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Logarithmus – Rationale Exponenten (2)

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Die Autor*innen
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Martin Wabnik
Logarithmus – Rationale Exponenten (2)
lernst du in der 9. Klasse - 10. Klasse

Beschreibung Logarithmus – Rationale Exponenten (2)

Hast du bereits den ersten Teil zu rationalen Exponenten und Logarithmen gesehen und möchtest noch ein weiteres Beispiel dazu sehen? In diesem Video werden dir zur Verfestigung des im ersten Teil Gelernten noch einmal zwei Beispiele anschaulich vorgerechnet. Zum Abschluss des Videos rechne doch noch die Testfrage zum Video, um zu überprüfen, ob du alles verstanden hast. Sollte dir das Thema allerdings neu sein, dann schau dir doch zuvor den ersten Teil zu rationalen Exponenten an. Darin wird dir nämliches alles Grundlegende auf einfache Weise erklärt.

Transkript Logarithmus – Rationale Exponenten (2)

Hallo! Hier kommt der 2. Teil dieser Sache hier mit den rationalen Exponenten. Das sind die Beispiele aus dem letztem Teil, bzw. aus dem Ersten, aus dem vorigem Teil meine ich. Was können wir noch machen? Wir haben Logarithmus zur Basis 9 von 27. Das ist gesucht und jetzt kannst Du mal so vorgehen, wie ich auch vorgehen würde, wenn ich diese Aufgabe zum ersten Mal sehen würde. Hier ist ja davon die Rede irgendwie von Wurzeln und so. Hier muss man immer die Wurzel aus der Basis ziehen. Ja, kann ich jetzt mit 9 auch mal machen. Ja, \sqrt9=3, die Quadratwurzel. Andere Wurzeln weiß ich jetzt nicht, sind irrationale Zahlen, kann ich jetzt nicht so im Kopf rechnen. Hm, also 3 ist auf jeden Fall nicht 27. Aber vielleicht, da ja hier die 27 größer ist als 9, könnte man ja mal probieren, 9 einfach mal so zu potenzieren. Zum Beispiel mit 2. Also 9²=81, aber 81 ist schon wieder zu groß. 91 ist übrigens 9, 9²=81. 27 liegt zwischen 9 und 81. Das heißt, es wird also eine Zahl zwischen 1 und 2 sein, mit der wir 9 potenzieren müssen, um 27 herauszubekommen. Was Du jetzt machen kannst, da Du ja weißt, dass die Wurzel von 9, 3 ist und Dir ja auch direkt auffällt, da Du ja jetzt schon öfter mit Logarithmen gerechnet hast, dass 3³=27 ist. Könntest Du also zunächst die Wurzel aus 9 ziehen, was also bedeuten würde, 9^½, und das dann mit 3 potenzieren. Dann wäre also der Logarithmus zur Basis 9 von 27=3/2. Ja, ich mache das noch mal vor. Die 9, also aus der 9 wird erst die Wurzel gezogen. Bzw. wir rechnen 9^½. 9^½=3. 3³=27. Ja, hier kommt ein Semikolon hin, eigentlich könnte ich hier dent schreiben. Jetzt habe ich keinen Platz mehr, macht nichts. Du kennst die Potenzgesetze, Du darfst das hier zusammenfassen, also diese beiden müssen multipliziert werden, die beiden Exponenten. Das bedeutet also (9^½)³ ist einfach 93/2 und das ist gleich 27. Ja, und diese Methode, dass man zunächst mal auf die Wurzel oder auf eine Wurzel der Basis zurückschließt, ja das ist durchaus üblich und das möchte ich an einem weiterem Beispiel noch zeigen. Und zwar haben wir den Logarithmus zur Basis 1000 von 107. Ja, hier mache ich wieder Klammern drum, dann ist das vielleicht besser erkennbar. Logarithmus zur Basis 1000 von 107. Wenn wir jetzt 1000 potenzieren, 1000×1000=1000000. Du weißt, dass 1000000=106 ist. Also, das ist zu wenig. 1000×1000×1000=109, das ist also 1 Milliarde. Hm, das ist auch nichts. Aber wir könnten ja zum Beispiel die 3. Wurzel aus 1000 ziehen, dann sind wir bei 10. 3. Wurzel aus 1000 ist 10. 10, ja wie oft muss ich 10 potenzieren, um 107 zu bekommen? 7 Mal. Also 7 Mal mit sich selbst multiplizieren. Und ich schreibe auch noch eben schnell hier die Begründung hin, denn ihr könnt das auch mit dem Wurzelzeichen schreiben hier, die 3. Wurzel aus 1000 ist ja gleich 10. 3. Wurzel aus 1000 und das soll jetzt potenziert werden mit 7. Dann kriegt man natürlich 107, wenn hier die 3. Wurzel aus 1000, 10 ist. Das heißt also, 107 steht dann hier und das ist 107/3. Das ist Quatsch. Das ist falsch, denn ich wollte schreiben.. Jetzt passt das nicht mehr hin, was ein Mist.. Also, ich nehme einfach eine neue Folie, denn es geht hier weiter. So, ja, 107. Wir haben (10001/3). Das ist ja die 3. Wurzel und das müssen wir jetzt mit 7 potenzieren. So, jetzt ist es richtig. Die 3. Wurzel aus 1000, also (10001/3)7 und nach den Potenzrechengesetzen weißt Du, dass (10001/3)7=10007/3 ist, denn wenn 2-mal potenziert wird, also ein Mal potenziert und diese Potenz wird noch mal potenziert, dann multiplizieren sich die Exponenten und 1/3×7 sind 7/3 und dann ist das hier auch richtig. 10007/3=107 und deshalb ist der Logarithmus zur Basis 1000 von 107=7/3. Ja, das war es dazu, bis dann. Tschüss.

