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Schrägbilder in der schrägen Parallelprojektion 09:35 min

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Transkript Schrägbilder in der schrägen Parallelprojektion

Hallo! In diesem Video erkläre ich dir, was man unter dem Schrägbild eines Körpers versteht. Dazu bekommst du zunächst eine Einführung in der ich dir erkläre, was ein Schrägbild eines Körpers ist. Im Anschluss gebe ich eine Konstruktionsvorschrift, das heißt, eine Vorgehensweise vor, mit deren Hilfe du ein Schrägbild konstruieren kannst. Dabei wirst du die Begriffe "Verzerrfaktor" und "Verzerrwinkel" eines Schrägbildes kennenlernen. Im Anschluss werden wir an einem Beispiel schrittweise das Schrägbild eines dreiseitigen Prismas konstruieren. Und zum Schluss wird das Gelernte zusammengefasst. Das Anfertigen von Schrägbildern ist ein Verfahren in der darstellenden Geometrie, um dreidimensionale räumliche Objekte in einer Zeichenebene darzustellen. Aber, was bedeutet das? Ich habe dir ein paar dreidimensionale Objekte mitgebracht. Wir haben hier zwei verschieden große Geschenkboxen und eine Packung Schokolade. Wenn du diese Objekte jetzt zeichnen möchtest, dann tust du dies auf einem zweidimensionalen Blatt. Aus dem dreidimensionalen Körper wird also ein zweidimensionales Bild. Damit jeder aber noch erkennt, dass es sich bei der Zeichnung eigentlich um einen dreidimensionalen Körper handelt, zeichnet man ein Schrägbild. Kommen wir nun zur Konstruktion eines Schrägbildes. Betrachten wir einmal die Geschenkbox. Die geometrische Form dieser Geschenkbox ist ein Quader. Quader kennst du bereits. Quader sind Prismen, welche eine rechteckige Grund- und Deckfläche besitzen. Um jetzt dieses dreidimensionale Objekt in der Ebene zeichnen zu können, gehen wir schrittweise vor. Im ersten Schritt übertragen wir die rechteckige Grundfläche des Quaders in ihren tatsächlichen Maßen auf das Papier. Im zweiten Schritt verlängert man die waagerechten Seiten der Grundfläche. Falls nötig, zeichnet man waagerechte Geraden, die durch die Eckpunkte der Grundfläche führen. Diese Hilfslinien kann man rechts oder links einzeichnen. Wir zeichnen sie hier rechts ein. Im dritten Schritt tragen wir mit Hilfe eines Geodreiecks an jedem Eckpunkt einen Winkel α ab und zeichnen die entsprechenden Hilfslinien ein. Der Winkel α ist der Verzerrwinkel des Schrägbildes. Für den vierten Schritt benötigen wir die Tiefe unseres Objektes. Das ist die Länge der Kanten des Quaders, die nach hinten führen. Diese Länge multiplizieren wir mit einer Zahl k, dem sogenannten Verzerrfaktor, und tragen diese Länge an unseren Hilfslinien ab. Beim Blick von schräg vorne wirkt die Tiefe eines Körpers stets kürzer als sie tatsächlich ist. Der Verzerrwinkel α und der Verzerrfaktor k hängen wir folgt voneinander ab: α / 90 ° = k. Das heißt, möchtest du den Verzerrwinkel ändern, so ändert sich auch der Verzerrfaktor. Im fünften Schritt verbinden wir diese Punkte so miteinander, dass wir eine zur Grundfläche kongruente Fläche erhalten. Im sechsten Schritt entfernen wir die überflüssigen Hilfslinien und zeichnen alle sichtbaren