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Schnittpunkt Gerade-Ebene

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Martin Wabnik
Schnittpunkt Gerade-Ebene
lernst du in der 11. Klasse - 12. Klasse - 13. Klasse

Beschreibung Schnittpunkt Gerade-Ebene

In einem Würfel befindet sich ein Dreieck, das durch die Punkte M1 (2| 0| 2), M2 (0| 2| 2) und E (0| 0| 4) definiert wird. Durch diese drei Punkte wird gleichzeitig eine Ebene aufgespannt. In dieser Aufgabe geht es nun darum, den Schnittpunkt oder Durchtrittspunkt einer Geraden und einer Ebene zu berechnen. Hierzu konstruieren wir eine Gerade, die durch die Punkte A (0| 0| 0) und G (4| 4| 4) geht. Es handelt sich um die Raumdiagonale des Würfels. Nun wollen wir berechnen, wo diese Gerade die Ebene aufgespannt durch das Dreieck trifft.

Transkript Schnittpunkt Gerade-Ebene

Hallo! Wir haben hier einen Würfel mit eingehängtem Dreieck und hier sind die Daten dazu. Das habe ich schon mal erläutert, das mache ich jetzt nicht noch mal. Hier ist das lustige Modell dazu. Und jetzt geht es darum, den Schnitt einer Geraden und einer Ebene zu berechnen, bzw. den Durchstoßpunkt der Geraden durch diese Ebene zu bestimmen. Und da habe ich mir Folgendes ausgedacht: Es soll also hier um die Dreiecksebene gehen, die sich da hier so in diesem Würfel befindet. Natürlich auch außerhalb davon. Sie verläuft ja hier so entlang. Und die Raumdiagonale, die hier vom Punkt A, da steht A, zum Punkt G führt. Das ist in diesem Fall sehr schnell und sehr einfach zu machen, weil die Daten, die Zahlen, die wir hier benutzen, alle sehr einfach sind. Normalerweise macht man das folgendermaßen: Man hat hier also eine Geradengleichung mit Stützvektor und Richtungsvektor, der Stützvektor heißt hier (r1 r2 r3), der Richtungsvektor (s1 s2 s3). Was hab ich denn da gemacht, eigentlich? Der Richtungsvektor soll eigentlich r heißen und der Stützvektor soll s heißen. Hier heißen sie jetzt umgekehrt. Keine Ahnung, was mich da geritten hat. Macht aber nichts. Jetzt heißen sie halt so. Wir haben eine Ebene in Koordinatenform, da steht also a×x1+b×x2+c×x3=d. Dann, wenn man also diese Situation hier allgemein gegeben hat, müsste man also koordinatenweise die Angaben hier aus der Geradengleichung, also die 1. Koordinate hat ja die Form r1+λ×s1, hier in diese Koordinatenform einsetzen, und zwar für x1, das habe ich hier gemacht. Dann steht dann also da, a×(r1+λ×s1), dann, die 2. Koordinate setzt man dann hier für x2 ein, das heißt also b×(r2+λ×s2). Für die 3. Koordinate natürlich das Gleiche, das soll dann gleich d sein. Hier bekommt man dann eine Gleichung, in der nur noch das λ unbekannt ist, und die löst man dann nach λ auf und kann dann dieses λ hier in diese Geradengleichung einsetzen und einen bestimmten Punkt herausbekommen. Das ist der Durchstoßpunkt. Bei uns, in unserer Situation, ist das aber alles viel, viel einfacher. Das erledigt sich quasi durch Hinkucken. Und zwar haben wir die Ebene in Koordinatenform, die Dreiecksebene, das haben wir schon an anderer Stelle bestimmt. Die lautet x, ja, ich halte mich jetzt hier mal an x ,y ,z und nicht an x1, x2, x3, wie man es nennt, ist ja eigentlich egal. Also, x+y+z=4. Das ist die Koordinatenform der Ebene, in der dieses Dreieck liegt. Als Gleichung für diese Raumdiagonale haben wir Folgendes: Das ist die Gerade g, um die es jetzt geht, die besteht aus einem Vektoren x^-> für die gilt: Stützvektor brauchen wir hier. Der ist, ich kann auch (4 4 4) nehmen, hier, nehme aber (0 0 0), dann kann ich ihn gleich weglassen. Also, (0 0 0) wird weggelassen, +λ×, ja, und was ist der Richtungsvektor? Ich gehe einfach 4 nach Vorne, 4 zur Seite, 4 nach Oben. Also, (4 4 4) könnte ein Richtungsvektor sein. Da der Richtungsvektor (1 1 1) die gleiche Richtung hat, nehme ich einfach den. Und dann muss ich jetzt nur noch für x, y und z diese 3 Koordinaten einsetzen. Die heißen jetzt alle λ. λ×1, λ×1, λ×1. Das bedeutet, wenn ich das jetzt hier einsetze, in diese Ebenengleichung, erhalte ich λ+λ+λ=4, woraus natürlich folgt, dass λ=4/3 ist. Ich hoffe, das muss ich nicht weiter erklären. Das siehst du auch so. λ=4/3 setzte ich jetzt hier ein und kriege den Durchstoßpunkt, der heißt dann also xd für Durchstoßpunkt, Schnittpunkt, sag ich einfach mal, also xs hat dann die Koordinaten, wenn ich hier für λ also 4/3 einsetze, (4/3 4/3 4/3). Das ist der Punkt. Man hätte es auch noch schneller machen können, eigentlich. Ich habe auch viel geredet dabei. Aber hier war wirklich nicht viel zu tun. So etwas kommt auch im Abitur vor. Ist dann immer so ein Geschenk für ein paar Punkte nebenbei. Viel Spaß damit. Tschüss!

