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Punkte im dreidimensionalen Koordinatensystem 11:32 min

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Transkript Punkte im dreidimensionalen Koordinatensystem

Hallo, mein Name ist Frank. In diesem Video betrachte ich mit Dir, wie Du Punkte im dreidimensionalen Koordinatensystem zeichnen kannst. Zuerst einmal wiederhole ich, wie Du Punkte im zweidimensionalen Koordinatensystem zeichnen kannst. Dafür habe ich hier links schon einmal ein x-y-Koordinatensystem, also ein zweidimensionales kartesisches Koordinatensystem vorbereitet. Du siehst, diese Achse ist mit y beschriftet, diese Achse ist mit x beschriftet. Und ich habe noch ein Gitter hineingelegt, damit Du nachher, dass was ich tue, recht gut nachvollziehen kannst. Beachte bitte, bei dem, was ich im Folgenden mache, ich nenne die Punkte immer mit einer x- und einer y-Koordinate. In der Literatur findest Du hin und wieder auch statt x x1 und statt y x2. Analog nachher im Dreidimensionalen x, y, z. Respektive x1, x2, x3. Ich mache das Ganze mit x und y. Und ich beginne mit einem ersten Punkt. Nämlich dem Punkt P(3|4). Das kannst Du hier schon einmal sehen. Also, Du kannst erkennen, da ist auf der x-Achse die 3 eingezeichnet und parallel zur y-Achse läuft eine Linie. Die kannst Du hier gelb erkennen. Analog dazu ist auf der y-Achse die 4 eingetragen. Und parallel zur x-Achse läuft eine Linie. Die kannst Du auch gelb erkennen. Und da, wo sich die beiden Linien treffen, ist der Punkt P(3|4). Das Ganze schaue ich mir noch einmal an für einen weiteren Punkt. Q(5|2). Also auch da auf der x-Achse die 5. Die Linie parallel zur y-Achse. Auf der y-Achse die 2. Und eine Linie parallel zur x-Achse. Dort, wo die beiden Linien sich treffen, befindet sich der Punkt Q(5|2). Alternativ zu dieser Herangehensweise habe ich noch einmal vorbereitet, wie Du diesen Punkt P mit einem Rechteck zeichnen könntest. Das siehst Du jetzt auch noch einmal hier. Der Punkt Q verschwindet dann. Und ich habe auf der y-Achse die Strecke von 0 bis 4 eingetragen. Parallel dazu bei x = drei das Ganze noch einmal. Und analog dazu von 0 bis 3 auf der x-Achse und parallel bei y = 4. Und dadurch entsteht ein Rechteck. Links unten im Rechteck ist der sogenannte Koordinatenursprung. Hier mit O bezeichnet. Für Englisch “origin”, der Ursprung. Und in diesem Rechteck diagonal gegenüber, liegt der Punkt P. Im Folgenden werde ich Dir zeigen, wie Du das im Ddreidimensional machen kannst. Wie Du diesen Punkt im Dreidimensional zeichnen kannst. So. Und kommen wir zu dem eigentlichen Thema dieses Videos. Nämlich: Punkte im dreidimensionalen Koordinatensystem. Hier oben links kannst Du noch einmal das letzte Bild sehen mit dem Punkt P im zweidimensionalen und dem Rechteck. Und ich zeige Dir jetzt, wie Du einen Punkt im Dreidimensionalen zeichnen kannst. Dafür habe ich zuerst einmal ein dreidimensionales Koordinatensystem vorbereitet. Wie kannst Du das zeichnen? Du hast hier die y-Achse und