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Schrägbild einer geraden Pyramide in der schrägen Parallelprojektion

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Eva F.
Schrägbild einer geraden Pyramide in der schrägen Parallelprojektion
lernst du in der 9. Klasse - 10. Klasse

Beschreibung Schrägbild einer geraden Pyramide in der schrägen Parallelprojektion

Hallo, in diesem Video erkläre ich dir, wie man das Schrägbild einer geraden Pyramide konstruiert. Schrittweise werden wir zunächst das Schrägbild einer geraden Pyramide mit rechteckiger Grundfläche konstruieren. Im Anschluß zeige ich dir, wie man das Schrägbild einer geraden Pyramide zeichnet, deren Grundfläche ein Dreieck ist. Ich wünsche dir viel Spaß mit meinem Video!

Transkript Schrägbild einer geraden Pyramide in der schrägen Parallelprojektion

Hallo in diesem Video erkläre ich dir, wie man das Schrägbild einer geraden Pyramide zeichnet. Dazu werden wir zunächst einmal wiederholen, was man unter dem „Schrägbild“ eines Körpers versteht und was man mit den Begriffen Verzerrwinkel und Verzerrfaktor meint. Da wir Schrägbilder von geraden Pyramiden konstruieren möchten, solltest du bereits wissen, was eine gerade Pyramide ist. Im Anschluss folgen zwei Beispiele. Wir konstruieren zuerst das Schrägbild einer geraden Pyramide mit rechteckiger Grundfläche und danach werden wir das Schrägbild einer geraden Pyramide mit dreiseitiger Grundflächen konstruieren. Und zum Schluss wird das Gelernte kurz zusammengefasst. Das Anfertigen von Schrägbildern ist ein Verfahren in der darstellenden Geometrie, um drei dimensionale räumliche Objekte in einer Zeichenebene darzustellen. Im Zusammenhang mit Schrägbildern kennst du die Begriffe: „Verzerrwinkel“ und „Verzerrfaktor“. Dabei gibt der Verzerrwinkel vor, aus welchem Blickwinkel man den Körper betrachtet. Da durch den Verzerrwinkel,die optische Tiefe des Objektes verändert wird, benötigen wir den Verzerrfaktor. Mit dem Verzerrfaktor, welcher mit k bezeichnet wird, können wir die tatsächliche Tiefe des multiplizieren und erhalten die optische Tiefe unseres Körpers, also die Tiefe des Körpers, die wir beim Konstruieren im Schrägbild verwenden. Betrachten wir das erste Beispiel: Wir möchten das Schrägbild dieser geraden Pyramide mit rechteckiger Grundfläche konstruieren. Um eine solche Pyramide in der Zeichenebene darstellen zu können, also das Schrägbild anzufertigen, gehen wir schrittweise vor. Im ersten Schritt übertragen wir die rechteckige Grundfläche der Pyramide auf das Papier. Hier muss man gegebenenfalls einen geeigneten Maßstab wählen. Im zweiten Schritt verlängert man die untere Seite der Grundfläche. Diese Hilfslinie kannst du nach rechts oder links einzeichnen. Wir zeichnen sie nach rechts ein. Im dritten Schritt tragen wir mit Hilfe eines Geodreiecks in die zwei unteren Eckpunkte des Rechteckes einen Winkel α ab und zeichnen die entsprechenden Hilfslinien ein. Der Winkel α ist der Verzerrwinkel des Schrägbildes. Für den vierten Schritt benötigen wir die Breite des Rechteckes. Diese Breite multiplizieren wir mit einer Zahl k, dem Verzerrfaktor. Wir tragen diese Länge an unseren Hilfswinkeln ab. Im fünften Schritt verbinden wir die Punkte auf den Hilfslinien miteinander. Im sechsten Schritt entfernen wir die überflüssigen Hilfslinien und die Linien des Rechteckes bis auf die Grundseite. Wir ziehen diese Seiten schwarz nach. Wir haben jetzt die Grundfläche der Pyramide als Schrägbild. Wir