Punkte im Raum – Abstandsberechnung

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Punkte im Raum – Abstandsberechnung Übung
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Beschreibe, wie der Abstand zweier Punkte im Raum berechnet wird.
TippsDie Formel zur Berechnung des Abstandes zweier Punkte im Zweidimensionalen mit $P(p_1|p_2)$ sowie $S(s_1|s_2)$ lautet
$d(P;S)=\sqrt{(p_1-s_1)^2+(p_2-s_2)^2}$.
Der Satz des Pythagoras besagt, dass die Summe der Kathetenquadrate gleich dem Hypotenusenquadrat ist.
In dem obigen blauen Dreieck sind die Kathetenlängen $1$ und $2$ [LE].
LösungÄhnlich wie im zweidimensionalen Koordinatensystem kann man sich auch im dreidimensionalen Koordinatensystem den Abstand mithilfe des Satzes von Pythagoras klar machen. Dieser wird zweimal angewendet.
In dem blauen rechtwinkligen Dreieck sind die Kathetenlängen gegeben durch
- $|r_3-s_3|$, den Betrag der Differenz der z-Koordinaten, sowie
- $|r_1-s_1|$, den Betrag der Differenz der x-Koordinaten.
$h^2=(r_1-s_1)^2+(r_3-s_3)^2$.
Nun kann man sich das grüne rechtwinklige Dreieck anschauen. Hier sind die Kathetenlängen gegeben durch
- $h$ sowie
- $|r_2-s_2|$, den Betrag der Differenz der y-Koordinaten.
$d^2(R;S)=h^2+(r_2-s_2)^2=(r_1-s_1)^2+(r_2-s_2)^2+(r_3-s_3)^2$.
Zuletzt wird noch die Wurzel gezogen und man erhält die Abstandsformel für Punkte im dreidimensionalen Koordinatensystem
$d(R;S)=\sqrt{(r_1-s_1)^2+(r_2-s_2)^2+(r_3-s_3)^2}$.
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Berechne den Abstand der Punkte im $\mathbb{R}^2$ und im $\mathbb{R}^3$.
TippsDie Abstandsformel für Punkte im zweidimensionalen Koordinatensystem $P(p_1|p_2)$ sowie $S(s_1|s_2)$ lautet
$d(P;S)=\sqrt{(p_1-s_1)^2+(p_2-s_2)^2}$.
Die Abstandsformel für Punkte im zweidimensionalen Koordinatensystem $R(r_1|r_2|r_3)$ sowie $S(s_1|s_2|s_3)$ lautet
$d(R;S)=\sqrt{(r_1-s_1)^2+(r_2-s_2)^2+(r_3-s_3)^2}$.
Setze die Koordinaten der Punkte in die jeweilige Formel ein.
LösungIn dieser Aufgabe werden die beiden Abstandsformeln für Punkte im zwei- sowie im dreidimensionalen Koordinatensystem geübt. Für $P(p_1|p_2)$ sowie $S(s_1|s_2)$ ist diese gegeben durch $d(P;S)=\sqrt{(p_1-s_1)^2+(p_2-s_2)^2}$:
Für $P(3|4)$ und $S(5|2)$ lässt sich der Abstand durch $d(P;S)=\sqrt{(3-5)^2+(4-2)^2}=\sqrt{(-2)^2+2^2}=\sqrt{8}\approx2,82$ [LE] berechnen.
Im dreidimensionalen Koordinatensystem lautet die Formel für $R(r_1|r_2|r_3)$ sowie $S(s_1|s_2|s_3)$:
$d(R;S)=\sqrt{(r_1-s_1)^2+(r_2-s_2)^2+(r_3-s_3)^2}$.
Für $R(3|4|2)$ und $S(1|1|3)$ kann der Abstand durch folgende Rechnung ermittelt werden:
$\begin{array}{rcl} d(R;S)&=&\sqrt{(3-1)^2+(4-1)^2+(2-3)^2}\\ &=&\sqrt{2^2+3^2+(-1)^2}\\ &=&\sqrt{14}\approx 3,74~[\text{LE}]\end{array}$
Analog wird für $U(1|1|1)$ und $V(3|7|4)$ vorgegangen:
$\begin{array}{rcl} d(U;V)&=&\sqrt{(1-3)^2+(1-7)^2+(1-4)^2}\\ &=&\sqrt{(-2)^2+(-6)^2+(-3)^2}\\ &=&\sqrt{4+36+9}\\ &=&\sqrt{49}=7~[\text{LE}]\end{array}$
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Verwende die Abstandsformel zur Berechnung des Abstandes der beiden Punkte $P$ und $Q$.
TippsIn der ersten Zeile setzt du die jeweils fehlenden Koordinaten ein.
Beachte, dass zum Beispiel $4-(-3)=4+3=7$ ist.
Wenn du negative Zahlen quadrierst, erhältst du eine positive Zahl.
Schau dir das folgende Beispiel an:
$(-3-(-1))^2=(-3+1)^2=(-2)^2=4$.
Das Ergebnis ist ungefähr $6,16$.
LösungEs soll der Abstand der Punkte $P(3|-1|4)$ und $Q(2|-2|-2)$ berechnet werden. Hierfür wird die Abstandsformel im Dreidimensionalen verwendet:
$d(P;Q)=\sqrt{(3-2)^2+(-1-(-2))^2+(4-(-2))^2}$.
Die Summe der Quadrate der Differenzen wird berechnet:
$d(P;Q)=\sqrt{1^2+1^2+6^2}=\sqrt{1+1+36}=\sqrt{38}$.
Der Abstand ist ungefähr $6,16$ [FE].
