Polynomdivision
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Grundlagen zum Thema Polynomdivision
Die Polynomdivison wird dann wichtig, wenn mit quadratischen Gleichungen oder Gleichungen höheren Grades gerechnet wird. Im Prinzip funktioniert die Polynomdivison nicht anders als das schriftliche Dividieren, das du bereits in der Grundschule gelernt hast und bestimmt im Schlaf beherrscht. Die Polynomdivsion unterscheidet sich kaum davon. Deshalb ist es eigentlich auch recht einfach, sie zu lernen. Im Folgenden werde ich dir nun anhand von zwei Beispielen Schritt für Schritt erklären, wie du aber zwei Polynome dividierst. Ich hoffe, du hast im Anschluss des Videos alles verstanden!
Transkript Polynomdivision
Hallo! In diesem Video möchte ich euch zeigen, wie Polynomdivision funktioniert. Dazu nehme ich mir 2 Beispiele und die rechne ich dann Schritt für Schritt durch. Als Erstes nehmen wir uns 2 Polynome, das hier ist der Dividend und das ist der Divisor. Und analog dazu machen wir eine kleine schriftliche Division mit Zahlen, da können wir so ein bisschen vergleichen, wie die Vorgänge sind. Die sind nämlich eigentlich sehr ähnlich. Hier würden wir zuerst mal die 7 ganzzahlig durch die 3 teilen, das ergibt 2 und dann bleibt ein kleiner Rest. Und bei den Polynomen teilen wir als Erstes die größte übrige Potenz des Dividenden, also hier x5, durch die größte Potenz des Divisors, also x2. Die beiden markiere ich noch mal und da kommt raus x3. Bei unserer Zahlendivision würden wir jetzt das letzte Ergebnis mit dem Divisor multiplizieren, das vom Dividenden abziehen und die Zahl, die wir noch nicht gebraucht haben, einfach mit runterholen. Und genau so geht das jetzt bei den Polynomen auch. Wir multiplizieren also x3 mit dieser Klammer, da nehmen wir erst mal x3×x2 das gibt x5 und dann noch x3×(-1), das ergibt -x3. Um das Ganze machen wir dann eine Klammer und vor die Klammer ein - denn wir wollen das ja abziehen. Da fällt jetzt die höchste x-Potenz weg, das sollte auch so sein, dann haben wir 2x4, die übernehmen wir einfach. Dann haben wir -x3-(-x3) also +, das fällt weg. Und dann haben wir noch x2 die übernehmen wir und -3. Das ist also unser Rest von der ersten Division. Jetzt kommt wieder der 1. Schritt. Wir teilen die größte übrige Potenz des Dividenden durch die Größte des Divisors. Bei den Zahlen rechnen wir 11 durch 3, das ist 3 und ein gewisser Rest. Und bei den Polynomen 2x4/x2=2x2. Dann multiplizieren wir wieder das letzte Ergebnis mit dem Divisor und ziehen das Produkt vom Dividenden ab. Wir multiplizieren also 2x2 mit der Klammer x2-1. Da kommt raus 2x4 und dann -2x2, wir machen eine Klammer und ein - davor. Dann rechnen wir den Rest aus. 2x4-2x4 fällt weg. x2-(-2x2)=3x2 und -3 wird übernommen. Bei den Zahlen haben wir 3×3=9, das ergibt Rest 2 und die 4 ziehen wir mit runter und dann wird wieder geteilt. 24÷3=8. Bei den Potenzen haben wir 3x2÷x2=3. Das war also schon der Schrit mit dem Teilen jetzt. Die Probe bei den Zahlen ergibt 8×3=24, Rest 0, da sind wir also fertig. Und bei den Polynomen haben wir als Probe 3×x2 gibt 3x2-1×3=-3, Klammer drum, - davor und dann haben wir 3x2-3x2=0 und 3-(-3) ist auch 0, also Rest 0, also sind wir fertig. Okay, im nächsten Beispiel ist das unser Dividend und das Polynom ist unser Divisor. Wir teilen die jeweils größten Potenzen durcheinander, also x7÷x4, das ergibt x3. Dann multiplizieren wir x3 mit der Klammer, das ergibt x7-3x4 und dann nicht vergessen, Klammer drum und - davor. Dann wird der Rest ausgerechnet. x7 fällt weg, dann haben wir -(-3x4) also +3x4 und die anderen Terme übernehmen wir von oben. Dann teilen wir 3x4 durch x4, das ergibt 3 und multiplizieren dann die 3 wieder rückwärts mit der Klammer. 3×x4 ergibt 3x4 und 3×(-3x) ergibt -9x. Klammer drum, - davor. 3x4-3x4 fällt wieder weg, -2x3 wird übernommen, -(-9x) sind +9x und +6 wird übernommen. Diesen Term müssten wir jetzt eigentlich wieder durch x4 teilen, aber hier unten ist der höchste Exponent 3 und da oben 4. Und das können wir dann nicht mehr ganz rational teilen, weil 3 kleiner als 4 ist. Das ist wie, wenn wir bei der Division 21÷5 erstmal 4 erhalten, 4×5=20, dann haben wir Rest 1, dann können wir die 1 nicht mehr durch 5 teilen, weil 1 kleiner als 5 ist. Da würden wir dann den Rest 1 notieren. Und bei den Polynomen geht das genauso. Wir nehmen den ganzen restlichen Term und teilen den durch den Divisor. Das ist dann eben der Rest der Division und der muss auf jeden Fall echt gebrochen rational sein.
