30 Tage kostenlos testen

Überzeugen Sie sich von der Qualität unserer Inhalte.

Gegenseitige Lage Gerade-Ebene

Du möchtest schneller & einfacher lernen?

Dann nutze doch Erklärvideos & übe mit Lernspielen für die Schule.

Kostenlos testen
Bewertung

Ø 4.5 / 24 Bewertungen

Die Autor*innen
Avatar
Giuliano Murgo
Gegenseitige Lage Gerade-Ebene
lernst du in der 11. Klasse - 12. Klasse - 13. Klasse

Grundlagen zum Thema Gegenseitige Lage Gerade-Ebene

Die Untersuchung der Lage von einer Geraden und einer Ebene im Raum bzw. R³ findet häufig Anwendung in der Analytischen Geometrie. Man kann beispielsweise verschiedene Untersuchungen der Lage von Strecken und Flächen in beliebigen geometrischen Figuren durchführen. Es gibt insgesamt drei Möglichkeiten, wie eine Gerade zu einer Ebene im Raum bzw. R³ liegen kann. Einmal kann die gesamte Gerade in der Ebene selbst liegen. Dann kann die Gerade echt parallel zu der Ebene sein. Zuletzt können die Ebene und die Gerade einen gemeinsamen Schnittpunkt besitzen. Wir werden dazu zusammen eine Aufgabe durchrehnen. Hierbei liegen drei vorgegebene Punkte in einer Ebene, und wir wollen die Lage von drei Geraden zu dieser Ebene untersuchen. Zuerst werden wir die Koordinatengleichung der Ebene aufstellen. Durch die Koordinatengleichung können wir am schnellsten die Lage feststellen. Wie das genau geht, zeige ich dir in dem Video. Viel Spaß beim Einsetzen!

