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Punkte im Schrägbild

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Martin Wabnik
Punkte im Schrägbild
lernst du in der 10. Klasse - 11. Klasse - 12. Klasse - 13. Klasse

Beschreibung Punkte im Schrägbild

Ein Punkt im dreidimensionalen Koordinatensystem soll auf Papier im Schrägbild eingezeichnet werden. Du erfährst hier also, wie man die Punkte im dreidimensionalen Koordinatensystem einzeichnen muss. Der Punkt A ist willkürlich im Modell angeordnet. Es sind bereits die Koordinaten des Punktes am Modell bestimmt worden. Diese Koordinaten werden zunächst aufgeschrieben. Dir wird ausführlich erklärt, wie man nun die drei Koordinaten des Punktes ins Koordinatensystem auf dem Papier einzeichnet ( Schrägbild ). Vorher wird am Modell gezeigt, wie der Hilfslinienweg aussieht und warum es egal ist, mit welcher Koordinate man beginnt. Damit du das dreidimensionale im Bild erkennst, werden einige Hilfslinien und ein weiterer Punkt B eingezeichnet.

Transkript Punkte im Schrägbild

Hallo! Wir haben einen Punkt. Da ist er. Im Koordinatensystem. Da ist der Punkt und hier sind die 3 Koordinaten so angedeutet mit dem Knetwachs. Jetzt müssen wir das Ganze noch aufschreiben und einmal überlegen, wie man das in so ein dreidimensionales Koordinatensystem einzeichnet, weil du ja normalerweise in Klausuren zum Beispiel nicht so ein Modell benutzt, sondern solche Zeichnungen machen wirst, und da müssen wir uns eben überlegen, wie man das hier einzeichnet. Also, diesen Punkt hier oben nenne ich mal A, das ist ein großes A. Punkte haben ja immer Großbuchstaben. Und dieser hat 3 Koordinaten. Ich gehe erst mal auf der x1-Achse, das ist hier, da ist x1. Da komme ich gleich noch dazu. Ich gehe erst mal auf der x1-Achse, das ist hier, da ist x1. Ich gehe erst mal 2 nach vorne. Deshalb hat dieser Punkt hier, die Koordinate +2. Dann muss ich hier nicht auf dem positiven Teil der x2-Halbachse, ich muss auf dem negativen Teil hier 5 Einheiten entlang gehen, das heißt, ich habe hier die zweite Koordinate -5, und die dritte Koordinate geht hier nach oben, ich sage mal das ist 3, das kommt ungefähr hin. Und so habe ich jetzt hier den Punkt aufgeschrieben, der durch diese 3 Koordinaten vollständig definiert ist. So, das zum Aufschreiben. Jetzt ist die Frage: Wie zeichnet man das ein? Man stellt sich Folgendes vor: Man nimmt sich Hilfslinien beziehungsweise man stellt sich einen Weg vor, den man entlanggeht. Das möchte ich mal etwas von Nahem zeigen. Ich fange jetzt an mit der x2-Achse, ich gehe also in Gedanken hier entlang. Mit welcher Achse ich anfange, ist völlig egal. Es sind zwar diese Koordinaten - diese Koordinaten hier sind nicht egal, in der Reihenfolge, aber wenn ich diese Hilfslinien mache, dann ist es egal, in welcher Reihenfolge ich vorgehe. Ich fange jetzt hier mit der x2-Achse an, das heißt, ich gehe jetzt hier erst mal 5 Einheiten in die negative Richtung. Dann stecke ich hier mal einen Stab hinein. Ich gehe jetzt weiter: 2 Einheiten in die positive x1-Richtung, vielleicht kann man das sehen, und von da aus gehe ich 3 Einheiten in Gedanken nach oben und komme zu dem Punkt, zu dem ich hin will. So ungefähr kann das aussehen. Ich hoffe, du kannst das dreidimensional sehen. Du hast ja einen guten Eindruck, wenn ich das ein bisschen drehe hier. Das ist der Hilfslinienweg. Ich hätte auch erst nach oben gehen können, dann zur Seite und dann nach vorne. Dann kommt man zum selben Punkt an. Ich glaube, das bringt dich nicht weiter aus der Ruhe. So, wie zeichnet man das auf? Hier ist noch die x3-Achse. Man geht, wenn man das so machen will, wie ich das gerade vorgemacht habe, zunächst mal in x2-Richtung, und zwar -5 Einheiten hier hin. Dann geht man 2 Einheiten nach vorne und das zeichnet man hier jetzt natürlich nicht einfach nach unten, sondern parallel zur x1-Achse. Das ist ja ein 45°-Winkel, das ist ein 135° Winkel. Also hier geht die Hilfslinie parallel zur x1-Achse nach vorne. Das könnten jetzt 2 Einheiten sein. Es kommt jetzt nicht so genau darauf an, dass das so auf den Millimeter genau ist. Und dann, von hier aus, habe ich gesagt, muss ich ein bisschen nach oben gehen, also 3 Einheiten. Das mache ich jetzt auch mal. Hier ist die Hilfslinie, die nach oben geht. Ist vielleicht auch ein bisschen zu viel geworden, aber das macht nichts. Das Prinzip ist wichtig. Ich hoffe, du hast jetzt, wenn du das hier so siehst, einen dreidimensionalen Eindruck. Um diesen dreidimensionalen Eindruck noch zu erhöhen, gibt es noch eine Hilfslinie, die man da unten einzeichnen kann, das heißt, man hat dann hier quasi so ein Rechteck. Also, gezeichnet hierauf habe ich natürlich ein Parallelogramm, das kein Rechteck ist, aber der Eindruck soll ja hier dreidimensional sein, das heißt, man stellt sich hierbei ein Rechteck vor, und von diesem Eckpunkt aus geht dann ein Weg nach oben, geht die z-Koordinate, hier also 3, nach oben weg, und dann kommt man zu dem Punkt A und der ist dann hier. Wenn du von diesem Punkt A aus weitergehen möchtest, was du auch machen kannst, du kannst jetzt zu einem Punkt B gehen, dann kannst du auch Hilfslinien einzeichnen. Das mache ich jetzt nicht alles vor. Zum Beispiel könntest du auf der x2-Achse wieder ein bisschen zurückgehen und dann könntest du auf der x1-Achse noch ein Stück zurückgehen und dann vielleicht noch ein Stück nach oben und kommst hier zu deinem neuen Punkt. Der soll jetzt mal B heißen. Ich hoffe, das ist noch erkennbar, dass der neue Punkt B heißt. Auch hier malt man dann so ein Parallelogramm ein, das heißt, wenn einen die anderen Buchstaben jetzt nicht weiter stören. Hier hat man dann ein Parallelogramm. Ich wische das A mal eben weg, damit man das vielleicht ein bisschen besser sehen kann. Und das ist dann der nächste dreidimensionale Eindruck, der hier entstanden sein soll, so dass du hier sehen kannst, wo dieses B im Koordinatensystem ist. Ich gebe zu, das ist nicht in allen Bereichen, in allen Belangen, zufriedenstellend, aber das ist die Methode, auf die man sich geeinigt hat. Man könnte das natürlich alles viel schöner malen mit Fluchtpunkten, und so weiter. Aber letzten Endes wäre das viel komplizierter, und zweitens sind wir hier nicht in der Kunst und auch nicht in der darstellenden Geometrie und auch nicht in der Vektorrechnung. Und dann sind diese Bilder, die wir hier machen, Hilfsmittel, und für ein Hilfsmittel soll das mal so reichen. Ja, das war es. So zeichnet man Punkte ein. Viel Spaß, tschüss.