müssen jetzt noch die Seitenflächen der Pyramide zeichnen. Dafür benötigen wir den Fußpunkt der Pyramide. Bei einer geraden Pyramide ist der Fußpunkt der Höhe genau der Mittelpunkt der Grundfläche. Im siebten Schritt müssen wir also den Mittelpunkt einzeichnen. Dies geschieht am leichtesten mit den Diagonalen des Rechteckes. Diagonalen von Rechtecken treffen sich nämlich stets im Mittelpunkt. Wenn wir den Fußpunkt der Pyramide eingezeichnet haben, können wir in Schritt Nummer 8), die Höhe der Pyramide h abtragen. Die Höhe h beginnt dabei im Fußpunkt und endet in der Spitze. Im Schritt Nummer 9) verbinden wir nun alle Eckpunkte der Grundfläche mit der Spitze. Zum Schluss müssen wir in Schritt 10) nur noch alle überflüssigen Hilfslinien entfernen und die nicht sichtbaren Kanten gestrichelt zeichnen. Nun haben wir das Schrägbild einer geraden Pyramide mit rechteckiger Grundfläche konstruiert. Betrachten wir das zweite Beispiel. Wir möchten nun das Schrägbild einer geraden Pyramide mit dreieckiger Grundfläche konstruieren. Der Verzerrwinkel soll 45° betragen. Dafür gehen wir wieder schrittweise vor. Im ersten Schritt übertragen wir die dreieckige Grundfläche der Pyramide auf das Papier. Im zweiten Schritt verlängern wir die untere Seite der Grundfläche nach rechts. Im dritten Schritt tragen wir mit Hilfe eines Geodreieckes in den zwei unteren Eckpunkten den Verzerrwinkel 45° ab und zeichnen die entsprechenden Hilfslinien ein. Für den vierten Schritt benötigen wir die Höhe h des Dreieckes. Diese Höhe multiplizieren wir mit dem Verzerrfaktor k und tragen diese Länge an unseren Hilfslinien ab. Zudem benötigen wir den Mittelpunkt der Strecke zwischen zwei Markierungen auf den Hilfslinien. Dieser Mittelpunkt ist hier rot markiert. Im fünften Schritt verbinden wir diesen Punkt mit den Eckpunkten der Grundseite des Dreieckes. Nun entfernen wir im sechsten Schritt die überflüssigen Hilfslinien und die Linien des Dreiecks bis auf die Grundseite. Wir ziehen die verbliebenen Seiten schwarz nach. Wir haben jetzt die Grundfläche der Pyramide als Schrägbild. Wir müssen jetzt noch die Seitenflächen der Pyramide zeichnen. Dafür benötigen wir den Fußpunkt der Höhe. Der Fußpunkt der Höhe soll wieder der Mittelpunkt der Grundfläche, also dem Dreieck sein. Bei einem Dreieck ist der Schwerpunkt die Mitte des Dreiecks. Im siebten Schritt ermitteln wir diesen Schwerpunkt, indem wir die Seitenhalbierenden des Dreiecks einzeichnen. Wenn wir den Fußpunkt der Höhe ermittelt haben, können wir in Schritt Nummer 8) die Höhe der Pyramide h abtragen. Die Höhe h steht dabei wieder senkrecht auf der Grundfläche. In Schritt Nummer 9) verbinden wir nun alle Punkte der Grundfläche mit der Höhe. Zum Schluss müssen wir in Schritt 10) nur noch alle überflüssigen Hilfslinien entfernen und die nicht sichtbaren Kanten gestrichelt zeichnen. Nun haben wir eine Pyramide mit dreieckiger Grundfläche konstruiert. Kommen wir nun zur Zusammenfassung: Das Zeichnen von Schrägbildern ist ein Verfahren in der darstellenden Geometrie, um dreidimensionale Objekte in einer Zeichenebene darzustellen. Es existierten zwei wichtige Parameter, die das Aussehen von Schrägbildern beeinflussen. Und zwar der „Verzerrwinkel α“ und der „Verzerrfaktor k“. Du weißt nun außerdem wie man eine gerade Pyramide konstruieren kann. Jetzt bist du dran. Versuche selber das Schrägbild einer geraden Pyramide zu zeichnen. Ich hoffe, das Video hat dir geholfen. Bis zum nächsten Mal.