Transkript Gegenseitige Lage Gerade-Ebene

Hallo, Ich bin Juliano. Ich möchte mit dir zusammen die gegenseitige Lage einer Geraden und einer Ebene untersuchen. Zuerst werde ich dir einen Überblick geben, was es für Möglichkeiten gibt. Und dann werden wir an einer Aufgabe ausrechnen, mit verschiedenen Geraden und einer Ebene, wie diese Geraden zu einer Ebene liegen können. Beginnen wir also mit dem Überblick. Es gibt eigentlich nur drei Möglichkeiten, wie eine Gerade zu einer Ebene liegen kann. Zuerst kann diese Gerade innerhalb der Ebene liegen. Also g ist in E. Das siehst du hier einmal abgebildet. Dann kann diese Gerade einmal parallel zur Ebene E sein. Das siehst du hier jetzt einmal in der Mitte abgebildet. Oder diese Gerade hat einen Schnittpunkt zusammen mit der Ebene E. Ich habe den jetzt hier einfach S genannt. Also es gibt diese drei Möglichkeiten. Und wir wollen jetzt erstmal, wir wollen an Beispielen ausrechnen, wann denn welcher Fall auftritt. Okay, die Bilder sind wieder weg. Und hier kriegen wir jetzt die Aufgabe. Die Punkte A, B und C liegen in der Ebene E. Die Koordinaten der Punkte A, B und C siehst du jetzt dort einmal abgebildet. Wir wollen jetzt untersuchen, wie die Geraden g, h und l zu dieser Ebene liegen. Die Parametergleichung zu der Geraden haben wir hier schon gegeben. Und ich möchte dir jetzt zeigen, wie wir ausrechnen können, wie diese Geraden zu der obigen Ebene liegen. Zuallererst brauchen wir jetzt natürlich eine Ebenengleichung. Und die wollen wir jetzt ausrechnen. Es gibt insgesamt drei Ebenengleichungen. Einmal die Parametergleichung, Normalgleichung und Koordinatengleichung. Ich werde dir erstmal die Parametergleichung zeigen und dann die Parametergleichung in die Koordinatengleichung umrechnen. So. Also die Ebene E kann folgende Parametergleichung haben. Wir nehmen jetzt den Ortsvektor A als Stützvektor, das heißt vier, zwei, null plus Parameter t mal den Verbindungsvektor von A und B, nehme ich jetzt als ersten Vektor. Also sechs minus vier ist zwei. Vier minus zwei ist wieder zwei, minus eins, minus null, ist minus eins. Plus s mal den zweiten Spannvektor. Da nehme ich den jetzt den Verbindungsvektor zwischen A und C, minus eins, minus vier, ist minus fünf. Drei minus zwei ist eins. Und vier minus null ist vier. Jetzt haben wir also eine Parametergleichung gefunden. Um jetzt in die normale Gleichung beziehungsweise in die Koordinatengleichung zu kommen, brauchen wir den Normalenvektor der Ebene. Und den können wir durch das Vektorprodukt zwischen den beide Spannvektoren ausrechnen. Ich rechne das Vektorprodukt nicht vor, ihr könnte das zu Hause einmal nachrechnen. Da kommt heraus, also zwei, zwei, eins, zwei, zwei minus eins, im Vektorprodukt von minus fünf, also vier. Da kommt neun minus drei und 12 heraus. Und jetzt kann ich diesen Vektor noch etwas umformen, indem ich drei ausmultipliziere, und dann erhalten wir drei minus eins und vier. Der Normalenvektor ist orthogonal zu der Ebene. Und in dem ich jetzt hier einen Faktor drei rausziehe, bleibt die Orthogonalität erhalten. Das heißt, ich kann jetzt hier auch drei minus eins, vier, als Normalenvektor für die Ebene benutzen. Jetzt wollen wir erstmal die normalen Gleichungen aufstellen. Die sieht dann so aus. Vektor x minus einen beliebigen Ortsvektor, der Ebene. Ich nehme jetzt einfach den Ortsvektor von Punkt A. Also vier, zwei, null. In eckigen Klammern im Skalarprodukt mit dem Normalvektor, den wir oben ausgerechnet haben, gleich null. Jetzt kann ich diese Normalgleichung auch direkt in die Parametergleichung überführen, äh, in die Koordinatengleichung. Das sieht dann wie folgt aus: Wenn ich den Vektor x mit den allgemeinen Koordinaten x, y und z bezeichne, erhalten wir drei x minus y plus vier z. Das ist das Skalarprodukt zwischen dem Vektor und dem Normalvektor, gleich zehn. Und die zehn ergibt sich aus dem Skalarprodukt von vier, zwei, null und drei minus eins, vier. Vier mal drei ist 12, minus zwei ist zehn. Plus null gleich zehn. Hier haben wir minus stehen, wenn wir das auf die andere Seite holen, haben wir eben diese Koordinatengleichung gegeben. Jetzt wollen wir zu der ersten Gerade kommen, zu der Geraden g und gucken, ob diese Gerade, ja, wie diese Gerade zu der Ebene E liegt. Dazu machen wir jetzt folgendes, wir benutzen diese Koordinatengleichung und setzen hier einfach für die Koordinaten x, y, z, ja, die einzelnen Zeilen der Geradengleichung in der Parameterform ein. Ja? Also wir wollen das jetzt hier einmal für die Gerade g machen. Also wir setzen g in E rein. Und das sieht dann wie folgt aus: Drei mal Klammer auf, x Koordinate wäre null plus null Alpha. Ja. Dann haben wir minus Klammer auf, minus zwei plus vier