Kanten nach. Die nicht sichtbaren Kanten zeichnen wir gestrichelt. Damit haben wir nun das Schrägbild des Quaders, unsere Geschenkbox, konstruiert. Jetzt konstruieren wir das Schrägbild eines dreiseitigen Prismas. Schauen wir uns einmal diese Verpackung an. Die geometrische Form der Schokoladenverpackung ist ein dreiseitiges Prisma. Das heißt, Grund- und Deckfläche sind ein Dreieck. Hier ist es ein gleichschenkliges Dreieck. Der zu verwende Verzerrwinkel soll 45 ° betragen. Wir gehen schrittweise vor, um das Schrägbild zu konstruieren. Als erstes übertragen wir die Frontseite der Verpackung, das Dreieck, in seinen tatsächlichen Maßen. Kommen wir zum zweiten Schritt. Wir verlängern die waagerechte Grundseite und zeichnen eine dazu parallele Gerade, die durch die Spitze des Dreieckes geht. Nun können wir Schritt drei anwenden. Wir messen jetzt an den Eckpunkten des Dreiecks mit dem Geodreieck den Verzerrwinkel 45 ° ab und zeichnen die Hilfslinien ein. Kommen wir zum vierten Schritt. Wir brauchen jetzt die Tiefe der Verpackung. Die Tiefe beträgt 17 cm. Dazu benötigen wir jetzt den Verzerrfaktor k. Da wir den Verzerrwinkel vorgegeben haben, können wir mit der Formel "α / 90 ° = k" berechnen. Es gilt: 45 ° / 90 ° = ½. Damit erhalten wir k = ½ als Verzerrfaktor. Jetzt berechnen wir die Tiefe. Wir erhalten 17 cm ⋅ ½ = 8,5 cm. Diesen Wert tragen wir nun an den Hilfslinien ab. Im Schritt Nummer fünf verbinden wir die Punkte auf den Hilfslinien miteinander. Im sechsten und letzten Schritt entfernen wir nun die überflüssigen Hilfslinien und zeichnen alle sichtbaren Kanten nach. Die nicht sichtbaren Kanten zeichnen wir gestrichelt. Nun sind wir fertig. Wir haben jetzt die Schokoladenverpackung als Schrägbild konstruiert. Kommen wir nun zur Zusammenfassung: Das Zeichnen von Schrägbildern ist ein Verfahren in der darstellenden Geometrie, um dreidimensionale räumliche Objekte in einer Zeichenebene darzustellen. Es existieren zwei wichtige Parameter, die das Aussehen von Schrägbildern beeinflussen, und zwar den Verzerrwinkel α und den Verzerrfaktor k. Sie hängen wie folgt voneinander ab: α / 90 ° = k. Die Vorgehensweise zur Konstruktion von Schrägbildern ist in sechs Schritte gegliedert. Im ersten Schritt überträgt man die Grundfläche des Körpers mit ihren tatsächlichen Maßen. Im zweiten Schritt verlängert man die waagerechten Seiten der Grundfläche. Zusätzlich zeichnet an waagerechte Geraden, die durch die Eckpunkte der Grundfläche führen. Dies kann nach rechts oder links geschehen. Im dritten Schritt trägt man mit Hilfe eines Geodreiecks an jedem Punkt den Verzerrwinkel α ab und zeichnet die entsprechenden Hilfslinien ein. Im vierten Schritt wird die Tiefe unseres Objektes mit dem Verzerrfaktor k multipliziert. Dann trägt an diesen Wert an den Hilfslinien ab. Im fünften Schritt verbindet man diese Punkte so miteinander, dass eine zur Grundfläche kongruente Fläche entsteht. Im sechsten Schritt müssen nur noch alle überflüssigen Hilfslinien entfernt werden, die sichtbaren Kanten nachgezogen und die nicht sichtbaren Kanten gestrichelt werden. Ich hoffe, das Video hat dir geholfen. Bis zum nächsten Mal!

