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Berechnen von Spurpunkten 15:24 min

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Transkript Berechnen von Spurpunkten

Hallo, ich bin Giuliano und ich möchte mit dir zusammen Spurpunkte berechnen. Mit Spurpunkten kannst du beispielsweise berechnen, in welche Richtung ich diese Kugel hier gegen die Banden stoßen muss, um in die Tasche zu gelangen.Des Weiteren kann man mit Spurpunkten folgendes berechnen.Hier siehst du ein Rechteck im dreidimensionalen Koordinatensystem und wenn ich jetzt das Licht anschalte und parallele Strahlen auf dieses Rechteck fallen, dann kann ich mit Spurpunkten beispielsweise berechnen, welchen Schatten dieses Rechteck in der Ebene wirft.Im Folgenden erkläre ich dir erst, was Spurpunkte sind, und wir definieren die und dann zeige ich dir an Beispielen verschiedene Varianten.Jetzt möchte ich dir erklären was Spurpunkte sind. Dafür schreiben wir uns die Definition von Spurpunkten auf.Definition - Spurpunkte.Spurpunkte sind nichts anderes als, Spurpunkte sind die Schnittpunkte von Geraden mit den Koordinatenebenen.  Das möchte ich dir jetzt auch unten an einem dreidimensionalen Koordinatensystem erklären.Hier gibt es insgesamt drei Koordinatenebenen, einmal die x y Ebene, einmal y z Ebene, und einmal die x z Ebene und ich male jetzt eine beliebige Gerade hier in dieses dreidimensionale Koordinatensystem ein. Und jetzt kann man eigentlich ganz schlecht erkennen, wo genau diese Gerade durch geht, und mit Hilfe dieser Spurpunkte kann man eben in Zeichnung ziemlich genau berechnen, wo eben die Schnittpunkte mit den Koordinatenebenen sind.Und zwar gibt es potentiell drei Stück. Wir sagen jetzt einfach, hier ist der Schnittpunkt mit der x y Ebene. Ich versuche das jetzt einmal hier mit Ebenen um diesen Punkt herum einzuzeichnen.Hier ist also der Punkt Sxy. Also Schnittpunkt mit der x y Ebene. Dann gibt es noch den Schnittpunkt von dieser Geraden mit der y z Ebene, das versuche ich jetzt einmal hier einzuzeichnen. Hier auch wieder eine Ebene einzeichnen, um diesen Punkt herum. Hier ist dann der Schnittpunkt Syz. Und schließlich hier hinten, das kann man jetzt eben nicht so gut erkennen, hier ist potentiell der Schnittpunkt, ich versuche jetzt hier eine Querebene einzuzeichnen, mit der Ebene x z. Das ist also der Schnittpunkt Sxz.Das heißt es gibt potentiell drei Schnittpunkte, Sxy, dann gibt es noch Syz, und Sxz. Und jetzt möchte ich gerne an einem Beispiel das Ganze einmal durchrechnen.Das heißt wir schauen uns folgende Gerade an, die Gerade g mit der Parametergleichung x = (x y z) , ihr könnt alternativ x1, x2 und x3 diese Koordinaten benennen bzw. diese Achsen, das ist eigentlich egal.Ich habe mich jetzt für x y z entschieden. Die Gerade g(x) = (-4 -3 12) + t * (-2 -3 4).So, als allererstes berechnen wir jetzt, wie ich es jetzt auch hier unten in der Zeichnung dargestellt habe den Schnittpunkt Sxy. Und was ist die Eigenschaft aller Punkte in dieser Ebene? Na klar, dass z = 0 ist. Das heißt wir müssen z gleich null setzen.Das bedeutet für unsere Gerade, dass wir die untere Zeile null setzen. Das heißt, 0 = 12 + 4 t. Wenn wir das Äquivalent umformen die 12 auf die andere Seite holen und dann durch 4 teilen erhalten wir t = -3.Das müssen wir jetzt zurück in die Geradengleichung einsetzen und erhalten unseren Schnittpunkt mit der x y Ebene. Das heißt, insgesamt haben wir dann (x y z) = (-4 -3 12) + (-3) * (-2 -3 4). Wenn wir das ausrechnen erhalten wir den Ortsvektor von dem Schnittpunkt Sxy.Das heißt OSxy = (2 6 0).Kommen wir jetzt zum zweiten Spurpunkt. Dem Schnittpunkt S den Schnittpunkt von der Geraden mit der y z Ebene.Die y z Ebene, alle Punkte dieser Ebene haben die Eigenschaft, das x = 0 ist.  Das bedeutet, wir müssen die oberste Zeile gleich 0 setzen. Das heißt 0 = -4 - 2t. Wenn wir das wieder auflösen ergibt das t = -2.Das setzen wir dann wieder in unsere Geradengleichung ein, und erhalten den Ortsvektor von den Schnittpunkt Syz. Das heißt (-4 -3 12) + (-2) * (-2 -3 4) und wenn wir das ausrechnen erhalten wir OSyz = (0 3 4). Das heißt, die Koordinaten des Schnittpunktes sind (0 3 4).  Und jetzt noch den letzten Spurpunkt.Das ist eben der Spurpunkt Sxz. Hier ist y = 0, also müssen wir wieder null setzen. 