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Punkte in einer Skizze

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Martin Wabnik
Punkte in einer Skizze
lernst du in der 11. Klasse - 12. Klasse - 13. Klasse

Beschreibung Punkte in einer Skizze

Du hast eine Skizze (wie im Bild) gegeben und möchtest von dieser Skizze auf die Koordinaten der Eckpunkte kommen. Zunächst wird die Zeichnung in Würfel eingeteilt, von denen du weißt, wie lang die Kante ist. Es werden verschiedene Eckpunkte mit A, B, C und D bezeichnet. Dir wird gezeigt, wie man in die Zeichnung das dreidimensionale Koordinatensystem einzeichnen kann. Außerdem siehst du anhand eines Modells, wie die Zeichnung im Raum aussieht und dir wird dort erklärt, wo der Punkt A liegt. Abschließend wird dir erklärt, wie du die Koordinaten des Eckpunktes bestimmen kannst.

Transkript Punkte in einer Skizze

Hallo! Wir haben hier eine Zeichnung, die ist nicht besonders schön. Die ist deshalb so, nicht weil ich zu faul bin, vernünftige Zeichnungen zu machen, sondern weil das Dir tatsächlich in der Realität passieren kann, was weiss ich auf einer Baustelle oder irgendwie möchte man jemandem erklären, was man gerne hätte, oder wie man das gerne hätte, und so was, was Technisches natürlich. Und dann zeichnet man das so auf und scheibt die Maße dran, und das reicht dann auch. Und deshalb möchte ich zeigen, wie man von so einer Zeichnung auf die Maße kommt, auf die Koordinaten, der Eckpunkte, was man dazu machen muss und wenn man die Koordinaten hat, dann ist die Sache sowieso eindeutig. Und dann ist die Qualität der Zeichnung auch egal. Ich möchte eine kleine Vereinfachung machen, denn ich kann das Prinzip, was man hier machen muss, erklären, auch dann, wenn das hier 4 Würfel sind, die aneinandergereiht sind oder sich in dieser Konstellation hier befinden, ich male mal hier diese Hilfslinien dazu, dann kann man das jetzt so besser sehen, dass das 4 Würfel sind. Und ich kann das Prinzip, worum es hier geht, genauso erklären, wenn es sich um Würfel handelt, als wenn es sich um beliebige Maße handelt. Dann muss ich aber nicht so viel reden, und der Film wird nicht so lang. Das hat auch so seine Vorteile. Wir gehen mal davon aus, dass es sich hier um Würfel handelt, und die haben eine Kantenlänge von m, das schreib ich einfach mal daran. Und rein zufällig hab ich hier ein Paar Würfel vorbereitet, die dann auch gleich vor Deinen Augen die Form annehmen, die hier aufgezeichnet ist. Nämlich das sieht dann so aus. Ja und hier siehst Du schon wieder dieses Schrägbild hier, so wie man das dann ins Koordinatensystem einzeichnet, das ist nicht ganz der Eindruck, den Du hast, wenn Du jetzt die Würfel hier so siehst. Ok? So kann man sie auch ein bisschen drehen, das ist jetzt ein bisschen anderer Eindruck, aber ich glaube man kann erkennen, dass es sich hier um dasselbe Format handelt. Gut, wie kommt man jetzt zu Koordinaten von Eckpunkten? Zum Beispiel möchte ich einmal diesen Eckpunkt hier mit den Koordinaten versehen, diesen hier hinten, b, nenn ich den einfach mal, warum nicht. Und zum Beispiel diesen Punkt hier, der soll mal c heißen, ich würfel das jetzt alles durcheinander, ist völlig wurscht, und der soll hier d heißen. Ja so wie das dann auch in der Realität ist, da hält man sich nicht daran, ob das jetzt alles die richtige Reihenfolge hat oder so, einfach nur so. Dazu, um zu diesen Koordinaten zu kommen, brauchst Du natürlich ein Koordinatensystem und