1 Kommentar

1 Kommentar
  1. bei der 1.Übungsaufgabe ist anscheinend ein Fehler. Lt. Lösungsweg ist log zur Basis 27 von 9 3/2. Das System erkennt aber das als Fehler und akzeptiert nur 2/3

    Von Joine, vor etwa 4 Jahren

Logarithmus – Rationale Exponenten (2) Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Logarithmus – Rationale Exponenten (2) kannst du es wiederholen und üben.
  • Berechne den Logarithmus $log_{~9}27$.

    Tipps

    Verwende die Regel für Potenzen mit rationalen Exponenten:

    $a^{\frac1n}=\sqrt[n]a$.

    $\sqrt{}$ steht für die Quadratwurzel. Man lässt hier den Wurzelexponenten weg.

    Schreibe $\sqrt9$ als Potenz mit der Basis $9$.

    Du musst die Gleichung $27^x=9$ nach $x$ auflösen.

    Lösung

    Es soll der Logarithmus zur Basis $9$ von $27$ berechnet werden.

    Die Wurzel aus $9$ ist $3$. $27$ ist ebenfalls eine Potenz mit der Basis $3$.

    Es gilt $3^3=27$ und insgesamt ist also

    $(\sqrt 9)^3=3^3=27$.

    Da die Quadratwurzel als Potenz mit dem Exponenten $\frac12$ geschrieben werden kann, erhält man

    $9^{\frac32}=27$.

    Der Logarithmus ist dann

    $\log_{9}27=\frac32$.

  • Beschreibe, warum $\log_{1000}\left(10^7\right)=\frac73$ ist.

    Tipps

    Beachte, dass es nicht darum geht, die Relationen auf ihre Richtigkeit zu überprüfen.

    Es ist genau eine Begründung korrekt.

    Der Logarithmus beantwortet die Frage, womit die Basis potenziert werden muss, um den gegebenen Potenzwert zu erhalten.

    Du kannst die Regel

    $\left(a^n\right)^m=a^{n \cdot m}$

    verwenden.

    Du erhältst eine Gleichung $1000^x=10^7$.

    Schreibe $1000$ als Potenz mit Basis $10$ und vergleiche die Exponenten.

    Lösung

    Es gilt $1000=10^3$.

    Der Logarithmus $x=\log_{1000}\left(10^7\right)$ beantwortet die Frage, mit welchem Exponenten die Basis $1000$ potenziert werden muss, damit der Potenzwert $10^7$ herauskommt.

    Dies kann als Gleichung wie folgt aufgeschrieben werden:

    $\begin{align*} && 1000^x&=10^7\\ &\Leftrightarrow& \left(10^3\right)^x&=10^7\\ &\Leftrightarrow& 10^{3x}&=10^7. \end{align*}$

    Da die Basen übereinstimmen, können nun die Exponenten verglichen werden. Es muss gelten: $3x=7$. Dies ist äquivalent zu $x=\frac73$.

    Somit ist $\log_{1000}10^7=\frac73$.

  • Berechne den Logarithmus $\log_{1000}0,01$.

    Tipps

    Verwende die Potenzregel zum Rechnen mit Potenzen mit negativen Exponenten:

    $a^{-n}=\frac1{a^n}$.

    Du kannst die Potenzregel

    $\left(a^n\right)^m=a^{n\cdot m}$

    verwenden.

    Wenn zwei Potenzen in ihren Basen übereinstimmen, so sind sie identisch, wenn sie auch in ihren Exponenten übereinstimmen.

    Lösung

    Gesucht ist der Logarithmus zur Basis $1000$ von $0,01$:

    $\log_{1000}0,01=x$.