0 = -3 - 3t  wenn wir das umformen erhalten wir t = -1.Und letztlich haben wir dann den Ortsvektor OSxz = (-2 0 8).Jetzt haben wir die drei Schnittpunkte mit den Koordinatenebenen.Als letztes möchte ich dir noch einige Beispiele  zeigen, wo wir noch einige Varianten sehen von Geraden.Jetzt schauen wir uns die verschiedenen Möglichkeiten an, wie viele Spurpunkte eine Gerade besitzen kann.Und zwar, der erste Fall ist folgender und zwar kann eine Gerade nur einen Spurpunkt besitzen. Das ist dann der Fall, wenn die Gerade parallel zu zwei Koordinatenebenen ist.Das bedeutet also, wenn ich jetzt beispielsweise einen Stab nehme und den senkrecht auf den Boden halte und der Boden meine x y Ebene ist, dann geht dieser Stab eben nur durch die x y Ebene und ist gleichzeitig jetzt parallel zur Tafel, Das jetzt eben die z y Ebene sein kann und beispielsweise zu der Wand an meiner linken, das jetzt eben die x z Ebene sein kann.Es gibt aber auch eine zweite Möglichkeit, und die möchte ich dir an einem Beispiel einmal zeigen.Und zwar nehmen wir die Gerade g, die die folgende Form hat, der Vektor x = (0 0 0) als Stützvektor,  + t * (2 3 4).Diese Gerade hat den Stützvektor (0 0 0) was der Ursprung eines dreidimensionalen Koordinatensystems darstellt. Das heißt dieser Ursprung ist der einzige Schnittpunkt, aller drei Koordinatenebenen zusammen. Und der Richtungsvektor enthält keine Null, deswegen geht diese Gerade vom Ursprung aus in eine beliebige Richtung und deswegen gibt es nur einen Spurpunkt und zwar den Ursprung.In dem Falle, wenn ich jetzt p den allgemeinen Stützvektor einer Geraden nenne die Koordinaten eben (0 0 0) und der Richtungsvektor hat die allgemeinen Koordinaten (a b c)  wobei a, b, c ungleich null sein müssen.Kommen wir jetzt zum zweiten Fall. Die zweite Möglichkeit ist:  zwei Spurpunkte. Also eine Gerade hat zwei Spurpunkte. Dort gibt es wieder genauso zwei Möglichkeiten, genauso wie oben die erste Möglichkeit, die Gerade ist parallel zu einer Koordinatenebene.Und das möchte ich auch wieder an einem Beispiel zeigen.Das heißt wir haben die Gerade h: x Vektor = (2 3 4) + t * (1 3 0). Dieser Richtungsvektor hier, den ich jetzt auch wieder mit v bezeichne, (1 3 0) ist parallel zu der x y Ebene, weil die z Koordinate null ist. Also ist parallel zur x y Ebene. Jetzt ist ganz entscheidend, dass der Stützvektor keine null enthält, wie wir gleich im dritten Fall sehen werden. Das bedeutet diese Gerade ist parallel zur x y Ebene, und hat damit eben nur zwei Spurpunkte und keinen dritten Spurpunkt mit der x, z Ebene.Jetzt gibt es aber noch eine zweite Möglichkeit, dass eine Gerade zwei Spurpunkte besitzt. Und zwar wenn ein Spurpunkt auf einer Koordinatenachse liegt. Die Achse, z.B. wenn wir hier die y-Achse nehmen, gehört einmal zur x y Ebene und einmal zur y z Ebene, das heißt wenn da ein Spurpunkt drauf ist, haben wir keine zwei Spurpunkte sondern nur einen Spurpunkt für beide Ebenen.Jetzt kommen wir zum dritten Fall, den habe ich ja eben schon ein wenig angedeutet und zwar ist das "unendlich" Spurpunkte. Eine Gerade hat genau dann unendliche Spurpunkte, wenn die Gerade selber in einer Koordinatenebene liegt.Dazu wollen wir uns auch ein Beispiel angucken.Und zwar nehmen wir dafür die Gerade l: Vektor x = (0 2 4) + t * (0 1 3).Jetzt ist hier die erste Zeile enthält eine Null, das heißt es gibt keine x Werte. Das heißt wenn ich jetzt den Spurpunkt von y z ausrechnen müsste, setze ich x gleich Null dann steht da aber, 0 = 0, und das ist für alle x erfüllt. Das bedeutet eben, dass diese komplette Gerade in der z y Ebene liegt und damit habe ich eben unendlich viele Spurpunkte.Kommen wir nun zum letzten Fall, das ist in Anführungsstrichen jetzt der Fall den wir schon gemacht haben.Und zwar, sind das eben 3 Spurpunkte, hier vorne seht ihr das nochmal in diesem dreidimensionalen Koordinatensystem, mit den 3 Spurpunkten.Jetzt möchte ich nochmal wiederholen was du heute gelernt hast:Wir haben zu Beginn Spurpunkte definiert, und zwar sind Spurpunkte nichts anderes als die Schnittpunkte von Geraden mit den Koordinatenebenen. Dann haben wir an einer Beispielgerade mit drei Spurpunkten die drei Spurpunkte auch berechnet und als letztes haben wir die verschiedenen Möglichkeiten gesehen, wie viele Spurpunkte eine Gerade besitzen kann.Ich hoffe, dass du alles verstanden hast, bis zum nächsten Mal. Dein Giuliano