da kommt die nächste interessante Sache, Du kannst Dir das hier überlegen, welches Koordinatensystem Du verwendest, bzw. nicht welche Art von Koordinatensystem, sondern wo sich die Achsen befinden. Und zum Beispiel könntest Du sagen, hier hinten, das hier ist meine X2-Achse, da vorne hier ist die X1-Achse und nach oben die X3-Achse, warum nicht, also nach vorne sollte immer die X1-Achse sein, damit man sich da vernünftig verständigen kann. Du kannst das aber auch hier Reinlegen zum Beispiel kannst sagen, ab da ist meine X1-Achse und hier ist der positive Teil der X2-Achse, das möchte ich so haben, ist möglich. Die X3-Achse geht jetzt hier weiter nach oben, ich zeichne das mal so ein hier, damit Du da mit der Zeichnung nicht durcheinander kommst. Da ist X3. Ja, so könnte das aussehen. Und dann ist die Frage, welche Koordinate hat dann zum Beispiel der Punkt a. Was Du dann machen solltest im Kopf ist quasi, dieses Koordinatensystem Dir vorstellen, und diese Würfelansammlung hier, in dieses Koordinatensystem Dir hineindenken. Das sieht dann ungefähr so aus, ein Würfel ist verrutscht, schade. Ja, ich muss an meiner Haltetechnik arbeiten. So könnte das jetzt hier drin sein. Du kannst aber auch die Koordinatenachsen, woanders hinsetzen. Du kannst das zum Beispiel auch so hinsetzen, dann haben die Eckpunkte natürlich andere Koordinaten als vorher. Aber, auch das wäre eindeutig, manchmal muss man sich auch ein bisschen überlegen, was wäre denn vernünftig, auch da kannst Du es hinsetzen, aber wenn man hier mit so einer Kante anfängt und das quasi so einschmiegt, dann hat man meistens die wenigsten Probleme. Wenn das jetzt also so der Fall ist, das entspricht auch der Lage, wie ich das jetzt hier eingezeichnet habe, dann ist einmal die Frage, wo ist der Punkt a, dazu muss ich jetzt das Mal absetzen. Der Punkt a ist dann hier, so war das gerade, und da ist der Punkt a. Und wenn Du jetzt die Koordinaten dieses Punktes a haben willst, überlegst Du Dir, hier ist die positive X1-Achse, wo muss ich hingehen, damit ich hier in diese Richtung komme, und da siehst Du, Du musst diese Strecke m in die negative Richtung gehen. Dann überlegst Du Dir, wie viel muss ich auf der X2-Achse zum Beispiel hier zurückgehen. Da ist ja der positive Teil der X2-Achse und hier musst Du also zurückgehen, das heißt Du hast hier die nächste Koordinate, wenn Du hier entlang gehst, hier hinten, die ist dann auch -m und dann musst Du noch die Kantenlänge nach oben gehen, um zu diesem Punkt zu kommen. Und hast damit die X3-Koordinate+m und das schreib ich jetzt auch einmal eben dazu. Hier haben wir also a mit den Koordinaten -m|-m| m. Natürlich, wenn das jetzt nicht alles m‘s sind, dann sind es andere Maße, aber dann  wäre das Prinzip eben genau das gleiche. Ja ich hoffe, das ist von der Vorstellung, von der Idee her klar geworden, ganz zu exakt möchte ich das Ganze nicht machen. Es reicht völlig, wenn Du hier eine Vorstellung hast, wie Du Punkte zuordnen kannst. Das ist erst mal das Wichtigste, das Du so eine Zeichnung in so eine Vorstellung und dann in so ein Koordinatensystem bringen kannst. Viel Spaß damit, tschüss!

Punkte in einer Skizze Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Punkte in einer Skizze kannst du es wiederholen und üben.
  • Ergänze die Erklärung zur Bestimmung von Punkten in Skizzen.

    Tipps

    Es ist tatsächlich egal, wie ein Koordinatensystem eingetragen wird. Die Koordinaten der Punkte ändern sich dann.