Okay, das wars und wenn ihr noch ein bisschen üben wollt, dann habt ihr hier noch ein paar Aufgaben.
Polynomdivision Übung
-
Beschreibe das Vorgehen bei der Polynomdivision.
TippsHier siehst du ein Beispiel für die schriftliche Division von Zahlen.
Verwende bei den jeweiligen Multiplikationen das Distributivgesetz. Hier siehst du ein Beispiel:
$x^3(x^2-1)=x^5-x^3$.
Beachte, dass durch das Vorzeichen vor der Klammer in der Klammer jedes Vorzeichen vertauscht wird.
LösungHier siehst du zuerst die allgemeine Anleitung für die Polynomdivision:
- Du dividierst die höchste Potenz im Dividenden durch die im Divisor.
- Du schreibst das Ergebnis rechts neben dem Gleichheitszeichen auf.
- Du multiplizierst das Ergebnis mit dem Divisor.
- Du subtrahierst das Produkt vom Dividenden.
- Die Differenz verwendest du als neuen Dividenden.
- ... du den Rest $0$ erhältst ODER
- ... der höchste Exponent im Restdividenden kleiner ist als der im Divisor.
$x^5$ geteilt durch $x^2$ ergibt $x^3$. Die Multiplikation von $x^3$ und $(x^2 - 1)$ ergibt $x^5 - x^3$. Diesen Term ziehst du vom Dividenden ab. Das ergibt $2x^4 +x^2 - 3$. Nun teilst du $2x^4$ durch $x^2$. Das ergibt $2x^2$. Die Multiplikation mit $(x^2 - 1)$ ergibt $2x^4 - 2x^2$. Die anschließende Subtraktion ergibt $3x^2 - 3$. Im letzten Schritt teilst du nun $3x^2$ durch $x^2$, was $3$ ergibt. Die Multiplikation von $3$ und $(x^2 - 1)$ ergibt $3x^2 - 3$ und die Subtraktion ergibt $0$.
Das Restpolynom ist also $x^3 + 2x^2 + 3$.
-
Vervollständige die Polynomdivision.
TippsIm ersten Schritt dividierst du die höchste Potenz des Dividenden $(x^7)$ durch die im Divisor $(x^4)$.
Das Ergebnis dieser Division steht rechts vom Gleichheitszeichen.
Multipliziere das Ergebnis mit $x^4-3x$ und subtrahiere das Produkt von dem Dividenden.
Diese beiden Schritte führst du nun so lange fort, bis ...
- ... du den Rest $0$ erhältst ODER
- ... der höchste Exponent im Restdividenden kleiner ist als der im Divisor.
LösungHier siehst du eine Polynomdivision, bei der nicht direkt als Rest $0$ herauskommt.
Im Folgenden siehst du die einzelnen Schritte:
- Dividiere $x^7:x^4=x^3$.
- Multipliziere das Ergebnis $x^3$ mit dem Divisor $x^3(x^4-3x)=x^7-3x^4$.
- Subtrahiere das Produkt vom Dividenden. So erhältst du das Restpolynom $3x^4-2x^3+6$.
