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Mehrstufige Zufallsexperimente 06:22 min

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Transkript Mehrstufige Zufallsexperimente

Hallo! "Mehrstufige Zufallsversuche" ist unser Thema. Und da fangen wir mal ganz einfach an, nämlich mit einem einfachen Beispiel. Das ist eine Münze. Damit kann man werfen und dann bleibt die Münze entweder mit der Kopfseite oben liegen oder mit der Zahlseite nach oben. Wir gehen davon aus, dass die Münze nicht auf der Kante stehen bleibt. Das Werfen der Münze ist ein Zufallsversuch und die Wahrscheinlichkeit für Zahl ist 1/2 und die Wahrscheinlichkeit für Kopf ist auch 1/2. Falls dir das neu sein sollte, kannst du nachgucken, wo die Zufallsversuche behandelt werden. Diesen Zufallsversuch kann ich jetzt durchführen und ich kann ihn auch noch mal durchführen. Das sind dann 2 Zufallsversuchsdurchführungen. Und es ist nicht ein mehrstufiger Zufallsversuch. Um aus diesen beiden Zufallsversuchsdurchführungen einen einzigen mehrstufigen Zufallsversuch zu machen, müssen wir die beiden Ergebnismengen der beiden Zufallsversuchsdurchführungen zu einer Ergebnismenge zusammenfassen. Und wie das geht, können wir uns jetzt mal angucken. Bei der ersten Durchführung haben wir eine Ergebnismenge, die aus Kopf und Zahl besteht. Bei der zweiten Durchführung haben wir auch eine Ergebnismenge und die besteht auch aus Kopf und Zahl. Und die Ergebnismenge des zweistufigen Versuches besteht dann aus Paaren, denn als Erstes kann Kopf oben liegen und dann beim zweiten Mal kann wieder Kopf oben liegen. Das ist unser erstes Paar. Dann kann Kopf oben liegen und danach kann Zahl oben liegen zum Beispiel, zweites Paar. Es kann beim ersten Mal die Zahl oben liegen und dann kann Kopf oben liegen. Und es kann auch die Zahl oben liegen und beim zweiten Mal wieder die Zahl oben liegen. Und dann geht hier die Mengenklammer zu. Schon auf den ersten Positionen haben wir dann die Ergebnisse der Ergebnismenge aus dem ersten Versuch und auf der zweiten Position haben wir die Ergebnisse der Ergebnismenge der zweiten Versuchsdurchführung. Hier unterscheiden die sich jetzt nicht, aber so ist die Systematik dieser Paare hier. Das hier sind übrigens geordnete Paare. Das bedeutet, dass bei der Unterscheidung der Paare die Ordnung eine Rolle spielt. Also, diese beiden Paare sind zum Beispiel unterschiedliche Paare, und zwar nur deshalb, weil hier erst das K steht und dann das Z, und in diesem Paar erst das Z steht und dann das K. Der Begriff Paar wird ja in der Umgangssprache etwas anders verwendet. Also, wenn jetzt meine Freundin und ich ein Paar sind, dann sind wir ein Paar, unabhängig von der Reihenfolge. Also, ob sie jetzt da ist oder da, das ist ja nun Wurst. “Mehrstufige Zufallsversuche” bezieht sich nicht nur auf zweistufige Zufallsversuche, sondern es können beliebig viele Stufen sein, zum Beispiel auch drei Stufen, und eine Ergebnismenge, wie sie beim dreistufigen Münzwurf auftritt, habe ich hier schon mal vorbereitet. Das was wir hier sehen, sind jetzt Tripel. Tripel deshalb, weil wir hier drei Einträge haben. Diese Tripel geben an, wie die Münze fallen kann. Hier steht zum Beispiel, dass zuerst der Kopf oben liegen kann, danach die Zahl oben liegen kann und dann wieder der Kopf oben liegen kann. Und es sind geordnete Tripel, das heißt, dass bei der Unterscheidung der Tripel die Reihenfolge eine Rolle spielt. Diese beiden Tripel hier sind zum Beispiel unterschiedlich, weil hier in der Mitte das K steht und am Ende das Z, und hier in der Mitte das Z steht und am Ende das K. Man kann natürlich auch mehr Zufallsversuche als drei zu einem mehrstufigen Zufallsversuch zusammenfassen. Das kann man mit beliebig vielen Zufallsversuchen machen. Und man kann das auch natürlich nicht nur mit dem Münzwurf machen, man kann es auch mit Würfeln machen zum Beispiel. Man kann dreimal würfeln mit unterschiedlichen Würfeln, warum nicht, und die dann zu einem dreistufigen Zufallsexperiment zusammenfassen. Dann erhält man in der Ergebnismenge wieder Tripel, da steht dann aber nicht Kopf und Zahl drin in diesen Tripeln, sondern da stehen dann die Zahlen von 1 bis 6 drin. Man hat dann 6 · 6 · 6 Tripel, das sind 216 Tripel in der Ergebnismenge. Und das kann schon mal ein bisschen unübersichtlich sein. Und deshalb habe ich hier noch mal zum Abschluss eine kleine Sache vorbereitet, wie ich mir diese Tripel vorstelle. Du musst dir das nicht so vorstellen, du kannst dir das auch anders vorstellen, aber ich wollte es so mal eben zeigen. Das Ganze ist also jetzt ein Tripel. Das sind diese Klammern hier außen. Das sind die zwei Semikola, die diese drei Einträge voneinander trennen. Und wenn man einmal würfelt, dann kann man ja die Zahlen von 1 bis 6 erreichen und beim zweiten Mal auch. Und dann hat man hier auf der zweiten Position eben auch die Möglichkeiten, die Zahlen von 1 bis 6 einzutragen. Also, ich stelle mir das dann so vor, dass das hier dann so durchläuft, nicht wahr. Und für jedes Paar, was man hier vorne hat, hat man wieder 6 weitere Möglichkeiten, eine Zahl auf der dritten Position zu würfeln. Ja, und das ist dann so ein mögliches Tripel, was man nach dreimaligem Würfeln erhalten kann. So, das war es zur Erklärung der mehrstufigen Zufallsversuche. Was uns demnächst noch beschäftigen wird, sind Baumdiagramme. Mit denen kann man auf eine sehr schöne Weise diese mehrstufigen Zufallsversuche ordnen und die Ergebnisse dieser mehrstufigen Zufallsversuche ordnen. Und wir werden noch sehen, dass, wenn wir nicht nur zwei, drei Zufallsversuche hintereinander ausführen, sondern ein paar mehr, dass dann die Anzahl der Ergebnisse in der Ergebnismenge explodiert. Und da werden wir noch ein bisschen Ordnung reinbringen müssen, ist aber nicht mehr Thema dieses Films. Hier sind wir jetzt fertig, viel Spaß damit, tschüss!

