30 Tage kostenlos testen:
Mehr Spaß am Lernen.

Überzeugen Sie sich von der Qualität unserer Inhalte.

Lotfußpunktformel - Erklärung 05:40 min

Textversion des Videos

Transkript Lotfußpunktformel - Erklärung

Hallo. Es gibt eine Formel. Zum Beispiel hier die Lotfußpunktformel. Ja, das ist eine Gleichung und wenn man da einen Stützvektor und einen Richtungsvektor einer Geraden einsetzt und einen Punkt P einsetzt beziehungsweise einen dazugehörigen Ortsvektor, dann kann man diese Gleichung auflösen nach t, ja. Und dann erhält man einen bestimmten Wert tL. Und den kann man dann hier in diese Geradengleichung einsetzen und dann kommt man nämlich direkt zum Lotfußpunkt des Punktes P auf die Gerade g. Und die Frage ist: Warum ist das der Fall? Warum kommen wir mit dieser Formel zum Lotfußpunkt und nicht etwa nach Wospittel. Darüber können wir uns jetzt mal Gedanken machen. Hier haben wir also die Lotfußpunktformel. Es geht um den Punkt P, von dem aus wir das Lot auf die Gerade g fällen, g sieht so aus. Und die Formel lautet nun (a + tL×b - OP)×b = 0. Das hier ist das Skalarprodukt und tL ist ein ganz bestimmter Wert für t. Schauen wir uns das Ganze mal graphisch optisch an. Ja, ich zeige das jetzt zweidimensional. Im Dreidimensionalen ist es genauso, ist es nur viel schwieriger zu erkennen hier im Video. Also hier ist ein kleines Koordinatensystem angedeutet, das brauchen wir jetzt nicht weiter. Wir haben eine Gerade g und wir haben einen Punkt P. Und wir fällen das Lot von P auf die Gerade g. Das heißt, wir bilden eine Strecke von P aus, die dann rechtwinklig auf diese Gerade auftrifft. Und dieser Auftreffpunkt quasi, das ist unser Lotfußpunkt, der Punkt PL;g. Dieser Lotfußpunkt ist eindeutig bestimmt. Wenn wir sagen, wir möchten von P losgehen und rechtwinklig hier auftreffen, dann gibt es nur diesen einen Punkt, auf den wir dann treffen. Für alle anderen Punkte gilt, ja, wenn wir diesen Punkt nehmen zum Beispiel hier, dann ist die Verbindungsstrecke von dem Punkt P zu diesem Punkt hier nicht rechtwinklig zur Geraden. Das können wir direkt sehen und einen weiteren Nachweis können wir uns hier sparen. Wir haben nun eine Gerade g, die diese Darstellung hat, ja. Wir haben einen Stützvektor a und wir haben einen Richtungsvektor b. Den können wir hier dran setzen. Und den bezeichne ich jetzt nicht weiter, weil sich hier gleich noch ein bisschen was ändern wird. Und wir suchen nun eine bestimmte Zahl, die wir für t einsetzen können, so dass also gilt, dass wenn wir a + Zahl×b rechnen, wir dann bei diesem Lotfußpunkt ankommen. Und “beim Lotfußpunkt ankommen” heißt, das hier ist rechtwinklig zu dem. Ja, wir haben uns schon überlegt, dass der Lotfußpunkt eindeutig definiert ist, dass diese Verbindungsstrecke rechtwinklig zur Geraden ist. In Vektorsprache übersetzt bedeutet das, dass der Vektor von P zum Lotfußpunkt rechtwinklig oder orthogonal zum Richtungsvektor der Geraden ist. Und das wiederum heißt, dass das Skalarprodukt des Vektors von P zum Lotfußpunkt und des Richtungsvektors der Geraden gleich null ist. Ja und das ist letzten Endes das, was hier steht. Ja, wir rechnen a plus dieser bestimmte Wert mal b, dann kommen wir hier an. Wir rechnen minus Ortsvektor zu P und erhalten dann hier den Vektor, der von P zum Lotfußpunkt führt. Und der soll orthogonal zu b sein. Bedeutet: Das Skalarprodukt aus den beiden Vektoren ist gleich null. Wenn wir dann einen solchen Wert gefunden haben, können wir den einfach hier für t einsetzen und das hier ausrechnen und haben dann die Koordinaten des Lotfußpunktes von P auf die Gerade g. So, das war es dazu. Wir haben also gesehen, was ein Lotfußpunkt ist und das dieser eindeutig bestimmt ist mit der Forderung, von einem Punkt aus rechtwinklig auf einer Geraden auftreffen zu wollen. Und wir haben auch gesehen, dass diese Formel genau den Wert für t liefert, für den gilt, dass die entsprechenden Vektoren rechtwinklig sind. Und wir so eben beim Lotfußpunkt rauskommen und nicht in Brunsbüttel. Viel Spaß damit. Tschüss.