4 Kommentare

4 Kommentare
  1. @Eugenia P.: Das ist womöglich ein technisches Problem. Bitte logge dich bei sofatutor aus und schließe deinen Browser (Firefox, Safari, Internet Explorer ...). Stelle sicher, dass alle Fenster deines Browser auch wirklich geschlossen sind. Öffne ihn dann erneut und logge dich wieder bei sofatutor ein und versuche es erneut.
    Wenn du weiterhin technische Probleme beim Abspielen der Videos haben solltest, kannst du dich gerne an unseren support unter support@sofatutor.com wenden. Sie werden dir dann weiterhelfen.

    Von Martin B., vor fast 5 Jahren
  2. Gibt es noch alternative Videos zu Schnittpunkten bei Gerade und Ebene?

    Von Eugenia P., vor fast 5 Jahren
  3. Das Video spielt bei mir nicht ab ...

    Von Eugenia P., vor fast 5 Jahren
  4. Bei 2:41 sagten Sie, dass in der Gleichung Lamda die einzige Unbekannte ist und wir dementsprechen nach Lamda auflösen können. Welche Werte werden für a, b, c eingesetzt?

    Von Jess2empress, vor fast 10 Jahren

Schnittpunkt Gerade-Ebene Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Schnittpunkt Gerade-Ebene kannst du es wiederholen und üben.
  • Beschreibe, wie der Schnittpunkt einer Geraden mit einer Ebene bestimmt wird.

    Tipps

    Die Koordinatenform einer Ebene heißt so, weil man durch Einsetzen eines Punktes $P$ sofort feststellen kann, ob dieser auf der Ebene liegt:

    • Ist die Gleichung erfüllt, dann liegt der Punkt auf der Ebene,
    • ansonsten liegt er nicht auf der Ebene.

    Zu jedem Punkt auf der Geraden $g$ gibt es ein zugehöriges $\lambda$.

    Lösung

    Wenn eine Gerade in Parameterform gegeben ist und eine Ebene in Koordinatenform, dann

    • schreibt man die jeweilige $x_1$-, $x_2$- und $x_3$-Koordinate eines Punktes der Geraden auf: $x_1=r_1+\lambda s_1$, $x_2=r_2+\lambda s_2$ sowie $x_3=r_3+\lambda s_3$ und
    • setzt diese Koordinate an der entsprechenden Stelle in die Koordinatenform der Ebene ein.
    Man erhält dann eine Gleichung, in welcher nur noch das $\lambda$ unbekannt ist. Man löst diese Gleichung dann nach diesem $\lambda$ auf. Das so erhaltene $\lambda$ setzt man in die Geradengleichung ein und erhält (falls vorhanden) den Schnittpunkt der Geraden mit der Ebene. Genauer: Man erhält den Ortsvektor des Schnittpunktes.

