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Skalare Multiplikation – Einführung 04:46 min

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Transkript Skalare Multiplikation – Einführung

Hallo! Da wir schon so schön mit Vektoren gerechnet haben, sie addiert und subtrahiert haben, könnte man sich natürlich die Frage stellen: Kann man Vektoren auch multiplizieren? Ja, man kann sie sogar auf verschiedene Arten multiplizieren. Man kann Vektoren miteinander multiplizieren, auch das kann man auf mehrere Arten machen, da kommen wir noch zu. Und man kann aber auch einen Vektor mit einer Zahl multiplizieren, beziehungsweise eine Zahl mit einem Vektor multiplizieren. Warum ich das so rum sage, sage ich gleich noch. Also mal angenommen, wir haben jetzt mal eine Zahl, die soll jetzt mal r heißen, r wie eine reelle Zahl. Und die möchten wir multiplizieren mit diesem Vektor, und zwar soll der Vektor jetzt mal abc heißen. Der hat die Koordinaten a, b und c. Wie können wir das machen? Wir könnten einfach koordinatenweise multiplizieren und uns dann überlegen, was da raus kommt. Also wenn wir koordinatenweise multiplizieren, dann steht hier r × a und r × b und r × c. So, und das ist auch die Art und Weise, wie das definiert ist. Wenn man eine Zahl mit einem Vektor multipliziert, dann muss man einfach nur jeweils die Koordinaten multiplizieren und hat das Ergebnis dieser Multiplikation, nennt sich skalare Multiplikation. Es gibt auch die Skalarmultiplikation, deshalb sag ich das so komisch. Das ist aber was anderes, sag ich auch später noch was zu. Das ist hier die skalare Multiplikation. Das passt nicht mehr hin, aber du weißt, dass ich die Multiplikation meine. So, skalare Multiplikation und Skalarmultiplikation ist was völlig anderes. Bei der skalaren Multiplikation, so wie hier, wird ein Skalar, muss ich vielleicht mal sagen, was ist ein Skalar, das ist einfach eine Zahl, eine Zahl ohne Richtung ist ein Skalar und eine Zahl mit Richtung quasi ist ein Vektor. So kann man sich das grob merken. Wenn ein Skalar mit einem Vektor multipliziert wird, dann heißt das skalare Multiplikation. So, nun müssen wir uns nur noch überlegen, wie sieht denn so ein Vektor eigentlich aus. Und dazu kann man Folgendes machen. Ich nehm mal, ja ich hab hier rein zufällig ein paar Vektoren liegen, deshalb guck ich da so hin. Mal angenommen, wir haben also ein Koordinatensystem, ich zeige es zweidimensional, und in diesem Koordinatensystem befindet sich hier ein Vektor. Ich zeig das deshalb zweidimensional, weil es dreidimensional vom Sinn her genau dasselbe ist, aber es ist dann eben viel komplizierter zu zeigen. Ich mach es mir hier einfach und ich glaube, dann hast du auch das meiste davon. So, das ist einmal die Koordinate a und hier ist die Koordinate b, ja das ist die Koordinate b. Koordinate c könnte im Dreidimensionalen noch hier sein. Lass ich jetzt weg. Was passiert, wenn man jetzt a mit einer Zahl multipliziert, zum Beispiel mit 2, dann steht hier 2a und da steht ungefähr 2b, das ist dann hier. Und wie sieht der Vektor aus, der jetzt diese Koordinaten hat? Naja, ich darf noch einen Pfeil dranlegen, der ist dann also doppelt so groß geworden hier, bitte da ist er. Und das kennst du aus, na du hast es gemacht in Koordinatengeometrie oder bei Funktionen oder hast es andauernd gemacht, das sollte dich jetzt nicht mehr schocken. Wenn man die Koordinaten verdoppelt, dann verdoppelt sich auch hier diese Diagonale beziehungsweise der Weg dorthin. Wenn man's verdreifacht, genauso. Übrigens passiert auch so was, wenn man mit ½ multipliziert oder 1/3 oder Zahlen, die kleiner als 1 sind. Dann wird dieser Pfeil hier oder dieser Vektor nicht größer, sondern kleiner. Und wenn man mit negativen Zahlen multipliziert, dann geht das halt in die andere Richtung. Wenn ich jetzt mit -1 multiplizieren würde, sähe der Vektor, der da rauskommt, so aus. Also das ist eigentlich das, was man erwarten kann. Das läuft hier ganz geradeaus durch. Und mehr ist dazu einfach nicht zu sagen. Viel Spaß damit, tschüss.  

2 Kommentare
  1. stimmt (Ma Plo )

    Von Familie Hub, vor 6 Tagen
  2. Wäre besser wenn der Hintergrund auch Einfärbig wäre - dann ist man weniger Abgelegt.

    Von Ma Plo, vor mehr als 7 Jahren

Skalare Multiplikation – Einführung Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Skalare Multiplikation – Einführung kannst du es wiederholen und üben.

  • Beschreibe, was man unter dem Zweifachen eines Vektors versteht.