4 Kommentare
  1. Sehr gut erklärt, mega geil👍🏼🤟🏼

    Von Vanessa 21, vor etwa 2 Monaten
  2. Also ich finde auch, dass das ein super Video ist!
    Nur eine kleine Anmerkung: Am Ende besprichst Du die Spezialfälle. Allerdings gibt es für 1 b) und 2 b) auch andere Möglichkeiten. Eine Ursprungsgerade muss nicht unbedingt den Nullvektor als Stützvektor haben.
    Und jetzt sehe ich noch, dass für 1 a) echt (!) parallel gelten muss. Also nicht identisch.
    Aber das sind wirklich nur Feinheiten!

    Von R Neumann, vor etwa 4 Jahren
  3. @Moritz Klug:
    Vielen Dank für deinen lieben Kommentar. Ich hoffe, dass du auch weiterhin mit sofatutor so erfolgreich lernen kannst.

    Von Giuliano Murgo, vor fast 5 Jahren
  4. beste Video was ich bisher auf Sofatutor gesehen habe ! bitte mach mehr solcher Videos die sind sooooooo gut.

    Von Moritz Klug, vor fast 5 Jahren

Videos im Thema

Spurpunkte von Geraden und Schatten (1 Videos)

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Berechnen von Spurpunkten Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Berechnen von Spurpunkten kannst du es wiederholen und üben.

  • Ergänze die Definition von Spurpunkten.

    Tipps

    Wie liegt eine Gerade im Raum?

    Wie kann sie in Relation zu den Koordinatenebenen liegen?

