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Quadratische Funktionen y = ax² + c

Die Normalparabel ist die einfachste Form einer quadratischen Funktion mit der Gleichung $f(x) = x^{2}$ und dem Scheitelpunkt $S(0 \vert 0)$. Finde heraus, wie die Parameter $a$ und $c$ den Graphen der Funktion $f(x) = a\,x^{2} + c$ beeinflussen. Interessiert? Dann lies den folgenden Text!

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Team Digital
Quadratische Funktionen y = ax² + c
lernst du in der 8. Klasse - 9. Klasse - 10. Klasse

Quadratische Funktionen y = ax² + c Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Quadratische Funktionen y = ax² + c kannst du es wiederholen und üben.
  • Beschreibe den Einfluss der Parameter $a$ und $c$ auf den Funktionsgraphen der Parabel.

    Tipps

    Hier siehst du die Auswirkung des Parameters $c$ auf die Parabel.

    Wenn $a$ negativ ist, ist die Parabel nach unten geöffnet.

    Lösung

    Die Normalparabel mit der Funktionsgleichung $f(x)=x^2$ ist die einfachste quadratische Funktion. Aus ihr gehen alle anderen Parabeln durch Verschiebung, Streckung oder Stauchung hervor.

    Wir betrachten die allgemeine quadratische Funktion:

    $f(x)=ax^2+c$

    Sie enthält die beiden Parameter $a$ und $c$, die sich folgendermaßen auf den Verlauf des Funktionsgraphen auswirken:

    Der Parameter $a$:
    Der Parameter $a$ gibt an, ob die Parabel nach oben oder nach unten geöffnet ist. Es gilt:

    • Wenn $a$ negativ ist, ist die Parabel nach unten geöffnet. Beispiel: $f(x)=-2x^2+4$
    • 'Wenn $a$ positiv ist, dann ist die Parabel nach oben geöffnet.' Diese Aussage ist also richtig. Beispiel: $f(x)=2x^2+4$
    Der Parameter $a$ gibt außerdem an, ob die Parabel gestreckt oder gestaucht ist. Es gilt:

    • Wenn $\vert a \vert <1$ ist, dann ist die Parabel gestaucht. Beispiel: $f(x)=0,5x^2+4$
    • Wenn $\vert a \vert>1$ ist, dann ist die Parabel gestreckt. Beispiel: $f(x)=2x^2+4$
    Die Aussage 'Wenn $\vert a \vert <1$ ist, dann ist die Parabel gestreckt.' ist daher falsch.

    Der Parameter $c$:
    Der Parameter $c$ gibt an, ob die Parabel nach oben oder nach unten verschoben ist.
    Die Aussage 'Wenn $\vert c \vert>1$ ist, dann ist die Parabel nach rechts verschoben.' ist also falsch.
    Es gilt:

    • 'Wenn $c<0$ ist, dann ist die Parabel nach unten verschoben.' Diese Aussage ist richtig. Beispiel: $f(x)=2x^2-5$
    • Wenn $c>0$ ist, dann ist die Parabel nach oben verschoben. Beispiel: $f(x)=2x^2+5$
    Da der Scheitelpunkt bei einer Verschiebung nach oben oder unten immer auf der $y$-Achse liegt, gilt: 'Der Scheitelpunkt lautet $S(0 \vert c)$.'. Diese Aussage ist richtig.

    Da die Parabel nur nach oben oder unten verschoben wird, ist sie immer symmetrisch zur $y$-Achse. Die Aussage 'Die Parabel ist immer symmetrisch zur $x$-Achse.' ist falsch.

  • Gib an, wie der Graph der quadratischen Funktion verläuft.

    Tipps

    Die Gleichung der Parabel hat die Form $f(x)=ax^2+c$.
    Lies zunächst die Werte von $a$ und $c$ ab und überlege, wie sie sich auf den Graphen auswirken.

    Es gilt:

    Wenn $|a|<1$, so ist die Parabel gestaucht.
    Wenn $|a|>1$, so ist die Parabel gestreckt.

    Wenn $c>0$, so ist die Parabel nach oben verschoben.
    Wenn $c<0$, so ist die Parabel nach unten verschoben.

    Lösung

    Die Normalparabel mit der Funktionsgleichung $f(x)=x^2$ ist die einfachste quadratische Funktion. Aus ihr gehen alle anderen Parabeln durch Verschiebung, Streckung oder Stauchung hervor.