- $3x^4:x^4=3$
- $3(x^4-3x)=3x^4-9x$
- Subtrahiere $3x^4-9x$ von $3x^4-2x^3+6$.
-
Wende die Polynomdivision an.
TippsIn jedem Schritt der Polynomdivision führst du folgende Teilschritte durch:
- Teile die höchste Potenz des (übrigen) Dividenden durch die des Divisors.
- Multipliziere das Ergebnis mit dem Divisor.
- Subtrahiere das Produkt von dem (übrigen) Dividenden.
Eine Division hat folgende Bestandteile:
$\text{Quotient} = \frac{\text{Dividend}}{\text{Divisor}}$
Diese Polynomdivision endet mit einem Rest von $0$.
LösungDie Schritte einer Polynomdivision sind ähnlich wie die Schritte einer Division bei Zahlen.
In jedem Schritt teilst du den Term des Dividenden mit der höchsten Potenz durch den Term des Divisors mit der höchsten Potenz. Anschließend ergänzt du das Ergebnis dieser Division in der (bisherigen) Lösung und multiplizierst anschließend dieses Ergebnis mit dem Divisor. Zuletzt ziehst du das Ergebnis dieser Multiplikation vom (aktuellen) Dividenden ab. Man kann jeden Schritt der Polynomdivision in vier Teilschritte aufteilen:
- Dividiere $x^3:x$. Das ergibt $x^2$.
- Schreibe $x^2$ hinter das Gleichheitszeichen.
- Multipliziere $x^2$ mit $(x-1)$. Das ergibt $x^3-x^2$.
- Subtrahiere $x^3-x^2$ von $x^3+2x^2-x-2$. So erhältst du den neuen, aktuellen Dividenden $3x^2-x-2$.
- Dividiere $3x^2:x$. Das Ergebnis dieser Division ist $3x$.
- Schreibe $+3x$ hinter das aktuelle Ergebnis. Insgesamt steht hinter dem Gleichheitszeichen bisher $x^2 + 3x$.
- Multipliziere $3x$ mit $(x-1)$. Das ergibt $3x^2-3x$.
- Subtrahiere dies von $3x^2-x-2$. So erhältst du den übrigen Dividenden $2x-2$.
- Dividiere $2x:x$. Das ergibt $2$.
- Ergänze die Lösung um $+2$. Diese lautet nun $x^2+3x+2$.
- Multipliziere $2$ mit $(x-1)$. Das ergibt $2x-2$.
- Subtrahiere das Ergebnis von $2x-2$. Das ergibt $0$.
Das Ergebnis der Polynomdivision ist ein Polynom:
$x^2+3x+2$.
-
Arbeite das Ergebnis der Polynomdivision heraus.
TippsDividiere jedes Mal die höchste Potenz des (übrigen) Dividenden durch die des Divisors.
Multipliziere das Ergebnis mit dem Divisor und subtrahiere das Produkt von dem übrig gebliebenen Dividenden.
Führe dieses Verfahren so lange durch, bis ...
- ... du den Rest $0$ erhältst ODER
- ... die höchste Potenz im Dividenden kleiner ist als die im Divisor.
LösungIn dieser Aufgabe siehst du eine Polynomdivision, bei der ein Rest bleibt.
Zuerst siehst du allgemein die Schritte, die ausgeführt werden.
- Du dividierst die höchste Potenz des Dividenden durch die höchste Potenz des Divisors.
- Das Ergebnis dieser Division wird zur Lösung hinzuaddiert.
- Du multiplizierst das Ergebnis dieser Division mit dem Divisor und schreibst den Term, der sich ergibt, unter den aktuellen Dividenden.
- Du subtrahierst diesen Term vom Dividenden und erhältst den neuen, aktuellen Dividenden.
Nun siehst du die Anwendung dieser Schritte:
- Dividiere $x^5:x^2=x^3$.
- Die Lösung enthält bisher noch keinen Term, deshalb ist die aktuelle Lösung nur $x^3$.
- Multipliziere $x^3(x^2+2)=x^5+2x^3$. Diesen Term schreibst du unter den Dividenden.
- Subtrahiere den Term nun von $x^5+3x^4-x^3+4x^2$. So erhältst du den neuen, aktuellen Dividenden. Dieser ist $3x^4-3x^3+4x^2$.