5 Kommentare
  1. Hallo Amend Juergen,
    danke für deinen Kommentar. Der Verzerrungswinkel und der Verzerrungsfaktor hängen immer von der Projektionsart ab. Dieses Video befasst sich mit der schrägen Parallelprojektion. Ich ändere den Titel, um diese Unklarheit zu beheben.
    Auf kariertem Papier bieten sich Schrägbilder wie folgt an: Wenn auf den beiden unverzerrten Achsen eine Einheit zwei Kästchen entspricht, dann ist eine Einheit auf der dritten Achse die Diagonale eines Kästchens. Das ergibt einen Winkel von 45° und einen Faktor von 1/√2. - So wie du es auch kennst. :)
    Liebe Grüße aus der Redaktion

    Von Jeanne O., vor 11 Monaten
  2. Wie bist du auf die Formel bei 4:12 min gekommen, weil ich hab als Verzerrungsfaktor Wurzel aus 0,5 für Alpha 45 Grad.

    Von Amend Juergen, vor etwa einem Jahr
  3. Sehr gut

    Von Leebelz, vor fast 2 Jahren
  4. sehr gut erklärt =D

    Von Ralfburkert, vor mehr als 2 Jahren
  5. Danke, sehr hilfreich und super erklärt :)

    Von Andreas Goering, vor mehr als 4 Jahren

Videos im Thema

Schrägbilder von Pyramiden und zusammengesetzten Körpern (2 Videos)

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Schrägbilder in der schrägen Parallelprojektion Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Schrägbilder in der schrägen Parallelprojektion kannst du es wiederholen und üben.

  • Ergänze die Erklärung zu Schrägbildern.

    Tipps

    Ziel der Anfertigung eines Schrägbildes ist, ein räumliches Gebilde zu zeichnen. Dies erfolgt auf einem Blatt Papier, also auf einer Ebene.

    Du hast sicher bereits Schrägbilder gesehen: Was fällt dir dabei auf?

    Worauf musst du achten, wenn du ein Schrägbild anfertigst?

    Lösung

    Schrägbilder dienen dazu, räumliche Gegenstände in der Ebene, also auf ein Blatt Papier, zu zeichnen.

    Es handelt sich um ein Verfahren in der darstellenden Geometrie, um dreidimensionale räumliche Objekte in einer Zeichenebene darzustellen.

    Damit die Zeichnung einen $3$-D-Effekt besitzt, werden ein Verzerrwinkel und ein Verzerrfaktor verwendet:

    • der Verzerrwinkel $\alpha$ wird häufig $45^\circ$ gewählt,
    • der Verzerrfaktor $k$ ergibt sich, wie folgt $\large{k=\frac{\alpha}{90^\circ}}$, also für obiges $\alpha$ ist $k=\frac12$.

  • Gib an, welche Schritte bei der Zeichnung eines Schrägbildes gerade durchgeführt wurden.

    Tipps

    Betrachte die Zeichnung. Gesucht sind alle Schritte der Konstruktion, welche bereits durchgeführt wurden.

    Als mögliche Antworten ist die gesamte Konstruktion eines Dreiecksprismas beschrieben.

    Lösung

    Als erstes wurde die Grundfläche des Dreiecksprismas gezeichnet. Anschließend wurde die waagerechte Grundseite verlängert und eine dazu parallele Gerade durch die Spitze des Dreiecks gezeichnet.

    Zu sehen ist in dem obigen Bild auch der Schritt, in welchem der Verzerrwinkel $\alpha$ abgetragen wird.

    In diesem Bild ist das fertige Schrägbild des Dreiecksprismas zu sehen.

  • Beschreibe das Vorgehen beim Erstellen eines Schrägbildes.

    Tipps

    Du siehst bei einem Schrägbild einige Seiten schräg. Daher kommt der Name.

    Einige Kanten des Quaders sind nicht zu sehen. Diese werden im Schrägbild dünner oder gestrichelt gezeichnet.

    Das zu zeichnende räumliche Objekt wird entweder in der gleichen Größe wie in der Realität gezeichnet, sofern dies möglich ist, oder maßstabgetreu.

    Führe die Konstruktion Schritt für Schritt durch.

    Lösung

    Wie muss man vorgehen, um ein Schrägbild zu zeichnen?

    1. Die Vorderseite des Quaders wird entweder mit den tatsächlichen Maßen oder maßstabgetreu auf ein Blatt Papier übertragen.
    2. Die waagerechten Seiten dieser Grundfläche werden verlängert.
    3. An diesen Seiten werden in jedem Eckpunkt der Verzerrwinkel $\alpha$ abgetragen und Hilfslinien eingezeichnet.
    4. Die Länge $k\cdot$ (Länge der Tiefe des Quaders) wird an den Hilfslinien abgetragen. Dabei ist $k$ der Verzerrfaktor, welcher durch $\large{k=\frac{\alpha}{90^\circ}}$ mit dem Verzerrwinkel zusammenhängt.
    5. Verbinde die so erhaltenen Punkte zu einer zur Grundfläche kongruenten Figur.
    6. Entferne alle überflüssigen Hilfslinien und
    • zeichne alle sichtbaren Linien nach sowie
    • alle nicht sichtbaren Linien gestrichelt.

  • Prüfe das Schrägbild auf Fehler.

    Tipps

    Wie wird ein Schrägbild schrittweise gezeichnet?

