t$. Dies ist äquivalent zu $t=4$. Dieser Parameter wird in der Parametergleichung der Geraden eingesetzt:

    $g_C:\vec x=\begin{pmatrix}2 \\6\\4 \end{pmatrix}+4\cdot \begin{pmatrix}-1 \\2\\-1 \end{pmatrix}$.

    Somit erhält man die Koordinaten des Spurpunktes $S_{xy}(-2|14|0)$.

  • Ermittle die Gleichung der Geraden, die dem Lichtstrahl entspricht, welcher auf die Spitze des Eiffelturms trifft.

    Tipps

    Der Stützvektor ist der Ortsvektor eines der beiden bekannten Punkte der Geraden.

    Der Richtungsvektor ist der Verbindungsvektor der beiden Punkte.

    Der Richtungsvektor ist daran zu erkennen, dass er mit dem Parameter multipliziert wird.

    Der Verbindungsvektor zweier Punkte $A$ und $B$ ist:

    $\vec{AB}=\vec{OB} - \vec{OA}$.

    Lösung

    Für die Parametergleichung $g:~\vec{x}=\vec{p}+t\cdot \vec{v}$ einer Geraden benötigt man

    • einen Stützvektor $\vec{p}$. Dies ist der Ortsvektor eines Punktes der Geraden.
    • und einen Richtungsvektor $\vec{v}$. Bei 2 gegebenen Punkten ist dies der Verbindungsvektor der beiden Punkte.
    Die Spitze des Eifelturms befindet sich in $E(0|0|324)$. Er wird von einem Strahler im Punkt $S(-200|-200|500)$ angestrahlt. Die Geradengleichung lautet also:

    $\begin{align*} g:\vec x&=\vec{OE}+t\cdot \vec{ES}\\ &=\begin{pmatrix}0 \\0\\324 \end{pmatrix}+t\cdot \begin{pmatrix}-200 \\-200\\176 \end{pmatrix} \end{align*}$.

    Dies ist nur eine mögliche Darstellung. Man hätte auch die Koordinaten des Strahlers als Stützvektor nehmen können und den Verbindungsvektor $\vec{SE}$ als Richtungsvektor.

  • Berechne die Länge des Schattens des Eiffelturmes.

    Tipps

    Es ist die Gleichung $0=324+176t$ zu lösen.

    Der Abstand zweier Punkte $A(a_1|a_2|a_3)$ und $B(b_1|b_2|b_3)$ zueinander wird mit der Formel

    $d=\sqrt{(a_1-b_1)^2+(a_2-b_2)^2+(a_3-b_3)^2}$

    berechnet.

    Lösung

    Es muss der Spurpunkt der Geraden mit der $xy$-Koordinatenebene berechnet werden; das heißt $z=0$.

    Dies führt zu der Gleichung $0=324+176t$, welche durch

    $t=-\frac{324}{176}$

    gelöst wird. Dieses $t$ wird in der Geradengleichung eingesetzt:

    $g:\vec x=\begin{pmatrix}0 \\0\\324 \end{pmatrix}-\frac{324}{176}\cdot \begin{pmatrix}-200 \\-200\\176 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}368,2 \\368,2\\0 \end{pmatrix}$.

    Der gesuchte Spurpunkt ist also $S_{xy}(368,2|368,2|0)$.

    Der Abstand dieses Punktes zum Koordinatenursprung wird mit der Abstandsformel für 2 Punkte berechnet:

    $d=\sqrt{368,2^2+368,2^2}\approx 520,7$.

    Die Länge des Schattens beträgt $520,7~m$.

  • Ergänze die Erklärung zu Spurpunkten.

    Tipps

    Ein beliebiger Punkt der $xy$-Koordinatenebene lautet $(x|y|0)$. Das heißt die $z$-Koordinate ist $0$.

    Ebenso sind beliebige Punkte der beiden anderen Koordinatenebenen gegeben.

    Da eine Koordinate bekannt ist, entsteht eine Gleichung, in welcher der Parameter unbekannt ist.

    Lösung

    Spurpunkte sind die Schnittpunkte von Geraden im Raum mit den Koordinatenebenen.