Alpha. Als nächstes brauchen wir plus vier mal Klammer auf z, das ist zwei plus Alpha. Ja, plus zwei plus Alpha, gleich zehn. Das ist jetzt also diese Gleichung, die wir lösen wollen. Hier haben wir drei mal null stehen, das fliegt einfach raus. Hier erhalten wir zwei, minus vier Alpha. Hier erhalten wir plus acht, plus vier Alpha, gleich zehn. Und wenn wir das Äquivalent umformen, erhalten wir hier, dass vier Alpha kürze ich heraus, zehn gleich zehn. Und das ist für jedes Alpha eine richtige Aussage. Und was bedeutet das jetzt? Dass die Gerade g in der Ebene E liegt. Ja, also hier haben wir das eingesetzt. G in E einsetzen. Und jetzt haben wir herausgefunden, dass g wirklich in der Ebene E liegt, ja. Also g in E. Und das können wir jetzt hier auch noch mal an einem Schaubild sehen. Ja, hier unten siehst du jetzt das Bild. Diese Ebene E und die Gerade g liegt in der Ebene drin. Als nächstes wollen wir jetzt noch die Gerade h und l und ihre Lage zur Ebene E untersuchen. Jetzt wollen wir untersuchen, wie die Gerade h zur Ebene E steht. Hier habe ich jetzt einmal die Koordinatengleichung der Ebene nochmal aufgeschrieben. Und wir wollen jetzt eben die Gerade h in der Parameterform in die Ebene E einsetzen. Und das sieht dann wie folgt aus: Also drei mal Klammer auf eins plus zwei Beta, ja. Wir haben jetzt also jetzt diesmal nicht den Parameter Alpha, sondern diesmal Beta. Minus Klammer auf zwei plus zehn Beta. Und zuletzt plus vier mal Klammer auf drei plus Beta, gleich zehn. Das Ganze lösen wir jetzt auf, also diese Gleichung. Dann steht hier drei plus sechs Beta, minus zwei, minus zehn Beta, plus 12, plus vier Beta, gleich zehn. Jetzt fassen wir das Ganze zusammen. Sechs Beta plus vier Beta ist zehn Beta, minus zehn Beta kürze ich genau raus. Drei minus zwei ist eins, plus 12 ist 13. Ja, aber 13 ist offensichtlich ja ungleich zehn. Das heißt, wir haben wir für Beta keine Lösung. Und dementsprechend geht natürlich, dass die Gerade h parallel zur Ebene E ist. Das können wir hier jetzt auch nochmal an einem Schaubild sehen. Ja, also wir haben dort die Ebene E und die Gerade h ist parallel zur Ebene E. Das bedeutet im Besonderen sogar, dass der Richtungsvektor von der Geraden h orthogonal zum Normalenvektor ist. Als letztes möchte ich mit dir gerne die Lage der Geraden l zur Ebene E ausrechnen. Als letztes wollen wir jetzt die Lage der Geraden l zur Ebene E bestimmen. Dazu nehmen wir wieder die Parametergleichung der Geraden l und setzen das in die Koordinatengleichung der Ebene E ein. Also in E einsetzen. Dann ergibt das Folgendes: Drei mal Klammer auf minus drei plus zwei Gamma diesmal als Parameter. Minus Klammer auf drei plus Gamma. Und zuletzt plus vier mal Klammer auf eins plus ein Gamma, beziehungsweise eins plus Gamma, gleich zehn. Wenn wir das wieder äquivalent umformen und auflösen, steht hier, minus neun plus sechs Gamma, minus drei, minus Gamma, plus vier, plus vier Gamma gleich zehn. Jetzt fassen wir wieder zusammen. Sechs Gamma minus Gamma ist fünf Gamma, plus vier Gamma ist neun Gamma. Minus neun, minus drei, ist minus 12 plus vier ist minus acht, gleich zehn. Dann holen wir die acht auf die andere Seite und teilen durch neun. Und dann erkennt man natürlich ziemlich schnell, dass Gamma gleich zwei ist. Und jetzt haben wir herausgefunden, dass ein Gamma existiert. Das bedeutet, diese Gerade schneidet die Ebene. Das siehst du hier jetzt auch noch einmal abgebildet. Und wir können jetzt diesen Schnittpunkt konkret bestimmen, indem wir Gamma in die Parametergleichung von l einsetzen. Das machen wir jetzt auch noch zuletzt. Also Gamma in l einsetzen. Und dann erhalten wir die Koordinaten des Schnittpunktes. Das geht dann wie folgt: Minus drei, drei, eins, so, plus zwei mal Klammer auf zwei, eins, eins, gleich minus drei plus vier ist eins. Drei plus zwei ist fünf. Und eins plus zwei ist drei. Das heißt, unser Schnittpunkt hat die Koordinaten eins, fünf und drei. Jetzt muss ich einmal zusammenfassen, was du heute gelernt hast. Wir haben uns am Anfang die Frage gestellt, wie Geraden zu einer Ebene liegen können. Und es gibt drei Möglichkeiten. Und anhand unserer Aufgaben haben wir sogar alle drei Möglichkeiten einmal durchgesprochen. Die Gerade g war in der Ebene drin. Die Gerade h war parallel zur Ebene. Und zuletzt die Gerade l hat die Ebene geschnitten, in den Schnittpunkt, den wir berechnet haben. Generell geht man ebenso vor, dass man die Ebenengleichungen in der Koordinatenform aufstellt und dann die Parametergleichung der Geraden dort einsetzt und die Gleichung einfach nach dem Parameter auflöst. Ich hoffe, dass du alles verstanden hast und Spaß an dem Video hattest. Ciao und bis zum nächsten Mal, dein Juliano.