    Zwei Flächen sind kongruent, das heißt deckungsgleich, wenn sie ausgeschnitten werden können und sich aufeinander gelegt gegenseitig abdecken.

    Zeichne das Schrägbild eines Quaders Schritt für Schritt und prüfe, was bei dem obigen Schrägbild nicht stimmt.

    Der griechische Buchstabe, welcher für den Verzerrwinkel gewählt wird, kann beliebig verwendet werden.

    Lösung

    Dies ist sicher nicht das Schrägbild eines Quaders. Dieses räumliche Objekt ist ziemlich schief.

    Was ist da beim Zeichnen falsch gelaufen?

    • Die Verlängerung der oberen Kante der Vorderseite des Quaders verläuft nicht wie die untere Kante waagerecht.
    • An den beiden rechten Eckpunkten wird ein Verzerrwinkel $\alpha$, an den beiden linken ein Verzerrwinkel $\beta$ abgetragen. Der Winkel $\beta$ ist dabei größer als $\alpha$. Man muss jedoch den gleichen Verzerrwinkel verwenden.
    • Die Tiefe des Quaders ist nicht gleichmäßig verzerrt. Das bedeutet, dass die beiden linken Kanten länger sind als die rechten. Es wurden zwei verschiedene Verzerrfaktoren verwendet.
    • Aus alledem folgt, dass das so entstandene Viereck, welches nach rechts hinten verschoben ist, nicht kongruent zu der Grundfläche ist.

  • Ordne das Schrägbild dem räumlichen Objekt zu.

    Tipps

    Untersuche die Schrägbilder auf ihre Seitenflächen sowie Grundflächen.

    Ein Würfel ist ein spezieller Quader. Wenn du einen Würfel erkennst, so ordne ihm den Namen „Würfel“ und nicht „Quader“ zu.

    Achte darauf, dass die schräg gezeichnete Kante zur Erzeugung eines Raumeffektes verzerrt ist.

    Lösung

    Die Unterscheidung erfolgt über die Seitenflächen (Abkürzung: SF) und Grundflächen (Abkürzung: GF).

    Von oben nach unten zu erkennen sind:

    • ein Dreiecksprisma: $2$ Dreiecke als GF und $3$ Rechtecke als SF,
    • eine quadratische Pyramide: ein Quadrat als GF und $4$ Dreiecke als SF,
    • ein Zylinder, $2$ Kreise als GF: die Seitenfläche ist ein Rechteck, welches im Schrägbild nicht zu erkennen ist,
    • ein Würfel: $6$ Quadrate als SF, und
    • ein Quader: $6$ Rechtecke als SF.

  • Erstelle ein Schrägbild eines Würfels.

    Tipps

    Du könntest dir die Konstruktion wie ein Daumenkino vorstellen.

    Von Bild zu Bild kommt etwas hinzu.

    Beim letzten Bild werden Hilfslinien entfernt und nicht sichtbare Kanten gestrichelt.

    Zeichne selbst ein Schrägbild eines Würfels.

    Lösung

    Wie muss man vorgehen, um ein Schrägbild zu zeichnen?

    1. Die Vorderseite des Würfels wird auf ein Blatt Papier übertragen. Auf dem entsprechenden Bild ist ein Quadrat zu erkennen.
    2. Die waagerechten Seiten dieser Grundfläche werden verlängert. Die waagerechten Linien nach rechts sind zu sehen.
    3. An diesen Seiten wird in jedem Eckpunkt der Verzerrwinkel $\alpha$ abgetragen und Hilfslinien eingezeichnet. Ab jetzt ist der Winkel $\alpha$ in der Skizze zu sehen.
    4. Die Länge $k\cdot$ (Länge einer Seite des Würfels) wird an den Hilfslinien abgetragen. Dabei ist $k$ der Verzerrfaktor, welcher durch $\large{k=\frac{\alpha}{90^\circ}}$ mit dem Verzerrwinkel zusammenhängt. Dies ist an den eingezeichneten Punkten zu erkennen.
    5. Verbinde die so erhaltenen Punkte zu einem Quadrat.
    6. Entferne alle überflüssigen Hilfslinien und
    • zeichne alle sichtbaren Linien nach sowie
    • alle nicht sichtbaren Linien gestrichelt.
    Jetzt sind alle Hilfslinien, der Winkel $\alpha$ und die Punkte entfernt. Fertig ist das Schrägbild eines Würfels.