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Abstand Punkt-Gerade im Raum (IR³) 07:23 min

Textversion des Videos

Transkript Abstand Punkt-Gerade im Raum (IR³)

Hallo. Ich bin Giuliano. Ich möchte Dir heute zeigen, wie Du den Abstand von einem Punkt und einer Geraden im Raum beziehungsweise im R³ berechnest. Wenn ich im Folgenden vom Abstand spreche, meine ich immer den kürzesten Abstand von dem Punkt und der Geraden. Links haben wir-, werden wir die allgemeine Vorgehensweise gleich aufzählen und in der Mitte werde ich Dir ein Beispiel vorrechnen, anhand deren wir dann die Vorgehensweise erarbeiten. Also zuerst müssen wir natürlich einen Punkt P und eine Gerade g gegeben haben. Wir schauen uns dazu eben folgendes Beispiel an: Wir nehmen die Gerade g in folgender Parameterform. Vektor x = (4 2 1) als Stützvektor + t * Richtungsvektor (2 -2 -1). Vektor x = (4 2 1) + t * (2 -2 -1). Und der Punkt P hat die Koordinaten P(2 1 8). Und wir wollen jetzt eben den kürzesten Abstand zwischen diesen beiden ausrechnen. Zuerst machen wir folgendes: Wir werden eine Hilfsebene H aufstellen, die zwei Eigenschaften hat. Einmal enthält diese Hilfsebene H den Punkt P und zum zweiten ist sie orthogonal zur Geraden g. Warum denn orthogonal? Ja der kürzeste Abstand zwischen einem Punkt und einer Geraden besteht genau da, wo eben die Strecke zwischen dem Punkt P und der Geraden genau senkrecht ist. Und dann, wenn wir diese Strecke haben, also diese senkrechte Strecke von P zu g, dann können wir diesen Abstand berechnen und das ist dann der Abstand von diesem Punkt und der Geraden. Aber kommen wir zurück zur Hilfsebene. Die Hilfsebene werden wir in der Normalengleichung aufstellen, weil das eben sehr schnell geht. Den allgemeinen Vektor x minus einen Stützvektor. Wir nehmen jetzt natürlich den Ortsvektor von P, weil ja P, wie wir es gesagt haben, in dieser Hilfsebene sein soll. Das heißt also, hier nehmen wir einfach (2 1 8) als Stützvektor mal einen Normalenvektor. Und jetzt haben wir ja weiterhin gesagt, das H orthogonal zu g sein soll. Ja dann können wir einfach den Richtungsvektor von g als Normalenvektor benutzen. Das heißt also hier (2 -2 -1). H: [Vektor x - (2 1 8)] * (2 -2 -1) = 0. Das wandeln wir jetzt noch in die Koordinatenform um. Für den allgemeinen Vektor x nehme ich x, y und z. Dann erhalten wir 2x - 2y - z = folgendes: Wir müssen jetzt noch das Skalarprodukt von (2 1 8) und (2 -2 -1) berechnen. 2 * 2 = 4 - 1 * 2 = 2 - 8 = -6, durch das minus wird es positiv, auf die andere Seite geholt -6. 