Gegenseitige Lage Gerade-Ebene Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Gegenseitige Lage Gerade-Ebene kannst du es wiederholen und üben.
  • Erstelle die Parametergleichung der Ebene $E$.

    Tipps

    Einen Vektor zwischen zwei Punkten bestimmt man, indem man die Koordinaten des Startpunktes von den Koordinaten des Endpunktes subtrahiert.

    Ein Beispiel: Sei $M= (1|2|3)$ und $N=(3|4|5)$. Dann gilt:

    $\overrightarrow{MN} = \begin{pmatrix} 3-1 \\ 4-2 \\ 5-3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix}$

    Den Ortsvektor des Punktes $A$ kannst du direkt an den Koordinaten von $A$ ablesen.

    Lösung

    Unsere Ebene soll die Punkte $A(4|2|0)$, $B(6|4|-1)$ und $C(-1|3|4)$ enthalten und wie folgt aufgebaut sein:

    $E:\vec{x}=\vec{OA} + t\cdot \overrightarrow{AB} + s \cdot \overrightarrow{AC}$

    Dazu benötigen wir die beiden Spannvektoren der Ebene, denn den Stützvektor können wir direkt übernehmen – es ist der Ortsvektor von $A$.

    Allgemein berechnet man einen Vektor zwischen zwei Punkten $M$ und $N$ so:

    $\overrightarrow{MN} = \vec{ON} - \vec{OM}$

    Das tun wir jetzt mit unseren gesuchten Spannvektoren der Ebene:

    $\overrightarrow{AB} = \vec{OB} - \vec{OA} = \begin{pmatrix} 6-4 \\ 4-2 \\ 0-1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix}$

    $\overrightarrow{AC} = \vec{OC} - \vec{OA} = \begin{pmatrix} -1-4 \\ 3-2 \\ 4-0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -5 \\ 1 \\ 4 \end{pmatrix}$

    Damit erhalten wir folgende Parametergleichung für die Ebene:

    $E:\vec{x}=\begin{pmatrix} 4 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix}+ t\cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} -5 \\ 1 \\ 4 \end{pmatrix}$

  • Zeige die Lage der Ebene zu den einzelnen Geraden auf.

    Tipps

    Es gibt nur windschiefe Geraden. Eine Gerade und eine Ebene können nicht windschief sein, da sie sich, wenn sie nicht parallel verlaufen, irgendwann schneiden müssen.

    Geraden können parallel zu Ebenen sein, sie schneiden oder in ihnen liegen.

    Man setzt die Zeilen der Geradengleichung g, h bzw. l in die Koordinatengleichung für E ein und löst die Gleichung in $\alpha$, $\beta$ bzw. $\gamma$.

    Die Anzahl der Lösungen für $\alpha$, $\beta$ bzw. $\gamma$ gibt an, wie viele Punkte die Gerade und die Ebene gemeinsam haben.

    Lösung

    Wir wollen die Geraden der Reihe nach auf ihre Lage zur Ebene $E$ prüfen.