hier die z-Achse. Das wäre im Grunde genommen das Gleiche, wie bei dem zweidimensionalen. Und dann trägst Du in einem 135 Grad-Winkel von der y-Achse die x-Achse ab, die natürlich, um dieses räumliche zu erreichen, in den Raum hinein zeigt. Und was Du unbedingt beachten musst, ist bei der Skalierung, wenn Du eine Längeneinheit auf der y- und auf der z-Achse hast, müsstest Du auf der x-Achse entsprechend eins geteilt durch Wurzel zwei skalieren. Das ist ungefähr, 0,707. Und wenn Du das bei Dir im Heft machst, wäre eine Längeneinheit zwei Kästchen und diese 0,707 die Diagonale von einem Kästchen. Dann hast Du diese räumliche Vorstellung. Das habe ich auch wieder mit einem Gitternetz gemacht. Damit Du nachher gut sehen kannst, wie die Punkte gezeigt werden. Ich nehme ein Beispiel her. Nämlich ein Punkt R(3|4|2). Die erste Koordinate des Punktes R ist die x-Koordinate oder wie ich vorhin schon sagte, manchmal wird die auch als x1-Koordinate bezeichnet. Die zweite Koordinate des Punktes ist die y-Koordinate oder x2-Koordinate. Und die dritte Koordinate des Punktes ist die z-Koordinate oder x3-Koordinate. Und wie zeichnen wir das jetzt ein? Das kannst Du hier sehen. Du gehst entlang der x-Achse drei Einheiten. Von dieser Stelle aus, gehst Du parallel zur y-Achse vier Einheiten. Und von dieser Stelle aus, parallel zur z-Achse nach oben zwei Einheiten. Und erhältst den Punkt R, so wie Du das hier sehen kannst. Und in Analogie zu dem Beispiel mit dem Rechteck könntest Du jetzt hier auch einen Quader zeichnen. Dieser Quader ergänzt das, was ich vorhin schon angedeutet habe, insofern, dass Du wirklich nachher einen Quader hast, der einen Punkt im Ursprung hat. Also O. Und der Punkt R liegt, von diesem O aus gesehen, räumlich diagonal gegenüber, also heißt auf der diagonal anderen Seite des Quaders. Das ist, wie gesagt, die Analogie zu dem Rechteck. Und so zeichnest Du Punkte im R hoch drei. Und nun werde ich mir zuletzt noch anschauen, wie Du in einem Gebilde, ich habe da eine Hütte vorbereitet, die Punkte oder spezielle Punkte, ablesen kannst. Also du hast nicht den Punkt und zeichnest ihn ein, sondern Du hast den Punkt, und sollst die Koordinaten ablesen. Das mache ich jetzt im Folgenden. So. Nachdem ich Dir gezeigt habe, wie Du Punkte im dreidimensionalen Koordinatensystem eintragen kannst, komme ich jetzt zu guter Letzt zum Beispiel einer Hütte. Die siehst Du hier schon einmal vorbereitet. Und hier links noch einmal ein Koordinatensystem. Und ich zeige Dir jetzt, wie Du spezielle Punkte dieser Hütte, die sind hier markiert mit A, B, C, D, E, ablesen kannst. Also natürlich respektive deren Koordinaten ablesen kannst. Die Maßeinheiten dieser Hütte siehst Du hier. Die Ausdehnung entlang der x-Achse ist 5 m. Ich lasse im Folgenden die Maßeinheiten, die Längeneinheit in Meter weg. Entlang der y-Achse 4 m. Entlang der z- Achse 2,5 m. Und das Dach hat die Höhe 1 m. Und um das jetzt zu machen mit den Koordinaten der Punkte A, B, C, D, E, müsste ich die Hütte