Punkte im Raum – Abstandsberechnung

Name: Punkte im Raum – Abstandsberechnung
Uploaded: 2021-09-28T16:41:57.000+02:00
Description: Punkte im Raum – Abstandsberechnung erklärt inkl. Übungen

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Punkte im Raum – Abstandsberechnung

Hallo. Mein Name ist Frank. In diesem Video behandle ich Punkte im Raum. Und dabei schaue ich mir an, wie der Abstand dieser Punkte berechnet werden kann. Zunächst einmal wiederhole ich das ganze in der Ebene, also im R^{2<|sup> anhand von zwei Punkten. Hier links kannst du schon mal ein Koordinatensystem vorbereitet sehen. Mit den beiden Punkten P(3|4) und S(5|2). Wenn du die beiden Punkte miteinander verbindest, das siehst du hier an dieser Linie, dann bekommst du eine Strecke. Und die Länge dieser Strecke von P nach S oder von S nach P, die Reihenfolge ist egal, ist gerade der gesuchte Abstand. Ich habe hier schon mal ein rechtwinkliges Dreieck vorbereitet, das du auch markiert siehst. Den Winkel habe ich auch markiert. Und du kannst sehen, dass diese Strecke von P nach S gerade die Hypotenuse dieses Dreiecks ist. Und das heißt, nach dem Satz des Pythagoras gilt, dass der Abstand der beiden Punkte P, S zueinander zum Quadrat gerade der Abstand der Katheten ist. Und die Katheten sind, also der Katheten zum Quadrat natürlich. Die Katheten sind gerade (3-5), also Betrag von (3-5) und (4-2). Und wenn du das ausrechnest, kommt hier raus -2² also vier. 4-2=2. 2² ist auch 4. Also kommt insgesamt 8 raus. Jetzt hast du den, das Quadrat des Abstandes. Wir wollen aber den Abstand haben. Das heißt, wir müssten auf beiden Seiten die Wurzel ziehen. Und hätten dann da stehen, der Abstand der beiden Punkte zueinander ist nichts anderes als √8. Das ist ungefähr 2,83. Wenn du keine Maßeinheiten vorgegeben hast, kannst du immer LE für Längeneinheiten schreiben. Das wäre jetzt das Beispiel der beiden Punkte P, S, also P(3|4) und S(5|2). Und wenn wir das verallgemeinern, bekommen wir eine Formel, die hier schon mal angeschrieben ist. Also wenn du den Punkt P mit der x-Koordinate p₁ und der y-Koordinate p₂ hast. Und den Punkt S mit der x-Koordinate s₁ und der y-Koordinate s₂. Dann ist die Abstandsformel für diese beiden Punkte in der Ebene gegeben durch: der Abstand d der beiden Punkte P und S zueinander ist gerade die Wurzel aus - das ist das, was ich hier gemacht habe - die Differenz der beiden x-Koordinaten also (p₁ - s₁)² + (p₂ - s₂)² nach dem Pythagoras. Im Folgenden werde ich dir zeigen, wie du diese Abstände auch berechnen kannst im R³, also im Raum. Ok. Nachdem ich in der Ebene, also im R² wiederholt habe, wie man den Abstand zweier Punkte berechnen kann mit dieser Formel, werde ich mir das ganze jetzt im R³ anschauen, also im Raum. Ich habe hier links schon mal ein Koordinatensystem vorbereitet mit den beiden Punkten R(3|4|2) und S (1|1|3). Wenn du die beiden Punkte miteinander verbindest, bekommst du die Strecke zwischen R und S und die Länge dieser Strecke ist der gesuchte Abstand. Auch hier wieder es ist egal, wie rum du das machst. Ob du von R nach S gehst oder von S nach R. Der Abstand ist der gleiche. Das werde ich nachher nochmal sagen, was das bedeutet. Ich habe diese beiden Punkte hergenommen und habe dann einen Quader beschrieben. Und in diesem Quader sind diese beiden Punkte räumlich diagonal gegenüberliegende Punkte. Den Quader kannst du hier blau erkennen. Und nun habe ich dieses ganze Koordinatensystem erstmal weggenommen, weil ich jetzt im Folgenden mache ein kleines bisschen deutlicher zu haben. Das Koordinatensystem würde sehr wahrscheinlich ein bisschen Aufmerksamkeit abziehen. Deswegen ganz normal ohne das Koordinatensystem. Du siehst hier diesen blauen Quader. Mit den Eckpunkten S und R. Und diese Verbindung der beiden Punkte ist die Strecke RS und die Länge