    Ein Punkt in einem Koordinatensystem hat verschiedene Koordinaten. Zum Beispiel

    $A(a_1|a_2|a_3)$.

    Hier siehst du ein Koordinatensystem mit der $x_1$, $x_2$ sowie $x_3$ Achse.

    Lösung

    Wie gelangt man zu den Koordinaten von Eckpunkten einer Skizze?

    Man benötigt ein Koordinatensystem.

    Wo liegen dann die Achsen des Koordinatensystems?

    Man kann die Achsen so legen, dass Kanten der Skizze auf diesen Achsen liegen. Wenn man sich für eine Lage des Koordinatensystems entschieden hat, kann man die Koordinaten eines Punktes bestimmen.

  • Bestimme die Koordinaten des Punktes $A$.

    Tipps

    Jeder der vier Würfel hat eine Kantenlänge $m$. Das bedeutet, dass die Koordinaten Vielfache von $m$ sind.

    Achte auf die Vorzeichen.

    Es gibt jeweils einen negative und einen positive Teil jeder Achse. Den positive Teil erkennst du daran, dass am Ende dieses Teils ein Pfeil ist.

    Lösung

    Der Punkt $A$ hat eine $x_1$, eine $x_2$ und eine $x_3$ Koordinate.

    Man kann sich die gestrichelten Linien zu Hilfe nehmen, um die Koordinaten von $A$ zu bestimmen:

    • Die $x_1$ Koordinate ist negativ. Da der Würfel die Kantenlänge $m$ hat, ist $x_1=-m$.
    • Die $x_2$ Koordinate ist ebenfalls negativ, also ist auch $x_2=-m$.
    • Die $x_3$ Koordinate ist positiv und somit $x_3=m$.

  • Gib die Koordinaten der Punkte $D$, $C$, $E$ und $F$ an.

    Tipps

    Wenn Punkte auf einer gemeinsamen Kante liegen, haben sie zwei Koordinaten gemeinsam.

    Achte auf die Vorzeichen.

    Der Punkt genau in der Mitte von $E$ und $F$ liegt auf der $x_3$ Achse und hat die Koordinaten $(0|0|5)$.

    Lösung

    Der vermeintlich am einfachsten zu erkennende Punkt ist $C$, da dieser auf der $x_2$ Achse liegt. Das bedeutet dieser Punkte ist $C(0|?|0)$. Wie lautet die $x_2$ Koordinate? Da $C$ auf dem rechten Rand des zweiten Würfels rechts der $x_3$ Achse liegt, ist $x_3=10$, also $C(0|10|0)$.

    Der Punkt $D$ liegt in der $x_1-x_2$ Ebene, hat also die $x_3$ Koordinate $0$. $D$ liegt im positiven $x_1$ und im negativen $x_2$ Bereich, also ist $D(5|-5|0)$.

    $E$ und $F$ liegen auf einer Kante parallel zur $x_1$ Achse, also ist jeweils $x_2=0$. Die $x_3$ Koordinate ist jeweils $5$.

    • $E$ liegt im positiven $x_1$ Bereich: $E(5|0|5)$ und
    • $F$ im negativen: $F(-5|0|5)$.

  • Ermittle die Koordinaten des Punktes $B$ in verschiedenen Koordinatensystemen.

    Tipps

    In der oberen Skizze lautet der Punkt $A(-m|-m|m)$ und in der unteren $A(0|0|0)$.

    $B$ hat zwei Koordinaten mit $A$ gemeinsam, egal welches Koordinatensystem gewählt wird, da $A$ und $B$ auf einer gemeinsamen Kante liegen.

    Alle Koordinaten von $B$ sind Vielfache von $m$.

    Achte auf das Vorzeichen.

    Lösung

    Es wurde ja bereits festgestellt, dass die Lage des Koordinatensystems egal ist. Jedoch ändern sich die Koordinaten der Punkte.

    Für die Lage des Koordinatensystems, welche hier zu sehen ist, ist $A(-m|-m|m)$. Wie lauten die Koordinaten von $B$?