    Für die allgemeine quadratische Funktion $f(x)=ax^2+c$ gilt:

    • Wenn $a$ negativ ist, ist die Parabel nach unten geöffnet.
    • Wenn $a$ positiv ist, ist die Parabel nach oben geöffnet.
    • Wenn $|a|<1$ ist, dann ist die Parabel gestaucht.
    • Wenn $|a|>1$ ist, dann ist die Parabel gestreckt.
    • Wenn $c<0$ ist, dann ist die Parabel um $|c|$ nach unten verschoben.
    • Wenn $c>0$ ist, dann ist die Parabel um $|c|$ nach oben verschoben.
    Wir betrachten die gegebene Funktion:

    $f(x)=-1,5x^2+4$

    Hierbei ist $a=-1,5$ und $c=4$. Wir stellen also fest:

    $a$ ist negativ. $\quad \quad \Rightarrow \quad$ Die Parabel ist nach unten geöffnet.
    $|a|= 1,5 >1$ $\quad \Rightarrow \quad$ Der Graph ist gestreckt.
    $c = 4 >0$ $\quad \quad \Rightarrow \quad$ Der Scheitelpunkt ist um $4$ Einheiten nach oben verschoben.

  • Bestimme den Verlauf der Parabeln.

    Tipps

    $f(x)=ax^2+c$

    Bei dem orangen Graphen ist $|a| < 1$.

    Bei dem rosa Graphen ist $a=1$.

    Bei dem violetten Graphen ist $|a| >1$.

    Steht vor dem $x^2$ eine negative Zahl, so ist die Parabel nach unten geöffnet.

    Beispiel: $f(x)=-3x^2+1$

    Die Parabel ist nach unten geöffnet, gestreckt und nach oben verschoben.

    Lösung

    Allgemein gilt für den Graphen einer quadratische Funktion der Form $f(x)=ax^2+c$:

    • Wenn $a$ negativ ist, ist die Parabel nach unten geöffnet.
    • Wenn $a$ positiv ist, ist die Parabel nach oben geöffnet.
    • Wenn $|a|<1$ ist, dann ist die Parabel gestaucht.
    • Wenn $|a|>1$ ist, dann ist die Parabel gestreckt.
    • Wenn $c<0$ ist, dann ist die Parabel um $|c|$ nach unten verschoben.
    • Wenn $c>0$ ist, dann ist die Parabel um $|c|$ nach oben verschoben.
    Wir betrachten nun die einzelnen Funktionsgleichungen:

    Beispiel 1:
    $f(x)=-x^2+2$
    Es gilt: $a=-1$ und $c=2$

    • $a$ ist negativ $\quad \Rightarrow \quad$ Die Parabel ist nach unten geöffnet.
    • $|a|=1$ $\quad \Rightarrow \quad$ Die Parabel ist weder gestreckt noch gestaucht.
    • $c>0$ $\quad \Rightarrow \quad$ Die Parabel ist nach oben verschoben.
    Beispiel 2:
    $f(x)=-0,3x^2-1$
    Es gilt: $a=-0,3$ und $c=-1$

    • $a$ ist negativ $\quad \Rightarrow \quad$ Die Parabel ist nach unten geöffnet.
    • $|a|<1$ $\quad \Rightarrow \quad$ Die Parabel ist gestaucht.
    • $c<0$ $\quad \Rightarrow \quad$ Die Parabel ist nach unten verschoben.
    Beispiel 3:
    $f(x)=\frac{5}{3}x^2+0,2$
    Es gilt: $a=\frac{5}{3}$ und $c=0,2$

    • $a$ ist positiv $\quad \Rightarrow \quad$ Die Parabel ist nach oben geöffnet.
    • $|a|>1$ $\quad \Rightarrow \quad$ Die Parabel ist gestreckt.
    • $c>0$ $\quad \Rightarrow \quad$ Die Parabel ist nach oben verschoben.
    Beispiel 4:
    $f(x)=-3x^2-11$
    Es gilt: $a=-3$ und $c=-11$

    • $a$ ist negativ $\quad \Rightarrow \quad$ Die Parabel ist nach unten geöffnet.
    • $|a|>1$ $\quad \Rightarrow \quad$ Die Parabel ist gestreckt.
    • $c<0$ $\quad \Rightarrow \quad$ Die Parabel ist nach unten verschoben.
  • Stelle einen passenden Funktionsterm auf.

    Tipps

    Die allgemeine Funktionsgleichung lautet $f(x)=ax^2+c$.

    Die Parameter $a$ und $c$ müssen passend gewählt werden.

    Eine mögliche Funktionsgleichung wäre:

    $f(x)=-3,3x^2+0,2$

    Lösung

    Wir sollen den Term einer quadratischen Funktion der Form $f(x)=ax^2+c$ aufstellen, deren Graph die folgenden Eigenschaften hat:

    Die Parabel ist nach unten geöffnet, gestreckt und nach oben verschoben.