erst einmal in das Koordinatensystem hineinschieben. Das mache ich jetzt einmal. Ich nehme einmal die Hütte her und schiebe sie einmal irgendwo in das Koordinatensystem. Also hier. Also es gibt nachher eine geschickte Variante. Du könntest die Hütte jetzt gerne drehen oder irgendwo anders hinschieben im Koordinatensystem. Wie auch immer Du magst. Geschickt wäre es aber, die Hütte so zu schieben, dass ein Punkt, in dem Fall der Punkt A, direkt im Koordinatenursprung liegt. Das siehst Du jetzt hier. Koordinatenursprung heißt, sowohl die x-, als auch die y-, als auch die z-Koordinate, sind null. Des Weiteren ist der Boden der Hütte direkt in der x-y-Ebene gelegen. Das erleichtert die Sache wieder. Du könntest die Hütte drehen, wenn Du magst, aber dann wird das Folgende einfach schwieriger. Und jetzt schaue ich mir die einzelnen Punkte an. Der Punkt B liegt, wie Du sehen kannst, auch auf dem Boden der Hütte. Der Boden liegt in der x-y-Ebene. Das heißt, die z-Koordinate ist auf jeden Fall 0. Die Ausdehnung entlang der x-Achse ist 5 und entlang der y-Achse ist 4. Das heißt, wir erhalten den Punkt B(5|4|0). Nun schaue ich mir den Punkt C an. Wenn Du genau hinschaust, siehst Du, die Projektion des Punktes C auf die x-y-Ebene ist gerade der Punkt B. Was heißt das? Die x- und die y-Koordinate der Punkte B und C stimmen überein. Die Höhe des Hauses ist ja da angegeben mit 2,5 m. Das heißt die z-Koordinate des Punktes C ist 2,5. Nun komme ich zu dem Punkt D. Der Punkt D liegt in der y-z-Ebene. Das heißt, die x-Koordinate ist 0. Die y-Ausdehnung ist 4. Und der Punkt D liegt in der gleichen Höhe wie der Punkt C. Das heißt, die z-Koordinate ist auch 2,5. Und abschließend schaue ich mir noch den Punkt E an. Der Punkt E liegt auf dem Dachfirst. Und der Dachfirst ist genau in der Mitte dieses Punktes, der jetzt nicht eingezeichnet ist, auf der x-Achse und in D. Das heißt, die x-Koordinate ist 5 und die Mitte heißt 4/2, also 2. Und entsprechend der Höhe des Hauses, 2,5. Und der Höhe des Daches 1, würde die Höhe hier 3,5 betragen. Das heißt, der punkt E lautet (5|2|3,5). Du kannst jetzt gerne noch weitere Punkte Dir anschauen. Ein paar Punkte gibt es hier noch bei der Hütte. Ich belasse es jetzt einmal dabei. Nun möchte ich noch einmal zusammenfassen, was ich in diesem Video gemacht habe. Ich habe Dir gezeigt, wie Du Punkte im dreidimensionalen Koordinatensystem zeichnen kannst. Das geht ganz gut in Analogie zu Punkten im Zweidimensionalen in diesem Bild mit dem Rechteck, wenn Du einen Quader einträgst. Und abschließend habe ich dann am Beispiel einer Hütte, die Du hier links noch sehen kannst, gezeigt, wie Du von Punkten im Koordinatensystem die entsprechenden Koordinaten ablesen kannst. In dem Fall bei der Hütte, ist es halt geschickt, die so zu legen, dass die Punkte leicht abzulesen sind. Nun hoffe ich, dass Du alles gut verstehen konntest, danke Dir für Deine Aufmerksamkeit und freue mich, wie immer, über Fragen und Anregungen. Bis zum nächsten Mal. Dein Frank.

