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Quadratische Funktionen y=ax²+c 06:25 min

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Transkript Quadratische Funktionen y=ax²+c

Hallo, wir haben hier eine allgemeine Gleichung einer quadratischen Funktion. Was ist allgemein daran? Naja, so wie sie hier steht, y=ax2+c, ist es noch keine konkrete Funktion. Erst, wenn wir für a und c konkrete Zahlen einsetzen, haben wir auch eine konkrete Funktionsgleichung. Je nachdem, welche Zahlen da eingesetzt werden, kann man auf Eigenschaften des Graphen dieser Funktion schließen, also auf Eigenschaften, die die Parabel hat. Die Parabel ist ja der Graph einer quadratischen Funktion. Welche Eigenschaften das sind, können wir uns jetzt mal an ein paar konkreten Beispielen ansehen. Schauen wir uns mal diese Funktion an: für a ist drei eingesetzt worden und die Parabel ist nach oben geöffnet. Hier ist für a -1,5 eingesetzt worden und die Parabel ist nach unten geöffnet. Für a ist 0,8 eingesetzt worden, die Parabel ist nach oben geöffnet. Für a ist -1/3 eingesetzt worden, die Parabel ist nach unten geöffnet und so könnte es jetzt weiter gehen. Nicht wahr? Da lassen sich noch viele Beispiele finden. So, was schließen wir jetzt daraus? Wann man für a eine Zahl einsetzt, die größer als null ist, dann ist die Parabel nach oben geöffnet, wenn man für a eine Zahl einsetzt, die kleiner als null ist, ist die Parabel nach unten geöffnet. So und das können wir jetzt aufschreiben. Die Parabel ist nach oben geöffnet, wenn a>0 ist und die Parabel ist nach unten geöffnet, wenn a<0 ist. Es gibt noch etwas, was wir an diesem a ablesen können. Nämlich, ob die Parabel breiter oder schmaler als die Normalparabel ist. Schauen wir uns erstmal die Normalparabel an. Hier ist so eine, die Normalparabel entsteht, wenn man für a eins einsetzt. Ja das schreibt man normalerweise nicht hin, diese eins und diese null auch nicht, deshalb – normalerweise steht das so da. Man kann aber auch minus eins einsetzten für a und dann entsteht jeweils eine Normalparabel. Meistens hat man das hier im Kopf, wenn man Normalparabel sagt, aber das ist auch eine und die ist nach unten geöffnet und nach unten verschoben aber eben von der gleichen Form wie die hier. Hier haben wir für a 1/2 eingesetzt. 1/2 liegt zwischen eins und minus eins und die Parabel ist breiter als die Normalparabel. Hier wieder eine Zahl zwischen eins und minus eins, nämlich -1/5, die Parabel ist breiter als die Normalparabel. Eine Zahl wurde eingesetzt zwischen eins und minus eins und es ist -1/3, die Parabel ist breiter als die Normalparabel. Nun, so könnte man fortfahren. Wir sehen also, immer wenn man eine Zahl für a einsetzt, die zwischen eins und minus eins liegt, ist die Parabel breiter als die Normalparabel. Naja und da könnte man schon daraus schließen, wann ist denn eine Parabel schmaler als die Normalparabel? Genau, wenn man eine Zahl einsetzt für a, die entweder größer als eins ist oder kleiner als minus eins ist. Können wir uns auch angucken, habe ich vorbereitet, da haben wir -1,5 eingesetzt, das ist kleiner als minus eins und diese Parabel ist schmaler als diese Normalparabel. Wir können für a drei einsetzen. Drei ist größer als eins, die Parabel ist schmaler als die Normalparabel. Wir können minus fünf einsetzen. Minus fünf ist kleiner als minus eins und diese Parabel ist schmaler als die Normalparabel und auch die hier ist schmaler als die Normalparabel und wir haben minus drei eingesetzt und minus drei ist kleiner als minus eins. So und dann können wir das Ganze noch vernünftig aufschreiben. Die Parabel ist schmaler als die Normalparabel, wenn a1 ist. Die Parabel ist breiter als die Normalparabel, wenn -1<a<1 ist. So und jetzt haben wir uns noch gar nicht um das c gekümmert. Das werden wir jetzt nachholen. Und zwar können wir für c null einsetzen, da steht es. Dann ist der Scheitelpunkt der Parabel auf der x-Achse. Wenn wir für c z.B. minus zwei einsetzen, dann ist der Scheitelpunkt der Parabel nicht mehr auf der x-Achse, sondern diese Parabel ist um zwei Einheiten nach unten verschoben worden. Das gilt auch für andere Parabeln. Wenn man für c minus zwei einsetzt, verschieben sich diese Parabeln um zwei Einheiten nach unten. Man kann auch für c minus vier einsetzen, dann ist die Parabel um vier Einheiten nach unten verschoben. Ja, die ist jetzt auch nach unten geöffnet, soll uns aber im Moment nicht stören. Es geht nur darum, um wie viel Einheiten der Scheitelpunkt auf der y-Achse verschoben ist. Dann haben wir für c plus drei eingesetzt und diese Parabel ist um drei Einheiten nach oben verschoben. So und dann können wir also allgemein feststellen, wenn wir für c eine Zahl einsetzen, die kleiner als null ist, wird die Parabel nach unten verschoben, wenn wir für c eine Zahl einsetzen, die größer als null ist, wird die Parabel nach oben verschoben. Und das schreiben wir auch noch auf. Die Parabel ist nach oben verschoben, wenn c>0 ist. Die Parabel ist nach unten verschoben, wenn c<0 ist. So, damit haben wir alle Eigenschaften einer Parabel, die man hier ablesen kann, erledigt. Wir können also sehen, ob die Parabel nach oben oder nach unten geöffnet ist, ob sie schmaler oder breiter als die Normalparabel ist und ob sie nach oben oder nach unten verschoben ist. Das wars dazu, viel Spaß damit, Tschüss!