6 Kommentare

6 Kommentare
  1. Hallo Joshua B.,
    eine gerade Pyramide hat die Eigenschaften, dass alle Seitenkanten der Mantelfläche gleich lang sind und die Spitze der Pyramide senkrecht über dem Mittelpunkt ihrer Grundfläche liegt. Die Bezeichnung "normale" Pyramide gibt es nicht, daher meinst du mit dieser vermutlich die gerade Pyramide.

    Liebe Grüße aus der Redaktion

    Von Cansu Ayguezel, vor mehr als einem Jahr
  2. ? Ist das nicht dasselbe?

    Von Joshua B., vor mehr als einem Jahr
  3. Aber was ist der Unterschied zwischen einer Geraden und einer Normalen Pyramide?

    Von Joshua B., vor mehr als einem Jahr
  4. Nur suuuuuuuuuuuuuuuuuper

    Von Joshua B., vor mehr als einem Jahr
  5. Jawolllllll

    Von Joshua B., vor mehr als einem Jahr
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Schrägbild einer geraden Pyramide in der schrägen Parallelprojektion Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Schrägbild einer geraden Pyramide in der schrägen Parallelprojektion kannst du es wiederholen und üben.
  • Ergänze die Erklärung zu Schrägbildern.

    Tipps

    Ziel der Anfertigung eines Schrägbildes ist, ein räumliches Gebilde zu zeichnen. Dies erfolgt auf einem Blatt Papier, also auf einer Ebene.

    Dies ist das Schrägbild eines Quaders. Auch wenn es in der Ebene angefertigt ist, ergibt sich ein räumlicher Effekt.

    Worauf musst du achten, wenn du ein Schrägbild anfertigst?

    Lösung

    Schrägbilder dienen dazu, räumliche Gegenstände in der Ebene, also auf ein Blatt Papier, zu zeichnen.

    Es handelt sich um ein Verfahren in der darstellenden Geometrie, um dreidimensionale räumliche Objekte in einer Zeichenebene darzustellen.

    Damit die Zeichnung einen $3$-D-Effekt besitzt, werden ein Verzerrwinkel und ein Verzerrfaktor verwendet:

    • der Verzerrwinkel $\alpha$ wird häufig $45^\circ$ gewählt,
    • der Verzerrfaktor $k$ ergibt sich wie folgt $\large{k=\frac{\alpha}{90^\circ}}$, also für obiges $\alpha$ ist $k=\frac12$.

  • Beschreibe, wie das Schrägbild einer geraden Pyramide mit rechteckiger Grundfläche gezeichnet werden kann.

    Tipps

    Führe jeden Schritt einzeln durch und fertige so ein Schrägbild einer Pyramide mit rechteckiger Grundfläche an.

    Zunächst wird die Grundfläche gezeichnet. Diese muss räumlich dargestellt werden.

    Es handelt sich um eine gerade Pyramide. Das bedeutet, dass die Spitze der Pyramide sich genau über der Mitte der Grundfläche befindet. Wie findest du diese Mitte?

    Lösung

    Wie wird das Schrägbild einer geraden Pyramide mit rechteckiger Grundfläche angefertigt?

    1. Zunächst wird die rechteckige Grundfläche mit einem Verzerrwinkel $\alpha$ und einem Verzerrfaktor, dieser ist in dem Bild nicht zu erkennen, räumlich dargestellt. Hierfür müssen verschiedene Schritte durchgeführt werden:

    • Die Grundseite des Rechtecks wird verlängert.
    • Der Verzerrwinkel wird an beiden unteren Punkten abgetragen und jeweils eine Hilfslinie gezeichnet.
    • Auf dieser Hilfslinie wird die verzerrte Höhe des Rechtecks abgetragen.
    • Die so erhaltenen Punkte werden mit den beiden unteren Punkten des Rechtecks verbunden.
    2. Fertig ist die räumliche Zeichnung der Grundfläche.

    3. Da es sich um eine gerade Pyramide handelt, befindet sich die Spitze genau senkrecht über der Mitte:

    • Die Mitte erhält man, indem man die beiden Diagonalen zeichnet. Der Schnittpunkt dieser Diagonalen ist die gesuchte Mitte.
    • Nun trägt man senkrecht zur Grundfläche die Höhe $h$ ab.
    4. Die Spitze der Pyramide wird mit allen Eckpunkten verbunden.

    5. Alle Hilfslinien werden entfernt.

    • Die sichtbaren Kanten werden nachgezeichnet und
    • die nicht sichtbaren Kanten werden gestrichelt gezeichnet.
    Fertig ist das Schrägbild, welches hier zu sehen ist.

  • Prüfe, ob ein Schrägbild einer geraden Pyramide vorliegt.

    Tipps

    Bei einer geraden Pyramide befindet sich die Spitze senkrecht über der Mitte der Grundfläche.

    Nicht jede Pyramide ist eine gerade Pyramide.

    Es ist auch ein Schrägbild dabei, welches keine Pyramide zeigt.

    Eine Pyramide hat eine Grundfläche und eine Spitze.

    Lösung

    Bei einer geraden Pyramide befindet sich die Spitze der Pyramide senkrecht über der Mitte der Grundfläche.

    Die Pyramide mit der dreieckigen Grundfläche ist gerade.

    Es gibt $2$ Pyramiden mit quadratischer und $2$ mit fünfeckiger Grundfläche. Davon ist jeweils eine gerade und eine schief. Die schiefen Pyramiden kann man daran erkennen, dass die Spitze sich nicht senkrecht über der Mitte der Grundfläche befindet.

