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Logarithmus – Brüche als Basis 06:42 min

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Transkript Logarithmus – Brüche als Basis

Hallo. Jetzt habe ich noch etwas ganz Feines, und zwar Brüche als Basis. Ich möchte einmal Folgendes zeigen: Logarithmus zur Basis ¼ von 16. So sieht das aus. Ich muss vertikal die Ausdehnung hier erhöhen in der Schreibweise. log(Basis¼)16=-2. Da sagt ihr bestimmt: Ja, das kann ich auch hinschreiben, das ist ja nichts Besonderes. Doch ich begründe das auch. Wir haben - ich muss jetzt ein wenig die Reihenfolge einhalten, die ich mir überlegt habe. Wenn das stimmt, was ich hier geschrieben habe, dass der log(Basis¼)16=-2 ist, dann müsste Folgendes passieren: Die Frage ist, mit welcher Zahl muss ich ¼ potenzieren, damit 16 herauskommt. Ich müsste rechnen (¼)^-2=16. Warum wir das als komisch empfinden liegt daran, dass wenn einer sagt, ¼, das ist schon mal klein. Die meisten Leute gehen immer noch davon aus, dass, wenn man etwas potenziert, dann wird das zwar größer, aber wenn man etwas mit Minus potenziert, dann wird das negativ und dann wird das ganz klein. Das ist aber nicht der Fall. Diese Klammer hoch -2 bedeutet 1/(¼)^-2. Jetzt möchte ich einmal ganz langsam vorgehen. Wir wenden die Potenzgesetze an. Da weißt du ja, ein Bruch wird potenziert, indem man den Zähler und den Nenner potenziert. Das bedeutet, im Nenner des gesamten Bruches, also im Zähler des Bruches, der den Nenner bildet, also 12 steht dann hier und 42 muss ich auch noch dazu schreiben. Da ist der Hauptbruchstrich und du siehst, quasi schreibt man jetzt hier 1/(12/42). Einfach Potenzgesetze und jetzt kommt die Bruchrechnung ins Spiel. Wenn man durch einen Bruch teilt, bedeutet das, mit dem Kehrwert zu multiplizieren. Ich habe hier 1×(42/12), und 12=1, dann darf ich das auch so schreiben: 1×(42/1)=42=16. Das sind vielleicht viele Zwischenschritte, ich wollte es aber einmal ganz genau zeigen. Und gleich folgt noch ein weiteres Beispiel, das mache ich dann ein wenig schneller. Der log(Basis0,111...)3=-½. Warum? Wenn das stimmt, müsste also Folgendes gelten: Wenn man nämlich jetzt 0,111... mit -½ potenziert, dann müsste da 3 rauskommen. Woher weiß ich das? 0,111...=1/9. Ich möchte also 1/9 mit -½ potenzieren. Wenn man mit einer negativen Zahl potenziert, bedeutet das 1/(1/9)^½. Um die Sache jetzt einmal ein bisschen abzukürzen, (1/9)^½ bedeutet die Wurzel aus 1/9. Du hast oft genug Wurzeln gemacht, die Wurzel aus 1/9 ist 1/3, weil 1/3×1/3=1/9 ist. Deshalb steht hier also 1/(1/3). Man dividiert durch einen Bruch, indem man mit dem Kehrwert multipliziert. 1/(1/3) ist also 1×3=3. Damit ist das Thema durch. Damit kannst zu also sehen, log(Basis0,111...)3=-½, weil (0,111...)^-½=3 ist. Auch Kommazahlen mit Periode können als Basis vorkommen, auch irrationale Zahlen können als Basis vorkommen. Kein Problem. Du siehst, wenn eine Zahl mit Periode da steht, dann kann man die in einen Bruch verwandeln und dann kannst du auch normalerweise vernünftig rechnen, wenn es sich um Schulaufgaben handelt. Im richtigen Leben ist das dann natürlich etwas anders, aber dazu später mehr. Bis dann. Tschüss.              

6 Kommentare
  1. Woher weiß man, dass 0,1 (Periode) 1/9 gleicht? Gibt es da irgendwelche Methoden um das rauszukriegen, oder kann man da nur rumprobieren?

