Schar von Winkelfunktionen: f(x)=A·sin(B·x+C)

Hallo, schön, dass ihr wieder dabei seid, in diesem Video gehts um die Sinusfunktion mit Parametern. Das heißt, wir schauen uns eine Kurvenschar an und die heißt dann f(x)=a×sin(b×X+c) und wir wollen uns anschauen was die verschiedenen Parameter bedeuten und als erstes wollen wir uns noch mal dran erinnern, wie denn eigentlich die Funktion f(x)=sin x aussieht. Der Graph geht erst durch den Ursprung, dann bei Pi-halbe durch 1, bei Pi geht er wieder durch 0, bei 3-halbe-Pi durch -1 und bei 2 Pi wieder durch 0. Und die Funktion ist periodisch, mit der Periode  2 Pi. Als erstes schauen wir uns mal alleine den Parameter c an, der wird innerhalb des Sinus zum X dazu addiert. Und als Beispiel nehmen wir da mal f(x)= sin von x + Pi÷2. Wenn ich für X -Pi÷2 einsetze, kommt im Sinus Term 0 raus, und Sinus 0 ist 0. Also ist der Funktionswert 0. Wenn ich für X 0 einsetze, kommt im Sinus Pi÷2 raus und da ist der Funktionswert 1. Setz ich Pi÷2 ein, kommt Pi raus, da ist der Funktionswert wieder 0. Setz ich Pi ein, kommt im Sinus 3÷2 Pi raus, also der Funktionswert -1, und wenn ich 3÷2 Pi einsetze, kommt im Sinus Term 2 Pi raus, also der Funktionswert 0. Und wenn ich die Kurve jetzt zeichne, dann sehe ich, dass das die normale Sinus Kurve ist, aber um Pi÷2 nach links verschoben. Der Parameter c bewirkt also eine Verschiebung um c nach links auf der X-Achse. Hier also um Pi÷2. Als nächstes schauen wir uns den Parameter b an, der steht auch innerhalb der Sinus Funktion, als Faktor vor dem X, und als Beispiel nehmen wir da 1÷2. Setzen wir für X 0 ein, kommt im Sinus 0 raus, also ist der funktionswert auch 0, setzen wir Pi ein, entsteht der Term Sinus Pi 1÷2, und das ist 1, setzen wir Pi 1÷2 ein, entsteht der Term Sinus Pi 1÷4, da können wir also den Funktionswert von Pi 1÷4 an die Stelle Pi 1÷2 übernehmen, setzen wir 3 Pi÷2 ein, entsteht 3 Pi 1÷4, da nehmen wir also den Funktionswert von 3 Pi 1÷4 an die Stelle 3 Pi÷2 und setzen wir 2 Pi ein entsteht Sinus Pi, also 0. Im negativen X-Bereich macht man dann das Gleiche, und so entsteht eine gestreckte Sinuskurve. Der Funktionswert, der ursprünglich an der Stelle Pi 1÷4 war, ist jetzt an der Stelle Pi 1÷2, und der, der an der Stelle wir Pi 1÷2 war, ist jetzt an der Stelle Pi. Und der Funktionswert, der ursprünglich bei Pi war, ist jetzt bei 2Pi. Der Parameter b bewirkt also eine Streckung in X Richtung. Und hier haben wir für B = 1÷2 eine Streckung mit dem Faktor 2 erhalten. Der  Streckungsfaktor ist also der Kehrwert des Parameters B. Ok, und bevor wir jetzt mit dem Parameter A weitermachen, möchte ich noch was zu dem Fall sagen, wo die Parameter B und C gleichzeitig auftreten, da muss man nämlich den Parameter B ausklammern, um die Wirkung der einzelnen Parameter richtig zu interpretieren. Da schreibt man also Sinus von B = (X+C÷B). Und dann kann man die Parameter also so interpretieren wie eben, das heißt, wir haben eine Streckung mit dem Faktor 1 durch b in X Richtung, und danach wird diese Kurve um -C÷B auf der X-Achse verschoben. Wenn wir jetzt zum Beispiel mal Sinus von 1÷2(X+Pi) nehmen, dann wird die normale Sinuskurve erst mal mit dem Faktor 2 gestreckt, und dann noch um den Wert Pi nach links verschoben. Der Graph sieht dann also so aus. So jetzt schauen wir uns noch den Parameter A an, also f(x)=a×sin x. Wir nehmen mal für A den Wert 2, wenn wir dann 0 einsetzen für X haben wir 2×sin 0, also 2×0 das ist 0. Wenn wir Pi÷2 einsetzen, dann haben wir Sin Pi÷2 ist 1, und 2×1 ist 2, setzen wir Pi ein, haben wir Sin Pi ist 0, 2×0 ist wieder 0, wenn wir 3÷2 Pi einsetzen kommen wir auf 2×-1 das ist dann -2 und bei 2×sin2Pi erhalten wir wieder 0. Also eigentlich wird hier jeder Funktionswert nur verdoppelt. Und allgemein haben wir mit dem A eine Streckung in Y Richtung mit dem Faktor A. Der Wert A wird auch maximaler Ausschlag oder maximale Amplitude genannt. So und jetzt versuchen wir noch mal den Graphen einer Beispiel Funktion zu zeichnen, bei der alle 3 Parameter vorkommen, nämlich 3÷2 × Sin von 2 X - Pi÷2. Da klammern wir erst mal in dem Sinusterm den Faktor, der vor dem X steht, aus. Das ist dann also 2×X-Pi÷4. Und dann haben wir als erstes wegen dem 2 vor dem X eine Streckung mit dem Faktor 1÷2. Das heißt, jeder Funktionswert taucht schon an der X Stelle auf, die nur halb so groß ist wie der eigentliche X Wert. Dann haben wir wegen - Pi ÷4 in der Klammer eine Verschiebung um Pi ÷4 nach rechts, das heißt, jeder Punkt wird wieder um Pi ÷4 nach rechts verschoben, da ergibt sich dann die grüne Kurve und dann haben wir noch wegen dem Faktor vor dem Sinus eine Streckung mit 3÷2 in Y-Richtung. Das heißt jeder Y-Wert wird 1,5 Mal so groß gemacht, wie er eigentlich ist. Und jetzt vervollständigen wir den Graphen. Jetzt habe ich noch einen Hinweis, falls der Streckfaktor A negativ ist, dann muss man, nachdem man mit dem positiven Faktor gestreckt hat, den ganzen Graphen noch an der X-Achse spiegeln. Also bei A = - 3÷2 wäre das hier die gestrichelte blaue Linie. In der Physik findet man solche Funktionen häufig, die sehen dann aber ein bisschen anders aus. Die heißen dann meistens y von t, t ist dann meistens die Zeit als Variable, ist gleich y0 × Sinus von Omega T + Phi. Dabei ist dann y0 die maximale Amplitude, das kennen wir schon, Omega ist die Kreisfrequenz, und Phi ist der Phasenwinkel einer Schwingung. So eine Schwingung könnte zum Beispiel eine Wechselspannung sein. So das war´s, und am besten übt ihr das gleich noch mal ein bisschen, denkt euch einfach ein paar Beispiele aus und versucht die Graphen zu zeichnen und dann könnt ihr ja im Taschenrechner zum Beispiel nachgucken, ob ihr die Kurve richtig gezeichnet habt. Ok das war´s.