    Unter den gegebenen Zeichnungen gibt es auch einen Körper mit $2$ parallelen Grundflächen, dies ist ein Zylinder.

  • Fasse zusammen, was bei der Anfertigung von Schrägbildern gerader Pyramiden durchgeführt werden muss.

    Tipps

    Dies ist das Schrägbild einer gerade Pyramide mit quadratischer Grundfläche.

    Wenn man die Grundfläche auf das Blatt Papier zeichnet, hat sie noch keinen räumlichen Effekt.

    Hier ist das Schrägbild einer geraden Pyramide mit sechseckiger Grundfläche zu sehen.

    Lösung

    Das Schrägbild einer geraden Pyramide kann zu beliebigen Grundflächen gezeichnet werden.

    Hier ist eine Pyramide mit fünfseitiger Grundfläche zu sehen.

    Die Grundfläche muss zunächst so gezeichnet werden, dass sie räumlich erscheint.

    Da die Spitze einer geraden Pyramide sich senkrecht zur Grundfläche über deren Mitte befindet, muss die Mitte bestimmt werden:

    • Dies geschieht bei gleichschenkligen Dreiecken über den Schnittpunkt der Seitenhalbierenden,
    • bei Rechtecken, und insbesondere bei Quadraten, über den Schnittpunkt der Diagonalen.
    • Bei regelmäßigen Fünfecken werden $2$ Punkte mit dem Mittelpunkt der gegenüberliegenden Seite verbunden. Der Mittelpunkt ist der Schnittpunk der so gegebenen Strecken.
    Die Spitze wird mit jedem Eckpunkt der Grundfläche, also $3$ bei einem Dreieck, $4$ bei einem Rechteck oder Quadrat, $5$ bei einem Fünfeck, ..., verbunden.

    Nach Entfernen der Hilfslinien können die sichtbaren Kanten nachgezeichnet und die nicht sichtbaren Kanten gestrichelt gezeichnet werden.

  • Gib den Schritt an, welcher bei der Zeichnung des Schrägbildes der geraden Dreieckspyramide nicht richtig ist.

    Tipps

    Bei einer geraden Pyramide befindet sich die Spitze der Pyramide senkrecht über dem Mittelpunkt der Grundfläche.

    Zunächst wird die Grundfläche räumlich gezeichnet, dann der Mittelpunkt der Grundfläche ermittelt.

    Die Höhe wird von dem Mittelpunkt ausgehend gezeichnet. So erhält man die Spitze der Pyramide.

    Wenn der eine Schritt ausgetauscht wird, findest du in den Bildern eine komplette Beschreibung des Vorgehens zur Erstellung eines Schrägbildes.

    Lösung

    Dies wäre das richtige Bild gewesen. In dem falschen Bild wird die Höhe nicht senkrecht zur Grundfläche gezeichnet.

    Da die Pyramide gerade ist, befindet sich die Spitze der Pyramide senkrecht über dem Mittelpunkt der Grundfläche.

    Wenn in der obigen Reihung der Bilder das falsche durch das richtige ersetzt wird, so erhält man die Beschreibung zur Anfertigung eines Schrägbildes einer geraden Dreieckspyramide.

  • Erkläre, wie das Schrägbild einer quadratischen Doppelpyramide gezeichnet werden kann.

    Tipps

    Du kannst dir diese Doppelpyramide so vorstellen: Die Ausgangspyramide wird komplett an der Grundfläche gespiegelt.

    Auch die „untere“ Pyramide ist eine gerade Pyramide mit quadratischer Grundfläche.

    Das Vorgehen ist ähnlich dem, welches du vom Zeichnen des Schrägbildes einer geraden Pyramide kennst.

    Lösung

    Ausgehend von der hier zu erkennenden geraden Pyramide mit quadratischer Grundfläche soll eine Doppelpyramide gezeichnet werden.

    Das Vorgehen entspricht Teilen des Vorgehens zum Erstellen eines Schrägbildes:

    1. Die Höhe ist das Lot der Spitze auf die Grundfläche. Das bedeutet, die Höhe steht senkrecht auf der Grundfläche.
    2. Diese Höhe wird auf die Seite der Grundfläche übertragen, welche der Spitze gegenüber liegt.
    3. Somit erhält man die gespiegelte Spitze.
    4. Nun geht es weiter wie bei dem Erstellen eines Schrägbildes: Diese gespiegelte Spitze wird mit jedem Eckpunkt der Grundfläche verbunden.
    5. Alle Hilfslinien werden entfernt und die nicht sichtbaren Kanten gestrichelt gezeichnet.

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