    Tipps

    Die unterschiedlichen Farben der Vektoren dienen nur der besseren Übersichtlichkeit und haben nicht mit der Lösung zu tun.

    Stelle dir einen Vektor als eine Bewegung vor.

    Wenn du eine Bewegung zweimal hintereinander durchführst, welche Bewegung führst du dann insgesamt durch?

    Das Zweifache eines Vektors erhältst du, indem du jede Koordinate des Vektors mit $2$ multiplizierst.

    Lösung

    Was versteht man unter dem Zweifachen oder Doppelten eines Vektors oder etwas allgemeiner ausgedrückt: unter dem Vielfachen eines Vektors?

    Wenn man sich einen Vektor als eine Bewegung vorstellt, kann man sich klarmachen, dass das Doppelte eines Vektors die zweimal hintereinander ausgeführte Bewegung ist.

    Im zweidimensionalen Koordinatensystem wird das Zweifache des Vektors durch den blauen Vektor beschrieben. Dieser ergibt sich, wenn man an das Ende des roten Vektors nochmals diesen Vektor ansetzt.

    Diese Begebenheiten gelten natürlich ebenso im dreidimensionalen Koordinatensystem.

  • Definiere, was ein Skalar ist.

    Tipps

    Hier wird der Skalar $r$ mit dem Vektor $\begin{pmatrix} a \\ b \\c \end{pmatrix}$ multipliziert.

    $2$ ist ein Skalar, aber

    $\begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\2 \end{pmatrix}$

    ist ein Vektor.

    Lösung

    Ein skalares Produkt ist das Produkt eines Skalars mit einem Vektor.

    Aber was ist eigentlich ein Skalar?

    In der Geometrie wird der Begriff des „Skalars“ in Abgrenzung zu einem Vektor verwendet. Ein Skalar ist eine (meistens reelle) Zahl, die erst durch ihre Funktion innerhalb des Produktes mit einem Vektor ihren Namen „Skalar“ erhält.

  • Gib an, wie das skalare Produkt $r\cdot \begin{pmatrix} a \\ b \\c \end{pmatrix}$ definiert ist.

    Tipps

    Ein Beispiel siehst du hier.

    Ein Skalar ist übrigens eine Zahl ohne Richtung.

    Das bedeutet, dass $r\cdot \begin{pmatrix} a \\ b \\c \end{pmatrix}$

    das Vielfache des Vektors ist.

    Mache dir zum Beispiel das Zweifache oder Dreifache eines Vektors im zweidimensionalen Koordinatensystem klar.

    Lösung

    Wenn man einen Vektor mit einem Skalar (einer Zahl) multipliziert, muss man jede Koordinate des Vektors mit der Zahl multiplizieren. Wie das gemacht wird, kannst in der Abbildung erkennen.

    Wenn $r$ eine ganze Zahl ist, kann man sich darunter das $r$-malige Aneinanderreihen des Vektors vorstellen. Das Zweifache des Vektors

    $\begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix}$

    ist - anschaulich betrachtet - doppelte Ausführung des Vektors. Man könnte sagen, dass an den Vektor derselbe Vektor angeklebt wird:

    $2 \cdot \begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \cdot a \\ 2 \cdot b \\ 2 \cdot c \end{pmatrix}$

  • Prüfe, ob die Vektoren sich als skalares Produkt eines gegebenen Vektors schreiben lassen.

    Tipps

    Es muss gezeigt werden, dass ein Skalar existiert, welcher mit dem einen Vektor multipliziert gerade den anderen ergibt.

    In jedem der Fälle existiert ein solcher Skalar. In solchen Fällen spricht man übrigens von linearer Abhängigkeit zweier Vektoren.

    Hier siehst du ein Beispiel für die Vektoren $\begin{pmatrix} 1 \\ 2\\2\end{pmatrix}$ und $\begin{pmatrix} 3 \\ 6\\6 \end{pmatrix}$:

    • Dividiere eine Koordinate - zum Beispiel $3$ - des einen Vektors durch die entsprechende Koordinate des anderen - diese ist dann $1$. Wir erhalten dann: $\frac31=3$.
    • Wenn du nun das skalare Produkt dieses Wertes mit dem Vektor $\begin{pmatrix} 1 \\ 2\\2\end{pmatrix}$ berechnest, musst du den anderen Vektor erhalten.

    Man könnte auch die Quotienten einander entsprechender Koordinaten ($\neq 0$) bilden; diese müssen alle gleich sein:

    Lösung

    Die Untersuchung, ob ein Vektor sich als Vielfaches eines anderen schreiben lässt, ist in der Geometrie recht wichtig.

    Wenn ein Vektor sich als ein Vielfaches eines anderen Vektors schreiben lässt, sagt man, dass die beiden Vektoren kollinear sind. Man kann sich dies so vorstellen, dass die Vektoren parallel zueinander sind.