2 Kommentare
  1. okay

    Von Fam Remensperger, vor 5 Monaten
  2. Die Übung ist zwar gut bloß bei der zweiten Übung war es ein wenig blöd da nicht definiert war ob wenn eine zahl >1 die normalparabel enger oder schmaler oder bei <1 breiter oder weiter ist. wir haben zum beispielgelernt dass es weiter und enger heißt. Video ist gut hab alles verstanden. :)

    Von Danny.Nachname, vor mehr als 4 Jahren

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Quadratische Funktionen y=ax²+c Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Quadratische Funktionen y=ax²+c kannst du es wiederholen und üben.

  • Gib an, ob die Parabel nach oben oder unten geöffnet ist.

    Tipps

    Du siehst hier die Parabel zu $f(x)=-0,5x^2+2$. Was fällt dir auf?

    Fertige zu den Funktionen Wertetabellen an und zeichne dann die Parabeln in ein Koordinatensystem.

    Du könntest dir einen Merksatz aufschreiben:

    • $a>0$: die Parabel ist nach ??? geöffnet.
    • $a<0$: die Parabel ist nach ??? geöffnet.

    Lösung

    Beachte, dass bei allen Funktionen $c=-2$ ist. Ob die Parabel nach oben oder unten geöffnet ist, erkennst du bei der allgemeinen Form einer quadratischen Funktion mit der Form $f(x)=a\cdot x^2+c$ an dem $a$. Entweder ist

    1. $a>0$, dann ist die Parabel nach oben geöffnet oder
    2. $a<0$, dann ist die Parabel nach unten geöffnet.
    Somit sind sowohl die Parabeln zu $3\cdot x^2-2$, hier ist $a=3>0$, und $0,8x^2-2$, hier ist $a=0,8>0$, nach oben geöffnet.

    Die beiden Parabeln zu $-\frac15x^2-2$, hier ist $a=-\frac15$, und $-\frac13x^2-2$, hier ist $a=-\frac13<0$, sind nach unten geöffnet.

  • Beschreibe die Lage und Form der Parabel.

    Tipps

    Zeichne in ein Koordinatensystem die Normalparabel und fertige eine Skizze von jeder der Funktionen in dem gleichen Koordinatensystem an. Erstelle dir hierzu gegebenenfalls eine Wertetabelle.

    Eine allgemeine Form einer quadratischen Funktion ist $f(x)=a\cdot x^2+c$.

    $c$ zeigt an, ob die Parabel nach oben oder unten verschoben wird.

    An $a$ kannst du erkennen,

    • ob die Parabel nach oben oder unten geöffnet ist oder
    • ob die Parabel schmaler oder breiter als die Normalparabel ist.

    Lösung

    Eine allgemeine Form einer quadratischen Funktion ist $f(x)=a\cdot x^2+c$.

    In dieser Aufgabe geht es um die Bedeutung von $a$.