    Wir beginnen mit der Gerade $g$. Um ihre Lage zur Ebene zur ermitteln, setzen wir Zeile für Zeile der Geradengleichung in die Koordinatengleichung ein.

    Hier noch einmal die Ebene und die Geradengleichung für $g$:

    $E: 3x -y +4z =10$

    $g:\vec{x}=\begin{pmatrix} 0 \\ -2 \\ 2 \end{pmatrix} + \alpha \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 4 \\ 1 \end{pmatrix}$

    Jetzt setzen wir $g$ in $E$ ein:

    $\begin{align} 3 \cdot (0+0\alpha) - (-2+4\alpha) + 4 \cdot (2+\alpha) &= 10 \\ 2-4\alpha + 8 + 4\alpha &= 10 \\ 10 &= 10 \end{align}$

    Das bedeutet, dass jede Lösung für $\alpha$ bei dieser Gleichung stimmt. Somit gibt es unendlich viele Lösungen der Gleichung. Daher können wir sagen, dass die Gerade in der Ebene liegt.

    Weiter mit Gerade $h$:

    $h:\vec{x}=\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} + \beta \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 10 \\ 1 \end{pmatrix}$

    Hier verfahren wir genauso wie vorher:

    $\begin{align} 3\cdot (1+2\beta) - (2+10\beta) + 4 \cdot (3+\beta) &=10 \\ 3+ 6\beta - 2 - 10\beta + 12 + 4\beta &= 10\\ 13 &= 10 \end{align}$

    Da aber $13 \neq 10$ gilt, haben wir hier einen Widerspruch. Somit existiert keine Lösung für $\beta$. Das bedeutet, dass die Gerade parallel zur Ebene verläuft.

    Zum Schluss Gerade $l$:

    $l:\vec{x}=\begin{pmatrix} -3 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix} + \gamma \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}$

    Wir setzen ein:

    $\begin{align} 3\cdot (-3+2\gamma) - (3+\gamma) +4\cdot (1+\gamma) &= 10 &\\ -9 + 6\gamma - 3 -\gamma + 4 + 4\gamma &=10 & \\ -8 + 9\gamma &= 10 &\quad |+8\\ 9\gamma &= 18 &\quad |:9 \\ \gamma &=2 & \end{align}$

    Es existiert genau eine Lösung für diese Gleichung. Somit können wir sagen, dass die Gerade die Ebene schneidet. Man kann sogar den Schnittpunkt genau bestimmen, indem man den soeben berechneten Wert für $\gamma$ in die Geradengleichung einsetzt.

    Falls du es nachrechnen möchtest: Der Schnittpunkt ist $S(1|5|3)$.

  • Bestimme den Schnittpunkt der Geraden $g$ mit der Ebene $E$.

    Tipps

    Man setzt die Koordinaten der Geradengleichung in die Koordinatengleichung der Eben ein, um einen passenden Wert für $t$ zu ermitteln.

    Wenn man bei der Überprüfung der Lage von Gerade und Ebene für den Parameter genau ein Ergebnis erhält, die Gleichung also genau eine Lösung hat, kann man den Schnittpunkt der Gerade mit der Ebene genau bestimmen.

    Dazu setzt man den ermittelten Parameterwert für $t$ in die Geradengleichung ein.

    Lösung

    Um den Schnittpunkt einer Gerade mit einer Ebene zu ermitteln, muss man die Geradengleichung zeilenweise in die Koordinatengleichung der Ebene einsetzen.

    Die Geradengleichung und die Ebene in Koordinatenform sind bereits gegeben, sodass wir direkt $g$ in $E$ einsetzen können:

    $\begin{align} -1,5\cdot (0+t) +3\cdot (-1+2t) -1,5\cdot (-1 + 4t) &= -3 \\ -1,5t -3 +6t +1,5 - 6t &= -3 \\ -1,5 -1,5t &= -3 &|& +1,5 \\ -1,5t &= -1,5 &|& :(-1,5)\\ t &=1 \end{align}$

    Diesen Wert für $t$ können wir nun in die Geradengleichung einsetzen, um die Koordinaten des Schnittpunktes zu erhalten:

    $\begin{align} \vec{OS}=\begin{pmatrix} 0 \\ -1 \\ -1 \end{pmatrix} + 1 \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix} \end{align}$

    Somit ist unser gesuchter Schnittpunkt $S(1|1|3)$.