dieser Strecke ist der gesuchte Abstand. Wie du hier siehst, also auf der linken Seite befindet sich ein Dreieck, ein rechtwinkliges Dreieck. Ich nehme das mal her, kopiere das und ziehe das mal nach unten. Die Hypotenuse heißt x, also die nenne ich jetzt mal so. Und die eine Kathete hat die Länge |2 - 3|. Und die andere hat die Länge |3 - 1| im Betrag. Und nach dem Satz des Pythagoras gilt dann x² = (2 - 3)² + (3 - 1)². Wie ich vorhin schon sagte, es ist egal, ob du den Abstand von R nach S oder von S nach R betrachtest. Wir arbeiten eh mit Beträgen und wenn ich hier quadriere, kann ich die Beträge weglassen. Nun hätte ich dieses Dreieck fertig und schaue mir im Folgenden das andere Dreieck an. Das siehst du hier auch schon markiert. Und kopiere auch das und ziehe das mal nach unten. Du siehst, die Seite x, die ich jetzt hier schon habe, ist jetzt eine Kathete und der gesuchte Abstand der beiden Punkte zueinander also d(R;S), also die Länge der Strecke von R nach S, ist gerade die Hypotenuse. Und auch hier wende ich wieder den Satz des Pythagoras an. Die Summe der Kathetenquadrate. Die eine Kathete ist x und die andere Kathete ist (4-1) lang. Ist gerade dem Hypotenusenquadrat. Und wenn ich das x jetzt einsetze, steht da (2-3) = -1, zum Quadrat ist 1. 3-1 = 2, zum Quadrat ist 4. 4-1 = 3, zum Quadrat ist 9. Also insgesamt bekomme ich hier 14 raus. Nun möchte ich ja nicht den Abstand im Quadrat wissen, sondern den Abstand. Also ziehe ich hier die Wurzel und erhalte dann: der Abstand der beiden Punkte R und S zueinander ist die Wurzel aus 14 und das ist ungefähr 3,74. Wenn keine Maßangaben gegeben sind, schreibst du in eckigen Klammern LE für Längeneinheiten dazu. Das heißt, ich habe hier zweimal den Pythagoras angewendet. Und ich bekomme so eine ähnliche Formel wie hier bei den Punkten in der Ebene. Nämlich diese hier. Also ich habe zwei Punkte R mit den x-Koordinaten, der x-Koordinate r₁, der y-Koordinate r₂, der z-Koordinate R3 und den Punkt S mit der x-Koordinate s₁, der y-Koordinate s₂, der z-Koordinate S3 und dann ist der Abstand wie folgt gegeben. Die Wurzel aus der jeweiligen Differenz der x-Koordinaten, also (r₁ - s₁)² plus der Differenz der y- Koordinaten. (r₂ - s₂)² und der Differenz der z- Koordinaten, also (r₃ - s₃)². Und ich werde das Ganze jetzt nochmal an einem weiteren Beispiel zeigen also zwei Punkte aus dem R³. Ich nehme da die beiden Punkte her U(1|1|1) und V(3|7|4). Und ich wende jetzt mal diese Abstandsformel an. Das heißt, der Abstand dieser beiden Punkte zueinander, also d(U;V) wäre√((3 - 1)² + (7 - 1)² + (4 - 1)²). 3-1 = 2, zum Quadrat ist 4. 7-1 = 6, zum Quadrat ist 36. 4-1 = 3, zum Quadrat ist 9. 4+36 = 40. Plus 9 = 49. Also √49 = 7. Längeneinheiten. So. Ich wiederhole nochmal kurz, was ich in diesem Video gemacht habe. Also ich habe mir Punkte im Raum angeschaut und gezeigt, wie man bei Punkten im Raum den Abstand berechnen kann. Dafür habe ich zunächst einmal das Ganze wiederholt in der Ebene. Und mit dem Pythagoras komme ich auf diese Formel. Der Abstand zweier Punkte ist gerade die Differenz der x-Koordinaten zum Quadrat plus die Differenz der y-Koordinaten zum Quadrat aus dem ganzen die Wurzel. Wie gesagt nach Pythagoras. Wenn ich den Satz des Pythagoras zwei Mal anwende, das kannst du hier nochmal an dem Quader sehen, bekomme ich eine Formel für die Abstandsberechnung von Punkten im Raum. Da durch Differenz der x-Koordinaten quadriere das, die Differenz der y-Koordinaten quadriere das und die Differenz der z-Koordinaten und quadriere das. Und aus dem Ganzen ziehe ich die Wurzel. Abschließend habe ich das nochmal mit zwei Punkten U und V gemacht. Ich hoffe, du konntest alles gut verstehen. Und danke dir für deine Aufmerksamkeit. Ich freue mich wie immer über Fragen und Anregungen. Und bis zum nächsten Mal! Dein Frank.}