  • Berechne den Schnittpunkt der Geraden $g$ mit der Ebene $E$.

    Tipps

    Zu jedem Punkt auf der Geraden $g$ gibt es ein $\lambda$. Schreibe also allgemein die Koordinaten eines Punktes von $g$ auf.

    Wenn du überprüfen möchtest, ob ein Punkt auf einer Ebene liegt, setzt du die Koordinaten des Punktes entsprechend in die Koordinatenform der Ebene ein.

    Du erhältst eine Gleichung mit einer Unbekannten. Diese ist $\lambda$.

    Lösung

    Gesucht ist der Schnittpunkt dieser Geraden $g$ mit der Ebene $E$, welche in Koordinatenform gegeben ist:

    $E=x+y+z=4$.

    Zunächst schreibt man die einzelnen Koordinaten eines beliebigen Punktes der Geraden auf. Hierfür multipliziert man $\lambda$ mit der jeweiligen Koordinate des Vektors $\begin{pmatrix} 1 \\ 1\\ 1 \end{pmatrix}$ und erhält $x=y=z=\lambda$.

    Diese Koordinaten können nun in die Koordinatenform eingesetzt werden. Dies führt zu der Gleichung

    $\lambda+\lambda+\lambda=4$, also $3\lambda=4$.

    Division durch $3$ führt zu $\lambda=\frac43$. Dieses $\lambda$ wird in die Geradengleichung eingesetzt und man erhält den Ortsvektor des Schnittpunktes

    $\vec{x_S}=\begin{pmatrix} \frac43 \\ \frac43\\ \frac43 \end{pmatrix}$.

  • Stelle die Gleichung zur Berechnung des Schnittpunktes von Gerade $g$ mit Ebene $E$ auf.

    Tipps

    Multipliziere den Richtungsvektor mit $\lambda$ und addiere dieses Produkt zu dem Stützvektor.

    Die einzelnen Koordinaten dieses Vektors sind die gesuchten Koordinaten für $x$, $y$ und $z$.

    Hier siehst du ein Beispiel für die Darstellung von Koordinaten von Geradenpunkten.

    Setze zuletzt die Koordinaten in die Koordinatenform ein. Durch Ausmultiplizieren und Umformen erhältst du die gesuchte Gleichung.

    Lösung

    Zunächst kann man die Koordinaten eines beliebigen Punktes dieser Geraden angeben. Hierfür multipliziert man $\lambda$ mit dem Richtungsvektor und addiert dann diesen Vektor und den Stützvektor. In unserem Fall erhält man

    • $x=3+2\lambda$
    • $y=-1+2\lambda$
    • $z=1-\lambda$
    Diese Koordinaten kann man in die Koordinatenform der Ebene

    $E:-2x+y-z=-11$

    einsetzen und gelangt dann zu der Gleichung

    $-2(3+2\lambda)+(-1)+2\lambda -(1-\lambda)=-11$.

    Diese kann durch Ausklammern und Zusammenfassen noch vereinfacht werden zu

    $-8-\lambda=-11$.

  • Ermittle die Koordinaten des Schnittpunktes.

    Tipps

    Forme die obige Gleichung nach $\lambda$ um.

    Setze das so erhaltene $\lambda$ wieder in die Geradengleichung ein.

    Wenn du das richtige $\lambda$ in die Geradengleichung einsetzt, erhältst du einen festen Vektor. Dessen Koordinaten sind die gesuchten Koordinaten.

    Lösung

    Wenn du die Koordinaten des allgemeinen Punktes der Geraden in die Koordinatenform der Ebene einsetzt, erhalten wir

    $-8-\lambda=-11$.

    Wenn man auf beiden Seiten dieser Gleichung $8$ addiert und die so erhaltene Gleichung mit $-1$ multipliziert, erhält man $\lambda=3$.

    Dieser Wert kann nun in der Geradengleichung eingesetzt werden:

    $\vec {x_S}=\begin{pmatrix} 3 \\ -1\\ 1 \end{pmatrix}+3\cdot\begin{pmatrix} 2 \\ 2\\ -1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 3 \\ -1\\ 1 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 6 \\ 6\\ -3 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 9 \\ 5\\ -2 \end{pmatrix}$.

    Dies sind die gesuchten Koordinaten des Schnittpunktes: $x=9$, $y=5$ und $z=-2$.