    Für jede der Koordinatenebenen ist eine Koordinate $0$:

    • $xy$-Koordinatenebene: $z=0$,
    • $xz$-Koordinatenebene: $y=0$ und
    • $yz$-Koordinatenebene: $x=0$.
    Also wird in der Geradengleichung die entsprechende Koordinate $0$ gesetzt. Die so entstandene Gleichung wird nach dem Parameter aufgelöst.

    Der gefundene Wert des Parameters wird in der Geradengleichung eingesetzt. So erhält man die Koordinaten des Spurpunktes.

  • Ermittle den Schatten des Vierecks $ABCD$ in der $yz$-Ebene, wenn ein Lichtstrahl in Richtung $\vec{v}$ fällt.

    Tipps

    Bestimme zu jedem der Eckpunkte die Parametergleichung der Geraden

    • mit dem Ortsvektor des Punktes als Stützvektor sowie
    • $\vec v$ als Richtungsvektor.

    Zur Berechnung der Spurpunkte in der $yz$-Koordinatenebene muss $x=0$ sein.

    $x=0$ führt zu einer Gleichung, welche nach dem Parameter aufgelöst wird.

    Den Lösungsparameter setzt du wieder in die Geradengleichung ein.

    Lösung

    „Der Schatten in der $yz$-Ebene“ bedeutet, dass die Spurpunkte von Geraden mit dieser Ebene berechnet werden müssen. Es muss also $x=0$ sein.

    Es müssen für die vier Eckpunkte die Geraden aufgestellt werden und die zugehörigen Spurpunkte berechnet werden:

    $g_1:\vec x=\begin{pmatrix} 1 \\ 1\\ 1 \end{pmatrix}+r\cdot\begin{pmatrix} -2 \\ -1\\ -2 \end{pmatrix}$.

    • Es ist die Gleichung $0=1-2r$ zu lösen.
    • Die Lösung ist $r=0,5$.
    • Dieses $r$ wird in der Parametergleichung eingesetzt.
    • Der Spurpunkt ist $A'(0|0,5|0)$.
    $g_2:\vec x=\begin{pmatrix} 2 \\ 2\\ 2 \end{pmatrix}+r\cdot\begin{pmatrix} -2 \\ -1\\ -2 \end{pmatrix}$.
    • Es ist die Gleichung $0=2-2r$ zu lösen.
    • Die Lösung ist $r=1$.
    • Dieses $r$ wird in der Parametergleichung eingesetzt.
    • Der Spurpunkt ist $B'(0|1|0)$.
    $g_3:\vec x=\begin{pmatrix} 3 \\ 1\\ 3 \end{pmatrix}+r\cdot\begin{pmatrix} -2 \\ -1\\ -2 \end{pmatrix}$.
    • Es ist die Gleichung $0=3-2r$ zu lösen.
    • Die Lösung ist $r=1,5$.
    • Dieses $r$ wird in der Parametergleichung eingesetzt.
    • Der Spurpunkt ist $C'(0|-0,5|0)$.
    $g_4:\vec x=\begin{pmatrix} 1 \\ 2\\ 2 \end{pmatrix}+r\cdot\begin{pmatrix} -2 \\ -1\\ -2 \end{pmatrix}$.
    • Es ist die Gleichung $0=1-2r$ zu lösen.
    • Die Lösung ist $r=0,5$.
    • Dieses $r$ wird in der Parametergleichung eingesetzt.
    • Der Spurpunkt ist $D'(0|1,5|1)$.

30 Tage kostenlos testen
Mit Spaß Noten verbessern
und vollen Zugriff erhalten auf

4.062

sofaheld-Level

6.574

vorgefertigte
Vokabeln

10.879

Lernvideos

44.155

Übungen

38.845

Arbeitsblätter

24h

Hilfe von Lehrer*
innen

laufender Yeti

Inhalte für alle Fächer und Klassenstufen.
Von Expert*innen erstellt und angepasst an die Lehrpläne der Bundesländer.

30 Tage kostenlos testen

Testphase jederzeit online beenden