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Produktregel 03:33 min

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Transkript Produktregel

Hallo, in diesem Video möchte ich eine grundlegende Regel der Differenzialrechnung - die Produktregel - vorstellen. Sie wird manchmal auch nach ihrem Erfinder Gottfried Wilhelm Leibnitz als Leibnitz-Regel bezeichnet. Die Produktregel ist immer dann hilfreich, wenn man ein Produkt aus 2 Funktionen ableiten möchte.  Wir betrachten ein Beispiel. Es sei folgende Funktion gegeben: f(x)=(x5+7)×(19+3x4). Diese Funktion ist ein Produkt von 2 anderen Funktionen: u(x)=x5+7 und v(x)=19+3x4. f(x) lässt sich also schreiben als u(x)×v(x). Hier könnte man die Anwendung der Produktregel vermeiden, indem man einfach ausmultipliziert. Mit der Produktregel geht es aber einfacher, besonders wenn die Funktionen komplizierter werden. Wir betrachten noch ein Beispiel: f(x)=x×sin(x). Diese Funktion ist auch ein Produkt von 2 anderen Funktionen: u(x)=x und v(x)=sin(x). Hier kann man nicht ausmultiplizieren. Man kann aber die Produktregel anwenden, die wir uns jetzt zusammen anschauen.Die Produktregel besagt, dass die Ableitung eines Produktes von 2 Funktionen sich wie folgt berechnen lässt: f'(x)=u'(x)×v(x)+u(x)×v'(x). Der Beweis ist ganz einfach. Wir wissen, dass die Ableitung einer Funktion durch den Grenzwert der Differenzkoeffizienten gegeben ist. Wir setzen nun für die Funktion f das Produkt ein und addieren und subtrahieren im Zähler den Term u(x)×v(x)+h. Bisher ist noch nichts passiert, denn die beiden zusätzlichen Terme ergeben zusammen eine 0. Wir gruppieren nun die 2 ersten sowie die 2 letzten Terme im Zähler zusammen und bekommen lim(u)(x+h)-u(x))/h×v(x+h)+limu(x)×v(x)(x+h)-v(x))/h. Dies ist äquivalent zu u'(x)×v(x)+u(X)×v'(x). Damit ist die Produktregel bewiesen. Wir betrachten nun 2 Beispiele. Es sei die Funktion (x2+2x)×(1+x) gegeben. Wir berechnen nun die Ableitung dieser Funktion, indem wir die Produktregel anwenden. Es ergibt sich (2x+2) - das ist die Ableitung der 1. Funktion - ×(1+x)+x2+2x. Die Ableitung der 2. Funktion ist 1. Nach dem Auflösen der Klammern und Zusammenfassen bekommen wir 3x2+6x+2. Das ist die gesuchte Ableitung. Als 2. Beispiel betrachten wir die Funktion f(x)=x×sin(x). Die Anwendung der Produktregel liefert uns die Ableitung: sin(x)+x×cos(x). So viel zur Produktregel. Danke für das Interesse und weiterhin viel Spaß mit Mathematik.

6 Kommentare
  1. wasss

    Von Lmratcliffe30, vor etwa 2 Jahren
  2. @Rebecca Si:
    Mit Hilfe der h-Methode kannst du die Ableitungsregeln beweisen. Ausgangspunkt bei der Produktregel ist eine Funktion, die als Produkt zweier Funktionen u(x) und v(x) geschrieben werden kann. Die Produktregel umfasst die Ursprungsfunktion UND deren Ableitungsfunktion, d.h.
    f(x)=u(x)*v(x)
    f´(x)=u´(x)*v(x)+u(x)+v´(x)
    Mit der h-Methode erhält man allgemein die Ableitungsfunktion f´(x). Mit der h-Methode beweist man also die Ableitungsfunktion und die Produktregel bezieht sich natürlich auch auf die Ursprungsfunktion f(x). Da man aber die Ursprungsfunktion nicht immer hinschreibt, sagt man eben kurz, dass die Produktregel "u Strich mal v + u mal v Strich" lautet.
    Ich hoffe, dass ich helfen konnte.