    • Wenn $a>0$, dann ist die Parabel nach oben geöffnet. Für $a<0$ ist die Parabel nach unten geöffnet.
    • An $a$ kann man auch erkennen, ob die Parabel schmaler oder breiter als die Normalparabel ist .
    • Für $-1<a<1$ ist die Parabel breiter als die Normalparabel. Beachte, dass $a≠0$, da die betrachtete Funktion ansonsten keine quadratische Funktion wäre.
    • Für $a<-1$ oder $a>1$ ist die Parabel schmaler als die Normalparabel.
    • Bei $a=1$ liegt eine nach oben und bei $a=-1$ eine nach unten geöffnete Normalparabel vor.
    Der Summand $c$, der Term ohne $x$, gibt an, ob die Parabel nach oben ($c>0$) oder nach unten ($c<0$) verschoben ist.

    • $f(x)=\frac12x^2-2$: Hier ist $a=\frac12$ und $c=-2$. Das heißt, die Parabel ist nach oben geöffnet und breiter als die Normalparabel und sie ist um $2$ Einheiten nach unten verschoben.
    • $g(x)=-3x^2-2$: Hier ist $a=-3$ und $c=-2$. Das heißt, die Parabel ist nach unten geöffnet und schmaler als die Normalparabel. Sie ist um $2$ Einheiten nach unten verschoben.
    • $h(x)=0,8x^2-2$. Hier ist $a=0,8$ und $c=-2$. Also ist die Parabel nach oben geöffnet und breiter als die Normalparabel. Sie ist um $2$ Einheiten nach unten verschoben.
    • $k(x)=-\frac15x^2-2$. Hier ist $a=-\frac15$ und $c=-2$. Das heißt die, Parabel ist nach unten geöffnet und breiter als die Normalparabel. Sie ist um $2$ Einheiten nach unten verschoben.
  • Beschreibe die Form der Parabel.

    Tipps

    Eine allgemeine Form einer quadratischen Funktion lautet $f(x)=ax^2+c$. Überlege zunächst, welche Auswirkungen $a$ und $c$ in Bezug auf die Normalparabel haben.

    An $a$ kann die Öffnung der Parabel und die Form im Vergleich zur Normalparabel bestimmt werden.

    Hier siehst du die Normalparabel. Die dazugehörige Funktionsgleichung lautet $f(x)=x^2$.

    Zeichne zum Beispiel die Parabel zu $f(x)=\frac12x^2$ in das gleiche Koordinatensystem ein und vergleiche.

    An dem $c$ kann erkannt werden, um wie viel Einheiten die Parabel nach oben oder unten verschoben wurde.

    Lösung

    Der Faktor $a$ vor $x^2$ gibt

    • zum einen an, ob die Parabel nach oben ($a>0$) oder nach unten ($a<0$) geöffnet ist und
    • zum anderen, ob die Parabel schmaler ($a<-1$ oder $a>1$) oder breiter ($-1<a<1;~a\neq 0$) als die Normalparabel ist.
    $c$ gibt an, ob die Parabel nach oben ($c>0$) oder nach unten ($c<0$) verschoben ist.

    • $f(x)=-0,5x^2+2$: $a=-0,5$, also ist die Parabel nach unten geöffnet und breiter als die Normalparabel, und $c=2$, die Parabel ist demnach um $2$ Einheiten nach oben verschoben.
    • $g(x)=2x^2-3$: $a=2$, also ist die Parabel nach oben geöffnet und schmaler als die Normalparabel, und $c=-3$, die Parabel ist demnach um $3$ Einheiten nach unten verschoben.
    • $h(x)=-3,2x^2+3$: $a=-3,2$, also ist die Parabel nach unten geöffnet und schmaler als die Normalparabel, und $c=3$, die Parabel ist demnach um $3$ Einheiten nach oben verschoben.
    • $k(x)=x^2+2$: $a=1$, also ist dies eine nach oben geöffnete Normalparabel, und $c=2$, die Parabel ist demnach um $2$ Einheiten nach oben verschoben.
    • $l(x)=\frac13x^3+4$: $a=\frac13$, also ist die Parabel nach oben geöffnet und breiter als die Normalparabel, und $c=4$, die Parabel ist demnach um $4$ Einheiten nach oben verschoben.
  • Ordne der Parabel die Funktionsgleichung zu.

    Tipps

    Schau dir bei jeder der Parabeln Punkte an, welche du gut ablesen kannst.

    $c$ in der Gleichung $ax^2+c$ ist bei jeder Parabel direkt erkennbar.

    Setze in die Gleichung $ax^2+c$ für $x$ Null ein. Welchen Funktionswert erhältst du dann?

