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Lotfußpunktformel - Erklärung 05:40 min

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Transkript Lotfußpunktformel - Erklärung

Hallo. Es gibt eine Formel. Zum Beispiel hier die Lotfußpunktformel. Ja, das ist eine Gleichung und wenn man da einen Stützvektor und einen Richtungsvektor einer Geraden einsetzt und einen Punkt P einsetzt beziehungsweise einen dazugehörigen Ortsvektor, dann kann man diese Gleichung auflösen nach t, ja. Und dann erhält man einen bestimmten Wert tL. Und den kann man dann hier in diese Geradengleichung einsetzen und dann kommt man nämlich direkt zum Lotfußpunkt des Punktes P auf die Gerade g. Und die Frage ist: Warum ist das der Fall? Warum kommen wir mit dieser Formel zum Lotfußpunkt und nicht etwa nach Wospittel. Darüber können wir uns jetzt mal Gedanken machen. Hier haben wir also die Lotfußpunktformel. Es geht um den Punkt P, von dem aus wir das Lot auf die Gerade g fällen, g sieht so aus. Und die Formel lautet nun (a + tL×b - OP)×b = 0. Das hier ist das Skalarprodukt und tL ist ein ganz bestimmter Wert für t. Schauen wir uns das Ganze mal graphisch optisch an. Ja, ich zeige das jetzt zweidimensional. Im Dreidimensionalen ist es genauso, ist es nur viel schwieriger zu erkennen hier im Video. Also hier ist ein kleines Koordinatensystem angedeutet, das brauchen wir jetzt nicht weiter. Wir haben eine Gerade g und wir haben einen Punkt P. Und wir fällen das Lot von P auf die Gerade g. Das heißt, wir bilden eine Strecke von P aus, die dann rechtwinklig auf diese Gerade auftrifft. Und dieser Auftreffpunkt quasi, das ist unser Lotfußpunkt, der Punkt PL;g. Dieser Lotfußpunkt ist eindeutig bestimmt. Wenn wir sagen, wir möchten von P losgehen und rechtwinklig hier auftreffen, dann gibt es nur diesen einen Punkt, auf den wir dann treffen. Für alle anderen Punkte gilt, ja, wenn wir diesen Punkt nehmen zum Beispiel hier, dann ist die Verbindungsstrecke von dem Punkt P zu diesem Punkt hier nicht rechtwinklig zur Geraden. Das können wir direkt sehen und einen weiteren Nachweis können wir uns hier sparen. Wir haben nun eine Gerade g, die diese Darstellung hat, ja. Wir haben einen Stützvektor a und wir haben einen Richtungsvektor b. Den können wir hier dran setzen. Und den bezeichne ich jetzt nicht weiter, weil sich hier gleich noch ein bisschen was ändern wird. Und wir suchen nun eine bestimmte Zahl, die wir für t einsetzen können, so dass also gilt, dass wenn wir a + Zahl×b rechnen, wir dann bei diesem Lotfußpunkt ankommen. Und “beim Lotfußpunkt ankommen” heißt, das hier ist rechtwinklig zu dem. Ja, wir haben uns schon überlegt, dass der Lotfußpunkt eindeutig definiert ist, dass diese Verbindungsstrecke rechtwinklig zur Geraden ist. In Vektorsprache übersetzt bedeutet das, dass der Vektor von P zum Lotfußpunkt rechtwinklig oder orthogonal zum Richtungsvektor der Geraden ist. Und das wiederum heißt, dass das Skalarprodukt des Vektors von P zum Lotfußpunkt und des Richtungsvektors der Geraden gleich null ist. Ja und das ist letzten Endes das, was hier steht. Ja, wir rechnen a plus dieser bestimmte Wert mal b, dann kommen wir hier an. Wir rechnen minus Ortsvektor zu P und erhalten dann hier den Vektor, der von P zum Lotfußpunkt führt. Und der soll orthogonal zu b sein. Bedeutet: Das Skalarprodukt aus den beiden Vektoren ist gleich null. Wenn wir dann einen solchen Wert gefunden haben, können wir den einfach hier für t einsetzen und das hier ausrechnen und haben dann die Koordinaten des Lotfußpunktes von P auf die Gerade g. So, das war es dazu. Wir haben also gesehen, was ein Lotfußpunkt ist und das dieser eindeutig bestimmt ist mit der Forderung, von einem Punkt aus rechtwinklig auf einer Geraden auftreffen zu wollen. Und wir haben auch gesehen, dass diese Formel genau den Wert für t liefert, für den gilt, dass die entsprechenden Vektoren rechtwinklig sind. Und wir so eben beim Lotfußpunkt rauskommen und nicht in Brunsbüttel. Viel Spaß damit. Tschüss.

