Schrägbild einer geraden Pyramide in der schrägen Parallelprojektion

Schrägbild einer geraden Pyramide in der schrägen Parallelprojektion Übung

• Ergänze die Erklärung zu Schrägbildern.

  Tipps

  Ziel der Anfertigung eines Schrägbildes ist, ein räumliches Gebilde zu zeichnen. Dies erfolgt auf einem Blatt Papier, also auf einer Ebene.

  Dies ist das Schrägbild eines Quaders. Auch wenn es in der Ebene angefertigt ist, ergibt sich ein räumlicher Effekt.

  Worauf musst du achten, wenn du ein Schrägbild anfertigst?

  Lösung

  Schrägbilder dienen dazu, räumliche Gegenstände in der Ebene, also auf ein Blatt Papier, zu zeichnen.

  Es handelt sich um ein Verfahren in der darstellenden Geometrie, um dreidimensionale räumliche Objekte in einer Zeichenebene darzustellen.

  Damit die Zeichnung einen $3$-D-Effekt besitzt, werden ein Verzerrwinkel und ein Verzerrfaktor verwendet:

  • der Verzerrwinkel $\alpha$ wird häufig $45^\circ$ gewählt,
  • der Verzerrfaktor $k$ ergibt sich wie folgt $\large{k=\frac{\alpha}{90^\circ}}$, also für obiges $\alpha$ ist $k=\frac12$.

• Beschreibe, wie das Schrägbild einer geraden Pyramide mit rechteckiger Grundfläche gezeichnet werden kann.

  Tipps

  Führe jeden Schritt einzeln durch und fertige so ein Schrägbild einer Pyramide mit rechteckiger Grundfläche an.

  Zunächst wird die Grundfläche gezeichnet. Diese muss räumlich dargestellt werden.

  Es handelt sich um eine gerade Pyramide. Das bedeutet, dass die Spitze der Pyramide sich genau über der Mitte der Grundfläche befindet. Wie findest du diese Mitte?

  Lösung

  Wie wird das Schrägbild einer geraden Pyramide mit rechteckiger Grundfläche angefertigt?

  1. Zunächst wird die rechteckige Grundfläche mit einem Verzerrwinkel $\alpha$ und einem Verzerrfaktor, dieser ist in dem Bild nicht zu erkennen, räumlich dargestellt. Hierfür müssen verschiedene Schritte durchgeführt werden:

  • Die Grundseite des Rechtecks wird verlängert.
  • Der Verzerrwinkel wird an beiden unteren Punkten abgetragen und jeweils eine Hilfslinie gezeichnet.
  • Auf dieser Hilfslinie wird die verzerrte Höhe des Rechtecks abgetragen.
  • Die so erhaltenen Punkte werden mit den beiden unteren Punkten des Rechtecks verbunden.

  2. Fertig ist die räumliche Zeichnung der Grundfläche.

  3. Da es sich um eine gerade Pyramide handelt, befindet sich die Spitze genau senkrecht über der Mitte:

  • Die Mitte erhält man, indem man die beiden Diagonalen zeichnet. Der Schnittpunkt dieser Diagonalen ist die gesuchte Mitte.
  • Nun trägt man senkrecht zur Grundfläche die Höhe $h$ ab.

  4. Die Spitze der Pyramide wird mit allen Eckpunkten verbunden.

  5. Alle Hilfslinien werden entfernt.

  • Die sichtbaren Kanten werden nachgezeichnet und
  • die nicht sichtbaren Kanten werden gestrichelt gezeichnet.

  Fertig ist das Schrägbild, welches hier zu sehen ist.

• Prüfe, ob ein Schrägbild einer geraden Pyramide vorliegt.

  Tipps

  Bei einer geraden Pyramide befindet sich die Spitze senkrecht über der Mitte der Grundfläche.

  Nicht jede Pyramide ist eine gerade Pyramide.

  Es ist auch ein Schrägbild dabei, welches keine Pyramide zeigt.

  Eine Pyramide hat eine Grundfläche und eine Spitze.

  Lösung

  Bei einer geraden Pyramide befindet sich die Spitze der Pyramide senkrecht über der Mitte der Grundfläche.

  Die Pyramide mit der dreieckigen Grundfläche ist gerade.

  Es gibt $2$ Pyramiden mit quadratischer und $2$ mit fünfeckiger Grundfläche. Davon ist jeweils eine gerade und eine schief. Die schiefen Pyramiden kann man daran erkennen, dass die Spitze sich nicht senkrecht über der Mitte der Grundfläche befindet.