4 Kommentare

4 Kommentare
  1. @Kartoffel007:
    Ich glaube, dass du hier zwei Sachen durcheinander bringst.
    (1) Bei dem dreidimensionalen Koordinatensystem ist die x1-Achse nach vorne positiv und nach hinten negativ.Die x2-Achse ist nach rechts positiv und nach links negativ und die x3-Achse ist nach oben positiv und nach unten negativ.
    (2) Die x1-Achse wird üblicherweise als x-Achse, die x2-Achse als y-Achse und die x3-Achse als z-Achse bezeichnet. Das ist anders als im zweidimensionalen Koordinatensystem, bei dem die x-Achse nach links/rechts und die y-Achse nach oben/unten verlaufen.
    (3) Der Punkt A( 2| - 5| 3) wird daher 2 Einheiten nach vorne auf der x1 bzw. x-Achse, 5 Einheiten nach links auf der x2 bzw. y-Achse und 3 Einheiten nach oben auf der x3- bzw. z-Achse eingezeichnet.
    Ich hoffe, dass ich dir helfen konnte.

    Von Giuliano Murgo, vor etwa 6 Jahren
  2. warum geht der bei der x1-Achse 2 einheiten in den negativen bereich, obwohl der x1-wert bzw. z-wert positiv ist?

    Von Kartoffel007, vor etwa 6 Jahren
  3. @Smail Sge:
    Man kann beim Einzeichnen der Punkte in einem dreidimensionalem Koordinatensystem unterschiedlich beginnen. Wichtig ist der Startpunkt im Usprung O(0|0|0).O steht für Orgigin (engl. Ursprung) Danach kann man mit einer belibigen Achse beginnen (X1, X2 oder X3). Welcher Weg bzw. welche Vorgehensweise einfacher ist, kann jeder für sich selber herausfinden.
    Vielen Dank für deinen Kommentar.

