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Spurgeraden von Ebenen

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Die Autor*innen
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Frank Steiger
Spurgeraden von Ebenen
lernst du in der 11. Klasse - 12. Klasse - 13. Klasse

Spurgeraden von Ebenen Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Spurgeraden von Ebenen kannst du es wiederholen und üben.
  • Bestimme die Achsenabschnittpunkte der Ebene $E: 2x+2y-3z=6$.

    Tipps

    Achsenabschnittpunkte sind die Schnittpunkte einer Ebene mit den Koordinatenachsen.

    Ein beliebiger Punkt

    • der x-Achse lautet $S_x(x|0|0)$,
    • der y-Achse $S_y(0|y|0)$ und
    • der z-Achse $S_z(0|0|z)$.

    Setze die jeweiligen Koordinaten in der obigen Ebenengleichung gleich $0$ und löse die resultierende Gleichung.

    Lösung

    Um die Achsenabschnittpunkte einer Ebene zu berechnen, setzt man in der Koordinatengleichung jeweils zwei Koordinaten gleich $0$.

    • Der Schnittpunkt dieser Ebene mit der x-Achse lautet $S_x(?|0|0)$. Das bedeutet, das $y=0$ und $z=0$ sind. Dies führt zu der Gleichung $2x=6$. Division durch $2$ führt zu $x=3$ und somit $S_x(3|0|0)$.
    • Ebenso können die beiden anderen Achsenabschnittpunkte berechnet werden: $S_y(0|?|0)$ führt zu der Gleichung $2y=6$, also $y=3$. Damit ist $S_y(0|3|0)$.
    • $S_z(0|0|?)$ führt zu $-3z=6$. Nun wird durch $-3$ dividiert zu $z=-2$, also $S_z(0|0|-2)$.
  • Gib die Spurgerade $g_{xy}$ der Ebene $E$ an.

    Tipps

    Die Spurgerade $g_{xy}$ liegt in der x-y-Koordinatenebene. Die z-Koordinate muss dann $0$ sein.

    Wenn zwei Punkte $P$ und $Q$ einer Geraden gegeben sind, kann die Gleichung der Geraden, welche durch die beiden Punkte verläuft, wie folgt angegeben werden:

    $g:\vec x=\vec{OP}+r\cdot \vec{PQ}$.

    Dabei ist

    • $\vec{OP}$ der zu dem Punkt $P$ gehörende Ortsvektor und
    • $\vec{PQ}$ der Verbindungsvektor von $P$ nach $Q$.
    Dies ist die sogenannte Zweipunktgleichung einer Geraden.

    Um den Verbindungsvektor zweier Punkte zu erhalten, ziehst du von dem Ortsvektor des Endpunktes den des Anfangspunktes ab.

    Lösung

    Von der Geraden $g_{xy}$ sind bereits zwei Punkte bekannt, nämlich die Achsenabschnittpunkte $S_x$ sowie $S_y$. Mit Hilfe dieser beiden Punkte kann eine Zweipunktgleichung der Geraden aufgestellt werden:

    $g_{xy}: \vec x=\begin{pmatrix} 3 \\ 0\\0 \end{pmatrix}+r\cdot \left(\begin{pmatrix} 0 \\ 3\\0 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} 3 \\ 0\\0 \end{pmatrix}\right)=\begin{pmatrix} 3 \\ 0\\0 \end{pmatrix}+r\cdot \begin{pmatrix} -3 \\ 3\\0 \end{pmatrix}$.

    Üblicherweise wird der Richtungsvektor so weit wie möglich vereinfacht. Der vereinfachte Richtungsvektor ist natürlich kollinear:

    $g_{xy}: \vec x=\begin{pmatrix} 3 \\ 0\\0 \end{pmatrix}+r\cdot \begin{pmatrix} -1 \\ 1\\0 \end{pmatrix}$.