    Von Felix G., vor mehr als einem Jahr
  2. Vielen Dank, hab das alles längst vergessen, jetzt kann ich es wieder!
    Die Auffrischung hat Spaß gemacht.

    Von Bigisemail, vor fast 5 Jahren
  3. danke

    Von yasmine a., vor etwa 7 Jahren
  4. danke .. aber die frage im video 5 hab ich nicht verstanden

    Von yasmine a., vor etwa 7 Jahren
  5. Super erklärt vielen Dank!!!

    Von Janice C., vor etwa 7 Jahren
  1. Villeicht wäre es besser gewesen erstmal die Lösungen geheim zu halten. Ich habe das Prinzip jetzt zwar gut verstanden komm jedoch immer wieder auf falsche Ergebnisse ,weil ich nicht weiß wie ich das jetzt rechnen muss. Dazu müssen wir solche aufgaben ohne Taschenrechner tätigen.

    Von Ppenczek, vor fast 8 Jahren
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Logarithmus – Brüche als Basis Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Logarithmus – Brüche als Basis kannst du es wiederholen und üben.

  • Berechne den Logarithmus.

    Tipps

    Es gilt $\log_b\left(b^c\right)=c$.

    Schreibe $16$ als Potenz mit Basis $\frac14$.

    Statt mit einer negativen Zahl zu potenzieren, kann man auch einen Bruch verwenden.

    Lösung

    Es gilt

    $\log_{\frac14}16=-2$.

    Warum ist das so?

    Dies ist richtig, weil $\left(\frac14\right)^{-2}=16$ ist, denn

    $\left(\frac14\right)^{-2}=\frac1{\left(\frac14\right)^{2}}=\frac1{\frac1{16}}=16$.

  • Zeige auf, weshalb die Logarithmusgleichung stimmt.

    Tipps

    Der Logarithmus gibt an, mit welchem Wert man die Basis potenzieren muss, um den Numerus zu erhalten.

    Es gilt $\log_b a=c$, falls $b^c=a$ richtig ist.

    Lösung

    Der Logarithmus gibt an, mit welchem Wert man die Basis potenzieren muss, um den Numerus zu erhalten.

    Es gilt $\log_b a=c$, falls $b^c=a$ richtig ist.

    Wenn also $\log_{0,\bar1}3=-\frac12$ richtig sein soll, dann muss gelten:

    $0,\bar1^{-\frac12}=3$.

    Begründung: Zunächst wird $0,\bar1$ als Bruch geschrieben:

    $0,\bar1=\frac19$.

    Als nächstes werden die Regeln zur Potenzrechnung verwendet:

    $\left(\frac19\right)^{-\frac12}=9^{\frac12}=\sqrt9=3$.

    Und das ist das gesuchte Ergebnis.

  • Beschreibe, wie der Logarithmus berechnet werden kann.

    Tipps

    Dezimalzahlen, welche

    • entweder endlich
    • oder periodisch
    sind, lassen sich als Bruch schreiben.

    Verwende die Regel:

    $a^{-n}=\frac1{a^n}$.

    Wir suchen $x=\log_{0,\overline{1}} 3$. Das ist gleichbedeutend mit $(0,\bar1)^x=3$.

    Lösung

    Warum ist der Logarithmus

    $\log_{0,\bar1}3=-\frac12$?

    Um dies zu zeigen, muss nachgewiesen werden, dass

    $(0,\bar1)^{-\frac12}=3$

    gilt:

    $\begin{align*} (0,\bar1)^{-\frac12}&=\left(\frac19\right)^{-\frac12}\\ &=\frac1{\left(\frac19\right)^{\frac12}}\\ &=\frac1{\frac13}\\ &=3. \end{align*}$

    Hierbei haben wir die Regel $a^{-n}=\frac1{a^n}$ verwendet. Deshalb ist $\log_{0,\bar1}3=-\frac12$.

  • Ermittle den Logarithmus zur Basis $0,125$ von $64$.

    Tipps

    Du kannst Basis und Numerus sowohl als Potenz zur Basis $2$, $4$ oder $8$ schreiben. Egal, welche Basis du wählst, du gelangst zum gleichen Ergebnis.