  • Gib die Koordinaten eines beliebigen Punktes der Geraden $g$ an.

    Tipps

    Man multipliziert einen Vektor mit einer Zahl, indem man jede Koordinate des Vektors mit der Zahl multipliziert.

    Hier siehst du ein Beispiel für das Multiplizieren eines Vektors mit einer Zahl.

    Lösung

    Die obige Geradengleichung besagt, dass jeder Punkt der Geraden ein Vielfaches des Vektors $\begin{pmatrix} 1 \\ 1\\ 1 \end{pmatrix}$ ist.

    Also gilt

    $x=y=z=\lambda\cdot 1=\lambda$.

  • Prüfe die Lage der Geraden zu der Ebene.

    Tipps

    Überlege dir zunächst, welche möglichen Lagen eine Gerade und eine Ebene zueinander haben können:

    • Sie schneiden sich in einem Punkt oder
    • sie sind parallel zueinander oder
    • die Gerade liegt in der Ebene (dies ist ein Spezialfall der Parallelität).

    Wenn du die Gerade koordinatenweise aufschreibst, erhältst du

    • $x=1-2\lambda$
    • $y=-1+\lambda$
    • $z=4+3\lambda$
    Wenn du diese Koordinaten in die jeweilige Koordinatenform einsetzt, erhältst du eine Gleichung mit einer Unbekannten $\lambda$.

    Je nach Lösbarkeit der Gleichung kannst du eine der oben genannten Lagen zueinander schlussfolgern:

    • Die Gleichung ist lösbar mit einem Wert für $\lambda$, genau dann wenn sich die Gerade und die Ebene schneiden.
    • Du erhältst eine Gleichung, die immer gilt (beispielsweise$2=2$). Dann liegt die Gerade in der Ebene.
    • Du erhältst einen Widerspruch (beispielsweise $2=3$), dann ist die Gerade parallel zu der Ebene.

    Lösung

    Zunächst werden die Punkte der Geraden wieder koordinatenweise aufgeschrieben:

    • $x=1-2\lambda$
    • $y=-1+\lambda$
    • $z=4+3\lambda$
    Diese Koordinaten werden jeweils in die Koordinatenform der Ebenen eingesetzt. Mal schauen, was dann passiert.

    Untersuchen wir zunächst die Ebene $E$:

    $3(1-2\lambda)+3(-1+\lambda)+4+3\lambda=4$.

    Nun werden die Klammern aufgelöst und der Term auf der linken Seite der Gleichung vereinfacht:

    $3-6\lambda-3+3\lambda+4+3\lambda=4$,

    auf der linken Seite erhält man ebenfalls $4$ und somit die Gleichung $4=4$, welche immer gilt. Was bedeutet dies? Die Gleichung, welche man durch Einsetzen der Koordinaten in die Koordinatenform erhält, besitzt unendlich viele Lösungen. Die Gerade und die Ebene haben also unendlich viele Punkte gemeinsam. Das bedeutet, dass die Gerade $g$ in der Ebene $E$ liegt.

    Schauen wir uns die Ebene $F$ an:

    Die linke Seite der Gleichung sieht ebenso aus wie bei der Ebene $E$:

    $3(1-2\lambda)+3(-1+\lambda)+4+3\lambda=5$.

    Man erhält natürlich wieder $4$ auf der linken Seite und somit die Gleichung $4=5$, welche nie gilt. Was bedeutet dies nun? Die Gleichung, welche man durch Einsetzen der Koordinaten in die Koordinatenform erhält, besitzt keine Lösungen. Das heißt, dass die Gerade $g$ und die Ebene $F$ keine gemeinsamen Punkte besitzen, was wiederum besagt, dass die Gerade $g$ und die Ebene $F$ parallel zueinander sind.

    Zuletzt betrachten wir die Ebene $H$:

    $2(1-2\lambda)+2(-1+\lambda)+4+3\lambda=5$.

    Wieder werden die Klammern aufgelöst und der Term auf der linken Seite der Gleichung vereinfacht:

    $4+\lambda=5$,

    was äquivalent ist zu $\lambda=1$. Wenn man dieses $\lambda$ in die Geradengleichung einsetzt, erhält man den Schnittpunkt $S(-1|0|7)$.

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