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Skalare Multiplikation – Rechengesetze

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Martin Wabnik
Skalare Multiplikation – Rechengesetze
lernst du in der 11. Klasse - 12. Klasse - 13. Klasse

Beschreibung Skalare Multiplikation – Rechengesetze

Wir wissen schon, was die skalare Multiplikation ist. Das heißt, wir haben eine Zahl und multiplizieren diese mit einem Vektor. Dann können wir das auch nun mit Rechengesetzen in Verbindung bringen. Genau das möchte ich nun hier im Video machen. Denn auch für ein skalares Produkt gelten das Assoziativgesetz und Distributivgesetz. Im Video werde ich dir die beiden Rechengesetze nicht nur einfach vorgeben, sondern ich werde versuchen, sie auch mit entsprechenden Hilfsmitteln zu veranschaulichen.

Transkript Skalare Multiplikation – Rechengesetze

Hallo! Wir wissen schon, was die skalare Multiplikation ist. Das heißt, wir haben eine Zahl und multiplizieren mit einem Vektor. Dann können wir das auch mit Rechengesetzen in Verbindung bringen, denn zu so was gibt es ja auch Rechengesetze. Und da komme ich zu einem entscheidenden Punkt, der für viele dann oft komisch wirkt. Diese Multiplikation Zahl x Vektor, diese skalare Multiplikation, der Vektor mit den Koordinaten abc, hier eine reelle Zahl r, das ist nur von links definiert. Die reelle Zahl muss immer links stehen und danach, rechts daneben, kommt der Vektor. Warum ist das der Fall? Würde man es auch von rechts definieren, dann bekäme man mit Rechengesetzen hinterher Schwierigkeiten. Das würde dann nicht so glatt durchlaufen. Man hätte Widersprüche oder müsste immer wieder Einschränkungen machen. Das ist rein aus technischen Gründen so gemacht worden, es gibt keine philosophische Erklärung dafür. Man hätte übrigens auch alles von rechts definieren können, das heißt, dass man sagt, der Vektor ist links und die Zahl rechts. Dann würde das auch alles funktionieren. In Deutschland hat man sich auf links geeinigt, die Zahl steht links und rechts steht der Vektor. Dann funktioniert das alles wunderbar. Wir haben Rechengesetze, und zwar das Assoziativgesetz. Das bedeutet, wir können zum Beispiel rechnen: Erst (r×s), das sollen jetzt zwei Zahlen sein. Die möchte ich mal klammern. Und dann hier ein Vektor, den ich aber nicht immer in 3 Komponenten schreibe oder mit den 3 Koordinaten. Sondern ich werde einfach schreiben: Vektor a und den können wir auch anders multiplizieren, nämlich r mit dem Ergebnis von (s×a). Das ist ein Gesetz, welches richtig ist. Ich schreibe die anderen beiden Gesetze auf. Auch hier gibt es 2 Distributivgesetze. Also, wenn du das Distributivgesetz schon früher gehasst hast, jetzt kommen gleich 2 davon. Wir machen Folgendes: Wir haben eine reelle Zahl r und die multiplizieren wir mit der Summe von 2 Vektoren, nämlich von a+b. Das können wir aber auch anders machen, indem wir erst r×a rechnen und zum Ergebnis r×b addieren. r×(a+b) =r×a+r×b. Und wie angekündigt, das 2. Distributivgesetz sieht so aus: Wir haben r+s, r und s sind reelle Zahlen, wir können die beiden erst addieren und dann mit dem Vektor a multiplizieren. Das geht aber auch, indem wir r×a rechnen und dazu dann addieren s×a. Wenn man das jetzt beweisen möchte, das kann man natürlich machen. Dann würde in den richtigen Mathe Büchern einfach stehen: Beweis ist trivial, ergibt sich rein aus der Definition, wie Multiplikationen und Additionen definiert sind. Man müsste das nur hinschreiben, und dann würde das da stehen, dass das richtig