  • Prüfe die Lage der Ebene $E$ zur Gerade $g$.

    Tipps

    Bilde zuerst die Parametergleichung der Ebene und daraus ihre Koordinatenform.

    Einen Vektor zwischen zwei Punkten bestimmt man, indem man die Koordinaten des Startpunktes von den Koordinaten des Endpunktes subtrahiert.

    In Formeln geschrieben: $\overrightarrow{MN} = \vec{ON} - \vec{OM}$

    Einen Normalenvektor zu $E$ erhält man durch das Vektorprodukt ihrer Spannvektoren.

    So entsteht ein Vektorprodukt:

    $\vec{a} \times \vec{b} = \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \\ b_3 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} a_2\cdot b_3 - a_3\cdot b_2 \\ a_3\cdot b_1 - a_1\cdot b_3 \\ a_1\cdot b_2 - a_2\cdot b_1 \end{pmatrix}$

    Hast du die Normalengleichung der Ebene bestimmt, so setzt du die Koordinaten der Geradengleichung ein.

    Die Anzahl der Lösungen der entstehenden Gleichung stimmt mit der Anzahl der Schnittpunkte von $g$ und $E$ überein.

    Lösung

    Zunächst müssen wir eine Ebenengleichung für die Ebene aufstellen, die durch die Punkte $A(3|1|1)$, $B(2|1|2)$ und $C(4|2,5|3)$ festgelegt ist.

    Da die drei gegebenen Punkte in der Ebene liegen sollen, könnte eine passende Gleichung so aussehen:

    $E:\vec{x}= \vec{OA} + s\cdot \overrightarrow{AB} + t\cdot \overrightarrow{AC}$

    Mit den gegebenen Punkten berechnen wir:

    $E:\vec{x}=\begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + s\cdot \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} + t\cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1,5 \\ 2 \end{pmatrix}$

    Wir benennen die Spannvektoren mit $u$ und $v$ und bilden ihr Vektorprodukt, um einen Normalenvektor zur Ebene $E$ zu bestimmen. In unserem Fall sind diese Vektoren folgendermaßen gegeben:

    $\vec{u}=\begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}~~ \vec{v}=\begin{pmatrix} 1 \\ 1,5 \\ 2 \end{pmatrix}$

    Allgemein berechnet man das Vektorprodukt so:

    $\vec{a} \times \vec{b} = \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \\ b_3 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} a_2\cdot b_3 - a_3\cdot b_2 \\ a_3\cdot b_1 - a_1\cdot b_3 \\ a_1\cdot b_2 - a_2\cdot b_1 \end{pmatrix}$

    Für das Produkt unser beiden Spannvektoren erhalten wir $\vec{n}=\begin{pmatrix} -1,5 \\ 3 \\ -1,5 \end{pmatrix}$ als Normalenvektor der Ebene. Daraus erstellen wir jetzt die Koordinatengleichung. Allgemein lautet sie:

    $E: a\cdot x + b\cdot y + c\cdot z = d$

    Hierbei sind $a, b$ und $c$ die Koordinaten des Normalenvektors.

    Parameter $d$ erhält man, wenn man die Koordinaten eines Punktes der Ebene für $x$, $y$ und $z$ einsetzt. Dazu verwenden wir einfach den Punkt $A$ und bekommen:

    $-1,5\cdot 3 + 3 \cdot 1 -1,5\cdot 1 = -3 = d$

    Die Koordinatengleichung für die Ebene lautet also:

    $E: -1,5x + 3y - 1,5z = -3$

    Nun setzen wir für $x$, $y$ und $z$ die Koordinaten der Geradengleichung ein, um so ihre Lage zu $E$ zu überprüfen.