Lotfußpunktformel - Erklärung Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Lotfußpunktformel - Erklärung kannst du es wiederholen und üben.

  • Gib die Lotfußpunktformel an.

    Tipps

    Beachte, dass der Lotfußpunkt $P_{L;g}$ auf der Geraden $g$ liegt. Das bedeutet: Es existiert ein Parameter $t_L$, so dass gilt:

    $\vec{p_{L;g}}=\vec a+t_L\cdot \vec b$.

    Der Verbindungsvektor des Lotfußpunktes und des Punktes $P$ muss senkrecht zu dem Richtungsvektor der Geraden, also zu $\vec b$ stehen.

    Wenn zwei Vektoren senkrecht zueinander stehen, ist deren Skalarprodukt gleich $0$:

    $\vec u\perp \vec v~\Leftrightarrow~\vec u\star\vec v=0$.

    Lösung

    Der Punkt $P_{L;g}$ ist der Lotfußpunkt des Punktes $P$ auf die Gerade $g$.

    Das bedeutet, dass $P_{L;g}$ auf der Geraden liegt. Es gilt also:

    $\vec{p_{L;g}}=\vec a+t_L\cdot \vec b$.

    Der Verbindungsvektor des Lotfußpunktes und des Punktes $P$ muss senkrecht zum Richtungsvektor der Geraden $g$ stehen.

    Dies führt zu folgender Gleichung:

    $\left(\vec{a}+t_L\cdot \vec{b}-\vec{OP}\right)\star\vec{b}=0$.

    Dies ist die Lotfußpunktformel.

  • Beschreibe, welche gegenseitige Lage der Vektor $\vec b$ und der Verbindungsvektor von $P$ mit dem Lotfußpunkt haben.

    Tipps

    Zwei Vektoren heißen kollinear, wenn der eine Vektor sich als Vielfaches des anderen darstellen lässt.

    In diesem Bild kannst du die beiden Punkte sehen.

    Lösung

    In diesem Bild kannst du sowohl den Punkt $P$ als auch dessen Lotfußpunkt $P_{L;g}$ auf die Gerade $g$ sehen.

    Der Lotfußpunkt ist der Punkt der Geraden mit dem kürzesten Abstand zu $P$. Daraus folgt, dass die beiden Vektoren $\vec b$ (der Richtungsvektor der Geraden) und $\vec{P P_{L;g}}$ orthogonal sein müssen. Das bedeutet, sie stehen senkrecht zueinander.

    Wenn du den Punkt $P_{L;g}$ entlang der Geraden bewegst, kannst du feststellen, dass der Abstand zu $P$ größer wird.

    Übrigens ist der Lotfußpunkt eindeutig.

  • Ergänze die Erklärung zu der Lotfußpunktformel.

    Tipps

    Der Verbindungsvektor zweier Punkte ist die Differenz der Ortsvektoren des Endpunktes und des Anfangspunktes.

    Stehen zwei Vektoren senkrecht zueinander, ist deren Skalarprodukt ($\star$) gleich $0$.

    Den Richtungsvektor einer Geraden erkennst du daran, dass dieser mit dem Parameter multipliziert wird.

    Lösung

    Es soll der Lotfußpunkt $P_{L;g}$ des Punktes $P$ auf die Gerade $g$ bestimmt werden.

    Die Länge des Verbindungsvektors dieser beiden Punkte ist der Abstand des Punktes $P$ zu der Geraden $g$. Es sei $g:\vec x=\vec{a}+t\cdot \vec{b}$.

    Der Lotfußpunkt kann mit der Lotfußpunktformel berechnet werden:

    $\left(\vec{a}+t_L\cdot \vec{b}-\vec{OP}\right)\star\vec{b}=0$.

    Schauen wir uns diese einmal etwas genauer an:

    • $\vec{a}$ ist der Stützvektor der Geraden $g$. Dieser zeigt auf einen Punkt der Geraden.
    • Durch $\vec{b}$ ist der Richtungsvektor der Geraden $g$ gegeben.
    • $\vec{a}+t\cdot \vec{b}$ zeigt auf (irgend)einen Punkt der Geraden $g$.
    • Damit ist $\vec{a}+t\cdot \vec{b}-\vec{OP}$ der Verbindungsvektor dieses Punktes mit dem Punkt $P$, auf welchen $\vec{OP}$ zeigt.
    • Wenn das Skalarprodukt (dieses wird durch $\star$ angezeigt) dieses Verbindungsvektors mit dem Richtungsvektor $\vec{b}$ der Geraden $g$ gerade $0$ ergibt, gilt: Die beiden Vektoren stehen senkrecht zueinander.
    • Dies führt zu der Gleichung $\left(\vec{a}+t\cdot \vec{b}-\vec{OP}\right)\star\vec{b}=0$.
    Die Lösung dieser obigen Gleichung sei $t_L$. Wenn man dieses $t_L$ in die Gleichung der Geraden $g$ einsetzt, erhält man den Lotfußpunkt $P_{L;g}$.