    Natürlich hätte man auch den Ortsvektor zu $S_y$ als Stützvektor der Geraden verwenden können. Die formale Darstellung einer Geraden ist nicht eindeutig. Anders ausgedrückt: Zu einer Geraden existieren unendlich viele Geradengleichungen.

  • Leite die unvereinfachten Gleichungen der Spurgeraden $g_{xy}$ und $g_{yz}$ her.

    Tipps

    Die Gerade $g_{xz}$ verläuft durch die Achsenabschnittpunkte $S_x$ sowie $S_z$.

    Verwende die Zweipunktdarstellung einer Geraden.

    Wenn zwei Punkte $P$ und $Q$ einer Geraden gegeben sind, kann die Gleichung der Geraden, welche durch die beiden Punkte verläuft, wie folgt angegeben werden:

    $g:\vec x=\vec{OP}+r\cdot \vec{PQ}$.

    Dabei ist

    • $\vec{OP}$ der zu dem Punkt $P$ gehörende Ortsvektor und
    • $\vec{PQ}$ der Verbindungsvektor von $P$ nach $Q$.
    Lösung

    Von der Geraden $g_{xy}$ sind bereits die Punkte $S_x$ sowie $S_y$ bekannt. Nun kann eine Zweipunktgleichung der Geraden aufgestellt werden:

    $g_{xy}: \vec x=\begin{pmatrix} 3 \\ 0\\0 \end{pmatrix}+s\cdot \begin{pmatrix} -3 \\ 3\\0 \end{pmatrix}$.

    Ebenso kann die Spurgerade $g_{yz}$, welche durch die Punkte $S_y$ sowie $S_z$ verläuft, bestimmt werden:

    $g_{yz}: \vec x=\begin{pmatrix} 0 \\ 3\\0 \end{pmatrix}+r\cdot \begin{pmatrix} 0 \\ -3\\-2 \end{pmatrix}$.

  • Gib die Anzahl der Achsenabschnittpunkte mit der Ebene $E: 3x-z=9$ sowie die Spurgerade $g_{xz}$ an.

    Tipps

    Setze zur Bestimmung eines Achsenabschnittpunktes die entsprechend beiden anderen Koordinaten gleich $0$ und löse die so erhaltene Gleichung.

    Wenn eine Gerade durch zwei Punkte verläuft, dann ist der Ortsvektor des einen der beiden Punkte der Stützvektor der Geraden und der Verbindungsvektor der beiden Punkte der Richtungsvektor.

    Schaue dir das Beispiel der Ebene $F:2y+z=4$ an.

    Es ist $S_y(0|2|0)$ und $S_z(0|0|4)$. Es existiert kein Achsenschnittpunkt mit der x-Achse, weil $0\neq 4$ ist. Wenn in der Koordinatengleichung auf der rechten Seite $0$ stünde, gäbe es unendlich viele Achsenabschnittpunkte auf der x-Achse.

    Achte auf das Vorzeichen.

    Lösung

    Um die Achsenabschnittpunkte einer Ebene zu berechnen, setzt man in der Koordinatengleichung jeweils zwei Koordinaten gleich $0$: In diesem Beispiel führt das jedoch für $x=z=0$ zu $0=9$, also einem Widerspruch. Das bedeutet, dass es keinen Schnittpunkt dieser Ebene mit der y-Ebene geben kann.

    • $x=y=0$ führt zu $-z=9$, also $S_z(0|0|-9)$.
    • $y=z=0$ führt zu $3x=9$ und somit, durch Division durch $3$, zu $S_x(3|0|0)$.
    Die Gerade $g_{xz}$ verläuft durch diese beiden Punkte. Nimmt man den Ortsvektor von $S_x$ als Stützvektor und den Verbindungsvektor $\vec{S_xS_z}$ als Richtungsvektor, erhält man die Gleichung der Spurgeraden:

    $g_{xz}:\vec x=\begin{pmatrix} 3 \\ 0\\ 0 \end{pmatrix}+r\cdot \begin{pmatrix} -3 \\ 0\\-9 \end{pmatrix}$.