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Ermittle den Punkt mit dem größten Abstand zu $A(1|1|3)$.
TippsVerwende die Formel
$d(R;S)=\sqrt{(r_1-s_1)^2+(r_2-s_2)^2+(r_3-s_3)^2}$
für $R(r_1|r_2|r_3)$ und $S(s_1|s_2|s_3)$.
Da alle Werte positiv sind, genügt es auch die Zahlen unter der Wurzel zu vergleichen.
Der Abstand von $R$ zu $A$ beträgt zum Beispiel $\sqrt{24}$.
LösungFür Punkte $R(r_1|r_2|r_3)$ und $S(s_1|s_2|s_3)$ im dreidimensionalen Koordinatensystem gilt die Formel
$d(R;S)=\sqrt{(r_1-s_1)^2+(r_2-s_2)^2+(r_3-s_3)^2}$.
Es muss nun jeweils der Abstand eines Punktes von dem gegebenen Punkt $A(1|1|3)$ berechnet werden.
Berechnen wir zunächst den Abstand von $Q(3|2|1)$ und $A$:
$\begin{array}{rcl} d(Q;A)&=&\sqrt{(3-1)^2+(2-1)^2+(1-3)^2}\\ &=&\sqrt{2^2+1^2+(-2)^2}\\ &=&\sqrt{9}=3 \end{array}$
Nun berechnen wir den Abstand von $P(2|-2|2)$ und $A$:
$\begin{array}{rcl} d(P;A)&=&\sqrt{(2-1)^2+(-2-1)^2+(2-3)^2}\\ &=&\sqrt{1^2+(-3)^2+(-1)^2}\\ &=&\sqrt{11} \end{array}$
Der Abstand von $S(5|1|2)$ und $A$ lässt sich folgendermaßen berechnen:
$\begin{array}{rcl} d(S;A)&=&\sqrt{(5-1)^2+(1-1)^2+(2-3)^2}\\ &=&\sqrt{4^2+0^2+(-1)^2}\\ &=&\sqrt{17} \end{array}$
Zuletzt berechnen wir den Abstand von $R(3|3|-1)$ und $A$:
$\begin{array}{rcl} d(R;A)&=&\sqrt{(3-1)^2+(3-1)^2+(-1-3)^2}\\ &=&\sqrt{2^2+2^2+(-4)^2}\\ &=&\sqrt{24} \end{array}$
Wie sich zeigt, ist die richtige Reihenfolge, beginnend mit dem geringsten Abstand: $Q$, $P$, $S$ und $R$.
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Gib die Formel zur Berechnung des Abstandes für $d(P;S)$ im $\mathbb{R}^2$ und $d(R;S)$ im $\mathbb{R}^3$ an.
TippsDie beiden Formeln sehen recht ähnlich aus. Die eine beinhaltet zwei, die andere drei Summanden.
Zunächst werden die einander entsprechenden Koordinaten der Punkte subtrahiert.
Dann werden die Differenzen quadriert.
Die Quadrate werden addiert.
Zuletzt wird die Wurzel aus der Summe gezogen.
LösungDie Abstandsformeln sehen sehr ähnlich aus. Beide gehen auf den Satz des Pythagoras zurück. Dieser wird im Dreidimensionalen zweimal durchgeführt.
Es werden jeweils
- die einander entsprechenden Koordinaten der Punkte subtrahiert,
- die Differenzen quadriert und
- diese Quadrate addiert.
- Zuletzt wird die Wurzel aus dieser Summe gezogen.
- $d(P;S)=\sqrt{(p_1-s_1)^2+(p_2-s_2)^2}$ für Punkte im $\mathbb{R}^2$
- $d(R;S)=\sqrt{(r_1-s_1)^2+(r_2-s_2)^2+(r_3-s_3)^2}$ für Punkte im $\mathbb{R}^3$
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Weise nach, dass das Dreieck $\Delta_{ABC}$ gleichschenklig ist.
TippsBei einem gleichschenkligen Dreieck sind zwei Seiten gleich lang.
Verwende die Abstandsformel. Sei zum Beispiel $P(3|3|4)$ und $Q(1|1|2)$, dann ist
$\begin{array}{rcl} d(P;Q)&=&\sqrt{(3-1)^2+(3-1)^2+(4-2)^2}\\ &=&\sqrt{2^2+2^2+2^2}\\ &=&\sqrt{12} \end{array}$
Achte darauf, dass das Quadrieren einer negativen Zahl zu einem positiven Ergebnis führt.
LösungEs müssen insgesamt drei Längen, also drei Abstände, berechnet werden. Bei den Punkten handelt es sich um $A(7|7|3)$, $B(5|-6|4)$ und $C(3|1|4)$.
$\begin{array}{rcl} d(A;B)&=&\sqrt{(7-5)^2+(7-(-6))^2+(3-4)^2}\\ &=&\sqrt{2^2+13^2+(-1)^2}\\ &=&\sqrt{174} \end{array}$
$\begin{array}{rcl} d(A;C)&=&\sqrt{(7-3)^2+(7-1)^2+(3-4)^2}\\ &=&\sqrt{4^2+6^2+(-1)^2}\\ &=&\sqrt{53} \end{array}$
$\begin{array}{rcl} d(B;C)&=&\sqrt{(5-3)^2+(-6-1)^2+(4-4)^2}\\ &=&\sqrt{2^2+(-7)^2+0^2}\\ &=&\sqrt{53} \end{array}$
Das bedeutet, dass die beiden Seiten $\overline{AC}$ sowie $\overline{BC}$ gleich lang sind. Das Dreieck $\Delta_{ABC}$ ist gleichschenklig.
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