- Dividiere $3x^4:x^2=3x^2$.
- Die Lösung wird um $+3x^2$ ergänzt.
- Multipliziere $3x^2(x^2+2)=3x^4+6x^2$.
- Subtrahiere den Term nun von $3x^4-3x^3+4x^2$. So erhältst du den neuen, aktuellen Dividenden $-3x^3-2x^2$.
- Dividiere $-3x^3:x^2=-3x$.
- Die Lösung wird um $-3x$ ergänzt. Aktuell lautet die Lösung also $x^3 + 3x^2 - 3x$.
- Multipliziere $-3x(x^2+2)=-3x^3-6x$.
- Subtrahiere den Term nun von $-3x^3-2x^2$. Du erhältst den neuen, aktuellen Dividenden $-2x^2+6x$.
- Dividiere $-2x^2:x^2=-2$.
- Die Lösung wird um $-2$ ergänzt.
- Multipliziere $-2(x^2+2)=-2x^2-4$.
- Subtrahiere den Term nun von $-2x^2+6x$. Du erhältst den neuen, aktuellen Dividenden $6x+4$.
$x^3+3x^2-3x-2+\frac{6x+4}{x^2+2}$.
-
Fasse die wesentlichen Schritte der Polynomdivision zusammen.
TippsBeachte: Dividend durch Divisor gleich Quotient.
Orientiere dich an der schriftlichen Division:
- Die $30$ passt $2$-mal in die $76$.
- Multipliziere $2\cdot 30=60$.
- Subtrahiere $60$ von $76$.
- Du erhältst einen Rest von $16$.
LösungBei der Polynomdivision führst du immer die folgenden beiden Schritte hintereinander aus:
- Teile die größte (übrige) Potenz des Dividenden durch die des Divisors.
- Multipliziere das Ergebnis mit dem Divisor und ziehe das Produkt vom Dividenden ab.
-
Ergänze die Polynomdivision.
TippsBeachte, dass du jedes Mal die höchste Potenz des (übrigen) Dividenden durch die des Divisors teilst.
Im ersten Schritt dividierst du $-3x^3:x$.
Multipliziere rückwärts das jeweilige Ergebnis mit dem Divisor. Subtrahiere das Produkt von dem (übrigen) Dividenden.
LösungDu kannst die komplette Rechnung hier sehen.
In jedem Schritt wird dabei die höchste Potenz des (Rest-)Dividenden durch die höchste Potenz des Divisors geteilt.
Im Folgenden wird als zusätzlicher Hinweis eine Beispielaufgabe gezeigt, wo die Polynomdivision hilfreich ist.
Aufgabe
Untersuche den Graphen der kubischen Funktion $f(x)=-3x^3-x^2+7x+14$ auf Nullstellen. Eine Nullstelle sei mit $x=2$ gegeben.
Um nun die übrigen Nullstellen zu finden, ist es hilfreich, den Funktionsterm zu reduzieren. Dabei hilft dir die Polynomdivision. Du teilst nun den Term $-3x^3-x^2+7x+14$ durch $x-2$ (da $2$ eine Nullstelle ist).
Das Polynom, das dabei herauskommt, kannst du nun nutzen, um die anderen Nullstellen zu berechnen. Dabei kannst du beispielsweise die $p$-$q$-Formel verwenden.
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Die riesen Xs verwirren nur
super erklärt!
Brauch ich doch nicht. Kann ja einfach durch Multiplikation überprüfen.
Hat jemand die Lösungen von den Übungsaufgaben? Ich würde gerne wissen, ob ich die richtig gemacht habe. Sehr hilfreiches Video!
Hallo Stefan,
du erinnerst dich sicher, dass du bei der schriftlichen Division mit Zahlen auch manchmal einen Rest stehen lässt, z.B. 51:13 = 3 Rest 12 oder man schreibt auch 3 + 12:13. Dies lässt man stehen, weil man es mit den zur Verfügung stehenden Mitteln nicht weiter berechnen kann. Genauso ist das bei der Polynomdivision. Den Rest (-x³+9x+6)/(x^4-3x) kann man nicht genauer berechnen. Das Polynom x^4-3x "passt nicht" weiter in das Polynom -x³+9x+6 rein, so wie 13 nicht in 12 "reinpasst".