    • $x_1$ ist die gleiche Koordinate wie die von $A$ also $x_1=-m$.
    • Die Punkte haben ebenfalls die $x_3$ Koordinate gemeinsam, also $x_3=m$.
    • Rechts von der $x_3$ Achse liegt $B$ auf dem rechten Rand des zweiten Würfels. Damit ist $x_2=2m$.
    In der unteren der beiden Skizzen ist $A$ der Koordinatenursprung, also $A(0|0|0)$. Auch hier stimmen die $x_1$ sowie $x_3$ Koordinate überein:
    • $x_1=x_3=0$
    • Hier liegt $B$ auf dem rechten Rand des dritten Würfels rechts von der $x_3$ Achse. Diese Koordinate ist also $x_3=3m$.

  • Gib an, wie man das Koordinatensystem einzeichnen muss, um die Punkte der Skizze zu bestimmen.

    Tipps

    Hier siehst du eine mögliche Lage des Koordinatensystems.

    Hier siehst du eine weitere mögliche Lage des Koordinatensystems.

    Je nachdem welche Lage du wählst, erhältst du verschiedene Koordinaten für die jeweiligen Punkte.

    Lösung

    Hier ist eine mögliche Lage des Koordinatensystems zu sehen.

    An und für sich kann man das Koordinatensystem legen wie man möchte. Dabei haben dann die Punkte verschiedene Koordinaten.

    Es gibt allerdings geschicktere und weniger geschickte Lagen des Koordinatensystems.

    • So wie hier zum Beispiel zu sehen, ist es sinnvoll das Koordinatensystem so zu zeichnen, dass einzelne Kanten der Skizze sich auf den Koordinatenachsen befinden.
    • Weiter ist es sinnvoll, dass Koordinatensystem so einzuzeichnen, dass irgendein Punkt der Skizze im Koordinatenursprung liegt.

  • Leite die Koordinaten der Punkte her.

    Tipps

    Alle Koordinaten sind positiv.

    $C$ und $G$ liegen auf einer Kante.

    Ebenso liegen $E$ und $F$ auf einer Kante.

    Punkte, welche auf einer Kante parallel zu einer der Koordinatenachsen liegen, haben zwei Koordinaten gemeinsam.

    $E$ und $F$ haben jeweils eine Dezimalzahl mit einer Nachkommastelle als Koordinate.

    Lösung

    Solche Aufgaben kommen häufig in der Geometrie vor: Es ist ein Gebilde gegeben und es sollen die entsprechenden Koordinaten der Punkte bestimmt werden. Die Aufgabe geht dann sicher noch weiter, was jedoch hier nicht Thema ist.

    Es ist immer sinnvoll, sich an bereits gegebenen Punkten zu orientieren.

    • Der Punkt $C$ liegt in der $x_1-x_2$ Ebene und hat die gleiche $x_2$ Koordinate wie $D$ und die gleich $x_1$ Koordinate wie $B$. Somit ist $C(5|3|0)$.
    • Der Punkt $G$ liegt senkrecht über $C$, hat also die gleiche $x_1$ und $x_2$ Koordinate. Die $x_3$ Koordinate ist durch die Höhe des Quaders, nämlich $3$, gegeben. Also ist $G(5|3|3)$.
    • Der Punkt $E$ liegt in der gleichen Ebene wie $B$ und $C$ parallel zur $x_2-x_3$ Ebene. Die $x_1$ Koordinate ist somit $5$. Die $x_2$ Koordinate ist durch die Information gegeben, dass dieser Punkt sich über der Mitte der darunter liegenden Kante liegt, also $x_2=1,5$, gegeben. Durch die Höhe des Daches ist dann auch die $x_3$ Koordinate gegeben $x_2=3+3=6$. Somit ist $E(5|1,5|6)$
    • Der Punkt $F$ hat mit $E$ die $x_2$ sowie $x_3$ Koordinate gemeinsam. Er liegt in der $x_2-x_3$ Ebene, hat also die $x_1$ Koordinate $0$. Gesamt ist $F(0|1,5|6)$

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