ist. Damit möchte ich mich jetzt nicht weiter aufhalten. Ich möchte einfach zeigen, wie du dir das vorstellen kannst. Dazu brauche ich einen Vektor, zum Beispiel diese Pfeile hier. Ich sage jetzt einfach, das sind Vektoren, das sind natürlich Pfeile, die einen Vektor darstellen. Wir haben r×s. Ich möchte mal für r und s, 3 und 2 einsetzen. Ich zeige es jetzt hier zwei dimensional auf dem Tisch. Im Dreidimensionalen ist es genau das Gleiche, hier ist es viel einfacher zu sehen. Ist also keine Einschränkung. Für r setze ich 3 ein und für s 2. Ich muss also zuerst 3×2 rechnen, das ist 6 und dann den Vektor a, der jetzt hier so dargestellt wird, mit 6 multiplizieren. Der Pfeil muss 6 mal hintereinander gesetzt werden. Es entsteht die Bewegung von hier bis da mit dieser Richtung, die schon vorgegeben ist. Das ist dann so ein großer Vektor, der dann entsteht. Wenn wir uns vorstellen wollen, dass dieses Assoziativgesetz richtig ist, dann muss man sich Folgendes überlegen: Für r habe ich 3 eingesetzt und für s 2. Das bedeutet, ich muss erst 2×a rechnen. Das sieht so aus, und das hinterher mit 3 multiplizieren. Einmal, zweimal, dreimal und dann muss ich das natürlich hintereinander setzen. Ich glaube, du kannst das nachvollziehen, dass hier wieder das Gleiche herauskommt wie vorher. Es ist derselbe Vektor. Die Wegeweise, die ich hier vorgemacht habe, ich glaube, die ist recht eingängig und da muss ich auch nicht viel zu erklären. Du kannst dir das sicher auch vorstellen. Dann komme ich mal zu dem 1. Distributivgesetz r×a+b. Wie kann ich mir das vorstellen? Ich brauch einen zweiten Vektor und ich setze die jetzt mal rechtwinklig aneinander. Das Rechtwinklige ist nicht nötig, bringt mir aber einen gewissen Vorteil beim Legen hier. Das kann auch ein ganz anderer Winkel sein, das ist alles egal. Mal angenommen, ich setze für r wieder 3 ein. Ich glaube ich habe irgendwann mal für r 2 eingesetzt. Was muss ich machen? Ich habe a+b, das sieht so aus. Dann kommt noch mal a+b, das sieht so aus und dann noch mal. Das ist also 3×(a+b). Jetzt kann ich aber auch 3×a+3×b rechnen. Wie sieht das aus? Ich muss den wegnehmen und hier das Dransetzen 3×a+3×b sieht so aus. Der Vektor ist wieder genau derselbe wie vorher. Ich muss das nur so ein bisschen verschieben, dann kriege ich wieder die Ausgangssituation, und das ist auch der Vektor von hier bis da. Es ist fast wie mit Bauklötzen, schwieriger ist die Sache hier nicht, so kann man sich das ganz gut vorstellen. Ich möchte wieder für r 3 einsetzen und für s 2 und das dann mit a multiplizieren. Wenn ich das so aufschreibe wie hier, dann muss ich erst 3+2 rechnen und dann ×a. Das ist fast das Gleiche wie beim Assoziativgesetz, schwieriger ist die Sache nicht. Dann muss ich das halt so zeigen. 3+2=5. Ich nehme mal den hier, 1, 2, 3, 4, 5. Das ist der Vektor, der rauskommt, wenn ich einen solchen Vektor hier mit 5 multipliziere. Die Frage ist: Kommt das Gleiche heraus, wenn ich den Vektor erst mit 3 multipliziere und dann das 2-Fache des Vektors dazu addiere. Das ist 3×a, das ist 2×a. Wenn man das addiert, dann muss man die einfach hintereinander setzen. Das ist natürlich das Gleiche wie 5×a. Mehr ist nicht passiert, so was Ähnliches hast du schon in der Grundschule gemacht. Aber hier geht es um die Vektoren dabei, das führt zu viel mehr Konsequenzen, als es in der Grundschule hatte, damit kann man auch viel mehr machen, mit diesen Vektoren. Die Grundlage selber ist aber relativ einfach für diese Rechengesetze. Viel Spaß damit. Tschüss!  