    Von Giuliano Murgo, vor etwa 7 Jahren
  4. Ich würde beim einzeichnen einfach mit der X1-Koordinate anfangen, dann ist es viel leichter , da man an der x1-Achse entlang gehen kann... Und warum in der Mitte anfangen.. Einfach bei x1 anfangen, dann x2 Einheiten nach links oder rechts und dann X3 Einheiten nach oben oder unten...

    Von Smail Sge, vor etwa 7 Jahren

Punkte im Schrägbild Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Punkte im Schrägbild kannst du es wiederholen und üben.
  • Beschreibe die Bedeutung der einzelnen Koordinaten.

    Tipps

    Im zweidimensionalen Koordinatensystem haben Punkte zwei Koordinaten, die x- sowie die y-Koordinate. Man könnte auch sagen die $x_1$- sowie die $x_2$-Koordinate.

    Die erste Koordinate eines Punktes ist die x-Koordinate und die zweite die y-Koordinate.

    Ein Punkt könnte zum Beispiel so aussehen: $P(2|3)$.

    Die entsprechenden Koordinaten sind entsprechend der Anordnung in dem Punkt nummeriert.

    Die Richtung ist durch das entsprechende Vorzeichen vorgegeben.

    Dies kennst du sicher noch von zweidimensionalen Koordinatensystemen.

    Lösung

    Um einen Punkt in ein Schrägbild zu zeichnen, muss man sich zunächst klarmachen, welche Zahl zu welcher Achse im dreidimensionalen Koordinatensystem gehört.

    Hier ist ein solches Koordinatensystem zu sehen.

    Gegeben ist der Punkt $A(2|-5|3)$. Dabei ist

    • $2$ die $x_1$ Koordinate. Diese gibt an, dass man entlang der $x_1$ Achse zwei Einheiten in positiver Richtung gehen muss.
    • $-5$ die $x_2$ Koordinate. Diese gibt an, dass man entlang der $x_2$ Achse fünf Einheiten in negativer Richtung gehen muss.
    • $3$ die $x_3$ Koordinate. Diese gibt an, dass man entlang der $x_3$ Achse drei Einheiten in positiver Richtung gehen muss.

  • Kennzeichne die Pfeile, welche angeben, wie man den Punkt $A$ im dreidimensionalen Koordinatensystem zeichnen kann.

    Tipps

    Beachte: Die Reihenfolge ist zwar egal, man muss jedoch im Koordinatenursprung beginnen.

    Der erste Schritt ist fünf Einheiten in negativer $x_2$ Richtung.

    Der jeweils folgende Schritt beginnt am Ende des vorherigen.

    Lösung

    Wie kann man einen Punkt in ein Schrägbild einzeichnen?

    Man trägt jeweils die Koordinaten des Punktes entlang der Achsen ab. Um dies anschaulicher zu machen, analog dem Vorgehen bei zweidimensionalen Koordintensystem, beginnt man mit einer Koordinate, egal welcher.

    Hier wird mit $-5$, der $x_2$ Koordinate begonnen. Das bedeutet, man geht fünf Einheiten in negativer $x_2$ Richtung. Dies ist mit dem grünen Pfeil angedeutet, welcher in eine andere Richtung zeigt als der Pfeil an der Achse. Wichtig ist, dass man im Koordinatenursprung beginnt.

    Von dort aus geht man $2$, die $x_1$ Koordinate, in positiver $x_1$ Richtung. Dies ist durch den blauen Pfeil angedeutet.

    Ebenfalls wieder von dort aus, gelangt man über $3$, die $x_3$ Koordinate, Einheiten in positiver $x_3$ Richtung, der gelbe Pfeil, zu dem gegebenen Punkt $A$.

  • Beschreibe jeweils das Vorgehen zum Zeichnen der Punkte.

    Tipps

    Achte auf die Reihenfolge in der Aufgabenstellung.

    Ein $+$ als Vorzeichen bedeutet in positiver Richtung, während ein $-$ für eine negative Richtung steht.

    Zum Beispiel ist bei dem Punkt $P(1|2|3)$

    • $1$ die $x_1$ Koordinate,
    • $2$ die $x_2$ Koordinate und
    • $3$ die $x_3$ Koordinate.

    Lösung

    Bei einem Punkt im dreidimensionalen Koordinatensystem ist die erste Koordinate die $x_1$, die zweite die $x_2$ und die dritte die $x_3$ Koordinate. Die entsprechenden Werte geben an, wie weit in die entsprechende Richtung gegangen werden muss. Das Vorzeichen zeigt die positive ($+$) oder negative ($-$) Richtung an.