  • Wende die Lotfußpunktformel an, um den Abstand des Punktes $P(-5|-6|-9)$ von der Geraden $g$ zu berechnen.

    Tipps

    Löse zunächste folgende Gleichung:

    $\left(\begin{pmatrix} 7 \\ 2\\ 1 \end{pmatrix}+t\cdot\begin{pmatrix} 2 \\ 6\\ 1 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} -5 \\ -6\\ -9 \end{pmatrix}\right)\star\begin{pmatrix} 2 \\ 6\\ 1 \end{pmatrix}=0$.

    Setze die gefundene Lösung in die Geradengleichung ein. So erhältst du den Lotfußpunkt.

    Der Abstand des Punktes von der Geraden ist der Abstand des Punktes von dem Lotfußpunkt.

    Du erhältst den Abstand zweier Punkte, indem du...

    • ...den Verbindungsvektor dieser beiden Punkte bestimmst.
    • ...von diesem Verbindungsvektor die Länge berechnest.

    Die Länge eines Vektors ist die Wurzel aus der Summe der Koordinatenquadrate:

    $|\vec v|=\sqrt{v_1^2+v_2^2+v_3^2}$.

    Lösung

    Es soll der Abstand des Punktes $P(-5|-6|-9)$ von der Geraden $g$ berechnet werden:

    $g:\vec x=\begin{pmatrix} 7 \\ 2\\ 1 \end{pmatrix}+t\cdot\begin{pmatrix} 2 \\ 6\\ 1 \end{pmatrix}$.

    Wir bestimmen zunächst den Lotfußpunkt des Punktes auf die Gerade $g$.

    Es muss die folgende Gleichung gelöst werden:

    $\begin{array}{lrclll}&\left(\begin{pmatrix} 7 \\ 2\\ 1 \end{pmatrix}+t\cdot\begin{pmatrix} 2 \\ 6\\ 1 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} -5 \\ -6\\ -9 \end{pmatrix}\right)\star\begin{pmatrix} 2 \\ 6\\ 1 \end{pmatrix}&=&0&|&\text{Rechnen mit Vektoren}\\\\ \Leftrightarrow&\begin{pmatrix} 12+2t \\ 8+6t\\ 10+t \end{pmatrix}\star\begin{pmatrix} 2 \\ 6\\ 1 \end{pmatrix}&=&0&|&\text{Skalarmultiplikation}\\\\ \Leftrightarrow&2(12+2t)+6(8+6t)+(10+t)&=&0&|&\text{Klammern aufl}\ddot{\text{o}}\text{sen}\\ \Leftrightarrow&24+4t+48+36t+10+t&=&0&|&\text{Zusammenfassen}\\ \Leftrightarrow&41t+82&=&0&|&-82\\ \Leftrightarrow&41t&=&-82&|&:41\\ \Leftrightarrow&t&=&-2 \end{array}$

    Damit ist $t_L=-2$. Setze diesen Wert nun in die Geradengleichung ein:

    $\vec {p_{L;g}}=\begin{pmatrix} 7 \\ 2\\ 1 \end{pmatrix}-2\cdot\begin{pmatrix} 2 \\ 6\\ 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 3 \\ -10\\ -1 \end{pmatrix}$.

    Dies ist der Ortsvektor des Lotfußpunktes $P_{L;g}(3|-10|-1)$.

    Nun muss noch der Abstand der beiden Punkte $P$ und $P_{L;g}$ berechnet werden. Dies ist die Länge des Verbindungsvektors dieser beiden Punkte:

    $\vec{P P_{P;g}}=\begin{pmatrix} 3-(-5) \\ -10-(-6)\\ -1-(-9) \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 8\\ -4\\ 8 \end{pmatrix}$.

    Berechne den Betrag dieses Vektors:

    $\left|\begin{pmatrix} 8 \\ -4\\ 8 \end{pmatrix}\right|=\sqrt{8^2+(-4)^2+8^2}=\sqrt{144}=12$.

    Dies ist der gesuchte Abstand des Punktes $P$ zu der Geraden $g$.

  • Bestimme den Lotfußpunkt des Punktes $P(11|0|-3)$ auf der Geraden $g$.