Mehrstufige Zufallsexperimente Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Mehrstufige Zufallsexperimente kannst du es wiederholen und üben.

  • Beschreibe, was ein mehrstufiges Zufallsexperiment ist.

    Tipps

    Bei einem Zufallsexperiment ist der Ausgang nicht vorhersehbar.

    Zum Beispiel ist das Werfen eines Würfels ein Zufallsversuch.

    Wenn ein Würfel einmal geworfen wird, spricht man von einem einstufigen Zufallsexperiment.

    Wird ein Würfel zweimal geworfen und in jedem Versuch die Augenzahl notiert, erhältst du geordnete Zahlenpaare.

    Dies ist ein zweistufiger Zufallsversuch.

    Lösung

    Was ist ein Zufallsexperiment bzw. ein Zufallsversuch?

    Wenn du zum Beispiel eine Münze wirfst, kannst du schauen, ob „ Kopf“, kurz „K“, oder „Zahl“, kurz „Z“, oben liegt. Diese beiden möglichen Ausgänge sind nicht vorhersehbar. Deshalb spricht man von einem Zufallsexperiment. Das Wort Zufallsversuch wird synonym verwendet, bedeutet also das Gleiche.

    Die möglichen Ausgänge werden als Ergebnisse bezeichnet und in einer Ergebnismenge zusammengefasst. Wir benutzen dazu den griechischen Buchstaben Omega.

    $\Omega=\{$K,Z$\}$

    Dies ist ein einstufiges Zufallsexperiment.