    $A(-2|4|4)$:

    • Gehe zwei Einheiten in negativer $x_1$ Richtung und
    • jeweils vier Einheiten in positiver $x_2$ sowie $x_3$ Richtung.
    $B(1|4|-5)$:
    • Gehe vier Einheiten in positiver $x_2$ Richtung,
    • eine Einheit in positiver $x_1$ Richtung sowie
    • fünf Einheiten in negativer $x_3$ Richtung.
    Wichtig: Man muss nicht unbedingt mit der $x_1$ Koordinate beginnen.

    $C(-3|2|-2)$:

    • Gehe drei Einheiten in negativer $x_1$ Richtung,
    • zwei Einheiten in positiver $x_2$ Richtung sowie
    • zwei Einheiten in negativer $x_3$ Richtung.

  • Entscheide, welche Koordinaten die gegebenen Punkte besitzen.

    Tipps

    Du kannst die Punkte anhand der negativen Koordinaten erkennen.

    Zeichne dir ein dreidimensionales Koordinatensystem und trage die gegebenen Punkte dort ein.

    Zum Beispiel $A(2|3|2)$:

    • Gehe zwei Einheiten in positiver $x_1$,
    • drei Eineiten in positiver $x_2$ und
    • zwei Einheiten in positiver $x_3$ Richtung.

    Lösung

    In dieser Skizze sind die jeweiligen Punkte zu erkennen.

    Anhand der Pfeile kann man erkennen, wie man zu dem jeweiligen Punkt gelangt:

    Der orange Punkt $A(2|3|2)$:

    • Gehe zwei Einheiten in positiver $x_1$,
    • drei Eineiten in positiver $x_2$ und
    • zwei Einheiten in positiver $x_3$ Richtung.
    Der grüne Punkt $B(-2|-3|2)$:
    • Gehe zwei Einheiten in negativer $x_1$,
    • drei Eineiten in negativer $x_2$ und
    • zwei Einheiten in positiver $x_3$ Richtung.
    Der rote Punkt $C(3|3|-2)$:
    • Gehe drei Schritte in positiver $x_1$ Richtung,
    • drei in positiver $x_2$ Richtung und
    • zwei Schritte in negativer $x_3$ Richtung.
    Der blaue Punkt $D(-3|-3|-2)$:
    • Gehe drei Schritte in negativer $x_1$ Richtung,
    • drei in negativer $x_2$ Richtung und
    • zwei Schritte in negativer $x_3$ Richtung.

  • Gib an, in welcher Reihenfolge man die Koordinaten eintragen soll.

    Tipps

    Hier siehst du anschaulich, wie man zu dem roten Punkt gelangen kann.

    Man könnte zuerst den blauen, dann den grünen und dann den orangen Pfeil gehen.

    Man könnte auch zuerst den orangen Pfeil gehen und dann den blauen und zuletzt den grünen.

    Man gelangt immer an den gleichen Punkt.

    Lösung

    Wenn man mithilfe von Hilfslinien einen Weg zeichnet, über den man zu einem Punkt gelangt, ist es egal, mit welcher Koordinate man beginnt.

    Man gelangt immer zum gleichen Punkt.

    Dies ist anschaulich in der Skizze zu sehen:

    • Man könnte zuerst den blauen, dann den grünen und dann den orangen Pfeil gehen.
    • Man könnte auch zuerst den orangen Pfeil gehen und dann den blauen und zuletzt den grünen.
    • ...
    Wie auch immer, man gelangt immer zu dem roten Punkt.

  • Bestimme die Koordinaten der Eckpunkte des Würfels.

    Tipps

    Die Kantenlänge des Würfels kannst du an dem Punkt $D$ erkennen.

    Alle Punkte haben entweder die $0$ oder die Kantenlänge (positiv) als Koordinaten.

    $G$ ist der einzige Punkt, welcher keine Koordinate mit einer $0$ besitzt.

    Der Punkt $B$ lautet $B(3|0|0)$.

    Lösung

    Oftmals muss man in der Geometrie Eckpunkte bestimmen. Wie zum Beispiel bei diesem Würfel. Meist liegt einer der Eckpunkte im Koordinatenursprung, hier der Punkt $A$.

    Die $x_2$ Koordinate des Punktes $D$ gibt die Koordinatenlänge des Würfels an.

    Damit können die übrigen Punkte bestimmt werden.

    • $A$, $B$, $C$ und $D$ liegen alle in der $x_1-x_2$ Ebene, haben also die $x_3$ Koordinate $0$. $B$ und $C$ haben eine gemeinsame $x_1$ Koordinate $3$ und $C$ und $D$ die gemeinsame $x_2$ Koordinate $3$.
    • $B(3|0|0)$, $C(3|3|0)$.
    Die übrigen Punkte haben die gleichen $x_1$ sowei $x_2$ Koordinaten wie die senkrecht darunter liegenden Punkte, die $x_3$ Koordinate ist jeweils $3$:

    $E(0|0|3)$, $F(3|0|3)$, $G(3|3|3)$, $H(0|3|3)$

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