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Logarithmus – Rationale Exponenten (1) 04:33 min

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Transkript Logarithmus – Rationale Exponenten (1)

Hallo, ich möchte mal an eine kleine Formel erinnern, an eine Definition besser gesagt. Also, und zwar die Definition der rationalen Exponenten. Wir haben  a1/n. Was ist das?  Das ist die n\sqrt a Da, ich hoffe das kommt dir bekannt vor. n\sqrt a  ist gleich a1/n. Und weil es so schön ist, gleich die Anschlussdefinition dazu:  am/n, so wird es oft geschrieben, am/n, das ist die n\sqrt am. Das ist ein a. Die n\sqrt am ist gleich am/n. Ja, so ist das definiert. Kann man auch begründen. Alles bei mir hier an dieser Stelle, denn hier soll es ja um Logarithmen gehen. Und da haben wir zum Beispiel folgende Sache: Wir fragen uns, mit welcher Zahl muss man die 2 potenzieren, damit man die Wurzel aus 2 erhält? Welche Zahl mag das sein? Wir können das ja mal hier ein bisschen ablesen. Wenn wir für a 2 einsetzen, und nun ist die Wurzel aus 2, also die Wurzel, einfach nur die Wurzel, wenn die da steht, dann ist immer die zweite Wurzel gemeint; die Quadratwurzel. Wenn hier nichts steht, muss man für n hier immer 2 einsetzen. Dann steht hier also: Die zweite Wurzel aus 2, also da, zweite Wurzel aus 2. Und wenn ich hier für a also 2 eingesetzt habe, für n auch gleich 2, dann muss ich das hier auch machen. Dann steht da a also 21/2.  So, wenn dir das jetzt zu kompliziert war mit dem Einsetzen, noch mal ganz langsam. Mit welcher Zahl muss ich 2 potenzieren, damit Wurzel 2 rauskommt? Die Zahl ist ½. Denn 2^½ ist gleich Wurzel aus 2. So, nächstes Beispiel möchte ich mal hier abtrennen. Da sind die Definitionen, das wird auch abgetrennt. Der Logarithmus zur Basis 16 von 2. Ja, hier sind viele 2en, das bietet sich an, das mit 2en zu machen. Es kommen auch noch 3en und so was, und 9en. Logarithmus zur Basis 16 von 2, was ist das? Wir sehen hier, dass wir wohl eine Wurzel ziehen müssen. Und zwar kann man jetzt einfach mal so durchgehen, wenn man das jetzt so als Aufgabe hat. 16, also Wurzel aus 16 ist 4, weil 4×4=16. Ja, wir wollen aber 2 erreichen, also welche Wurzel muss ich aus 16 ziehen, damit ich 2 erreiche? Dritte Wurzel ist irgendeine irrationale Zahl, also die 2, vierte Wurzel aus 16, ist gleich 2.  Denn 2×2×2×2=16, damit also Logarithmus zur Basis 16 von 2 ist ¼, denn 16^¼ bedeutet 4\sqrt 16, und das ist 2. Also muss man 16 mit ¼ potenzieren, damit 2 rauskommt. Weitere Beispiele kommen im zweiten Teil hier, bis dahin tschüß.

2 Kommentare
  1. Nein, denn hinter dieser Formel gibt es nichts anschauliches. Es ist einfach nur ein Festlegung, die sagt, was gebrochen rationale Exponenten bedeuten sollen.

    Von Martin Wabnik, vor fast 8 Jahren
  2. Haben Sie auch ein Video in welchem Sie die Formel a^(m/n)= n-te Wurzel aus a^m anschaulich erklären?

    Von John U., vor fast 8 Jahren

Logarithmus – Rationale Exponenten (1) Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Logarithmus – Rationale Exponenten (1) kannst du es wiederholen und üben.

  • Gib an, wie man eine Potenz mit einem rationalen Exponenten schreiben kann.

    Tipps

    Es gilt $a^1=a=a^{\frac{n}{n}}$. Setze $n=1$ bzw. $n=m=1$ in die möglichen Formeln zur Überprüfung ein.

    Es gilt das Potenzgesetz $a=\left(a^{\frac1n}\right)^n$.

    Ziehe bei der obigen Gleichung auf beiden Seiten die $n$-te Wurzel.

    Lösung

    Um Logarithmen aus Wurzeln berechnen zu können, ist es sinnvoll umgekehrt zu wissen, wie Potenzen mit rationalen Exponenten umgeformt werden können zu Wurzeln:

    • $a^{\frac1n}=\sqrt[n]a$ sowie
    • $a^{\frac mn}=\sqrt[n]{a^m}$.
    Die erste Beziehung kann zum Beispiel mit Hilfe eines Potenzgesetzes nachgewiesen werden:

    $\left(a^{\frac1n}\right)^n=a^{\frac1n\cdot n}=a^1=a$.

    Wenn man nun auf beiden Seiten die $n$-te Wurzel zieht, hat man die gewünschte Gleichung.

  • Berechne den Logarithmus von $\sqrt{2}$ zur Basis $2$.

    Tipps

    Verwende die Regel für Potenzen mit rationalen Exponenten:

    $a^{\frac1n}=\sqrt[n]a$.

    $\sqrt{}$ steht für die Quadratwurzel. Man lässt hier den Wurzelexponenten weg.

    Schreibe $\sqrt2$ als Zweierpotenz.

    Du musst die Gleichung $2^x=\sqrt{2}$ nach $x$ auflösen.

    Lösung

    Um den Logarithmus zur Basis $2$ von $\sqrt 2$ zu berechnen, muss man wissen, wie $\sqrt{}$ als Potenz mit der Basis $2$ berechnet werden kann.