    Diese kann noch vereinfacht werden zu

    $g_{xz}:\vec x=\begin{pmatrix} 3 \\ 0\\ 0 \end{pmatrix}+r\cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0\\3 \end{pmatrix}$.

  • Beschreibe, wie man die Spurgerade einer Ebene bestimmen kann.

    Tipps

    Eine Koordinatenachse kann man auch als Gerade verstehen. Wenn zwei Geraden sich schneiden, dann in einem Punkt.

    Der Schnittpunkt einer Ebene mit einer Koordinatenachse wird als Achsenabschnittpunkt bezeichnet.

    Jeder Punkt in der x-y-Ebene hat die z-Koordinate $0$.

    Lösung

    Eine Spurgerade einer Ebene ist die Schnittgerade dieser Ebene mit einer Koordinatenebene.

    Eine solche Spurgerade muss nicht immer existieren: Wenn zum Beispiel eine Ebene $E$ parallel zu der x-y-Ebene verläuft, mit dieser allerdings nicht identisch ist, existiert keine Spurgerade der Ebene $E$ mit der x-y-Ebene.

    Zur Bezeichnung der Spurgeraden (sofern vorhanden):

    • Die Spurgerade einer Ebene mit der x-y-Ebene wird mit $g_{xy}$,
    • die mit der x-z-Ebene mit $g_{xz}$ und
    • die mit der y-z-Ebene mit $g_{yz}$ bezeichnet.
    Um eine Spurgerade zu bestimmen, werden zuerst die Achsenabschnittpunkte bestimmt. Zum Beispiel verläuft die Spurgerade $g_{xy}$ durch die Achsenabschnittpunkte mit der x- sowie der y-Achse.

  • Leite die Gleichungen der Spurgeraden zu der Ebene $E: y+z=5$ her.

    Tipps

    Punkte auf den Koordinatenachsen sehen wie folgt aus:

    • $S_x(x|0|0)$ auf der x-Achse,
    • $S_y(0|y|0)$ auf der x-Achse sowie
    • $S_z(0|0|z)$ auf der x-Achse.

    Wenn eine Spurgerade durch zwei Achsenschnittpunkt geht, stellst du die Zweipunktgleichung der Geraden auf.

    Eine der drei Spurgeraden verläuft durch zwei Achsenabschnittpunkte und die beiden anderen jeweils durch einen Achsenabschnittpunkt.

    Zwei der drei Spurgeraden verlaufen parallel zueinander.

    Lösung

    Zunächst wollen wir die Achsenabschnittpunkte berechnen:

    • $x=y=0$ führt zu $z=5$, also ist $S_z(0|0|5)$.
    • $x=z=0$ führt zu $y=5$, also ist $S_y(0|5|0)$.
    • $y=z=0$ führt zu $0=5$. Dies ist ein Widerspruch. Es gibt also nur zwei Achsenabschnittpunkte.
    Die Gerade $g_{yz}$ verläuft durch die beiden Achsenabschnittpunkte und ist somit in der Zweipunktdarstellung gegeben als

    $\begin{pmatrix} 0 \\ 5\\ 0 \end{pmatrix}+r\cdot \begin{pmatrix} 0 \\ -1\\1 \end{pmatrix}$.

    Der Richtungsvektor ist bereits vereinfacht.

    Die beiden verbleibenden Spurgeraden verlaufen parallel zur x-Achse. Somit ist

    $\vec v=\begin{pmatrix}1\\0\\0 \end{pmatrix}$

    ein möglicher Richtungsvektor dieser Geraden. Die Stützvektoren sind die Ortsvektoren des entsprechenden Achsenabschnittpunktes:

    $g_{xy}:\vec x=\begin{pmatrix} 0 \\ 5\\ 0 \end{pmatrix}+r\cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0\\0 \end{pmatrix}$

    sowie

    $g_{xz}:\vec x=\begin{pmatrix} 0 \\ 0\\ 5 \end{pmatrix}+r\cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0\\0 \end{pmatrix}$.

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