2x - 2y - z = -6. Jetzt können wir das allgemein noch einmal hinschreiben. Also die Hilfsebene H wollen wir aufstellen in der Normalengleichung beziehungsweise Koordinatengleichung. Und sie soll folgende Eigenschaften besitzen: Sie ist orthogonal zu g beziehungsweise senkrecht und P liegt in dieser Hilfsebene. Jetzt kommt der zweite Schritt. Jetzt berechnen wir den Lotfußpunkt. Das ist der Schnittpunkt von der Geraden g und der Hilfsebene H. Und das macht man dann wie folgt: Wir setzen einfach die Parametergleichung von g in diese Koordinatengleichung von H ein. Das sieht dann so aus: 2 * x, hier ist ja der allgemeine Vektor x, das heißt, die erste Zeile entspricht der x-Koordinate, da setzen wir dann einfach (4 + 2t) ein, -2 * y, das ist die zweite Zeile der Parametergleichung, (2 - 2t), minus Klammer auf, z ist (1 - t) = -6. 2 * (4 + 2t) - 2 * (2 - 2t) - (1 - t) = -6. Das lösen wir äquivalent um, indem wir hier die Klammern auflösen. Also 8 + 4t - 4 + 4t - 1 + t = -6. Jetzt können wir das auflösen nach t. 8 - 4 = 4 - 1 = 3, auf die andere Seite geholt haben wir dann -9. 4t + 4t + t ist natürlich 9t. Und wenn wir das Ganze noch durch 9 teilen, erhalten für t = -1. Um jetzt den Lotfußpunkt F, den ich jetzt einfach F nenne, zu bestimmen, setzen wir jetzt noch dieses t in unsere Geradengleichung hier oben ein. Das heißt, hier gehört das noch zu zweitens. Wir setzen also t in g ein. Dann kommt eben, dann kommt, dann kommen die Koordinaten des Lotfußpunktes F raus. Ich könnte auch hier das allgemein als den Ortsvektor von F bezeichnen, (4 2 1) + , jetzt setzen wir -1 für t ein, (2 -2 -1). Ortsvektor(OF) = (4 2 1) + (-1) * (2 -2 -1). Und dann erhalten wir für F folgende Koordinaten: 4 - 2 = 2, 2 + 2 = 4 und 1 + 1 = 2. F(2 4 2). Jetzt haben wir also den Lotfußpunkt F gefunden. Allgemein kann man das eben jetzt so formulieren: Als zweites den Lotfußpunkt F bestimmen, indem man den Schnittpunkt von der Geraden g und der Hilfsebene H berechnet. Als letztes müssen wir jetzt nur noch den Abstand von dem Punkt P und dem Punkt F berechnen. Das heißt, dass wir das allgemein als d bezeichnen, das kommt vom englischen Distance. Betrag von dem Verbindungsvektor PF. d = I Verbindungsvektor(PF) I. Das errechnet sich dann so: Betrag von PF bilden, 2 - 2 = 0, 4 - 1 = 3, 2 - 8 = -6. d = I (0 3 -6) I. Und wenn wir jetzt den Betrag davon bilden, dann haben wir da Wurzel aus 3², also 9, + (-6)² = 36, das heißt, wir erhalten hier Wurzel(45) und das ist ungefähr 6,7. d = Wurzel(9 + 36) = Wurzel(45) ≈ 6,7. Da wir hier jetzt keine Einheiten gewählt haben, sind das einfach Längeneinheiten. Das heißt, der Abstand von dem Punkt P zur Geraden g ist ungefähr 6,7 Längeneinheiten. Jetzt wollen wir diese allgemeine Vorgehensweise noch einmal im Koordinatensystem uns ansehen. Das ist jetzt hier einmal eingeblendet. Zuerst haben wir den Punkt P und die Gerade g gegeben. Dann bilden wir eine Hilfsebene H, die orthogonal zu g ist und P enthält. Dann berechnen wir den Lotfußpunkt. Das ist der Schnittpunkt von g und dieser Hilfsebene H. Und zuletzt bestimmen wir dann noch den Abstand von dem Punkt P und dem Lotfußpunkt F und erhalten dann den kürzesten Abstand von dem Punkt und einer Geraden im Raum. Ich hoffe, dass Du das alles verstanden hast und Spaß am Video hattest. Ciao bis zum nächsten Mal. Dein Giuliano.