2 Kommentare

2 Kommentare
  1. Hallo Timtia2126,
    kannst du genauer sagen, womit du nicht so zufrieden warst? Wurde beispielsweise etwas deiner Ansicht nach nicht ausführlich genug erklärt? Wir freuen uns immer über Verbesserungsvorschläge.
    Liebe Grüße aus der Redaktion

    Von Jonas D., vor etwa 2 Jahren
  2. Naja es geht ich war nicht so zufrieden

    Von Timtia2126, vor etwa 2 Jahren

Skalare Multiplikation – Rechengesetze Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Skalare Multiplikation – Rechengesetze kannst du es wiederholen und üben.
  • Gib die Rechengesetze an.

    Tipps

    Das Assoziativgesetz der Multiplikation besagt, dass Klammern beliebig gesetzt werden dürfen. Dass die Ergebnisse übereinstimmen, sehen wir an folgendem Beispiel.

    • $(2\cdot 3)\cdot 4=6\cdot 4=24$ aber auch
    • $2\cdot (3\cdot 4)=2\cdot 12=24$.

    Das Distributivgesetz wird verwendet, wenn eine Summe mit einer Zahl multipliziert wird:

    • $(3+2)\cdot 6=3\cdot 6+2\cdot 6$.

    Man könnte jedes dieser Gesetze koordinatenweise mittels der bekannten Gesetze zum Rechnen mit Vektoren nachweisen.

    Lösung

    Wenn man das skalare Produkt berechnen muss, kann man Rechenregeln verwenden, welche dir vom Rechnen mit Zahlen bereits bekannt sind: das Assoziativgesetz sowie das Distributivgesetz.

    Das Assoziativgesetz lautet:

    • $(r\cdot s)\cdot \vec a=r\cdot (s\cdot \vec a)$. Das bedeutet: Es ist egal, ob man zunächst das Produkt der Skalare berechnet und dieses mit dem Vektor multipliziert oder ob man zunächst den Vektor mit dem einen und dann mit dem anderen Skalar multipliziert.
    Es gibt zwei Distributivgesetze:

    • $r\cdot (\vec a+\vec b)=r\cdot \vec a+r\cdot \vec b$: Wenn man also ein Skalar mit der Summe zweier Vektoren multipliziert, kann man auch das Skalar mit jedem der beiden Vektoren multiplizieren und die Produkte addieren.
    • $(r+ s)\cdot \vec a=r\cdot \vec a+s\cdot \vec a$: Das bedeutet, man kann entweder die Summe der Skalare mit dem Vektor multiplizieren oder den Vektor mit jedem der Skalare multiplizieren und dann die Produkte addieren.
  • Beschreibe, wie man das Assoziativgesetz anhand des Produktes $(3\cdot 2)\cdot \vec a=3\cdot(2\cdot \vec a)$ erklären kann.

    Tipps

    Du erhältst das Doppelte eines Vektors, indem du an einen Vektor den gleichen Vektor noch einmal anhängst.

    Das Assoziativgesetz lautet:

    $(r\cdot s)\cdot \vec a=r\cdot (s\cdot \vec a)$.

    Lösung

    Das Assoziativgesetz lautet

    $(r\cdot s)\cdot \vec a=r\cdot (s\cdot \vec a)$

    und besagt, dass man

    • entweder zunächst die Skalare (Diese sind $r$ und $s$.) multiplizieren und diese dann mit dem Vektor multiplizieren kann
    • oder dass man den Vektor zunächst mit dem einen ($s$) und dann mit dem anderen Skalar ($r$) multipliziert.
    Man kann sich dies zum Beispiel für $r=3$ und $s=2$ so klarmachen, dass man das Sechsfache eines Vektors $\vec a$ betrachtet, da $6=3\cdot 2$ ist.

    Auf der anderen Seite könnte man auch das Doppelte des Vektors $\vec a$ betrachten und diesen doppelten Vektor dreimal hintereinander ausführen. Dies ist in diesem Bild zu sehen. Zur besseren Unterscheidung sind die jeweiligen Doppel des Vektors in verschiedenen Farben dargestellt. Wenn man nun die Anzahl der Aneinanderreihungen des Vektors $\vec a$ zählt, gelangt man wiederum zu $6$.

  • Wende die Rechengesetze an.

    Tipps

    Das Assoziativgesetz lautet

    $(r\cdot s)\cdot \vec a=r\cdot (s\cdot \vec a)$.

    Es gibt zwei Distributivgesetze:

    • $r\cdot (\vec a+\vec b)=r\cdot \vec a+r\cdot \vec b$
    • $(r+ s)\cdot \vec a=r\cdot \vec a+s\cdot \vec a$

    Du musst ausschließlich die Rechenregeln anwenden, die jeweiligen Ergebnisse müssen noch nicht berechnet werden.

    Lösung

    In dieser Aufgabe sollen an konkreten Beispielen sowohl für die Skalare sowie die Vektoren die Rechengesetze geübt werden.