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Die Autor*innen

Frank Steiger

Punkte im Raum – Abstandsberechnung

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Punkte im Raum – Abstandsberechnung Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Punkte im Raum – Abstandsberechnung kannst du es wiederholen und üben.

Beschreibe, wie der Abstand zweier Punkte im Raum berechnet wird.
Tipps

Die Formel zur Berechnung des Abstandes zweier Punkte im Zweidimensionalen mit $P(p_1|p_2)$ sowie $S(s_1|s_2)$ lautet
$d(P;S)=\sqrt{(p_1-s_1)^2+(p_2-s_2)^2}$.

Der Satz des Pythagoras besagt, dass die Summe der Kathetenquadrate gleich dem Hypotenusenquadrat ist.

In dem obigen blauen Dreieck sind die Kathetenlängen $1$ und $2$ [LE].

Lösung
Ähnlich wie im zweidimensionalen Koordinatensystem kann man sich auch im dreidimensionalen Koordinatensystem den Abstand mithilfe des Satzes von Pythagoras klar machen. Dieser wird zweimal angewendet.
In dem blauen rechtwinkligen Dreieck sind die Kathetenlängen gegeben durch
- $|r_3-s_3|$, den Betrag der Differenz der z-Koordinaten, sowie
- $|r_1-s_1|$, den Betrag der Differenz der x-Koordinaten.
Diese Längen werden quadriert und addiert zu
$h^2=(r_1-s_1)^2+(r_3-s_3)^2$.
Nun kann man sich das grüne rechtwinklige Dreieck anschauen. Hier sind die Kathetenlängen gegeben durch
- $h$ sowie
- $|r_2-s_2|$, den Betrag der Differenz der y-Koordinaten.
Wieder werden die Längen quadriert und addiert:
$d^2(R;S)=h^2+(r_2-s_2)^2=(r_1-s_1)^2+(r_2-s_2)^2+(r_3-s_3)^2$.
Zuletzt wird noch die Wurzel gezogen und man erhält die Abstandsformel für Punkte im dreidimensionalen Koordinatensystem
$d(R;S)=\sqrt{(r_1-s_1)^2+(r_2-s_2)^2+(r_3-s_3)^2}$.
Berechne den Abstand der Punkte im $\mathbb{R}^2$ und im $\mathbb{R}^3$.

Tipps

Die Abstandsformel für Punkte im zweidimensionalen Koordinatensystem $P(p_1|p_2)$ sowie $S(s_1|s_2)$ lautet
$d(P;S)=\sqrt{(p_1-s_1)^2+(p_2-s_2)^2}$.

Die Abstandsformel für Punkte im zweidimensionalen Koordinatensystem $R(r_1|r_2|r_3)$ sowie $S(s_1|s_2|s_3)$ lautet
$d(R;S)=\sqrt{(r_1-s_1)^2+(r_2-s_2)^2+(r_3-s_3)^2}$.

Setze die Koordinaten der Punkte in die jeweilige Formel ein.