    Lösung

    Diese Parabel gehört zu der Gleichung $l(x)=-3x^2+3$. Der Term $c$, welcher alleine steht, ist der Funktionswert zu $x=0$, also der Schnittpunkt mit der y-Achse. Dieser ist hier $3$, also $c=3$. Es gilt $0=a\cdot1^2+3$, da die Parabel die x-Achse bei $1$ schneidet. Somit ist $a=-3$. Die Parabel ist nach unten geöffnet ($-3<0$) und schmaler als die Normalparabel ($-3<-1$).

    Ist die Parabel nach unten geöffnet, so ist $a<0$, ansonsten ist $a>0$. Suche dir Punkte, die du gut erkennen kannst, um die zugehörige Funktionsgleichung zu finden.

    So kannst du die Parabeln in dieser Aufgabe zuordnen.

    1. Die Parabel schneidet die y-Achse bei $1$, also $c=1$. Die Parabel ist nach unten geöffnet ($a<0$). Der Schnittpunkt mit der x-Achse ist $(2|0)$. Es gilt $f(x)=-0,25\cdot 2^2+1=-1+1=0$. Also ist $-0,25x^2+1$ die gesuchte Gleichung.
    2. Die Parabel schneidet die y-Achse bei $1$, also $c=1$. Die Parabel ist nach oben geöffnet. Diese Parabel ist die Spiegelung der 1. Parabel und damit ist $g(x)=0,25x^2+1$.
    3. Die Parabel schneidet die y-Achse bei $3$, also $c=3$. Die Parabel ist nach unten geöffnet. Da der Punkt $(1|1)$ auf der Parabel liegt, kann nur die Gleichung $h(x)=-2x^2+3$ die gesuchte sein.
    4. Die Parabel schneidet die y-Achse bei $-1$, also $c=-1$. Die Parabel ist nach oben geöffnet. Da der Punkt $(1|1)$ auf der Parabel liegt, kann nur die Gleichung $k(x)=2x^2-1$ die gesuchte sein.

  • Beschreibe die Bedeutung von $a$ und $c$ für die Parabel.

    Tipps

    Hier siehst du die Parabel zu $f(x)=x^2+1$. Was ist in diesem Beispiel $a$ und was $c$?

    Hier siehst du die Parabel zu $f(x)=-x^2$.

    Zeichne dir den Graph der Funktion $f(x)=3x^2-2$ in ein Koordinatensystem.

    Lösung

    Zur Bedeutung von $a$ und $c$ in der allgemeinen Funktionsgleichung $f(x)=a\cdot x^2+c$.

    $a$ An dem Faktor vor dem $x^2$ kannst du zwei Eigenschaften erkennen,

    • ob die Parabel nach oben ($a>0$) oder nach ($a<0$) unten geöffnet ist und
    • ob die Parabel schmaler ($a>1$ oder $a<-1$) oder breiter ($-1<a<1;~a\neq 0$) als die Normalparabel ist. Die Normalparabel kannst du hier im Bild erkennen.
    $c$ Man kann an dem $c$ erkennen, ob die Parabel nach oben ($c>0$) oder nach unten ($c<0$) verschoben ist.

    Ob die Parabel oberhalb oder unterhalb der x-Achse liegt, hängt von $a$ und $c$ ab:

    • $a>0$ und $c>0$: Die Parabel liegt komplett oberhalb der x-Achse.
    • $a<0$ und $c<0$: Die Parabel liegt komplett unterhalb der x-Achse.

  • Leite die Funktionsgleichung her.

    Tipps

    Welche Bedeutung haben $a$ und $c$?

    Eine der beiden Zahlen kannst du ablesen.

    Die andere Zahl erhältst du, wenn du einen Punkt, welchen du gut erkennen kannst, in die Funktionsgleichung einsetzt.

    $c$ ist eine natürliche Zahl und $a$ ist eine negative Dezimalzahl mit 2 Nachkommastellen.

    Lösung

    $c$ gibt an, wie weit die Parabel nach oben $(c>0)$ oder nach unten $(c<0)$ verschoben ist. $c$ ist der y-Wert zu $x=0$. Hier ist $c=3$.

    Nun musst du noch $a$ herausfinden. Die Parabel schneidet die x-Achse bei $x=2$ und bei $x=-2$. Dies führt zu der Gleichung

    $f(2)=0$, also

    $\begin{align*} a \cdot 2^2+3&=0 &|& -3\\ a \cdot 4&=-3 &|& :4\\ a&=-\frac34=-0,75. \end{align*}$

    Die Funktionsgleichung lautet also insgesamt $f(x)=-0,75x^2+3$. Die Parabel ist nach unten geöffnet $(-0,75<0)$ und breiter als die Normalparabel ($-1<-0,75<1$) und der y-Achsenabschnitt liegt bei $3$.