6 Kommentare
  1. @ AmendJuergen : Hallo Amend Juergen, die Achsen kann man unterschiedlich bezeichnen. Am üblichsten sind die Bezeichnungen x, y und z, so wie du so im Video findest oder manchmal auch x1, x2 und x3. Wenn ihr die Achsen anders bezeichnet, ist das nicht schlimm, du musst dann nur bei den Berechnungen und beim Eintragen von Punkten auf die unterschiedlichen Bezeichnungen achten. Viele Grüße aus der Redaktion

    Von Annmarieb Sofatutor, vor mehr als einem Jahr
  2. In der Schule haben wir die x achse in deinem video mit z beschriftet ist das jetzt falsch ?

    Von Amend Juergen, vor mehr als einem Jahr
  3. Hallo Itslearning. Um welche Aufgabe geht es denn? Könntest Du Deine Frage etwas konkreter stellen? Dann kann ich Dir sicher helfen.

    Von Frank Steiger, vor mehr als einem Jahr
  4. Welche Endpunkte sind in der Lösung gemeint?

    Von Itslearning Nutzer 2535 5533, vor mehr als einem Jahr
  5. Danke für Dein Feedback.
    Das freut mich, dass Dir mein Video geholfen hat.

    Von Frank Steiger, vor mehr als 4 Jahren
  1. Dein Video hat mir sehr geholfen, weil du es sehr übersichtlich, gut sehbar darstellt und dich auf das Wesentliche beschränkst! Danke

    Von S Beutnagel, vor mehr als 4 Jahren
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Punkte im dreidimensionalen Koordinatensystem Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Punkte im dreidimensionalen Koordinatensystem kannst du es wiederholen und üben.

  • Beschreibe, wie ein Punkt in ein Koordinatensystem gezeichnet wird.

    Tipps

    Hier ist ein möglicher Weg zu sehen.

    Beachte, dass die erste Koordinate eines Punktes die x-ist, die zweite die y- und die dritte die z-Koordinate.

    Lösung

    Um zu verstehen, wie ein Punkt im dreidimensionalen Koordinatensystem (also im Raum) gezeichnet wird, kann man sich zunächst nochmal klar machen, wie ein Punkt im zweidimensionalen Koordinatensystem (der Ebene) gezeichnet wird.

    Sei zum Beispiel der Punkt $P(3|4)$ zu zeichnen, so wird durch $x=3$ parallel zur y-Achse eine Gerade gezeichnet. Eine weitere Gerade wird durch $y=4$ parallel zur x-Achse gezeichnet. Dort, wo die beiden Geraden sich schneiden, liegt der Punkt $P$.

    Sehr ähnlich geht man bei Punkten im Dreidimensionalen vor:

    Zunächst wird ein dreidimensionales Koordinatensystem gezeichnet. Dabei geht man wie folgt vor:

    Das zweidimensionale Koordinatensystem wird übernommen, die x-Achse mit y und die y-Achse mit z beschriftet. Dann trägt man mit einem Winkel von $135^\circ$ zur positiven y-Achse die x-Achse ab.

    Es ist wichtig, die Skalierung auf der x-Achse zu verzerren, um eine Perspektive zu erhalten.

    Hier ist ein solches Koordinatensystem zu sehen.

    Um einen Punkt, zum Beispiel $R(3|4|2)$ zu zeichnen, macht man sich zunächst klar, dass die erste Koordinate die x-, die zweite die y- und die dritte die z-Koordinate ist.

    • Gehe $3$ Einheiten entlang der x-Achse - dies entspricht dem Pfeil auf der x-Achse.
    • Von dort geht es $4$ Einheiten parallel zur y-Achse (in der x-y-Koordinatenebene) - dies ist der Pfeil in der x-y-Koordinatenebene.
    • Zuletzt geht es $2$ Einheiten nach oben - der Pfeil, der nach oben zeigt.
    Die Reihenfolge, in welcher man den Punkt - Schritt für Schritt - einzeichnet ist nicht wichtig. Man hätte auch zuerst $2$ Einheiten nach oben gehen können.

  • Bestimme die Punkte $P(3|4)$ sowie $Q(5|2)$.

    Tipps

    Beachte: Die erste (zweite) Koordinate eines Punktes ist die x- (y-) Koordinate.

    Um einen Punkt, zum Beispiel $P(3|4)$, im zweidimensionalen Koordinatensystem zu zeichnen, gehst du wie folgt vor:

    • Zeichne eine zur y-Achse parallele Gerade durch $x=3$ und
    • eine zur x-Achse parallele Gerade durch $y=4$.
    Dort, wo die Geraden sich schneiden. liegt der Punkt $P$.

    Es muss jeweils ein Punkt markiert werden.

    Lösung

    Hier sind die beiden Punkte zu sehen:

    $P(3|4)$ ist der rote Punkt und $Q(5|2)$ der blaue.