2 Kommentare
  1. @Kuhn Alexander C:
    Hier habe ich das Distributivgesetz bei der Skalamultiplikation angewendet, um die Normalengleichung in die Koordinatengleichung umzuwandeln. Dazu kannst du dir auch gerne die anderen Videos auf sofatutor ansehen. Hier skalarmultiplizieren wir zuerst den allgemeinen Vektor x (x y z) mit dem Normalenvektor und dann den Stützvektor mit dem Normalenvektor [Ich schreibe die Spaltenvektoren hier der Übersicht halber als Zeilenvektoren].
    Wir rechnen also nach dem Distributivgesetz:
    [(x y z)-(2 1 8)]*(2 -2 -1)=0
    (x y z)*(2 -2 -1) - (2 1 8)*(2 -2 -1)=0
    2x-2y-z -(-6)=0 |-6
    2x-2y-z = -6
    Letztere ist dann die Koordinatengleichung.
    Ich hoffe, dass ich helfen konnte.

    Von Giuliano Murgo, vor etwa 5 Jahren
  2. Ich kann leider die Umformung bei 2:30 min nicht ganz nachvollziehen... Vielleicht würde eine ausführlichere Schreibweise schon etwas helfen. Ansonsten ist das Video, so wie die anderen, echt sehr hilfreich! Danke! :-)

    Von Kuhn Alexander C, vor etwa 5 Jahren

Abstand Punkt-Gerade im Raum (IR³) Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Abstand Punkt-Gerade im Raum (IR³) kannst du es wiederholen und üben.

  • Gib die Hilfsebene $H$ in ihrer Koordinatenform an.

    Tipps

    Die gesuchten Vorfaktoren von $x$, $y$ und $z$ sind die Koordinaten des Normalenvektors $\vec{n}$ der Ebene $H$.

    Folgende Merkmale der Ebene sind in der Normalenform enthalten:

    $E:[\vec{x} - \vec{x}_0] \cdot \vec{n} = 0$,

    wobei $\vec{x}_0$ der Stützvektor und $\vec{n}$ der Normalenvektor der Ebene ist.

    Die allgemeine Koordinatenform lautet:

    $E: ax + by + cz = d$

    Lösung

    Betrachten wir die allgemeine Normalenform einer Ebene.

    $E:[\vec{x} - \vec{x}_0] \cdot \vec{n} = 0$

    Wir sehen, dass sie bereits einen Normalenvektor der Ebene enthält. Diesen benötigen wir für ihre Darstellung in Koordinatenform.

    Unser Normalenvektor ist $\vec{n}=\begin{pmatrix} 2 \\ -2 \\ -1 \end{pmatrix}$.

    Damit erhalten wir als Koordinatengleichung:

    $E: 2x - 2y - z = ~?$

    Allgemein sähe diese Gleichung so aus:

    $E: ax + by + cz = d$

    Die Faktoren $a, b$ und $c$ sind, wie bereits festgestellt, die Koordinaten des Normalenvektors. Der Wert für $d$ ergibt sich, wenn wir für $x, y$ und $z$ die Koordinaten eines Punktes der Ebene einsetzen.

    Oder anders formuliert, wenn wir die Normalenform der Ebene kennen, bilden wir einfach das Skalarprodukt des Stützvektors mit dem Normalenvektor.

    $d= \begin{pmatrix} 2 \\ -2 \\ -1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 8 \end{pmatrix} =2 \cdot 2 + (-2)\cdot1 + (-1) \cdot 8 =4-2-8= -6$

    Damit erhalten wir diese vollständige Koordinatengleichung für $H$:

    $H: 2x - 2y - z = -6$

  • Bestimme die Hilfsebene $H$.

    Tipps

    Folgende Merkmale der Ebene sind in der Normalenform enthalten:

    $E:[\vec{x} - \vec{x}_0] \cdot \vec{n} = 0$ , wobei $\vec{x}_0$ der Stützvektor und $\vec{n}$ der Normalenvektor der Ebene ist.

    Abstand bedeutet die kürzeste Entfernung. Dazu muss die Verbindungsstrecke von $g$ zu $P$ orthogonal zu $g$ sein.

    Auch die Hilfsebene $H$ muss orthogonal zur Geraden $g$ sein.