    Du kannst die Münze auch zweimal werfen. Dann hast du zweimal ein einstufiges Zufallsexperiment hintereinander ausgeführt. Wenn du jedoch als Ergebnisse die geordneten Paare und damit die Ergebnismenge $\Omega=\{($K,K$),($K,Z$),($Z,K$),($Z,Z$)\}$ betrachtest, spricht man von einem zweistufigen Zufallsexperiment.

    Ganz allgemein spricht man von einem mehrstufigen Zufallsexperiment, wenn ein Zufallsexperiment mehrmals durchgeführt wird und die Ergebnisse in jeder Durchführung des (einstufigen) Zufallsexperimentes zu einem Ergebnis des mehrstufigen Zufallsversuches zusammengefasst werden.

    Zusatz

    Mehrstufige Zufallsexperimente kannst du mit Hilfe von Baumdiagrammen darstellen: Diese dienen dazu,

    • die Ergebnisse und auch Ereignisse eines Zufallsexperimentes bestimmen zu können.
    • die zugehörigen Wahrscheinlichkeiten zu berechnen.
  • Gib an, wie sich die Anzahl der möglichen Tripel berechnet.

    Tipps

    Die Ergebnisse dieses Zufallsexperiments sind Tripel.

    Da an der ersten Position eines Tripels jeder der Zahlen von $1$ bis $6$ stehen kann, gibt es für diese Position $6$ Möglichkeiten.

    Zu jeder der sechs Möglichkeiten für die erste Position des Tripels gibt es wieder sechs Möglichkeiten, eine Zahl an die zweite Stelle zu schreiben.

    „Zu jeder“ bedeutet, dass du multiplizieren musst.

    Bei dem zweistufigen Zufallsexperiment „Zweimaliges Werfen eines Würfels“ sind die Ergebnisse geordnete Paare.

    Es gibt $6\cdot 6=36$ solcher Paare.

    Lösung

    Wenn du mit einem Würfel dreimal hintereinander würfelst und nach jedem Würfeln die Augenzahl notierst, erhältst du Tripel, zum Beispiel $(1,4,6)$.

    Für die erste Position in diesem Tripel gibt es sechs mögliche Zahlen, von $1$ bis $6$, für die zweite ebenfalls. Das bedeutet, für die ersten beiden Positionen gibt es bereits $6\cdot 6=36$ verschiedene Möglichkeiten.

    Zu jeder dieser $36$ Möglichkeiten gibt es wieder sechs Möglichkeiten für die dritte Position, also insgesamt $36\cdot 6 = 6\cdot 6\cdot 6=6^3=216$ Möglichkeiten.

    Es gibt also $216$ Ergebnisse (oder Ergebnistripel) in $\Omega$.

    Übrigens: Wenn du den Würfel $n$-mal wirfst, wobei $n$ eine natürliche Zahl $n\ge 1$ ist, erhältst du $6^n$ Ergebnisse.

    Mit einer solchen Bestimmung von Anzahlen beschäftigt man sich in der Mathematik im Bereich der Kombinatorik.

    Die Multiplikation der Möglichkeiten nennt man die Produktregel der Kombinatorik.

  • Nenne die Ergebnisse, welche noch in der Ergebnismenge fehlen.

    Tipps

    Hier siehst du ein Baumdiagramm zu dem beschriebenen Experiment.

    Am Ende eines jeden Pfades kannst du das Ergebnis angeben. Schaue dir hierfür einmal den obersten Pfad an:

    Du gelangst über den ersten Ast zu „K“, dann wieder zu „K“ und noch einmal zu „K“. Somit lautet das Ergebnis $($K,K,K$)$.

    Es gibt insgesamt acht solcher Tripel. Das bedeutet, dass Paul zwei vergessen hat.

    Es gibt jeweils vier Tripel, die mit einem „K“ beginnen, und vier, die mit einem „Z“ beginnen.

    Lösung

    Hier siehst du ein Baumdiagramm. Baumdiagramme dienen dazu, mehrstufige Zufallsexperimente darzustellen.

    Du kannst die Ergebnisse jeweils am Ende eines Pfades ablesen. Schreibe hierfür in das Ergebnistripel, je nachdem was am Ende eines Astes steht, die jeweiligen Ergebnisse des einstufigen Zufallsexperimentes.