    Tipps

    Die Lotfußpunktformel zur Bestimmung des Lotfußpunktes eines Punktes $P$ zu einer Geraden $g:\vec x=\vec a+t\cdot \vec b$ ist gegeben durch:

    $\left(\vec a+t_L\cdot \vec b-\vec{OP}\right)\star\vec b=0$.

    Das bedeutet, du musst einen Wert $t_L$ finden, der diese Gleichung erfüllt.

    • Du multiplizierst einen Vektor mit einer Zahl, indem du jede Koordinate des Vektors mit dieser Zahl multiplizierst.
    • Du addierst (subtrahierst) zwei Vektoren, indem du sie koordinatenweise addierst (subtrahierst).

    Hier kannst du sehen, wie du das Skalarprodukt zweier Vektoren $\vec v\star \vec w$ berechnest.

    • Multipliziere die einander entsprechenden Koordinaten der Vektoren.
    • Addiere schließlich diese (drei!) Produkte.
    Lösung

    Es soll der Lotfußpunkt des Punktes $P(11|0|-3)$ auf der Gerade $g$ bestimmt werden. $g$ ist gegeben durch:

    $g:\vec x=\begin{pmatrix} 3 \\ 1\\ 2 \end{pmatrix}+t\cdot\begin{pmatrix} 2 \\ -1\\ -2 \end{pmatrix}$.

    Hierfür muss die folgende Gleichung gelöst werden:

    $\begin{array}{lrclll}&\left(\begin{pmatrix} 3 \\ 1\\ 2 \end{pmatrix}+t\cdot\begin{pmatrix} 2 \\ -1\\ -2 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} 11 \\ 0\\ -3 \end{pmatrix}\right)\star\begin{pmatrix} 2 \\ -1\\ -2 \end{pmatrix}&=&0&|&\text{Rechnen mit Vektoren}\\\\ \Leftrightarrow&\begin{pmatrix} -8+2t \\ 1-t\\ 5-2t \end{pmatrix}\star\begin{pmatrix} 2 \\ -1\\ -2 \end{pmatrix}&=&0&|&\text{Skalarmultiplikation}\\\\ \Leftrightarrow&2(-8+2t)-(1-t)-2(5-2t)&=&0&|&\text{Klammern aufl}\ddot{\text{o}}\text{sen}\\ \Leftrightarrow&-16+4t-1+t-10+4t&=&0&|&\text{Zusammenfassen}\\ \Leftrightarrow&9t-27&=&0&|&+27\\ \Leftrightarrow&9t&=&27&|&:9\\ \Leftrightarrow&t&=&3 \end{array}$

    Setze $t_L=3$ in die Gleichung der Geraden $g$ ein:

    $\vec{p_{L;g}}=\begin{pmatrix} 3 \\ 1\\ 2 \end{pmatrix}+3\cdot\begin{pmatrix} 2 \\ -1\\ -2 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 9 \\ -2\\ -4 \end{pmatrix}$.

    Dies ist der Vektor, welcher auf den Lotfußpunkt $P_{L;g}(9|-2|-4)$ zeigt.

  • Ermittle den Abstand des Punktes $P(11|0|-3)$ zu dem Punkt $P_{L;g}(9|-2|-4)$.

    Tipps

    Achte auf die Vorzeichen.

    Das Quadrat einer negativen Zahl ist positiv:

    • $(-3)^2=9$, aber
    • $-3^2=-9$.
    Lösung

    Der Abstand zweier Punkte ist die Länge des Verbindungsvektors dieser beiden Punkte.

    Diesen erhältst du, indem du von dem Ortsvektor des Endpunktes den des Anfangspunktes subtrahierst. Achte dabei auf die Reihenfolge. Wenn du diese umkehrst, erhältst du den Gegenvektor. Bei der Abstandsberechnung ist dies nicht so schlimm, in manchen anderen Zusammenhängen allerdings schon.

    Es gilt:

    $P P_{L;g}=\begin{pmatrix} 9-11 \\ -2-0\\ -4-(-3) \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -2 \\ -2\\ -1 \end{pmatrix}$.

    Die Länge (bzw. den Betrag) eines Vektors erhältst du, indem du jede Koordinate des Vektors quadrierst, die Quadrate addierst und dann die Wurzel aus der Summe ziehst:

    $\left|P P_{L;g}\right|=\left|\begin{pmatrix} -2 \\ -2\\ -1 \end{pmatrix}\right|=\sqrt{(-2)^2+(-2)^2+(-1)^2}=\sqrt 9=3$.

    Dies ist der Abstand der beiden Punkte zueinander.