    Lösung

    Allgemein sieht eine Normalengleichung so aus:

    $E: [\vec{x} - \vec{x}_0] \cdot \vec{n} = 0$

    Sie enthält in der Klammer den Stützvektor der Ebene und außerhalb davon den Normalenvektor der Ebene.

    Als Stützvektor dient uns Punkt $P$, somit gilt:

    $\vec{x}_0=\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 8 \end{pmatrix}$

    Damit kommen nur noch die zweite und dritte Darstellung der Hilfsebene in Frage. Zum Schluss brauchen wir noch den Normalenvektor der Ebene.

    Da die Hilfsebene orthogonal zur Gerade $g$ sein soll, können wir einfach den Richtungsvektor als Normalenvektor der Ebene verwenden. Es gilt:

    $\vec{n}=\begin{pmatrix} 2 \\ -2 \\ -1 \end{pmatrix}$

    Somit kommt nur die zweite Möglichkeit als Darstellung unserer Hilfsebene in Frage.

    $H:\begin{bmatrix} \vec{x} - \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 8 \end{pmatrix} \end{bmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ -2 \\ -1 \end{pmatrix} = 0$

  • Bestimme den Schnittpunkt der Geraden $g$ mit der Hilfsebene $H$.

    Tipps

    Um den Schnittpunkt einer Geraden mit einer Ebene zu bestimmen, muss man die Zeilen der Geradengleichung für $x, y$ und $z$ in die Koordinatengleichung der Ebene einsetzen.

    Der Wert für $t$, der nach dem Einsetzen ermittelt wurde, muss wieder in die Geradengleichung eingesetzt werden, um die Koordinaten des Schnittpunktes $F$ zu erhalten.

    Lösung

    Bei so einer Rechnung muss man Schritt für Schritt vorgehen.

    Wenn man die Hilfsebene und die Gerade bereits kennt, gilt:

    • Schritt $I$: $g$ in $H$ einsetzen
    • Schritt $II$: $t$ in $g$ einsetzen
    Beginnen wir mit Schritt $I$:

    Wir kennen $H:2x-2y-z=-6$ und $g:\vec{x}=\begin{pmatrix} 4 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} +t \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ -2 \\ -1 \end{pmatrix}$.

    Nach dem Einsetzen von $g$ in $H$ muss die Gleichung so aussehen:

    $2\cdot (4+2t) -2\cdot (2-2t) - (1-t) = -6$

    Nun lösen wir die Klammern auf, vereinfachen und lösen die Gleichung nach $t$ auf:

    $\begin{align} 8 +4t -4 +4t -1 +t &= -6 \\ 3 + 9t &= -6 &|& -3\\ 9t &= -9 &|& :9 \\ t&=-1 \end{align} $

    Es folgt Schritt $II$, denn nun kennen wir unseren Wert für $t$ und können ihn in die Geradengleichung einsetzen, um den Ortsvektor des Schnittpunktes $F$ zu finden und somit auch dessen Koordinaten:

    $\vec{OF}=\begin{pmatrix} 4 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} + (-1) \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ -2 \\ -1 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ 2 \end{pmatrix}$

    Unser gesuchter Schnittpunkt lautet $F(2|4|2)$.

  • Entscheide, welche der Punkte die Anforderungen erfüllen.

    Tipps

    Es gibt genau zwei Punkte, die doppelt so weit von der Geraden entfernt sind und auf der besagten Geraden liegen.

    Einen Gegenvektor bildet man so:

    $\vec{PF}=-\vec{FP}$

    Starte jeweils vom Lotfußpunkt $F$ aus und überlege dir, wie weit die beiden Punkte davon entfernt sein müssen.

    Lösung

    Wichtig ist, dass es zwei Möglichkeiten gibt, $Q$ zu wählen. Er soll den doppelten Abstand von der Geraden (also von $F$) besitzen, wie $P$ und er muss auf einer Geraden mit diesen Punkten liegen (Bild).