    Stell dir in dem Raum, in welchem du dich befindest, eine Gerade in einem Koordinatensystem vor, zum Beispiel einen Lichtstrahl. Wo fällt dieser Lichtsstrahl auf die $xy$-, $xz$- und $yz$-Ebene?

    Lösung

    Spurpunkte sind die Schnittpunkte einer Geraden im Raum mit den Koordinatenebenen.

    Es kann zum Beispiel drei solcher Schnittpunkte geben. Diese werden dann wie folgt beschrieben:

    • $S_{xy}$ ist der Schnittpunkt mit der $xy$-Ebene.
    • $S_{yz}$ ist der Schnittpunkt mit der $yz$-Ebene.
    • $S_{xz}$ ist der Schnittpunkt mit der $xz$-Ebene.
    Eine Gerade kann auch nur einen oder zwei Spurpunkte besitzen. Sie kann auch unendlich viele Spurpunkte besitzen.
    • Einen Spurpunkt hat zum Beispiel eine Gerade, welche echt parallel zu genau zwei Koordinatenebenen verläuft.
    • Zwei Spurpunkte hat zum Beispiel eine Gerade, welche echt parallel zu genau einer Koordinatenebene verläuft.
    • Unendliche viele Spurpunkte hat zum Beispiel eine Gerade, welche in einer Koordinatenebene liegt.

  • Berechne die Spurpunkte der Geraden $g$.

    Tipps

    Wie lautet ganz allgemein ein Punkt der $xy$-Ebene, wie einer der $yz$-Ebene und der $xz$-Ebene?

    Jede der drei Bestimmungen des Schnittpunktes führt zu einer Gleichung mit einer Unbekannten, dem Parameter $t$.

    Diese Gleichung wird nach $t$ aufgelöst.

    Lösung

    Gegeben ist die Gerade mit der Gleichung:

    $g:\vec x=\begin{pmatrix}-4 \\-3\\12\end{pmatrix}+t\cdot \begin{pmatrix}-2 \\-3\\4\end{pmatrix}$.

    Der Schnittpunkt mit der $xy$-Ebene besitzt die $z$-Koordinate $z=0$. Dies in der letzten Koordinate der Gerade eingesetzt, führt zu der Gleichung $0=12+4t$. Dies ist äquivalent zu $t=-3$. Dieses $t$ wird in die beiden anderen Koordinaten eingesetzt:

    • $x=-4+(-3)\cdot (-2)=2$ sowie
    • $y=-3+(-3)\cdot (-3)=6$.
    Somit ist der Spurpunkt $S_{xy}(2|6|0)$.

    Der Schnittpunkt mit der $yz$-Ebene besitzt die $x$-Koordinate $x=0$. Dies in der ersten Koordinate der Gerade eingesetzt, führt zu der Gleichung $0=-4-2t$. Dies ist äquivalent zu $t=-2$. Dieses $t$ wird in die beiden anderen Koordinaten eingesetzt:

    • $y=-3+(-2)\cdot (-3)=3$ sowie
    • $z=12+(-2)\cdot 4=4$.
    Somit ist der Spurpunkt $S_{yz}(0|3|4)$.

    Der Schnittpunkt mit der $xz$-Ebene besitzt die $y$-Koordinate $y=0$. Dies in der mittleren Koordinate der Gerade eingesetzt, führt zu der Gleichung $0=-3-3t$. Dies ist äquivalent zu $t=-1$. Dieses $t$ wird in die beiden anderen Koordinaten eingesetzt:

    • $x=-4+(-1)\cdot (-2)=-2$ sowie
    • $z=12+(-1)\cdot 4=8$.
    Somit ist der Spurpunkt $S_{xz}(-2|0|8)$.

  • Gib an, wie viele Spurpunkte die Geraden besitzen.

    Tipps

    Unendlich viele Spurpunkte: Die Gerade liegt in einer Koordinatenebene. Das erkennst du darin, dass entweder immer $x=0$, $y=0$ oder $z=0$ gilt.

    Zwei Spurpunkte: Die Gerade ist parallel zu einer Koordinatenebene oder sie besitzt einen Spurpunkt auf einer Koordinatenachse.