Lösung

In dieser Aufgabe werden die beiden Abstandsformeln für Punkte im zwei- sowie im dreidimensionalen Koordinatensystem geübt. Für $P(p_1|p_2)$ sowie $S(s_1|s_2)$ ist diese gegeben durch $d(P;S)=\sqrt{(p_1-s_1)^2+(p_2-s_2)^2}$:
Für $P(3|4)$ und $S(5|2)$ lässt sich der Abstand durch $d(P;S)=\sqrt{(3-5)^2+(4-2)^2}=\sqrt{(-2)^2+2^2}=\sqrt{8}\approx2,82$ [LE] berechnen.
Im dreidimensionalen Koordinatensystem lautet die Formel für $R(r_1|r_2|r_3)$ sowie $S(s_1|s_2|s_3)$:
$d(R;S)=\sqrt{(r_1-s_1)^2+(r_2-s_2)^2+(r_3-s_3)^2}$.
Für $R(3|4|2)$ und $S(1|1|3)$ kann der Abstand durch folgende Rechnung ermittelt werden:
$\begin{array}{rcl} d(R;S)&=&\sqrt{(3-1)^2+(4-1)^2+(2-3)^2}\\ &=&\sqrt{2^2+3^2+(-1)^2}\\ &=&\sqrt{14}\approx 3,74~[\text{LE}]\end{array}$
Analog wird für $U(1|1|1)$ und $V(3|7|4)$ vorgegangen:
$\begin{array}{rcl} d(U;V)&=&\sqrt{(1-3)^2+(1-7)^2+(1-4)^2}\\ &=&\sqrt{(-2)^2+(-6)^2+(-3)^2}\\ &=&\sqrt{4+36+9}\\ &=&\sqrt{49}=7~[\text{LE}]\end{array}$
Verwende die Abstandsformel zur Berechnung des Abstandes der beiden Punkte $P$ und $Q$.

Tipps

In der ersten Zeile setzt du die jeweils fehlenden Koordinaten ein.

Beachte, dass zum Beispiel $4-(-3)=4+3=7$ ist.

Wenn du negative Zahlen quadrierst, erhältst du eine positive Zahl.
Schau dir das folgende Beispiel an:
$(-3-(-1))^2=(-3+1)^2=(-2)^2=4$.

Das Ergebnis ist ungefähr $6,16$.

Lösung

Es soll der Abstand der Punkte $P(3|-1|4)$ und $Q(2|-2|-2)$ berechnet werden. Hierfür wird die Abstandsformel im Dreidimensionalen verwendet:
$d(P;Q)=\sqrt{(3-2)^2+(-1-(-2))^2+(4-(-2))^2}$.
Die Summe der Quadrate der Differenzen wird berechnet:
$d(P;Q)=\sqrt{1^2+1^2+6^2}=\sqrt{1+1+36}=\sqrt{38}$.
Der Abstand ist ungefähr $6,16$ [FE].
Ermittle den Punkt mit dem größten Abstand zu $A(1|1|3)$.

Tipps

Verwende die Formel
$d(R;S)=\sqrt{(r_1-s_1)^2+(r_2-s_2)^2+(r_3-s_3)^2}$
für $R(r_1|r_2|r_3)$ und $S(s_1|s_2|s_3)$.

Da alle Werte positiv sind, genügt es auch die Zahlen unter der Wurzel zu vergleichen.

Der Abstand von $R$ zu $A$ beträgt zum Beispiel $\sqrt{24}$.