    Mit welcher Zahl muss $1000$ potenziert werden, damit $0,01$ herauskommt?

    Zu lösen ist die folgende Gleichung $1000^x=0,01$.

    Man kann zunächst beide Zahlen als Potenz mit der Basis $10$ schreiben:

    • $1000=10^3$ sowie
    • $0,01=10^{-2}$.
    Also gilt:

    $\left(10^3\right)^x=10^{-2}$.

    Unter Verwendung von $\left(a^n\right)^m=a^{n\cdot m}$ erhält man

    $10^{3x}=10^{-2}$.

    Da die Basen übereinstimmen, kann man die Exponenten vergleichen: $3x=-2$. Division durch $3$ führt zu $x=-\frac23$.

    Damit kann der Logarithmus angegeben werden:

    $\log_{1000}0,01=-\frac23$.

  • Arbeite heraus, wie der Logarithmus berechnet werden kann.

    Tipps

    Du kannst Logarithmusgleichungen lösen durch Potenzen.

    Der Logarithmus beantwortet die Frage, mit welcher Zahl $x$ $8$ potenziert werden muss, um $0,25$ zu erhalten.

    Schreibe zunächst sowohl die Basis als auch den Numerus als Potenz mit der gleichen Basis.

    Zwei Potenzen mit gleicher Basis stimmen überein, wenn die Exponenten übereinstimmen.

    Lösung

    Um den Logarithmus $\log_80,25$ zu berechnen, ist es sinnvoll, sowohl die Basis als auch den Numerus als Potenzen mit der gleichen Basis zu schreiben.

    • $8=2^3$ und
    • $0,25=2^{-2}$.
    Um nun herauszufinden, mit welcher Zahl $x$ $8$ potenziert werden muss, um $0,25$ zu erhalten, muss die folgende Gleichung gelöst werden:

    $\begin{align*} && 8^x&=0,25\\ &\Leftrightarrow& \left(2^3\right)^x&=2^{-2}\\ &\Leftrightarrow& 2^{3x}&=2^{-2}. \end{align*}$.

    Da die Basis auf beiden Seiten gleich ist, müssen die Exponenten übereinstimmen: $3x=-2$. Division durch $3$ führt zu $x=-\frac23$.

    Somit ist der gesuchte Logarithmus

    $\log_80,25=-\frac23$.

  • Gib an, wie man eine Potenz mit einem rationalen Exponenten schreiben kann.

    Tipps

    Es gilt $a^1=a=a^{\frac{n}{n}}$. Setze $n=1$ bzw. $n=m=1$ in die möglichen Formeln zur Überprüfung ein.

    Es gilt das Potenzgesetz $a=\left(a^{\frac1n}\right)^n$.

    Ziehe bei der obigen Gleichung auf beiden Seiten die $n$-te Wurzel.

    Lösung

    Um Logarithmen aus Wurzeln berechnen zu können, ist es sinnvoll umgekehrt zu wissen, wie Potenzen mit rationalen Exponenten umgeformt werden können zu Wurzeln:

    • $a^{\frac1n}=\sqrt[n]a$ sowie
    • $a^{\frac mn}=\sqrt[n]{a^m}$.
    Die erste Beziehung kann zum Beispiel mithilfe eines Potenzgesetzes nachgewiesen werden:

    $\left(a^{\frac1n}\right)^n=a^{\frac1n\cdot n}=a^1=a$.

    Wenn man nun auf beiden Seiten die $n$-te Wurzel zieht, hat man die gewünschte Gleichung.

  • Bestimme den Logarithmus zur Basis $16$ von $8$.

    Tipps

    Beachte, dass das Ergebnis kleiner als $1$ sein muss.

    Du musst die Gleichung $16^x=8$ nach $x$ auflösen.

    Sowohl $16$ als auch $8$ sind Zweierpotenzen.

    Du kannst die folgenden Potenzregeln verwenden:

    • $a^{\frac1n}=\sqrt[n]a$ sowie
    • $\left(a^n\right)^m=a^{n\cdot m}$.

    Lösung

    Es gilt

    • $16=2^4$ und
    • $8=2^3$.
    Der Logarithmus $\log_{16}8$ beantwortet die Frage, mit welcher Potenz $x$ $16$ potenziert werden muss, damit man $8$ erhält. Dies führt zu der Gleichung

    $\begin{align*} && 16^x&=8\\ &\Leftrightarrow& \left(2^4\right)^x&=2^3\\ &\Leftrightarrow& 2^{4x}&=2^3. \end{align*}$

    Da die Basen übereinstimmen, kann man die Exponenten vergleichen: $4x=3$. Diese Gleichung ist äquivalent zu $x=\frac34$.

    Es gilt also $16^{\frac34}=8$ und somit umgekehrt $\log_{16}8=\frac34$.

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