    Daraus resultieren folgende Bedingungen für die Parameter $a$ und $c$:

    • nach unten geöffnet: $\quad \Rightarrow \quad$ $a \lt 0$
    • gestreckt: $\quad \Rightarrow \quad$ $|a|>1$
    • nach oben verschoben: $\quad \Rightarrow \quad$ $c>0$
    Wir vergleichen mit den gegebenen Funktionsgleichungen:

    • $f(x)=-3x^2+4$ mit $a=-3$ und $c=4$ erfüllt die Bedingungen.
    • $f(x)=-9x^2+1,5$ mit $a=-9$ und $c=1,5$ erfüllt die Bedingungen.
    • $f(x)=-0,9x^2+3$ mit $a=-0,9$ und $c=3$ erfüllt die Bedingungen nicht, da $|a| = 0,9 <1$.
    • $f(x)=-\frac{3}{2}x^2+2$ mit $a=-\frac{3}{2}$ und $c=2$ erfüllt die Bedingungen.
    • $f(x)=-1,1x^2-2$ mit $a=-1,1$ und $c=-2$ erfüllt die Bedingungen nicht, da $c<0$.
    • $f(x)=\frac{9}{8}x^2+\frac{1}{2}$ mit $a=\frac{9}{8}$ und $c=\frac{1}{2}$ erfüllt die Bedingungen nicht, da $a>0$.
  • Gib an, wie die Normalparabel verändert wurde.

    Tipps

    Hier siehst du noch einmal die Normalparabel. Vergleiche die gegebenen Parabeln mit der Normalparabel.

    Eine Parabel ist gestreckt, wenn sie schmaler als die Normalparabel ist.

    Eine Parabel ist gestaucht, wenn sie breiter als die Normalparabel ist.

    Lösung

    Die Normalparabel mit der Funktionsgleichung $f(x)=x^2$ ist die einfachste quadratische Funktion. Sie ist nach oben geöffnet. Aus ihr gehen alle anderen Parabeln durch Verschiebung, Streckung oder Stauchung hervor.

    erste Parabel:
    Die Parabel ist nach unten geöffnet, da sie an der $x$-Achse gespiegelt wurde.

    zweite Parabel:
    Die Parabel ist breiter als die Normalparabel. Sie ist also gestaucht.

    dritte Parabel:
    Die Parabel ist schmaler als die Normalparabel. Sie ist also gestreckt.

    vierte Parabel:
    Die Parabel ist nach oben verschoben.

  • Ermittle die zum Graphen zugehörige Funktionsgleichung.

    Tipps
    • Wenn die Parabel gestaucht ist, so gilt: $\vert a \vert <1$. Beispiel: $f(x)=0,5x^2+4$
    • Wenn die Parabel gestreckt ist, so gilt: $\vert a \vert>1$. Beispiel: $f(x)=2x^2+4$

    Wenn die Parabel nach unten geöffnet ist, so ist $a<0$.

    $f(x)=-3x^2$

    Lösung

    $f(x)=ax^2+c$

    Die allgemeine Funktionsgleichung enthält die beiden Parameter $a$ und $c$, die sich folgendermaßen auf den Verlauf des Funktionsgraphen auswirken:

    Der Parameter $a$:

    • Wenn die Parabel nach unten geöffnet ist, so ist $a$ negativ. Beispiel: $f(x)=-2x^2+4$
    • Wenn die Parabel nach oben geöffnet ist, so ist $a$ positiv. Beispiel: $f(x)=2x^2+4$
    • Wenn die Parabel gestaucht ist, so ist $\vert a \vert <1$. Beispiel: $f(x)=0,5x^2+4$
    • Wenn die Parabel gestreckt ist, so ist $\vert a \vert>1$. Beispiel: $f(x)=2x^2+4$
    Um den Parameter $a$ zu bestimmen, können wir vom Scheitelpunkt aus einen Schritt nach rechts gehen, und von dort abzählen, wie viele Schritte wir nach oben bzw. nach unten bis zur Parabel gehen müssen.

    Der Parameter $c$:

    • Wenn die Parabel nach unten verschoben ist, so ist $c<0$. Beispiel: $f(x)=2x^2-5$
    • Wenn die Parabel nach oben verschoben ist, so ist $c>0$. Beispiel: $f(x)=2x^2+5$
    Um den Parameter $c$ zu bestimmen, können wir ablesen, wo die Parabel die $y$-Achse schneidet.

    Somit ergeben sich die folgenden Funktionsgleichungen:

    • Graph 1: Ist nach unten geöffnet und gestaucht: $f(x)=-0,5x^2$
    • Graph 2: Ist nach unten geöffnet und gestreckt: $f(x)=-1,5x^2$
    • Graph 3: Ist nach unten geöffnet, gestreckt und nach oben verschoben: $f(x)=-2x^2+3$
    • Graph 4: Ist nach oben geöffnet, gestreckt und nach oben verschoben: $f(x)=2x^2+2$