Lösung

Für Punkte $R(r_1|r_2|r_3)$ und $S(s_1|s_2|s_3)$ im dreidimensionalen Koordinatensystem gilt die Formel
$d(R;S)=\sqrt{(r_1-s_1)^2+(r_2-s_2)^2+(r_3-s_3)^2}$.
Es muss nun jeweils der Abstand eines Punktes von dem gegebenen Punkt $A(1|1|3)$ berechnet werden.
Berechnen wir zunächst den Abstand von $Q(3|2|1)$ und $A$:
$\begin{array}{rcl} d(Q;A)&=&\sqrt{(3-1)^2+(2-1)^2+(1-3)^2}\\ &=&\sqrt{2^2+1^2+(-2)^2}\\ &=&\sqrt{9}=3 \end{array}$
Nun berechnen wir den Abstand von $P(2|-2|2)$ und $A$:
$\begin{array}{rcl} d(P;A)&=&\sqrt{(2-1)^2+(-2-1)^2+(2-3)^2}\\ &=&\sqrt{1^2+(-3)^2+(-1)^2}\\ &=&\sqrt{11} \end{array}$
Der Abstand von $S(5|1|2)$ und $A$ lässt sich folgendermaßen berechnen:
$\begin{array}{rcl} d(S;A)&=&\sqrt{(5-1)^2+(1-1)^2+(2-3)^2}\\ &=&\sqrt{4^2+0^2+(-1)^2}\\ &=&\sqrt{17} \end{array}$
Zuletzt berechnen wir den Abstand von $R(3|3|-1)$ und $A$:
$\begin{array}{rcl} d(R;A)&=&\sqrt{(3-1)^2+(3-1)^2+(-1-3)^2}\\ &=&\sqrt{2^2+2^2+(-4)^2}\\ &=&\sqrt{24} \end{array}$
Wie sich zeigt, ist die richtige Reihenfolge, beginnend mit dem geringsten Abstand: $Q$, $P$, $S$ und $R$.
Gib die Formel zur Berechnung des Abstandes für $d(P;S)$ im $\mathbb{R}^2$ und $d(R;S)$ im $\mathbb{R}^3$ an.
Tipps

Die beiden Formeln sehen recht ähnlich aus. Die eine beinhaltet zwei, die andere drei Summanden.

Zunächst werden die einander entsprechenden Koordinaten der Punkte subtrahiert.

Dann werden die Differenzen quadriert.

Die Quadrate werden addiert.

Zuletzt wird die Wurzel aus der Summe gezogen.

Lösung
Die Abstandsformeln sehen sehr ähnlich aus. Beide gehen auf den Satz des Pythagoras zurück. Dieser wird im Dreidimensionalen zweimal durchgeführt.
Es werden jeweils
- die einander entsprechenden Koordinaten der Punkte subtrahiert,
- die Differenzen quadriert und
- diese Quadrate addiert.
- Zuletzt wird die Wurzel aus dieser Summe gezogen.
Auf diese Weise ergeben sich zwei Formeln:
- $d(P;S)=\sqrt{(p_1-s_1)^2+(p_2-s_2)^2}$ für Punkte im $\mathbb{R}^2$
- $d(R;S)=\sqrt{(r_1-s_1)^2+(r_2-s_2)^2+(r_3-s_3)^2}$ für Punkte im $\mathbb{R}^3$
Weise nach, dass das Dreieck $\Delta_{ABC}$ gleichschenklig ist.

Tipps

Bei einem gleichschenkligen Dreieck sind zwei Seiten gleich lang.

Verwende die Abstandsformel. Sei zum Beispiel $P(3|3|4)$ und $Q(1|1|2)$, dann ist
$\begin{array}{rcl} d(P;Q)&=&\sqrt{(3-1)^2+(3-1)^2+(4-2)^2}\\ &=&\sqrt{2^2+2^2+2^2}\\ &=&\sqrt{12} \end{array}$

Achte darauf, dass das Quadrieren einer negativen Zahl zu einem positiven Ergebnis führt.

Lösung

Es müssen insgesamt drei Längen, also drei Abstände, berechnet werden. Bei den Punkten handelt es sich um $A(7|7|3)$, $B(5|-6|4)$ und $C(3|1|4)$.
$\begin{array}{rcl} d(A;B)&=&\sqrt{(7-5)^2+(7-(-6))^2+(3-4)^2}\\ &=&\sqrt{2^2+13^2+(-1)^2}\\ &=&\sqrt{174} \end{array}$
$\begin{array}{rcl} d(A;C)&=&\sqrt{(7-3)^2+(7-1)^2+(3-4)^2}\\ &=&\sqrt{4^2+6^2+(-1)^2}\\ &=&\sqrt{53} \end{array}$
$\begin{array}{rcl} d(B;C)&=&\sqrt{(5-3)^2+(-6-1)^2+(4-4)^2}\\ &=&\sqrt{2^2+(-7)^2+0^2}\\ &=&\sqrt{53} \end{array}$
Das bedeutet, dass die beiden Seiten $\overline{AC}$ sowie $\overline{BC}$ gleich lang sind. Das Dreieck $\Delta_{ABC}$ ist gleichschenklig.