    Von Giuliano Murgo, vor mehr als 4 Jahren
  3. Wieso entspricht die Funktion am ende der h-methode (Beweis) der Produktregel ?

    Von Rebecca Si, vor mehr als 4 Jahren
  4. Danke, sehr schnell und gut zum mitschreiben :D
    Das einzige was mich kurz gestört hatte war das bei der ersten Aufgabe nicht nochmal die Produktregel mit dabei stand, aber kurz Pause drücken, zurück spulen und mit schreiben hat das "Problem" gelößt.

    Ps: Den Beweis hatte ich auch übersprungen, da ich die h-Methode nicht mehr kann.

    Von Antares93, vor fast 5 Jahren
  5. Ich fande es auch super erklärt, habe aber den beweis übersprungen :D

    Von Tina Saltner, vor mehr als 5 Jahren
  1. sehr gut erklärt! Der Beweis war mir dann doch etwas zu kompliziert, aber der Rest war sehr gut!

    Von Tefik I., vor mehr als 5 Jahren
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Produktregel Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Produktregel kannst du es wiederholen und üben.

  • Gib die richtige Ableitung von $f$ an.

    Tipps

    Die Produktregel für $f(x)= u(x) \cdot v(x)$ sieht allgemein so aus:

    $f'(x)= u'(x) \cdot v(x) + u(x) \cdot v'(x)$

    Für $f(x)= (2x-1) \cdot (x^2-4)$ besagt die Produktregel:

    $f'(x)= 2 \cdot (x^2-4) + (2x-1) \cdot 2x$

    Lösung

    Wir betrachten die Produktregel für $f(x)= u(x) \cdot v(x)$ genauer:

    $f'(x)= u'(x) \cdot v(x) + u(x) \cdot v'(x)$

    In unserem Beispiel werden auch zwei Funktionen miteinander multipliziert, nämlich

    $u(x) = x$ und $v(x)=sin(x)$

    Wir bilden die Ableitungen:

    $u'(x)= 1$

    $v'(x)= cos(x) $

    Jetzt können wir sie nach Produktregel ableiten:

    $f'(x)= 1 \cdot sin(x) + x \cdot cos(x)$

    Also gilt:

    $f'(x)= sin(x) + x \cdot cos(x)$

  • Nenne die Produktregel.

    Tipps

    Für $f(x)= (2x-1) \cdot (x^2-4)$ besagt die Produktregel:

    $f'(x)= 2 \cdot (x^2-4) + (2x-1) \cdot 2x$

    Lösung

    Im Allgemeinen betrachtet hat eine Funktion, die mit der Produktregel abgeleitet werden soll, die folgende Form:

    $f(x)= u(x) \cdot v(x)$

    Die Produktregel besagt in diesem Fall:

    $f'(x)= u'(x) \cdot v(x) + u(x) \cdot v'(x)$

    Jede der Funktionen $u$ und $v$ wird einzeln abgeleitet und dann paarweise mit der anderen, unabgeleiteten Funktion multipliziert. Im Anschluss werden die beiden Produkte addiert.

  • Bestimme die erste Ableitung von $f$ mit der Produktregel.

    Tipps

    Die Produktregel sieht allgemein so aus:

    $f(x)= u(x) \cdot v(x)$

    $f'(x)= u'(x) \cdot v(x) + u(x) \cdot v'(x)$

    Ein Beispiel für den ersten Schritt beim Ableiten mit der Produktregel:

    $f(x)= (2x-1) \cdot (x^2-4)$

    $f'(x)= 2 \cdot (x^2-4) + (2x-1) \cdot 2x$

    Sind nach dem Ableiten noch Klammern vorhanden, kann man diese so Ausmultiplizieren:

    $(a + b)(c + d)=ac + ad + bc + bd$

    Lösung

    Wir betrachten unseren Funktionsterm:

    $f(x)=(x^2+2x) \cdot (1+x) \cdot (1+x)$

    Dieser besteht aus zwei Funktionen:

    $u(x)=(x^2+2x) $

    $v(x)= (1+x)$

    Wir bilden die Ableitungen:

    $u'(x)= 2x+2$

    $v'(x)= 1$

    Wir schreiben auf:

    $f'(x)= (2x + 2)\cdot (1+x) + (x^2 + 2x) \cdot 1$

    Wir lösen die Klammern auf und fassen zusammen:

    $f'(x)= 2x + 2x^2 + 2 + 2x + x^2 + 2x$

    $f'(x)=3x^2 + 6x + 2$

  • Ermittle die erste Ableitung von $f$.

    Tipps

    Ein Beispiel für den ersten Schritt beim Ableiten mit der Produktregel:

    $f(x)= (2x-1) \cdot (x^2-4)$

    $f'(x)= 2 \cdot (x^2-4) + (2x-1) \cdot 2x$

    Die Kettenregel sieht allgemein so aus:

    $f(x)= u(v(x))$

    $f'(x)= u'(v(x)) \cdot v'(x)$

    So sieht die zweite binomische Formel aus:

    $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$

    Lösung

    Schauen wir uns die Funktionsgleichung einmal genauer an.

    $f(x)= (2x^3-7)^2 \cdot 4x^3$

    Wir möchten mithilfe der Produktregel die erste Ableitung von $f$ bilden. Dazu unterteilen wir die Funktion noch einmal:

    $u(x)=(2x^3-7)^2$ – um diesen Teil von $f$ abzuleiten, brauchen wir zusätzlich die Kettenregel.

    $v(x)=4x^3$

    Wir bilden die Ableitungen von $u$ und $v$:

    $u'(x)= 2 \cdot (2x^3-7) \cdot 6x^2$

    $u'(x)= 12x^2 \cdot (2x^3-7)$

    $u'(x)= 24x^5 - 84x^2$

    Bei $v$ geht das wesentlich schneller:

    $v'(x)= 12x^2$

    Jetzt führen wir die beiden Teile nach der Kettenregel zusammen, um so $f$ abzuleiten:

    $f'(x)= (24x^5 - 84x^2) \cdot 4x^3 + (2x^3-7)^2 \cdot 12x^2$

    Im vorderen Teil lösen wir die Klammer durch einfaches Ausmultiplizieren auf; im hinteren Teil wenden wir auf die Klammer die zweite binomische Formel an:

    $f'(x)= 96x^8 - 336x^5 + (4x^6 - 28x^3 + 49) \cdot 12x^2$

    Nun multiplizieren wir die so entstandene letzte Klammer noch aus und fassen die Summanden passend zusammen:

    $f'(x)= 96x^8 - 336x^5 + 48x^8 - 336x^5 + 588x^2$

    $f'(x)= 144x^8 - 672x^5 + 588x^2$

    Man kann natürlich auch anders verfahren und zuerst die Klammer nach zweiter binomischer Formel auflösen, bevor man ableitet. Das sieht dann so aus:

    $f(x)=(2x^3-7)^2 \cdot 4x^3$

    $f(x)=(4x^6-28x^3+49) \cdot 4x^3$

    An dieser Stelle kann man entweder nach Produktregel ableiten oder auch die letzte Klammer ausmultiplizieren und ganz normal ableiten:

    Ableiten mit der Kettenregel erbringt:

    $f'(x)=(24x^5-84x^2) \cdot 4x^3 + (4x^6-28x^3+49) \cdot 12x^2$

    $f'(x)=96x^8 - 336x^5 + 48x^8 - 336x^5 + 588x^2$

    $f'(x)=144x^8 - 672x^5 + 588x^2$

    Ausmultiplizieren und im Anschluss Ableiten erbringt:

    $f(x)=(4x^6-28x^3+49) \cdot 4x^3$

    $f(x)=16x^9 - 112x^6 + 196x^3$

    $f'(x)=144x^8 - 672x^5 + 588x^2$

  • Bilde die erste Ableitung von $f$.