    Zur Wiederholung: Es handelt sich dabei um

    • das Assoziativgesetzt $(r\cdot s)\cdot \vec a=r\cdot (s\cdot \vec a)$ sowie
    • zwei Distributivgesetze $r\cdot (\vec a+\vec b)=r\cdot \vec a+r\cdot \vec b$ und $(r+ s)\cdot \vec a=r\cdot \vec a+s\cdot \vec a$.
    Damit ist mit dem unteren der beiden Distributivgesetze

    $(3+4)\cdot\begin{pmatrix} 1 \\ -1\\3 \end{pmatrix}=3\cdot\begin{pmatrix} 1 \\ -1\\3 \end{pmatrix}+4\cdot\begin{pmatrix} 1 \\ -1\\3 \end{pmatrix}$

    Das obere der beiden Distributivgesetze führt zu

    $4\cdot\left(\begin{pmatrix} 1 \\ -1\\3 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 3 \\ 4\\2 \end{pmatrix}\right)=4\cdot\begin{pmatrix} 1 \\ -1\\3 \end{pmatrix}+4\cdot \begin{pmatrix} 3 \\ 4\\2 \end{pmatrix}$

    Es folgt ein Beispiel für das Assoziativgesetz

    $(3\cdot(-0,5))\cdot \begin{pmatrix} 3 \\ 4\\2 \end{pmatrix}=3\cdot\left((-0,5)\cdot \begin{pmatrix} 3 \\ 4\\2 \end{pmatrix}\right)$

    Zuletzt nochmal ein Beispiel für das untere der beiden Distributivgesetze:

    $(-2+5)\cdot\begin{pmatrix} 2 \\ 1\\5 \end{pmatrix}=-2\cdot\begin{pmatrix} 2 \\ 1\\5 \end{pmatrix}+5\cdot\begin{pmatrix} 2 \\ 1\\5 \end{pmatrix}$

  • Weise das Distributivgesetz $r \cdot (\vec a + \vec b) = r \cdot \vec a + r \cdot \vec b$ mit $\vec a=\begin{pmatrix} a_1 \\ a_2\\a_3 \end{pmatrix}$ und $\vec b=\begin{pmatrix} b_1 \\ b_2\\b_3 \end{pmatrix}$ nach.

    Tipps

    Verwende die Definition des skalaren Produktes

    $r\cdot \begin{pmatrix} a \\ b \\c \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} r\cdot a \\ r\cdot b \\r \cdot c \end{pmatrix}$

    Das bedeutet, dass jede Koordinate des Vektors mit dem Skalar multipliziert wird.

    Man erhält die Summe zweier Vektoren, indem man diese koordinatenweise addiert.

    Das Distributivgesetz, welches du für das Rechnen mit Zahlen benötigst, lautet

    $e\cdot (f+g)=e\cdot f+e\cdot g$.

    Wende dieses Distributivgesetz auf der einen Seite der Gleichung auf jede Koordinate des Vektors an.

    Lösung

    Wie kann man dieses Distributivgesetz nachweisen, ohne dies anschaulich mit bestimmten Zahlen zu machen. Dies wäre ohnehin auch kein Beweis.

    Man verwendet das bekannte Distributivgesetz zum Rechnen mit Zahlen.

    Man kann zunächst die linke Seite der Gleichung betrachten. Zwei Vektoren werden addiert, indem man sie koordinatenweise addiert:

    $\vec a+\vec b=\begin{pmatrix} a_1 \\ a_2\\a_3 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} b_1 \\ b_2\\b_3 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} a_1+b_1 \\ a_2+b_2\\a_3+b_3 \end{pmatrix}$

    Nun wird dieser Summenvektor mit dem Skalar $r$ multipliziert:

    $r\cdot \begin{pmatrix} a_1+b_1 \\ a_2+b_2\\a_3+b_3 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} r\cdot(a_1+b_1) \\ r\cdot(a_2+b_2)\\r\cdot(a_3+b_3) \end{pmatrix}$

    Zuletzt kann das Distributivgesetz für jede der Koordinaten angewendet werden:

    $\begin{pmatrix} r\cdot(a_1+b_1) \\ r\cdot(a_2+b_2)\\r\cdot(a_3+b_3) \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} r\cdot a_1+r\cdot b_1 \\ r\cdot a_2+r\cdot b_2\\r\cdot a_3+r\cdot b_3 \end{pmatrix}$

    Nun kann man sich die rechte Seite anschauen. Zunächst wird zweimal ein skalares Produkt berechnet:

    $r\cdot \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2\\a_3 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} r\cdot a_1 \\ r\cdot a_2\\r\cdot a_3 \end{pmatrix}$

    und ebenso

    $r\cdot \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2\\b_3 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} r\cdot b_1 \\ r\cdot b_2\\r\cdot b_3 \end{pmatrix}$

    Zuletzt können diese beiden Produkte addiert werden zu

    $\begin{pmatrix} r\cdot a_1 \\ r\cdot a_2\\r\cdot a_3 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} r\cdot b_1 \\ r\cdot b_2\\r\cdot b_3 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} r\cdot a_1+r\cdot b_1 \\ r\cdot a_2+r\cdot b_2\\r\cdot a_3+r\cdot b_3 \end{pmatrix}$

    Wir haben zweimal dasselbe Ergebnis erhalten. Ebenso können auch das andere Distributivgesetz sowie das Assoziativgesetz gezeigt werden.