  Unter den gegebenen Zeichnungen gibt es auch einen Körper mit $2$ parallelen Grundflächen, dies ist ein Zylinder.

• Fasse zusammen, was bei der Anfertigung von Schrägbildern gerader Pyramiden durchgeführt werden muss.

  Tipps

  Dies ist das Schrägbild einer gerade Pyramide mit quadratischer Grundfläche.

  Wenn man die Grundfläche auf das Blatt Papier zeichnet, hat sie noch keinen räumlichen Effekt.

  Hier ist das Schrägbild einer geraden Pyramide mit sechseckiger Grundfläche zu sehen.

  Lösung

  Das Schrägbild einer geraden Pyramide kann zu beliebigen Grundflächen gezeichnet werden.

  Hier ist eine Pyramide mit fünfseitiger Grundfläche zu sehen.

  Die Grundfläche muss zunächst so gezeichnet werden, dass sie räumlich erscheint.

  Da die Spitze einer geraden Pyramide sich senkrecht zur Grundfläche über deren Mitte befindet, muss die Mitte bestimmt werden:

  • Dies geschieht bei gleichschenkligen Dreiecken über den Schnittpunkt der Seitenhalbierenden,
  • bei Rechtecken, und insbesondere bei Quadraten, über den Schnittpunkt der Diagonalen.
  • Bei regelmäßigen Fünfecken werden $2$ Punkte mit dem Mittelpunkt der gegenüberliegenden Seite verbunden. Der Mittelpunkt ist der Schnittpunk der so gegebenen Strecken.

  Die Spitze wird mit jedem Eckpunkt der Grundfläche, also $3$ bei einem Dreieck, $4$ bei einem Rechteck oder Quadrat, $5$ bei einem Fünfeck, ..., verbunden.

  Nach Entfernen der Hilfslinien können die sichtbaren Kanten nachgezeichnet und die nicht sichtbaren Kanten gestrichelt gezeichnet werden.

• Gib den Schritt an, welcher bei der Zeichnung des Schrägbildes der geraden Dreieckspyramide nicht richtig ist.

  Tipps

  Bei einer geraden Pyramide befindet sich die Spitze der Pyramide senkrecht über dem Mittelpunkt der Grundfläche.

  Zunächst wird die Grundfläche räumlich gezeichnet, dann der Mittelpunkt der Grundfläche ermittelt.

  Die Höhe wird von dem Mittelpunkt ausgehend gezeichnet. So erhält man die Spitze der Pyramide.

  Wenn der eine Schritt ausgetauscht wird, findest du in den Bildern eine komplette Beschreibung des Vorgehens zur Erstellung eines Schrägbildes.

  Lösung

  Dies wäre das richtige Bild gewesen. In dem falschen Bild wird die Höhe nicht senkrecht zur Grundfläche gezeichnet.

  Da die Pyramide gerade ist, befindet sich die Spitze der Pyramide senkrecht über dem Mittelpunkt der Grundfläche.

  Wenn in der obigen Reihung der Bilder das falsche durch das richtige ersetzt wird, so erhält man die Beschreibung zur Anfertigung eines Schrägbildes einer geraden Dreieckspyramide.

• Erkläre, wie das Schrägbild einer quadratischen Doppelpyramide gezeichnet werden kann.

  Tipps

  Du kannst dir diese Doppelpyramide so vorstellen: Die Ausgangspyramide wird komplett an der Grundfläche gespiegelt.

  Auch die „untere“ Pyramide ist eine gerade Pyramide mit quadratischer Grundfläche.

  Das Vorgehen ist ähnlich dem, welches du vom Zeichnen des Schrägbildes einer geraden Pyramide kennst.

  Lösung

  Ausgehend von der hier zu erkennenden geraden Pyramide mit quadratischer Grundfläche soll eine Doppelpyramide gezeichnet werden.

  Das Vorgehen entspricht Teilen des Vorgehens zum Erstellen eines Schrägbildes:

  1. Die Höhe ist das Lot der Spitze auf die Grundfläche. Das bedeutet, die Höhe steht senkrecht auf der Grundfläche.
  2. Diese Höhe wird auf die Seite der Grundfläche übertragen, welche der Spitze gegenüber liegt.
  3. Somit erhält man die gespiegelte Spitze.
  4. Nun geht es weiter wie bei dem Erstellen eines Schrägbildes: Diese gespiegelte Spitze wird mit jedem Eckpunkt der Grundfläche verbunden.
  5. Alle Hilfslinien werden entfernt und die nicht sichtbaren Kanten gestrichelt gezeichnet.