    Wenn beim Richtungsvektor eine Koordinate $0$ ist, zum Beispiel die $x$-Koordinate, so verläuft die Gerade parallel zu einer Koordinatenebene.

    Ein Spurpunkt: Die Gerade liegt entweder parallel zu 2 Koordinatenebenen oder sie geht durch den Koordinatenursprung und hat einen Richtungsvektor, in welchem keine Koordinate $0$ ist.

    Eine Gerade kann

    • entwedet $1$ Spurpunkt,
    • $2$ Spurpunkte,
    • $3$ Spurpunkte oder
    • unendlich viele Spurpunkte besitzen.

    Lösung

    Spurpunkte sind die Schnittpunkte einer Geraden im Raum mit den Koordinatenebenen. Wie viele Spurpunkte kann eine Gerade besitzen?

    Eine Gerade muss mindestens einen Spurpunkt besitzen. Hätte sie keinen Spurpunkt, so müsste sie parallel zu allen drei Koordinatenebenen verlaufen. Eine solche Gerade gibt es nicht.

    • Ein Spurpunkt: Die Gerade liegt entweder parallel zu 2 Koordinatenebenen oder sie geht durch den Koordinatenursprung und hat einen Richtungsvektor, in welchem keine Koordinate $0$ ist. Dies gilt für die Gerade
    $h:\vec x=\begin{pmatrix}0 \\0\\0\end{pmatrix}+t\cdot \begin{pmatrix}2 \\3\\4\end{pmatrix}$ - diese Gerade besitzt einen Spurpunkt.
    • Zwei Spurpunkte: Die Gerade ist parallel zu einer Koordinatenebene oder sie besitzt einen Spurpunkt auf einer Koordinatenachse. Der Fall der Parallelität liegt bei
    $k:\vec x=\begin{pmatrix}2 \\3\\4\end{pmatrix}+t\cdot \begin{pmatrix}1 \\3\\0\end{pmatrix}$ vor. Diese Gerade besitzt also zwei Spurpunkte.
    • 3 Spurpunkte: Zum Beispiel die Gerade
    $g:\vec x=\begin{pmatrix}-4 \\3\\12\end{pmatrix}+t\cdot \begin{pmatrix}-2 \\-3\\4\end{pmatrix}$ - diese Gerade besitzt 3 Spurpunkte.
    • Wenn eine Gerade mehr als 3 Spurpunkte besitzt, so besitzt sie unendlich viele Spurpunkte. 4 Spurpunkte sind nicht möglich.
    • Unendlich viele Spurpunkte: Die Gerade liegt in einer Koordinatenebene, wie zum Beispiel:
    $l:\vec x=\begin{pmatrix}0 \\2\\4\end{pmatrix}+t\cdot \begin{pmatrix}0 \\1\\3\end{pmatrix}$ - diese Gerade besitzt unendlich viele Spurpunkte. Das erkennst du daran, dass immer $x=0$ gilt; die Gerade liegt also in der $yz$-Ebene.

  • Bestimme die Eckpunkte des Bildes des Fensters auf dem Boden.

    Tipps

    Es sind nur die Spurpunkte der beiden Geraden mit der $xy$-Ebene zu berechnen.

    Setze jeweils $z=0$ und löse die lineare Gleichung in $t$.

    Lösung

    Es müssen jeweils die Spurpunkte mit der $xy$-Ebene berechnet werden. Das heißt, dass $z=0$ ist.

    Für $k_1$: Es ist die Gleichung $0=3+12t$ zu lösen. Also ist $t=-0,25$. Die beiden übrigen Koordinaten ergeben sich durch Einsetzen von diesem $t$:

    • $x=2+(-0,25)\cdot(-5)=3,25$ und
    • $y=4+(-0,25)\cdot 8=2$.
    • Der gesuchte Punkt ist $P_1(3,25|2|0)$.
    Für $k_2$: Es ist die Gleichung $0=3+12t$ zu lösen. Also ist $t=-0,25$. Die beiden übrigen Koordinaten ergeben sich durch Einsetzen von diesem $t$:
    • $x=-1+(-0,25)\cdot(-2)=-0,5$ und
    • $y=4+(-0,25)\cdot 8=2$.
    • Der gesuchte Punkt ist $P_2(-0,5|2|0)$.