    Wenn zwei Potenzen in ihren Basen übereinstimmen, so müssen sie dies auch in den Exponenten.

    Das Ergebnis ist eine negative ganze Zahl.

    Du kannst dein Ergebnis zur Probe in die Potenzgleichung

    $0,125^x=64$

    einsetzen.

    Lösung

    Zur Berechnung des Logarithmus $\log_{0,125}64$ kann man sich zunächst nochmals klarmachen, wofür der Logarithmus steht:

    Er beantwortet die Frage, mit welchem Exponenten $0,125$ potenziert werden muss, um $64$ zu erhalten.

    Hierfür werden die Basis und der Numerus als Potenzen zur gleichen Basis geschrieben:

    • $0,125=8^{-1}$ und
    • $64=8^2$.
    Es muss gelten:

    $\begin{align*} && 0,125^x&=64\\ &\Leftrightarrow& \left(8^{-1}\right)^x&=8^2\\ &\Leftrightarrow& 8^{-x}&=8^2. \end{align*}$.

    Die Basen in den beiden Potenzen stimmen überein. Somit gilt $-x=2$ und dies ist äquivalent zu $x=-2$. Dies ist der gesuchte Logarithmus:

    $\log_{0,125}64=-2$.

  • Bestimme den Logarithmus.

    Tipps

    Potenzen mit negativem Exponenten können als Bruch geschrieben werden und umgekehrt.

    Es gilt $10=10^1$.

    Verwende die Regel

    $\left(a^n\right)^m=a^{n\cdot m}$.

    Wenn zwei Potenzen mit der gleichen Basis übereinstimmen, müssen die Exponenten identisch sein.

    Lösung

    Zur Berechnung des Logarithmus $x=\log_{0,1}10$ kann man sich zunächst nochmals klarmachen, wofür der Logarithmus steht:

    Er beantwortet die Frage, mit welchem Exponenten $0,1$ potenziert werden muss, um $10$ zu erhalten.

    Dies kann als Gleichung geschrieben werden:

    $0,1^x=10$.

    Wenn man $0,1$ als Potenz mit der Basis $10$ schreibt, kann die folgende Regel verwendet werden:

    Es gilt $0,1=\frac{1}{10}=10^{-1}$.

    Die obige Gleichung kann dann folgendermaßen geschrieben werden:

    $\left(10^{-1}\right)^x=10^1$.

    Unter Verwendung der Regel $\left(a^n\right)^m=a^{n\cdot m}$ kann diese Gleichung umgeformt werden zu

    $10^{-x}=10^1$.

    Die Basen in den beiden Potenzen stimmen überein. Somit gilt $-x=1$ und dies ist äquivalent zu $x=-1$. Dies ist der gesuchte Logarithmus:

    $\log_{0,1}10=-1$.

  • Arbeite heraus, wie der Logarithmus berechnet werden kann.

    Tipps

    Es gilt:

    Um Logarithmen zu bestimmen, ist es sinnvoll, sowohl die Basis als auch den Numerus als Potenzen mit gleicher Basis zu schreiben.

    Es gilt: $\frac{1}{25}=5^{-2}$.

    Zwei Potenzen mit gleicher Basis stimmen überein, wenn die Exponenten identisch sind.

    Damit erhältst du eine Gleichung, die du nach $x$ auflösen kannst.

    Lösung

    Zur Berechnung des Logarithmus

    $\log_{0,04}625$

    kann man zunächst

    • $0,04=5^{-2}$ und
    • $625=5^4$ schreiben.
    Dies führt zu der Gleichung

    $\begin{align*} && 0,04^x&=625\\ &\Leftrightarrow& \left(5^{-2}\right)^x&=5^4\\ &\Leftrightarrow& 5^{-2x}&=5^4. \end{align*}$

    Nun stimmen in beiden Potenzen die Basen überein. Dies führt zu der Gleichung $-2x=4$. Durch Division durch $-2$ erhält man $x=-2$. Dies ist der gesuchte Logarithmus:

    $\log_{0,04}625=-2$.