    Warum ist dies so bedeutsam? Wenn man Geraden untersucht und wissen möchte, ob diese parallel zueinander verlaufen, genügt es, sich die Richtungsvektoren (ist entweder bereits bekannt oder kommt noch!) anzuschauen. Wenn diese kollinear zueinander sind, sind die Geraden entweder parallel oder sogar identisch.

    Wie kann man nun prüfen, ob zwei Vektoren kollinear zueinander sind? Man teilt zum Beispiel die erste Koordinate des einen Vektors durch die erste des anderen. Dies sei hier am Beispiel

    $\begin{pmatrix} -1 \\ -1\\-2 \end{pmatrix}$ und $\begin{pmatrix} 3 \\ 3\\6 \end{pmatrix}$ gezeigt: Es ist $\frac3{-1}=-3$.

    Wenn nun der erste Vektor multipliziert mit diesem Skalar gerade den zweiten Vektor ergibt, sind die Vektoren kollinear:

    $-3\cdot \begin{pmatrix} -1 \\ -1\\-2 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -3\cdot (-1) \\ -3\cdot (-1) \\-3\cdot (-2) \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 3 \\ 3\\6 \end{pmatrix}$ $~~~~~$ ✓

    Betrachten wir dann $\begin{pmatrix} 3 \\0\\4 \end{pmatrix}$ und $\begin{pmatrix} 1,5 \\ 0\\2 \end{pmatrix}$

    Es ist $\frac{1,5}3=0,5$ und

    $0,5\cdot \begin{pmatrix} 3 \\ 0\\4 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0,5\cdot 3 \\ 0,5\cdot 0 \\0,5\cdot 4 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1,5 \\ 0\\2 \end{pmatrix}$ $~~~~~$ ✓

    Man könnte auch die Quotienten einander entsprechender Koordinaten ($\neq 0$) bilden; diese müssen alle gleich sein:

    $\begin{pmatrix} 3 \\ -1\\1 \end{pmatrix}$ und $\begin{pmatrix} 6 \\ -2\\2 \end{pmatrix}$

    • $\frac63=2$
    • $\frac{-2}{-1}=2$
    • $\frac21=2$ $~~~~~$ ✓

  • Erkläre, wie man das skalare Produkt $3\cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 1\\3 \end{pmatrix}$ berechnen kann.

    Tipps

    Hier siehst du ganz allgemein, wie ein skalares Produkt definiert ist.

    Man multipliziert also jede Koordinate eines Vektors mit dem Skalar.

    Das Ergebnis eines skalaren Produktes ist wieder ein Vektor.

    Lösung

    Wenn man einen Vektor mit einem Skalar multipliziert, muss jede Koordinate mit dem Skalar multipliziert werden. In diesem Fall wird also jede Koordinate mit $3$ multipliziert.

    Man erhält also somit

    $3\cdot \begin{pmatrix} 2\\ 1 \\3 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 3\cdot 2 \\ 3\cdot 1 \\3\cdot 3 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 6 \\ 3 \\9 \end{pmatrix}$

    Das Ergebnis eines skalaren Produktes ist ein Vektor.

    Es gibt übrigens auch noch das Skalarprodukt zweier Vektoren: Das Ergebnis ist ein Skalar.

  • Berechne das jeweilige skalare Produkt.

    Tipps

    Um ein Skalar und einen Vektor miteinander zu multiplizieren, multiplizierst du jede Koordinate des Vektors mit dem Skalar.

    Hier siehst du ein Beispiel für ein skalares Produkt.

    Wenn in einem Vektor eine Koordinate $0$ ist, so ist auch die entsprechende Koordinate in dem skalaren Produkt $0$.

    Es gilt nämlich $r \cdot 0 = 0$.

    Lösung

    Das Produkt eines Skalars mit einem Vektor ist ein Vektor. Man erhält die einzelnen Koordinaten dieses skalaren Produktes, indem man jede Koordinate des Vektors mit dem Skalar multipliziert.

    Dies soll hier an einigen Beispielen gezeigt werden. Dabei kann der Skalar auch durchaus negativ sein oder eine rationale Zahl. In der Regel legt man den Skalar mit $r \in \mathbb{R}$ fest.

    Hier ist der Skalar eine natürliche Zahl:

    $2\cdot \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 2\cdot 3 \\ 2\cdot 1 \\2\cdot 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 6 \\ 2 \\0 \end{pmatrix}$

    Der Skalar kann allerdings auch negativ sein:

    $-3\cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\-1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -3\cdot 1 \\ -3\cdot 1 \\-3\cdot (-1) \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -3 \\ -3\\3 \end{pmatrix}$

    Ebenso kann ein Skalar auch durch eine Dezimalzahl beschrieben werden:

    $0,5\cdot \begin{pmatrix} 4 \\ 4 \\8 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0,5\cdot 4 \\ 0,5\cdot 4 \\0,5\cdot 8 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\4 \end{pmatrix}$

    Hier ist der Skalar eine negative Dezimalzahl:

    $-0,5\cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 2\\4 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -0,5\cdot 2 \\ -0,5\cdot 2 \\-0,5\cdot 4 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -1 \\ -1\\-2 \end{pmatrix}$