    Damit erhältst du die folgende Ergebnismenge, die häufig mit einem $\Omega$ (Omega) angegeben wird:

    $\Omega=\{($K,K,K$)$,$($K,K,Z$)$,$($K,Z,K$)$,$($K,Z,Z$)$,$($Z,K,K$)$,$($Z,Z,K$)$,$($Z,K,Z$)$,$($Z,Z,Z$)\}$

    Paul hat die beiden Ergebnisse $($K,Z,K$)$ und $($K,Z,Z$)$ vergessen. Das kann dir nicht passieren, wenn du ein solches Baumdiagramm zeichnest.

    Übrigens: Die Zahlen, welche an den Ästen stehen, sind die Wahrscheinlichkeiten für das Werfen von „Kopf“ oder „Zahl".

  • Ordne jedem Ereignis die entsprechende Ergebnismenge zu.

    Tipps

    Beachte: „Kleiner als $6$“ bedeutet, dass die $6$ nicht dazu gehört.

    Schaue dir ein weiteres Beispiel an:

    E: Die Augenzahlen sind gleich groß.

    Also ist $E=\{(1;1);(2;2);(3;3);(4;4);(5;5);(6;6)\}$.

    Hier siehst du noch ein Beispiel:

    F: Die größere der beiden Augenzahlen ist die $3$.

    Das bedeutet, die $3$ muss in dem geordneten Paar enthalten sein und sie muss größer sein als die andere Zahl.

    Damit ist $F=\{(1;3);(2;3);(3;1);(3;2)\}$.

    • $(3;3)$ gehört nicht dazu, da $3$ nicht größer ist als $3$.
    • $(2;1)$ gehört nicht dazu, da zwar $2$ größer ist als $1$, aber das Ereignis enthält nicht die $3$.
    Lösung

    Wenn du bereits weißt, wie viele Ergebnisse sich in der Ergebnismenge befinden, musst du noch die Anzahl der Ergebnisse in einem Ereignis bestimmen. Dann kannst du die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses mit der Formel nach Laplace berechnen:

    $P(E)=\frac{|E|}{|\Omega|}$

    Dabei ist...

    • $|E|$ die Anzahl der Ergebnisse in $E$ (der Fachbegriff lautet Kardinalität). Man sagt auch „die Anzahl aller für $E$ günstigen Ergebnisse“.
    • $|\Omega|$ die Anzahl aller Ergebnisse.
    Schauen wir uns nun die verschiedenen Ereignisse an:

    • $A=\{(5;6);(6;5);(6;6)\}$: Bei all diesen Zahlenpaaren ist die Summe der Augenzahlen größer als $10$. Bei allen anderen nicht. Damit ist $|A|=3$ und $P(A)=\frac3{36}=\frac1{12}$.
    • $B=\{(2;1);(3;2);(4;3);(5;4);(6;5)\}$, denn $2-1=3-2=4-3=5-4=6-5=1$. Somit ist $|B|=5$ und $P(B)=\frac5{36}$.
    • $C=\{(1;1);(1;2);(1;3);(2;1);(3;1)\}$: Bei allen übrigen Zahlenpaaren, zum Beispiel $2\cdot 2=4$, ist das Produkt größer oder gleich $4$. Also ist $|C|=5$ und $P(C)=\frac5{36}$.
    • $D=\{(4;5);(4;6);(5;4);(6;4)\}$: Eine der beiden Augenzahlen muss die $4$ sein und sie muss kleiner als die andere Augenzahl sein. Somit ist $|D|=4$ und somit $P(D)=\frac{4}{36}=\frac19$.
  • Ermittle jeweils die Anzahl der Ergebnisse.

    Tipps

    Beachte, dass im unteren der beiden Beispiele mit der Urne die Kugel nicht zurückgelegt wird.

    Das bedeutet, dass keines der Tripel eine Farbe mehrmals enthalten kann.

    Verwende die Produktregel der Kombinatorik. Diese besagt, dass die Anzahl aller Kombinationsmöglichkeiten bei einem mehrstufigen Zufallsexperiment das Produkt der Möglichkeiten in jeder Stufe des Zufallsexperimentes ist.

    Ein zweistufiges Zufallsexperiment mit einem Würfel hat beispielsweise $6^2 = 6\cdot 6 = 36$ Tripel.