    Hierfür ist es wichtig zu wissen, wie man Potenzen mit rationalen Exponenten schreiben kann:

    • $a^{\frac1n}=\sqrt[n]a$ und
    • $a^{\frac mn}=\sqrt[n]{a^m}$.
    Mit der ersten Regel ist $\sqrt2=2^{\frac12}$.

    Somit ist der Logarithmus $\log_2 \sqrt2=\frac12$.

  • Beschreibe, warum $\log_{16}2=\frac14$ ist.

    Tipps

    Beachte, dass es nicht darum geht, die Relationen auf ihre Richtigkeit zu überprüfen.

    Es ist genau eine Begründung korrekt.

    Schreibe $2$ als Potenz mit der Basis $16$.

    Verwende die folgende Regel

    $a^{\frac1n}=\sqrt[n]a$.

    Beachte, dass $\sqrt[4]{16}=2$ gilt.

    Lösung

    Wenn die Aufgabe darin bestünde, den folgenden Logarithmus zu berechnen:

    $\log_{16}2$,

    so würde die folgende Frage beantwortet werden müssen. Mit welcher Zahl muss man $16$ potenzieren, um $2$ zu erhalten?

    Es gilt $2^4=16$. Nur war nicht danach gefragt, mit welcher Zahl $2$ potenziert werden muss, um $16$ zu erhalten.

    Man kann die Gleichung umformen:

    $\begin{align*} 2^4&=16&|&\sqrt[4]{}\\ 2&=\sqrt[4]{16}. \end{align*}$

    Nun kann man die Regel verwenden, nach welcher

    $a^{\frac1n}=\sqrt[n]a$

    gilt. Es ist also

    $16^{\frac14}=\sqrt[4]{16}$.

    Da also insgesamt $2=16^{\frac14}$ gilt, ist umgekehrt

    $\log_{16}2=\frac14$.

  • Bestimme den Logarithmus zur Basis $8$ von $4$.

    Tipps

    Beachte, dass das Ergebnis kleiner als $1$ sein muss.

    Du musst die Gleichung $8^x=4$ nach $x$ auflösen.

    Sowohl $8$ als auch $4$ sind Zweierpotenzen.

    Du kannst die folgenden Potenzregeln verwenden:

    • $a^{\frac1n}=\sqrt[n]a$ sowie
    • $\left(a^n\right)^m=a^{n\cdot m}$.

    Lösung

    Es gilt

    • $4=2^2$ und
    • $8=2^3$.
    Der Logarithmus $\log_84$ beantwortet die Frage, womit $8$ potenziert werden muss, damit man $4$ erhält. Dies führt zu der Gleichung

    $\begin{align*} && 8^x&=4\\ &\Leftrightarrow& \left(2^3\right)^x&=2^2\\ &\Leftrightarrow& 2^{3x}&=2^2. \end{align*}$

    Da die Basen übereinstimmen, kann man die Exponenten vergleichen: $3x=2$. Diese Gleichung ist äquivalent zu $x=\frac23$.

    Es gilt also $8^{\frac23}=4$ und somit umgekehrt $\log_84=\frac23$.

  • Berechne das Ergebnis zu $\log_{27}3$.

    Tipps

    Du kannst Logarithmusgleichungen lösen durch Potenzen. Dabei stimmen die Basen überein.

    Verwende die folgende Regel

    $a^{\frac1n}=\sqrt[n]a$.

    Lösung

    Man kann zur Lösung der Frage welches Ergebnis $\log_{27}3$ hat schrittweise vorgehen:

    1. Es ist $3^3=27$.
    2. Daraus folgt durch Ziehen der dritten Wurzel, dass $3=\sqrt[3]{27}$.
    3. Unter Verwendung der Potenzregel $a^{\frac1n}=\sqrt[n]a$ erhält man $\sqrt[3]{27}=27^{\frac13}$.
    4. Aus 2. und 3. folgt, dass $3=27^{\frac13}$.
    5. Umgekehrt gilt also $\log_{27}3=\frac13$.

  • Arbeite heraus, wie der Logarithmus zur Basis $27$ von $\frac13$ berechnet werden kann.

    Tipps

    Verwende die Potenzregel zum Rechnen mit Potenzen mit negativen Exponenten:

    $a^{-n}=\frac1{a^n}$.

    Du kannst die Potenzregel

    $\left(a^n\right)^m=a^{n\cdot m}$

    verwenden.

    Wenn zwei Potenzen in ihren Basen übereinstimmen, so sind sie identisch, wenn sie auch in ihren Exponenten übereinstimmen.

    Lösung

    Gesucht ist der Logaritmus $x$ zur Basis $27$ von $\frac13$:

    $\log_{27}\left(\frac13\right)=x$.

    Mit welcher Zahl muss $27$ potenziert werden, damit $\frac13$ heraus kommt?

    Zu lösen ist die folgende Gleichung $27^x=\frac13$.

    Man kann zunächst beide Zahlen als Dreierpotenz schreiben:

    • $27=3^3$ sowie
    • $\frac13=3^{-1}$.
    Also können wir schreiben

    $\left(3^3\right)^x=3^{-1}$.

    Unter Verwendung von $\left(a^n\right)^m=a^{n\cdot m}$ erhält man

    $3^{3x}=3^{-1}$.

    Da die Basen übereinstimmen, kann man die Exponenten vergleichen: $3x=-1$. Division durch $3$ führt zu $x=-\frac13$.

    Damit kann der Logarithmus angegeben werden:

    $\log_{27}\left(\frac13\right)=-\frac13$.