    Da der Abstand, also die Länge des Verbindungsvektors sich verdoppelt, wenn man den Vektor verdoppelt, können wir den oberen Punkt $Q$ ermitteln, indem wir erst einmal den Verbindungsvektor von $F$ zu $P$ bilden:

    $\overrightarrow{FP}=\begin{pmatrix} 10,24 \\ 3,68 \\ -15,92 \end{pmatrix}$

    Wenn wir diesen Vektor jetzt noch verdoppeln, erhalten wir (da die Richtung beibehalten wird) die direkte Verbindung von $F$ zum oberen Punkt $Q$.

    $\overrightarrow{FQ} = 2\cdot \overrightarrow{FP} = \begin{pmatrix} 20,48 \\ 7,36 \\ -31,84 \end{pmatrix}$

    Dieser Vektor führt uns nun von $F$ zu $Q$. Wir erhalten den Ortsvektor von $Q$ und damit die Koordinaten, wenn wir den Ortsvektor von $F$ addieren.

    $\overrightarrow{OQ}=\overrightarrow{OF} + \overrightarrow{FQ}=\begin{pmatrix} 23,24 \\ 3,68 \\ -23,92 \end{pmatrix}$

    Somit ist der erste mögliche Punkt $Q_2$ gefunden. Um die Koordinaten des unteren möglichen Punktes zu erhalten, müssen wir den Vektor $\overrightarrow{FQ}$ umdrehen, damit er in die entgegengesetzte Richtung zeigt und uns zu dem anderen Punkt führt. Das erreichen wir durch den Gegenvektor von $FP$. Es gilt $\overrightarrow{FP}=(-1) \cdot \overrightarrow{PF}$

    $\overrightarrow{OQ}= \overrightarrow{OF} -2 \cdot \overrightarrow{FP}= \begin{pmatrix} 2,76 \\ -3,68 \\ 7,92 \end{pmatrix} -2 \cdot \begin{pmatrix} 10,24 \\ 3,68 \\ -15,92 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -17,72 \\ -11,04 \\ 39,76 \end{pmatrix}$

    Diese Koordinaten passen nur zu $Q_4$, unserem zweiten gesuchten Punkt.

  • Ermittle den Abstand, den die Gerade und der Punkt voneinander haben.

    Tipps

    Der Abstand einer Gerade und eines Punktes ist die kürzeste Strecke, die es zwischen den beiden gibt. In diesem Fall ist das die Verbindung von $P$ zu $F$.

    Den Abstand zweier Punkte berechnet man durch den Betrag ihres Verbindungsvektors.

    $d= |\overrightarrow{AB}|$

    $d=\sqrt{(b_1-a_1)^2 + (b_2-a_2)^2 + (b_3-a_3)^2}$

    Lösung

    Da der Schnittpunkt von Gerade und Hilfsebene bereits angegeben ist, brauchen wir ihn nicht mehr zu berechnen. So können wir direkt damit beginnen, den Abstand zwischen Punkt und Schnittpunkt, also zwischen $P$ und $F$ zu berechnen.

    Dazu benötigen wir lediglich die Koordinaten der beiden Punkte. Allgemein sieht die nun folgende Rechnung so aus:

    $d= |\overrightarrow{AB}|$

    $d=\sqrt{(b_1-a_1)^2 + (b_2-a_2)^2 + (b_3-a_3)^2}$

    Nun füllen wir diese allgemeine Formel mit den Koordinaten unserer Punkte:

    $d=\sqrt{(6-(-3))^2 + (4-9)^2 + (-7-1)^2} = \sqrt{81 + 25 + 64} = \sqrt{170}=13,0384...$

    Gerundet auf ganze Zahlen erhalten wir:

    $d\approx 13$

  • Ergänze die Rechenschritte, um den Abstand von Punkt und Gerade zu bestimmen.