    Wenn sich die Anzahlen der Möglichkeiten in den Stufen nicht ändern, musst du die Anzahl der Möglichkeiten mit der Anzahl der Stufen potenzieren.

    Lösung

    Die Bestimmung der Anzahl der Elemente in der Ergebnismenge ist sehr wichtig zur Berechnung von Wahrscheinlichkeiten.

    Bei Laplace-Experimenten ist die Wahrscheinlichkeit eines jeden Ergebnisses immer gleich groß. Also ist die Wahrscheinlichkeit $p=\frac1n$, wobei $n$ die Anzahl der Elemente in der Ergebnismenge ist.

    Du brauchst die Anzahl der möglichen Ergebnisse also zur Berechnung von Wahrscheinlichkeiten.

    Hier hilft uns die Produktregel der Kombinatorik. Diese besagt, dass die Anzahl aller Kombinationsmöglichkeiten bei einem mehrstufigen Zufallsexperiment das Produkt der Möglichkeiten in jeder Stufe des Zufallsexperimentes ist.

    Wenn also die Anzahl der Möglichkeiten $k$ in jeder Stufe immer gleich ist, ergibt sich die Anzahl aller möglichen Ergebnisse $N$ so:

    $N=k^n$

    Wichtig ist dabei, dass die Anzahl sich nicht verändert. Man spricht dann auch von Modellen mit Zurücklegen.

    Somit ergeben sich die folgenden Anzahlen:

    • Münze: $N=2^3=8$
    • Tetraeder: $N=4^3=64$
    • Urne: $N=3^3=27$
    Aber Vorsicht: Wird ein Modell ohne Zurücklegen betrachtet, ändern sich die Anzahlen in jeder Stufe. Die Produktregel der Kombinatorik kann trotzdem angewendet werden.

    Damit ist die Anzahl aller möglichen Ergebnisse bei dem Ziehen aus der Urne ohne Zurücklegen gegeben durch $N=3\cdot 2\cdot 1=6$.

    Übrigens: Für einen solchen Term der Form $3\cdot 2\cdot 1$, oder allgemeiner $n\cdot (n-1)\cdot ...\cdot 2\cdot 1$, also das Produkt der ersten $n$ natürlichen Zahlen, gibt es ein Symbol, das Fakultätszeichen $!$.

    Dieses findest du auch auf deinem Taschenrechner:

    $n!=n\cdot (n-1)\cdot ...\cdot 2\cdot 1$

    Man spricht dies „$n$ Fakultät“.

  • Entscheide, ob ein zweistufiges Zufallsexperiment vorliegt.

    Tipps

    Die Ergebnismenge eines zweistufigen Zufallsexperimentes muss nicht unbedingt ein Menge von Paaren sein.

    Wichtig ist, dass beide Ergebnismengen der jeweiligen einstufigen Zufallsexperimente in die Ergebnismenge des zweistufigen Zufallsexperimentes einfließen.

    Zum Beispiel wäre das Zufallsexperiment mit der Ergebnismenge

    $\Omega=\{x~|~x $ ist das arithmetische Mittel der beiden Augenzahlen $\}$

    ein zweistufiges Zufallsexperiment.

    Lösung

    Diese beiden Würfel werden geworfen.

    Zum Beispiel könnte als Ergebnismenge des zweistufigen Zufallsexperimentes die Menge aller geordneten Paare aufgeschrieben werden. Die Augenzahl des roten Würfels wird zuerst notiert (es könnte auch die des grünen zuerst notiert werden):

    $\Omega=\{(1;1);...;(1;6);...;(6;1);...;(6;6)\}$

    Allerdings muss die Ergebnismenge nicht unbedingt aus Paaren bestehen. Wichtig ist nur, dass sowohl die Augenzahl des roten als auch des grünen Würfels in die Ergebnismenge eingehen. Dies ist auch der Fall, wenn man...

    • die Summe oder Differenz (der größeren und der kleineren) der beiden Augenzahlen oder auch das Produkt betrachtet.
    • die größere der beiden Augenzahlen betrachtet.
    Wenn in der Ergebnismenge jedoch nur die Augenzahl des grünen oder des roten Würfels notiert wird, liegt ein einstufiges Zufallsexperiment vor. Die Augenzahl des jeweils anderen Würfels ist nicht von Bedeutung.