  • Ermittle alle Spurpunkte der Geraden $h$.

    Tipps
    • Jeder Punkt der $xy$-Ebene hat die $z$-Koordinate $z=0$.
    • Jeder Punkt der $xz$-Ebene hat die $y$-Koordinate $y=0$.
    • Jeder Punkt der $yz$-Ebene hat die $x$-Koordinate $x=0$.

    Die Gerade hat eine spezielle Lage. Sie liegt parallel zu einer Koordinatenebene.

    Die Gerade liegt parallel zur $yz$-Ebene. Kann sie dann einen Spurpunkt $S_{yz}$ besitzen?

    Die $x$-Koordinate eines beliebigen Punktes dieser Gerade ist $x=1$.

    Setze $y=0$ und löse die erste Gleichung nach $t$ auf. Durch Einsetzen des Parameters in die Geradengleichung erhältst du den Spurpunkt $S_{xz}$.

    Lösung

    Um die Spurpunkte der Geraden

    $h:\vec x=\begin{pmatrix}1 \\2\\3\end{pmatrix}+t\cdot \begin{pmatrix}0 \\2\\-1\end{pmatrix}$

    zu berechnen, muss jeweils eine Koordinate $0$ sein und eine Gleichung nach dem Parameter $t$ aufgelöst werden.

    • $x=0$ führt zu dem Spurpunkt $S_{yz}$ mit der $yz$-Ebene: Die zu lösende Gleichung lautet $0=1+0$. Da dies nie gilt, existiert ein solcher Spurpunkt nicht. Die Gerade liegt also echt parallel zur $yz$-Ebene.
    • $y=0$ führt zu dem Spurpunkt $S_{xz}$. Die zu lösende Gleichung lautet $0=2+2t$. Dies ist äquivalent zu $t=-1$. Dieses $t$ wird in den beiden anderen Koordinaten eingesetzt: $x=1$ und $z=3+(-1)\cdot (-1)=4$. Der Spurpunkt ist $S_{xz}(1|0|4)$.
    • $z=0$ führt zu dem Spurpunkt $S_{xy}$. Die zu lösende Gleichung lautet $0=3-t$. Dies ist äquivalent zu $t=3$. Dieses $t$ wird in den beiden anderen Koordinaten eingesetzt: $x=1$ und $y=2+3\cdot 2=8$. Der Spurpunkt ist $S_{xy}(1|8|0)$.
    Auf Grund der Parallelität zur $yz$-Ebene besitzt die Gerade nur zwei Spurpunkte.

  • Bestimme die Spurpunkte der Geraden.

    Tipps

    Setze jeweils eine Koordinate $0$. Du erhältst eine Gleichung, welche du nach dem Parameter auflösen kannst.

    Den so gefundenen Parameter setzt du in die Parametergleichung der Geraden ein.

    Lösung

    Die Gerade

    $g:\vec x=\begin{pmatrix}-1 \\2\\4\end{pmatrix}+t\cdot \begin{pmatrix} 1\\4\\-2\end{pmatrix}$

    besitzt 3 Spurpunkte. Diese werden berechnet, indem jeweils eine Koordinate $0$ gesetzt wird:

    $S_{xy}:$

    • Es gilt $z=0$.
    • Die zu lösende Gleichung lautet $0=4-2t$; also ist $t=2$.
    • Dieses $t$ wird in der Parametergleichung eingesetzt und man erhält $S_{xy}(1|10|0)$.
    $S_{xz}:$
    • Es gilt $y=0$.
    • Die zu lösende Gleichung lautet $0=2+4t$; also ist $t=-0,5$.
    • Dieses $t$ wird in der Parametergleichung eingesetzt und man erhält $S_{xz}(-1,5|0|5)$.
    $S_{yz}:$
    • Es gilt $x=0$.
    • Die zu lösende Gleichung lautet $0=-1+t$; also ist $t=1$.
    • Dieses $t$ wird in der Parametergleichung eingesetzt und man erhält $S_{yz}(0|6|2)$.