    Tipps

    Ein Beispiel für das Ableiten nach Potenzregel:

    $f(x)= 6x^2$

    $f'(x)= 2 \cdot 6x^{2-1}$

    $f'(x)= 12x$

    Die Produktregel sieht allgemein so aus:

    $f(x)= u(x) \cdot v(x)$

    $f'(x)= u'(x) \cdot v(x) + u(x) \cdot v'(x)$

    $x^m \cdot x^n=x^{m+n}$

    Lösung

    Benennen wir die Klammern der Funktion $f$ zunächst nach den Bestandteilen der Produktregel, um später nicht durcheinander zu kommen:

    $u(x)= x^9+12$

    $v(x)= 7 - x^4$

    Jetzt leiten wir sie separat ab:

    $u'(x)= 9x^8$

    $v'(x)= -4x^3$

    Anschließend schreiben wir sie nach Produktregel auf und fassen zum Schluss bloß noch die Summanden zusammen:

    $f'(x)= u'(x) \cdot v(x) + u(x) \cdot v'(x)$

    $f'(x)= 9x^8 \cdot (7-x^4) + (x^9+12) \cdot (-4x^3)$

    Ausmultiplizieren der Klammern erbringt:

    $f'(x)= 63x^8 -9x^{12} - 4x^{12} - 48x^3$

    $f'(x)= - 13x^{12} + 63x^8 - 48x^3$

    Wir haben hier die Exponenten noch von groß nach klein sortiert und sind am Ende unserer Rechnung angelangt.

  • Bestimme die erste und zweite Ableitung von $f$.

    Tipps

    Ein Beispiel für den ersten Schritt beim Ableiten mit der Produktregel:

    $f(x)= (2x-1) \cdot (x^2-4)$

    $f'(x)= 2 \cdot (x^2-4) + (2x-1) \cdot 2x$

    Sind nach dem Ableiten noch Klammern vorhanden, kann man diese so ausmultiplizieren:

    $(a + b)(c + d)=ac + ad + bc + bd$

    Ein Beispiel für das Ableiten nach Potenzregel:

    $f(x)= 6x^2$

    $f'(x)= 2 \cdot 6x^{2-1}$

    $f'(x)= 12x$

    Lösung

    Zuerst unterteilen wir $f$ wieder in $u$ und $v$, um die Übersicht zu behalten.

    $u(x)= 6x^2 - 14$

    $v(x)= 13x -4x^3$

    Jetzt bilden wir die Ableitungen von $u$ und $v$, um die Funktion $f$ nach Produktregel ableiten zu können:

    $u'(x)= 12x$

    $v'(x)= 13- 12x^2$

    Jetzt setzen wir nach Produktregel ein:

    $f'(x)= u'(x) \cdot v(x) + u(x) \cdot v'(x)$

    $f'(x)= 12x \cdot (13x - 4x^3) + (6x^2 - 14) \cdot (13- 12x^2)$

    Als nächstes lösen wir sämtliche Klammern auf:

    $f'(x)= 156x^2 - 48x^4 +78x^2 - 182 - 72x^4 + 168x^2$

    Jetzt fassen wir die Summanden zusammen, sofern dies möglich ist:

    $f'(x)= -120x^4 + 402x^2 - 182$

    Fertig ist die erste Ableitung von $f$. Für die zweite Ableitung muss man keine besondere Regel mehr anwenden; man leitet die Summanden einzeln nach diesem Prinzip ab:

    $f(x)=x^n$

    $f'(x)= n \cdot x^{n-1}$

    Das wenden wir auf unsere schon vorhandene erste Ableitung an und erhalten als zweite Ableitung:

    $f''(x)= -480x^3 + 804x$