    Tipps

    Die Hilfsebene sieht in Normalenform so aus:

    $H:\begin{bmatrix} \vec{x} - \begin{pmatrix} 13 \\ 0 \\ -8 \end{pmatrix} \end{bmatrix} \cdot \begin{pmatrix} -12 \\ 16 \\ -4 \end{pmatrix} = 0$

    Du kannst die Vorfaktoren von $x$, $y$ und $z$ an dem Normalenvektor ablesen.

    $d= |\overrightarrow{AB}|$

    $d=\sqrt{(b_1-a_1)^2 + (b_2-a_2)^2 + (b_3-a_3)^2}$

    Lösung

    Hier müssen wir Schritt für Schritt vorgehen. Im Allgemeinen solltest du diese Punkte abarbeiten, wenn eine Gerade und ein Punkt gegeben sind und du ihren Abstand herausfinden sollst:

    • Eine Hilfsebene in Normalenform aufstellen
    • Diese Hilfsebene in die Koordinatenform bringen
    • Die Gerade in Parameterform in die Hilfsebene einsetzen
    • Den so ermittelten Parameter (meist $s$ oder $t$) in die Gerade einsetzen, um den Lotfußpunkt zu erhalten
    • Den Abstand zwischen dem Lotfußpunkt und dem gegebenen Punkt ermitteln
    Beginnen wir mit dem ersten Punkt. Für eine Hilfsebene in Normalenform benötigen wir einen Stützvektor und den Normalenvektor zur Ebene. Dafür verwenden wir den gegebenen Punkt $P$ und den Richtungsvektor der Geraden. Das sieht dann so aus:

    $H:\begin{bmatrix} \vec{x} - \begin{pmatrix} 13 \\ 0 \\ -8 \end{pmatrix} \end{bmatrix} \cdot \begin{pmatrix} -12 \\ 16 \\ -4 \end{pmatrix} = 0$

    Nun kommen wir zum zweiten Punkt und überführen diese Ebene in die Koordinatenform.

    Dazu verwenden wir den Normalenvektor für die Parameter links der Gleichung und das Skalarprodukt aus Normalenvektor und Stützvektor für den Parameter rechts der Gleichung. Wenn man damit fertig ist, sieht die Gleichung so aus:

    $H: -12x +16y -4z = -124$

    Nun kommt der dritte Punkt. Wir setzen $g$ in $H$ ein. Das machen wir Zeile für Zeile. Danach lösen wir die Klammern auf, vereinfachen und bestimmen den Wert für $s$:

    $\begin{align} -12\cdot (-6-12s) +16\cdot (8+16s) -4\cdot (5-4s) = -124 \\ 72 +144s +128 +256s -20 +16s = -124 \\ 180 +416s = -124 \\ 416s = -304 \\ s=-\frac{19}{26} \end{align}$

    Bedenke, dass die Werte alle auf zwei Nachkommastellen gerundet werden sollen. So ergibt sich $s \approx -0,73$.

    Nun kommt der vierte Punkt, das Einsetzen von $s$ in $g$, um den Lotfußpunkt $F$ zu ermitteln:

    $\vec{OF}=\begin{pmatrix} -6 \\ 8 \\ 5 \end{pmatrix} + (-0,73)\cdot \begin{pmatrix} -12 \\ 16 \\ -4 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 2,76 \\ -3,68 \\ 7,92 \end{pmatrix}$

    Damit ist der gesuchte Schnittpunkt $F(2,76|-3,68|7,92)$.

    Nun folgt der fünfte und letzte Punkt, das Berechnen des Abstands der Punkte $F$ und $P$ voneinander. Wir bilden dazu den Betrag ihres Verbindungsvektors:

    $d=|\overrightarrow{PF}|$

    $d=\sqrt{(2,76-13)^2 + (-3,68 -0)^2 + (7,92-(-8))^2}=\sqrt{371,8464}$

    Am Ende dieser Rechnung erhältst du als Abstand des Punktes $P$ von der Gerade $g$:

    $d\approx 19,28~\left[ \text{LE} \right]$