    $\begin{align} -1,5\cdot (1+2t) +3\cdot (3+3t) -1,5\cdot (2+4t)&= -3\\ -1,5 -3t +9 +9t -3 -6t &= -3 \\ 4,5 &= -3 \end{align}$

    Hier sehen wir einen Widerspruch, da natürlich $4,5 \neq -3$ gilt.

    Damit lässt sich folgende Aussage treffen:

    Die Ebene $E$ und die Gerade $g$ haben keinerlei gemeinsame Punkte und verlaufen damit parallel zueinander.

  • Bestimme die wahren Aussagen über Geraden und Ebenen.

    Tipps

    Führt die Rechnung beim Überprüfen der Lage zu einem Widerspruch, so gilt $E \parallel g$.

    Erhältst du ein eindeutiges Ergebnis beim Überprüfen der Lage, existiert ein gemeinsamer Punkt von Gerade und Ebene.

    Wir setzen die Koordinaten der Geradengleichung in die Koordinatenform der Ebene ein und lösen die Gleichung. Die Anzahl dieser Lösungen stimmt mit der Anzahl der gemeinsamen Punkte zwischen Gerade und Ebene überein.

    Lösung

    Wir setzen die Koordinaten der Geradengleichung in die Koordinatenform der Ebene ein und lösen die Gleichung. Die Anzahl dieser Lösungen stimmt mit der Anzahl der gemeinsamen Punkte zwischen Gerade und Ebene überein.

    Es gibt drei mögliche Lagen, die eine Ebene und eine Gerade zueinander einnehmen können.

    • Die Gerade verläuft in der Ebene.
    • Die Gerade verläuft parallel zur Ebene.
    • Die Gerade schneidet die Ebene.
    Im ersten Fall würdest du beim Lösen der Gleichung zur Lageüberprüfung eine wahre Aussage, z.B. $10=10$ erhalten. Das würde bedeuten, dass Gerade und Ebene unendlich viele gemeinsame Punkte hätten und die Gerade somit in der Ebene liegt.

    Im zweiten Fall führt deine Gleichung zu einem Widerspruch wie z.B. $13=10$. Hier haben Gerade und Ebene keine gemeinsamen Punkte und verlaufen daher parallel zueinander.

    Im dritten und letzten Fall erhältst du genau ein Ergebnis für den Parameter, z.B. für einen Parameter $\gamma$ den Wert $\gamma=2$. Damit ist gezeigt, dass genau ein Schnittpunkt existiert. Wenn du diesen Wert noch in die Geradengleichung einsetzt, kannst du sogar seine Koordinaten bestimmen.

  • Ermittle die Koordinaten des gesuchten Punktes an.

    Tipps

    Wenn die gedachte Gerade $g$ senkrecht zu $E$ verläuft, dann muss ihr Richtungsvektor ein Vielfaches des Normalenvektors der Ebene sein. Also brauchen wir zuerst den Normalenvektor zu $E$. Dieser ergibt sich aus dem Vektorprodukt der beiden Spannvektoren.

    So entsteht ein Vektorprodukt:

    $\vec{a} \times \vec{b} = \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \\ b_3 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} a_2\cdot b_3 - a_3\cdot b_2 \\ a_3\cdot b_1 - a_1\cdot b_3 \\ a_1\cdot b_2 - a_2\cdot b_1 \end{pmatrix}$

    Wenn man bei der Überprüfung der Lage von Gerade und Ebene für den Parameter ein Ergebnis erhält, die Gleichung also genau eine Lösung hat, kann man den Schnittpunkt der Gerade mit der Ebene genau bestimmen.

    Man setzt die Zeilen der Geradengleichung in die Koordinatengleichung ein, um einen passenden Wert für den Parameter der Geradengleichung zu ermitteln.

    Die Koordinatenform von $E$ lautet:

    $E: -8x + 5y -3z = -43$

    Ein Normalenvektor ist:

    $\vec{n}= \begin{pmatrix} -8 \\ 5 \\ -3 \end{pmatrix}$

    Lösung

    Fassen wir zunächst zusammen, was gegeben ist.