    Zum Beispiel bei $Q$ ist $5$ die x- und $2$ die y-Koordinate. Wenn man durch $x=5$ parallel zur y-Achse und durch $y=2$ parallel zur x-Achse jeweils eine Gerade zeichnet, schneiden diese Geraden sich in dem Punkt.

    Zur Übung:

    • Der obere linke Punkt ist $(2|5)$. Die Reihenfolge der Koordinaten ist wichtig.
    • Der untere linke Punkt ist $(2|2)$.
    • Der Punkt ganz unten ist $(3|1)$.
    • Der rechte graue Punkt ist $(4|3)$.
  • Gib die Koordinaten der Eckpunkte an, welche die Hütte definieren.

    Tipps

    Beachte, dass $B$ in der x-y-Koordinatenebene liegt. Was bedeutet dies für die z-Koordinate?

    Der Punkt $C$ liegt senkrecht über $B$ in der Höhe $2,5$.

    Die y-Koordinate von $E$ liegt genau in der Mitte der Hüttenfrontseite. Die z-Koordinate ist die Höhe der Hütte zuzüglich der des Daches.

    Beachte die Benennung der Koordinaten eines Punktes $P(x|y|z)$.

    Lösung

    Hier ist eine Hütte zu sehen. Diese liegt so im Koordinatensystem, dass einer der Eckpunkte, $A$, im Koordinatenursprung liegt, also $A(0|0|0)$.

    Wenn in einer Aufgabe die Lage noch nicht vorgegeben ist, ist es immer geschickt, die Figur so zu legen, dass ein Punkt im Koordinatenursprung liegt und - sofern möglich - Kanten parallel zu den Koordinatenachsen liegen.

    Damit können nun die übrigen Punkte bestimmt werden:

    • $B$ liegt in der x-y-Koordinatenebene. Das bedeutet $z=0$. Es ist $x=5$ und $y=4$ $\rightarrow$ $B(5|4|0)$.
    • $C$ liegt senkrecht über $B$ in der Höhe $2,5$ $\rightarrow$ $C(5|4|2,5)$.
    • $D$ liegt in der y-z-Koordinatenebene, damit ist $x=0$. Hier ist $y=4$ und $z=2,5$ $\rightarrow$ $D(0|4|2,5)$.
    • Der Punkt $E$ ist etwas komplizierter: Er liegt genau in der Mitte der vorderen Kante. Das bedeutet $x=5$ und $y=\frac42=2$. Da $E$ auf der Spitze des Daches liegt, ist die Höhe $z$ gegeben durch $z=2,5+1=3,5$ $\rightarrow$ $E(5|2|3,5)$.
  • Bestimme die Koordinaten der Punkte, die auf der Pyramide liegen.

    Tipps

    Sowohl $A$ als auch $B$ liegen in der x-y-Koordinatenebene.

    Die Spitze der Pyramide liegt senkrecht über dem Mittelpunkt der quadratischen Grundfläche.

    $C$ und $D$ liegen in der gleichen Höhe.

    Der Mittelpunkt zweier Punkte $A(a_x|a_y|a_z)$ und $B(b_x|b_y|b_z)$ ist gegeben, wie in der Abbildung zu sehen.

    Lösung

    Zunächst werden die beiden Punkte der Grundfläche betrachtet. Diese liegen in der x-y-Koordinatenebene, haben also die z-Koordinate $0$.

    $A$ liegt dem Koordinatenursprung in der x-y-Koordinatenebene diagonal gegenüber. Dieser Punkt lautet $A(4|4|0)$.

    Bei $B$ ist zusätzlich die x-Koordinate $0$, also $B(0|4|0)$.

    Die Spitze $S$ der Pyramide liegt senkrecht über dem Mittelpunkt der Grundfläche. Dieser ist $M(2|2|0)$. Da die Höhe der Pyramide $h=5$ beträgt, ist $S(2|2|5)$.

    Die Mittelpunkte können bestimmt werden, indem die Endpunkte koordinatenweise addiert und diese Summen durch $2$ dividiert werden.