  • Berechne das jeweilige Ergebnis unter Verwendung der Rechengesetze.

    Tipps

    Das Assoziativgesetz lautet

    $(r\cdot s)\cdot \vec a=r\cdot (s\cdot \vec a)$.

    Es gibt zwei Distributivgesetze:

    • $r\cdot (\vec a+\vec b)=r\cdot \vec a+r\cdot \vec b$
    • $(r+ s)\cdot \vec a=r\cdot \vec a+s\cdot \vec a$

    Setze $r=3$ und $s=2$ in diese Gesetze ein.

    Lösung

    Es seien $r=3$ und $s=2$. Mit diesen beiden Werten sollen nun die Rechengesetze angewendet werden. Hierfür werden die Werte in die bekannten Gesetze eingesetzt.

    Assoziativgesetz: $(r\cdot s)\cdot \vec a=r\cdot (s\cdot \vec a)$. Ein Beispiel:

    • $6\cdot \vec a=(3\cdot 2)\cdot \vec a=3\cdot (2\cdot \vec a)$
    Distributivgesetz: $r\cdot (\vec a+\vec b)=r\cdot \vec a+r\cdot \vec b$. Ein Beispiel:

    • $3\cdot (\vec a+\vec b)=3\cdot \vec a+3\cdot \vec b$
    Distributivgesetz $(r+ s)\cdot \vec a=r\cdot \vec a+s\cdot \vec a$. Ein Beispiel:

    • $5\cdot \vec a=(3+2)\cdot \vec a=3\cdot \vec a+2\cdot \vec a$
  • Berechne die jeweiligen Ergebnisse.

    Tipps

    Ein Vektor wird mit einem Skalar multipliziert, indem man jede Koordinate des Vektors mit dem Skalar multipliziert.

    Zwei Vektoren werden addiert, indem man sie koordinatenweise addiert.

    Beim Assoziativgesetz ist es unwichtig, ob du zunächst die Skalare multiplizierst und dieses Produkt mit dem Vektor multiplizierst oder ob du den Vektor zunächst mit dem einen Skalar und dann dem anderen multiplizierst. Du erhältst beide Male das gleiche Ergebnis.

    Lösung

    Um an diesen Beispielen nochmals die Rechenregeln zu üben, werden jeweils die beiden Seiten berechnet, welche natürlich übereinstimmen:

    $(3+4)\cdot\begin{pmatrix} 1 \\ -1\\3 \end{pmatrix}=7\cdot\begin{pmatrix} 1 \\ -1\\3 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 7\cdot 1 \\ 7\cdot (-1)\\7\cdot 3 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 7 \\ -7\\21 \end{pmatrix}$

    Auf der rechten Seite erhält man

    $3\cdot\begin{pmatrix} 1 \\ -1\\3 \end{pmatrix}+4\cdot\begin{pmatrix} 1 \\ -1\\3 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3\\-3\\9\end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 4 \\ -4\\12 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 7 \\ -7\\21 \end{pmatrix}$

    Dies ist ein Beispiel für ein Distributivgesetz wie auch das Folgende:

    $4\cdot\left(\begin{pmatrix} 1 \\ -1\\3 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 3 \\ 4\\2 \end{pmatrix}\right)=4\cdot\begin{pmatrix}4\\3\\5\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}16\\12\\20\end{pmatrix}$

    Hier ist die Rechnung für die rechte Seite des Distributivgesetzes zu sehen:

    $4\cdot\begin{pmatrix} 1 \\ -1\\3 \end{pmatrix}+4\cdot \begin{pmatrix} 3 \\ 4\\2 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4\\-4\\12\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}12\\16\\8\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}16\\12\\20\end{pmatrix}$

    Zuletzt noch ein Beispiel für das Assoziativgesetz

    $(3\cdot(-0,5))\cdot \begin{pmatrix} 3 \\ 4\\2 \end{pmatrix}=-1,5\cdot \begin{pmatrix} 3 \\ 4\\2 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-4,5\\-6\\-3\end{pmatrix}$

    Auch hier kann man das Ergebnis überprüfen, indem man die rechte Seite des Assoziativgesetzes berechnet:

    $3\cdot\left((-0,5)\cdot \begin{pmatrix} 3 \\ 4\\2 \end{pmatrix}\right)=3\cdot \begin{pmatrix} -1,5 \\ -2\\-1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -4,5 \\ -6\\-3 \end{pmatrix}$

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