    Wir kennen diese Ebene:

    $E:\vec{x}=\begin{pmatrix} 2 \\ -3 \\ 4 \end{pmatrix} +r\cdot \begin{pmatrix} 7 \\ 10 \\ -2 \end{pmatrix} +s\cdot \begin{pmatrix} 4 \\ 1 \\ -9 \end{pmatrix}$

    Wir denken uns dazu eine Gerade, die durch den Punkt $P(13|-46|1)$ verläuft und die Ebene orthogonal schneidet.

    Jetzt brauchen wir nur die Koordinaten des Schnittpunktes.

    Wenn die gedachte Gerade $g$ senkrecht zu $E$ verläuft, dann muss ihr Richtungsvektor ein Vielfaches des Normalenvektors der Ebene sein. Also brauchen wir zuerst den Normalenvektor zu $E$.

    Dieser ergibt sich aus dem Vektorprodukt der beiden Spannvektoren. Wenn du ihr Produkt berechnest, müsste dieser Normalenvektor herauskommen:

    $\vec{n}=\begin{pmatrix} -88 \\ 55 \\ -33 \end{pmatrix}= 11 \cdot \begin{pmatrix} -8 \\ 5 \\ -3 \end{pmatrix}$

    Der Einfachheit halber rechnen wir mit dem Normalenvektor $\vec{n}=(-8;5;-3)^t$. Damit ergibt sich, wenn wir in die Koordinatenform $-8\cdot x+5\cdot y-3\cdot z=d$ noch den Stützvektor der Ebene einsetzen, folgende Koordinatengleichung für $E$:

    $\begin{align} -8\cdot 2 +5\cdot -3 -3\cdot 4=-43&=d \\ \Rightarrow E: -8x + 5y -3z &= -43 \end{align}$

    Für die Geradengleichung der gedachten Gerade können wir, wie schon festgestellt, den Normalenvektor der Ebene als Richtungsvektor verwenden. Als Stützvektor nehmen wir den Ortsvektor von $P$, durch den die Gerade ebenso verlaufen soll.

    Daraus ergibt sich diese Geradengleichung:

    $g:\vec{x}= \begin{pmatrix} 13 \\ -46 \\ 1 \end{pmatrix} + t\cdot \begin{pmatrix} -8 \\ 5 \\ -3 \end{pmatrix}$

    Nun haben wir sichergestellt, dass die Ebene und die Gerade orthogonal sind. Jetzt müssen wir den Schnittpunkt nur noch bestimmen. Dazu setzen wir die Koordinaten aus der Geradengleichung von $g$ in die Koordinatenform von $E$ ein:

    $\begin{align} -8\cdot (13-8t) +5\cdot (-46+5t) -3\cdot (1-3t) &= -43 & \\ -104 +64t -230 +25t -3 +9t &= -43 & \\ -337 + 98t &= -43&\quad |+337 \\ 98t &= 294 &\quad |:98 \\ t&= 3 & \end{align}$

    Jetzt setzen wir den Wert für $t$ in die Geradengleichung ein, um die gesuchten Koordinaten des Schnittpunkts $Q$ zu erhalten:

    $\vec{OQ}=\begin{pmatrix} 13 \\ -46 \\ 1 \end{pmatrix} + 3\cdot \begin{pmatrix} -8 \\ 5 \\ -3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -11 \\ -31 \\ -8 \end{pmatrix}$

    Der gesuchte Schnittpunkt ist $Q(-11|-31|-8)$.

30 Tage kostenlos testen
Mit Spaß Noten verbessern
und vollen Zugriff erhalten auf

3.776

sofaheld-Level

6.574

vorgefertigte
Vokabeln

10.816

Lernvideos

43.854

Übungen

38.579

Arbeitsblätter

24h

Hilfe von Lehrer*
innen

laufender Yeti

Inhalte für alle Fächer und Klassenstufen.
Von Expert*innen erstellt und angepasst an die Lehrpläne der Bundesländer.

30 Tage kostenlos testen

Testphase jederzeit online beenden