    Zu $C$:

    • x-Koordinate: $\frac{4+2}2=3$
    • y-Koordinate: $\frac{4+2}2=3$
    • z-Koordinate: $\frac{0+5}2=2,5$
    Also ist $C(3|3|2,5)$.

    Zu $D$:

    • x-Koordinate: $\frac{0+2}2=1$
    • y-Koordinate: $\frac{4+2}2=3$
    • z-Koordinate: $\frac{0+5}2=2,5$
    Also ist $D(1|3|2,5)$.

  • Untersuche die Eigenschaften des dreidimensionalen Koordinatensystems.

    Tipps

    Wenn ein Punkt auf der x-Achse liegt, wie weit musst du dann in y- oder in z-Richtung gehen?

    Ein Beispiel für ein Punkt in der x-y-Ebene ist $D(1|2|0)$.

    Ein Beispiel für ein Punkt auf der x-Achse ist $A(25|0|0)$.

    Lösung

    Es ist in manchen Zusammenhängen wichtig, bestimmte Punkte oder bestimmte Lagen von Punkten zueinander zu kennen.

    Punkte können auf den Koordinatenachsen liegen:

    • Jeder Punkt auf der x-Achse hat die y- und z-Koordinate $0$. Zum Beispiel $A(25|0|0)$.
    • Jeder Punkt auf der y-Achse hat die x- und z-Koordinate $0$. Zum Beispiel $B(0|25|0)$.
    • Jeder Punkt auf der z-Achse hat die x- und y-Koordinate $0$. Zum Beispiel $C(0|0|25)$.
    Punkte können in den Koordinatenebenen liegen:

    • Jeder Punkt auf der x-y-Ebene hat die z-Koordinate $0$. Zum Beispiel $D(1|2|0)$.
    • Jeder Punkt auf der x-z-Ebene hat die y-Koordinate $0$. Zum Beispiel $E(1|0|2)$.
    • Jeder Punkt auf der y-z-Ebene hat die x-Koordinate $0$. Zum Beispiel $F(0|1|2)$.
    Punkte können in einer Ebene parallel zu einer Koordinatenebene liegen:

    • Sei eine zur x-y-Ebene parallele Ebene durch $z=4$ gegeben. Dann hat jeder Punkt der Ebene die z-Koordinate $4$.
  • Entscheide, welcher der Punkte auf dem Rand, innerhalb oder außerhalb des Würfels liegt.

    Tipps

    Der Rand des Würfels besteht aus

    • allen Ecken,
    • allen Kanten und
    • allen Seitenflächen.

    Zum Beispiel liegt $R(2|3|2)$ auf der Seite des Würfels, die parallel zur x-z-Koordinatenebene verläuft.

    Der Punkt, der dem Koordinatenursprung diagonal gegenüber liegt, ist gegeben durch $S(3|3|3)$.

    Lösung

    Wenn man sich die Eckpunkte des Würfels anschaut, sieht man, dass diese nur Koordinaten haben, die entweder $0$ oder $3$ sind.

    Das bedeutet, dass jeder Punkt mit folgenden Eigenschaften auf jedem Fall auf einer Kante oder Seitenfläche liegt:

    • Es ist mindestens eine Koordinate $0$ oder $3$.
    • Die übrigen Koordinaten liegen zwischen $0$ und $3$.
    Auf dem Würfelrand liegen somit $A(3|0|3)$, dies ist insbesondere ein Eckpunkt, $B(3|3|1,5)$, dieser liegt auf der vertikalen Kante vorne links, und $E(3|1,5|1,5)$, dieser Punkt liegt auf der horizontalen Kante vorne unten.

    Bei jedem Punkt innerhalb des Würfels sind alle Koordinaten größer als $0$ und kleiner als $3$.

    Der Punkt $D(1|1|1)$ und der Punkt $F(2|2|2)$ liegen auf der Diagonalen vom Koordinatenursprung zum Punkt $S(3|3|3)$.

    Alle übrigen Punkte liegen außerhalb des Würfels. Der einzige Punkt, der außerhalb liegt, ist $C(3|3|4)$.